Soal dan Pembahasan – Deret Laurent dalam Analisis Kompleks

Berikut ini adalah beberapa soal beserta pembahasannya mengenai Deret Laurent dalam Analisis Kompleks.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Analisis Kompleks Tingkat Dasar Bagian 1

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Analisis Kompleks Tingkat Dasar Bagian 2

Quote by Socrates

Aku tidak bisa mengajari siapapun tentang sesuatu. Aku hanya bisa membuat mereka berpikir. 

Soal Nomor 1
Uraikan fungsi $\dfrac{1}{z+3}$ dalam deret Laurent untuk daerah konvergensi $|z| > 3$.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa ada $2$ arti dari daerah $|z|>3$, yaitu
1) Perlu menguraikan fungsi tersebut untuk daerah konvergensinya, yaitu pada semua $z$ yang berada di luar lingkaran berpusat di titik asal dan berjari-jari $3$.
2) Perlu menguraikan fungsi tersebut ke dalam bentuk deret pangkat positif maupun negatif dari $z$. Singkatnya menjadi
$\boxed{\displaystyle \sum a_n \cdot z^n + \sum \dfrac{b_n}{z^n} } $
Perhatikan bahwa,
$\dfrac{1}{z+3} = \dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{1 +\dfrac{3} {z}} $
Uraikan ekspresi $\dfrac{1}{1 + \dfrac{3}{z}}$ dalam deret Taylor. Ingat bentuk berikut.
$\boxed{\displaystyle \dfrac{1}{1 + z} = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^nz^n} $
Jadi, dapat ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{1 +\dfrac{3} {z}} & = \dfrac{1}{z} \times \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \left(\dfrac{3}{z}\right)^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n \cdot 3^n} {z^{n+1}} \end{aligned}$
Dapat dilihat bahwa kita hanya mencari principal part dari deret Laurent karena daerah yang diminta adalah $|z| > 3$.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Kompleks, Limit, dan Turunannya

Soal Nomor 2
Uraikan fungsi $\dfrac{1}{z -1}$ dalam deret Taylor pada daerah $|z -2| < 2$ dan bagian principal part deret Laurent pada daerah $|z -2| > 2$.

Penyelesaian

Titik singular fungsi tersebut adalah $z = 1$, sedangkan daerah konvergensinya adalah $|z -2| < 2$ (di dalam lingkaran dengan pusat $(2,0)$ dan berjari-jari $2$). Karena titik singularnya berada dalam daerah konvergensi, maka uraikan fungsinya hanya dengan deret Taylor (sebagaimana yang diminta pada soal).
$\dfrac{1}{z -1} = \dfrac{1}{1 + (z -2)} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-z + 2)^n$
Di lain pihak, titik singular fungsi berada di luar daerah konvergensi $|z -2| > 2$, sehingga diuraikan dalam principal part deret Laurent.
$\begin{aligned} \dfrac{1}{z-1} & = \dfrac{1}{1 + (z – 2)} \\ & = \dfrac{1}{(z -2)\left(1 + \dfrac{1}{z -2}\right)} \\ & = \dfrac{1}{z-2} \times \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \left(\dfrac{1}{z-2}\right)^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n} {(z -2)^{n+1}} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Uraikan fungsi $\dfrac{1}{(z+2)(z-1)}$ dalam deret Laurent untuk daerah $4 < |z -2| < \infty$.

Penyelesaian

Daerah konvergensi $4 < |z – 2| < \infty$ ekuivalen dengan $|z -2| > 4$. Titik singular fungsinya, yaitu $z = -2$ dan $z = 1$ masing-masing di luar daerah konvergensinya, sehingga penguraiannya dengan menggunakan principal part deret Laurent sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{(z+2)(z-1)} & = \dfrac{-\dfrac{1}{3}}{z + 2} + \dfrac{\dfrac{1}{3}} {z -1} \\ & = -\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4 + (z -2)} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{1 + (z -2)} \\ & = -\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{(z -2)\left(1 + \dfrac{4}{z -2}\right)} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{(z-2)\left(1 + \dfrac{1}{z -2}\right)} \\ & = -\dfrac{1}{3(z-2)} \times \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{4}{z -2}\right)^n + \dfrac{1}{3(z-2)} \times \sum (-1)^n\left(\dfrac{1}{z-2}\right)^n \\ & = \boxed{\dfrac{1}{3}(1-4^n) \sum \dfrac{(-1)^n} {(z-2)^{n+1}}} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 4 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan)
Uraian deret Laurent dari fungsi $f(z) = \dfrac{3}{z^2 -iz}$ pada daerah $|z + i| < 1$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$f(z) = \dfrac{3}{z^2 -iz} = \dfrac{3}{z(z -i)}$
Titik singular fungsi ini adalah $z = 0$ dan $z = i$ yang letaknya TIDAK berada di luar daerah konvergensi $|z + i| < 1$ (lingkaran dengan pusat di $(0,1)$ dan berjari-jari $1$), sehingga kita menguraikan keduanya ini hanya dalam bentuk deret Taylor.
$$\begin{aligned} \dfrac{3}{z(z + i)} & = 3\left(\dfrac{-\dfrac{1}{i}} {z} + \dfrac{\dfrac{1}{i}} {z -i}\right) \\ & = -\dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-i + (z + i)} + \dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-2i + (z + i)} \\ & =-\dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-i\left(1 + \dfrac{z + i}{-i}\right)} + \dfrac{3}{i} \times \dfrac{1}{-2i\left(1 + \dfrac{z+i}{-2i}\right)} \\ & = -3 \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{z+i} {-i}\right)^n + \dfrac{3}{2} \times \sum (-1)^n\left(\dfrac{z+i} {-2i}\right)^n \\ & = \displaystyle \sum 3\left(\dfrac{z+i} {i} \right)^n + \sum \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{z+i}{2i}\right)^n \\ & = \boxed{3 \sum (z + i)^n\left(\dfrac{1}{2^{n+1}i^n} -\dfrac{1}{i^n}\right)} \end{aligned} $$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Analisis Kurva Kompleks dan Integral Kontur

Soal Nomor 5
Uraikan dalam deret Laurent dari fungsi $f(z) = \sin \left( \dfrac{1}{z}\right)$ pada daerah konvergensi $|z| > 0$.

Penyelesaian

Karena daerah konvergensinya adalah $|z| > 0$, maka penyelesaiannya melibatkan principal part deret Laurent. Perhatikan bahwa,
$\boxed{\sin z = \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^nz^{2n+1}} {(2n+1)!}} $
Jadi,
$\begin{aligned} \sin \left( \dfrac{1}{z}\right) & = \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} \times \left(\dfrac{1}{z} \right)^{2n+1} \\ & = \sum \dfrac{(-1)^n} {(2n+1)! \cdot z^{2n+1}} \end{aligned}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Residu Fungsi Kompleks dan Pengintegralannya

Soal Nomor 6
Uraikan dalam deret Laurent dari fungsi $f(z) = \dfrac{1}{z^3-2z^2+z}$ untuk daerah konvergensi $0 < |z -1| < 1$.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$f(z) = \dfrac{1}{z^3-2z^2+z} = \dfrac{1}{z(z-1)^2}$
Tampak titik singular $z_1 = 0$ dan $z_2 = 1$, berturut-turut berada dalam syarat konvergensi $|z -1| < 1$ dan $|z -1| > 0$, berarti bagian fungsi yang memiliki syarat $|z -1| < 1$ akan diselesaikan seperti deret Taylor dan bagian fungsi yang memiliki syarat $|z -1| > 0$ akan diselesaikan seperti principal part dalam deret Laurent.
Bentuk fungsi di atas dapat dipecah menjadi
$f(z) = \dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{(z-1)^2}$
Tinjau bagian $\dfrac{1}{(z-1)^2}$ yang akan dicari bentuk principal part. Tetapi, ternyata bentuk tersebut sudah dalam bentuk deret pangkat $\dfrac{1}{(z-1)^n}$ sehingga tidak perlu diubah lagi.
Jadi,
$\begin{aligned} f(z) & = \dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{(z-1)^2} \\ & = \dfrac{1}{1 + (z -1)} \times \dfrac{1}{(z-1)^2} \\ & = \displaystyle \sum (-1)^n(z-1)^n \times \dfrac{1}{(z-1)^2} \\ & = \boxed{\sum (-1)^n(z-1)^{n-2}} \end{aligned} $

[collapse]

Soal Nomor 7
Uraikan fungsi $f(z) = \dfrac{5z + 2i} {z(z+i)}$ dalam deret Laurent untuk daerah $1 < |z -i| < 2$.

Penyelesaian

Anulus konvergensinya adalah daerah di antara lingkaran berpusat di $(0,1)$ dan berjari-jari $1$ dengan $2$. Fungsi yang diberikan memiliki titik singular $z = 0$ dan $z = i$. Titik singular $z = 0$ berada lebih kecil dari daerah konvergensi, sehingga diselesaikan dalam bentuk principal part, sedangkan $z = i$ diselesaikan seperti deret Taylor karena lebih besar dari daerah konvergensi. Pertama-tama, pecahkan fungsinya dalam bentuk parsial.
$\dfrac{5z+2i} {z(z+i)} = \dfrac{2}{z} + \dfrac{3}{z+i}$
(i) Menguraikan bentuk $\dfrac{2}{z}$ dalam principal part deret Laurent.
$\begin{aligned} \dfrac{2}{z} & = \dfrac{2}{i + (z -i)} \\ & = \dfrac{2}{(z-i)\left(1 + \dfrac{i}{z-i}\right)} \\ & = \dfrac{2}{z-i} \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{i} {z-i} \right)^n \\ & = \boxed{2 \sum (-1)^n \times \dfrac{(i)^n} {(z-i)^{n+1}}} \end{aligned} $
(ii) Menguraikan bentuk $\dfrac{3}{z + i}$ dalam bentuk deret Taylor.
$\begin{aligned} \dfrac{3}{z+i} & = \dfrac{3}{2i + (z – i)} \\ & = \dfrac{3}{2i\left(1 + \dfrac{z-i} {2i} \right)} \\ & = \dfrac{3}{2i} \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{z-i} {2i} \right)^n \\ & = \boxed{3 \sum (-1)^n \times \dfrac{(z-i)^n} {(2i)^{n+1}}} \end{aligned}$
Jadi, deret Laurentnya adalah penjumlahan dari keduanya, yaitu
$$\boxed{2 \sum (-1)^n \times \dfrac{(i)^n} {(z-i)^{n+1}} + 3 \sum (-1)^n \times \dfrac{(z-i)^n} {(2i)^{n+1}}}$$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Analitik dan Harmonik dalam Sistem Bilangan Kompleks

Soal Nomor 8 (Soal ON MIPA-PT Seleksi UGM Tahun 2015)
Uraikan fungsi $f(z) = \dfrac{z+3}{z^2-6z+8}$ dalam bentuk deret Laurent dari daerah $0 < |z -2| < 2$.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$f(z) = \dfrac{z+3}{z^2-6z+8} = \dfrac{z+3}{(z-4)(z-2)}$
Daerah konvergensinya adalah di antara lingkaran berpusat di $(2,0)$ berjari-jari $0$ dan $2$.
Titik singular fungsi tersebut adalah $z = 4$ dan $z = 2$. Titik singular $z = 2$ lebih kecil dari daerah konvergensi, sehingga diselesaikan dalam bentuk principal part, sedangkan titik singular $z = 4$ lebih besar dari daerah konvergensi, dan harus diselesaikan dalam bentuk deret Taylor.
Untungnya, $\dfrac{1}{z – 2}$ sudah dalam bentuk principal part, sehingga tidak perlu diubah. Sekarang, akan diuraikan bentuk $\dfrac{1}{z -4}$ dalam deret Taylor sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{z+3}{z-2} \times \dfrac{1}{z-4} & = \dfrac{z+3}{z-2} \times \dfrac{1}{-2 + (z -2)} \\ & = \dfrac{z+3}{z-2} \times \dfrac{1}{-2\left(1 + \dfrac{z-2}{-2}\right) } \\ & = \dfrac{z+3}{z-2} \times \dfrac{1}{-2} \times \displaystyle \sum (-1)^n\left(\dfrac{z-2}{-2}\right)^n \\ & = \boxed{ -(z + 3) \sum \dfrac{(z-2)^{n-1}} {2^{n+1}}} \end{aligned}$$

[collapse]

CategoriesAnalisis KompleksTags, , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *