Soal Latihan dan Penyelesaian – Subgrup (Struktur Aljabar)

Berikut ini adalah contoh soal beserta penyelesaiannya mengenai subgrup dalam Aljabar Abstrak yang dapat digunakan sebagai latihan. 

Soal Nomor 1a
Berikan beberapa contoh subgrup dari grup $(\mathbb{R}, +)$.

Pembahasan

Subgrup dari grup $(\mathbb{R}, +)$ antara lain:

  1. $(\mathbb{R}, +)$ (himpunan itu sendiri)
  2. $(\mathbb{Q}, +)$
  3. $(\mathbb{Z}, +)$
  4. $({0}, +)$
    [collapse]

Soal Nomor 1b
Berikan beberapa contoh subgrup dari grup $(M_2(\mathbb{R}), +)$.

Pembahasan

Perlu diperhatikan bahwa $M_2(\mathbb{R})$ merupakan himpunan matriks berukuran $2 \times 2$ yang entri-entrinya bilangan real.
Subgrup dari grup $\left(M_2(\mathbb{R}), +\right)$ antara lain:

  1. $\left(M_2(\mathbb{R}), +\right)$(himpunan itu sendiri)
  2. $\left(M_2(\mathbb{Q}), +\right)$
  3. $\left(M_2(\mathbb{Z}), +\right)$
  4. $\left(\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, +\right)$ 
    [collapse]

Soal Nomor 2
Misalkan $H$ dan $K$ subgrup dari grup $G$. Apakah $H \cap K$ juga merupakan subgrup dari $G$?

Pembahasan

Untuk menyelesaikan kasus ini, kita menggunakan teorema subgrup:
Misalkan $(G, \star)$ grup dan $H$ adalah subset tak kosong $H$ dari $G$. $H$ disebut subgrup dari $G$ jika operasi $\star$ dalam $H$ bersifat tertutup dan setiap anggota $H$ memiliki invers di $H$.
i) Menunjukkan apakah operasi $\star$ dalam $H \cap K$ bersifat tertutup.
Ambil sembarang $a,b \in H \cap K$, sehingga $a,b \in H$ dan $a, b \in K$. Karena $H$ subgrup, maka $a \star b \in H$, dan juga karena K subgrup, maka $a \star b \in K$. Akibatnya, $a \star b \in H \cap K$. Jadi, sifat tertutup terpenuhi.
ii) Menunjukkan apakah setiap anggota $H \cap K$ memiliki invers di $H \cap K$.
Misalkan $a \in H$ dan karena $H$ subgrup, maka $a^{-1} \in H$. Misalkan juga $a \in K$ dan karena $K$ subgrup, maka $a^{-1} \in H$. Akibatnya, $a^{-1} \in H \cap K$. Jadi, sifat invers terpenuhi.
Dengan menggunakan teorema yang telah disebutkan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa $H \cap K$ merupakan subgrup dari $G$.

[collapse]

Soal Nomor 3
Suatu grup $G$ memiliki 2 subgrup, yaitu $H$ dan $K$. Tunjukkan bahwa $H \cap K$ pasti membentuk subgrup dalam $G$.

Pembahasan

Karena $H$ dan $K$ subgrup dari $G$, maka unsur identitas juga ada di $H$ maupun $K$. Ini berarti, $H \cap K$ paling mungkin (setidaknya) subgrup $G$ dengan anggota $\{e\}$, yang merupakan subgrup trivial.

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan subgrup dari $\mathbb{Z}_6$ dan gambarkan diagram lattice-nya.

Pembahasan

Perhatikan tabel penjumlahan modulo $6$ berikut.
Jika kita perhatikan dengan saksama, kita akan menemukan bahwa himpunan $\{0, 2, 4\}$ dan $\{0, 3\}$ merupakan subgrup dari $\mathbb{Z}_6$ karena operasinya bersifat tertutup (hasil operasinya juga merupakan anggota himpunan tersebut). Dari hasil penjumlahan modulo $6$ di $\mathbb{Z}_6$, yang termasuk subgrup nontrivial sejati adalah $\{0, 2, 4\}$ dan $\{0, 3\}$.
Diagram lattice-nya adalah sebagai berikut.



Tampak pada diagram bahwa $\mathbb{Z}_6$ merupakan subgrup terbesar dari dirinya sendiri, sedangkan subgrup yang lainnya adalah $\{0, 2, 4\}$ dan $\{0, 3\}$ dengan identitas $\{0\}$.

[collapse]

Soal Nomor 5
Diberikan $(G, *)$ merupakan suatu grup dengan operasi biner $*$ dan $H = \{a^n | n \in \mathbb{Z}\}$. Tunjukkan bahwa H subgrup dari G.

Pembahasan

Kita akan menyelesaikan kasus ini dengan menggunakan teorema subgrup:
Misalkan $(G, *)$ grup dan $H$ subset tak kosong dari $G$. $H$ subgrup dari $G$ jika dan hanya jika untuk setiap $a, b \in H$ berlaku $a * b^{-1} \in H$.
Dalam hal ini, ambil sembarang $p, q \in H$ dan akan ditunjukkan bahwa $p * q^{-1} \in H.$
Karena $p \in H$, maka $p = a^n, n \in \mathbb{Z}$. Demikian pula, karena $q \in H$, maka $q = a^m, m \in \mathbb{Z}$, sedangkan $q^{-1} = (a^m)^{-1} = a^{-m}, m \in \mathbb{Z}$. Berarti,
$\begin{aligned} p*q^{-1} & = a^n * a^{-m} \\ & = a^{n -m}, n -m \in \mathbb{Z}. \end{aligned}$
Jadi, $p * q^{-1} \in \mathbb{Z}$.
Terbukti bahwa $H$ subgrup dari $G$.

[collapse]

Soal Nomor 6 (Soal OSN Pertamina 2011)
Subset $\mathbb{Z}_6$ yang bukan merupakan subgrup dari $(\mathbb{Z}_6, +)$ adalah $\cdots$
A. $\{0\}$
B. $\{0, 1\}$
C. $\{0, 3\}$
D. $\{0, 2, 4\}$
E. $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$

Pembahasan

Diketahui $\mathbb{Z}_6 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$. Jadi, semua alternatif jawaban merupakan subset darinya. Ingat kembali aksioma yang harus dipenuhi agar suatu struktur aljabar dikatakan sebagai grup, yaitu tertutup pada operasinya, berlaku sifat asosiatif, memiliki identitas, dan setiap elemen memiliki invers padanya. Dari kelima pilihan yang diberikan, $\{0, 1\}$ tidak memenuhi sifat tertutup, karena $1 +_6 1 = 2.$
padahal 2 bukan anggotanya.  Dengan kata lain, $4$ alternatif jawaban lainnya merupakan subgrup dari $(\mathbb{Z}_6, +)$. Jadi, pilih jawaban B.

[collapse]

Soal Nomor 7 (Soal OSN Pertamina 2011)
Grup yang hanya mempunyai subgrup $\{0\}$ dan $G$ sendiri adalah $\cdots$
A. $\mathbb{Z}_4$                    C. $\mathbb{Z}_7$                   E. $\mathbb{Z}_9$
B. $\mathbb{Z}_6$                   D. $\mathbb{Z}_8$         

Pembahasan

Sebagai penjelas, grup yang dimaksud diikat oleh operasi penjumlahan modulo yang bersangkutan.

  1. Grup $\mathbb{Z}_4$ memiliki subgrup selain yang disebutkan pada soal, yaitu $\{0, 2\}.$
  2. Grup $\mathbb{Z}_6$ memiliki subgrup selain yang disebutkan pada soal, yaitu $\{0, 3\}$ dan $\{0, 2, 4\}.$
  3. Grup $\mathbb{Z}_8$ memiliki subgrup selain yang disebutkan pada soal, yaitu $\{0, 2, 4, 6\}$ dan $\{0, 4\}.$
  4. Grup $\mathbb{Z}_9$ memiliki subgrup selain yang disebutkan pada soal, yaitu $\{0, 3, 6\}.$



Jadi, alternatif jawaban yang benar adalah C.

[collapse]

2 Replies to “Soal Latihan dan Penyelesaian – Subgrup (Struktur Aljabar)”

  1. Misalkan G={xZ^+} yang didefinisikan operasi biner pada G dengan a^*b=ab,untuk semua a,b € G .
    Tunjukan apakah (G,^*) merupakan suatu grup dan periksa apakah (G,^*) juga merupakan grup Abelian

  2. Bang, kalau seandainya diberikan orde dari grup a sama dengan 6, terus yg ditanya berapa orde dari grup a kuadrat, itu gimana cara nyarinya ?

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *