Soal Latihan dan Penyelesaian – Subgrup (Aljabar Abstrak)


Berikut ini adalah contoh soal beserta penyelesaiannya mengenai subgrup dalam Aljabar Abstrak yang dapat digunakan sebagai latihan. 

Soal Nomor 1a
Berikan beberapa contoh subgrup dari grup (\mathbb{R}, +).

Penyelesaian

Subgrup dari grup (\mathbb{R}, +) antara lain
1. (\mathbb{R}, +) (himpunan itu sendiri)
2.  (\mathbb{Q}, +)
3.  (\mathbb{Z}, +)
4.  ({0}, +)

[collapse]

Soal Nomor 1b
Berikan beberapa contoh subgrup dari grup (M_2(\mathbb{R}), +).

Penyelesaian

Perlu diperhatikan bahwa M_2(\mathbb{R}) merupakan himpunan matriks berukuran 2 \times 2 yang entri-entrinya bilangan real.
Subgrup dari grup \left(M_2(\mathbb{R}), +\right) antara lain
1.  \left(M_2(\mathbb{R}), +\right)(himpunan itu sendiri)
2.  \left(M_2(\mathbb{Q}), +\right)
3.  \left(M_2(\mathbb{Z}), +\right)
4.  \left(\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, +\right)

[collapse]

Soal Nomor 2
Misalkan H dan K subgrup dari grup G. Apakah H \cap K juga merupakan subgrup dari G?

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan kasus ini, kita menggunakan teorema subgrup:
Misalkan (G, \star) grup dan H adalah subset tak kosong H dari G. H disebut subgrup dari G jika operasi \star dalam H bersifat tertutup dan setiap anggota H memiliki invers di H.
i) Menunjukkan apakah operasi \star dalam H \cap K bersifat tertutup
Ambil sembarang a,b \in H \cap K, sehingga a,b \in H dan a, b \in K. Karena H subgrup, maka a \star b \in H, dan juga karena K subgrup, maka a \star b \in K. Akibatnya, a \star b \in H \cap K. Jadi, sifat tertutup terpenuhi.
ii) Menunjukkan apakah setiap anggota H \cap K memiliki invers di H \cap K.
Misalkan a \in H dan karena H subgrup, maka a^{-1} \in H. Misalkan juga a \in K dan karena K subgrup, maka a^{-1} \in H. Akibatnya, a^{-1} \in H \cap K. Jadi, sifat invers terpenuhi.
Dengan menggunakan teorema yang telah disebutkan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa H \cap K merupakan subgrup dari G.

[collapse]

Soal Nomor 3
Suatu grup G memiliki 2 subgrup, yaitu H dan K. Tunjukkan bahwa H \cap K pasti membentuk subgrup dalam G.

Penyelesaian

(Pertanyaan ini merupakan reduksi dari pertanyaan sebelumnya). Karena H dan K subgrup dari G, maka unsur identitas juga ada di H maupun K. Ini berarti, H \cap K paling mungkin (setidaknya) subgrup G dengan anggota {e}, yang merupakan subgrup trivial.

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan subgrup dari Z_6 dan gambarkan diagram latticenya.

Penyelesaian

Perhatikan tabel penjumlahan modulo 6 berikut.

Jika kita perhatikan dengan saksama, kita akan menemukan bahwa himpunan \{0, 2, 4\} dan \{0, 3\} merupakan subgrup dari Z_6, karena operasinya bersifat tertutup (hasil operasinya juga merupakan anggota himpunan tersebut). Dari hasil penjumlahan modulo 6 di Z_6, yang termasuk subgrup nontrivial sejati adalah \{0, 2, 4\} dan \{0, 3\}.
Diagram latticenya adalah sebagai berikut.

Tampak pada diagram bahwa Z_6 merupakan subgrup terbesar dari dirinya sendiri, sedangkan subgrup yang lainnya adalah \{0, 2, 4\} dan \{0, 3\} dengan identitas \{0\}.

[collapse]

Soal Nomor 5
Diberikan (G, *) merupakan suatu grup dengan operasi biner * dan H = \{a^n | n \in \mathbb{Z}\}. Tunjukkan bahwa H subgrup dari G.

Penyelesaian

Kita akan menyelesaikan kasus ini dengan menggunakan teorema subgrup:
Misalkan (G, *) grup dan H subset tak kosong dari G. H subgrup dari G jika dan hanya jika untuk setiap a, b \in H berlaku a * b^{-1} \in H.
Dalam hal ini, ambil sembarang p, q \in H dan akan ditunjukkan bahwa p * q^{-1} \in H
Karena p \in H, maka p = a^n, n \in \mathbb{Z}. Demikian pula, karena q \in H, maka q = a^m, m \in \mathbb{Z}, sedangkan q^{-1} = (a^m)^{-1} = a^{-m}, m \in \mathbb{Z}. Berarti,
p*q^{-1} = a^n * a^{-m} = a^{n - m}, n - m \in \mathbb{Z}.
Jadi, p * q^{-1} \in \mathbb{Z}.
Terbukti bahwa H subgrup dari G.

[collapse]

Soal Nomor 6 (Soal OSN Pertamina 2011 Babak Penyisihan Tingkat Provinsi, hasil revisi)
Subset \mathbb{Z}_6 yang bukan merupakan subgrup dari (\mathbb{Z}_6, +) adalah \cdots
A. \{0\}
B. \{0, 1\}
C. \{0, 3\}
D. \{0, 2, 4\}
E. \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}

Penyelesaian

Diketahui \mathbb{Z}_6 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}. Jadi, semua alternatif jawaban merupakan subset darinya. Ingat kembali aksioma yang harus dipenuhi agar suatu struktur aljabar dikatakan sebagai grup, yaitu tertutup pada operasinya, berlaku sifat asosiatif, memiliki identitas, dan setiap elemen memiliki invers padanya. Dari kelima pilihan yang diberikan, \{0, 1\} tidak memenuhi sifat tertutup, karena
1 +_6 1 = 2
padahal 2 bukan anggotanya.  Dengan kata lain, 4 alternatif jawaban lainnya merupakan subgrup dari (\mathbb{Z}_6, +). Jadi, pilih jawaban B.

[collapse]

Soal Nomor 7 (Soal OSN Pertamina 2011 Babak Penyisihan Tingkat Provinsi)
Grup yang hanya mempunyai subgrup \{0\} dan G sendiri adalah \cdots
A. \mathbb{Z}_4
B. \mathbb{Z}_6
C. \mathbb{Z}_7
D. \mathbb{Z}_8
E. \mathbb{Z}_9

Penyelesaian

Sebagai penjelas, grup yang dimaksud diikat oleh operasi penjumlahan modulo yang bersangkutan.
Grup \mathbb{Z}_4 memiliki subgrup selain yang disebutkan pada soal, yaitu \{0, 2\}
Grup \mathbb{Z}_6 memiliki subgrup selain yang disebutkan pada soal, yaitu \{0, 3\} dan \{0, 2, 4\}
Grup \mathbb{Z}_8 memiliki subgrup selain yang disebutkan pada soal, yaitu \{0, 2, 4, 6\} dan \{0, 4\}
Grup \mathbb{Z}_9 memiliki subgrup selain yang disebutkan pada soal, yaitu \{0, 3, 6\}
Jadi, alternatif jawaban yang benar adalah C.

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *