Soal dan Pembahasan – Kompetisi Sains Nasional (KSN) Tingkat Kabupaten Bidang Matematika SMA/MA Tahun 2020

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan Kompetisi Sains Nasional Tingkat Kabupaten (KSN-K) bidang matematika SMA/MA tahun 2020. Soal dibagi menjadi $2$ kategori, yaitu soal kemampuan dasar yang terdiri dari $10$ butir, begitu juga dengan soal kemampuan lanjut. Semua soal berbentuk isian singkat. Peserta diberi waktu selama $120$ menit untuk mengerjakan soal tersebut.

Klik: Download Soal KSN-K Matematika SMA/MA Tahun 2020 (PDF)

Kemampuan Dasar
Pada bagian ini setiap jawaban yang benar bernilai $2$ poin dan setiap jawaban yang salah atau kosong bernilai nol.

Soal Nomor 1
Misalkan $f(x) = \dfrac{3(x-1)(x-2)}{2}+\dfrac{(x-2)(x-3)}{2}$ $-2(x-1)(x-3)$. Nilai dari $f(20)$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Cara 1: Menyederhanakan dulu
Kita sederhanakan rumus fungsi $f(x)$, lalu substitusi $x = 20$.
$$\begin{aligned} f(x) & = \dfrac{3(x-1)(x-2)}{2} + \dfrac{(x-2)(x-3)}{2}-2(x-1)(x-3) \\ & = \dfrac{3(x^2-3x+2)}{2}+\dfrac{x^2-5x+6}{2}-2(x^2-4x+3) \\ & = \dfrac{3x^2-9x+6+x^2-5x+6}{2}-2x^2+8x-6 \\ & = \dfrac{4x^2-14x+12}{2}-2x^2+8x-6 \\ & = 2x^2-7x+6-2x^2+8x-6 = x \end{aligned}$$Karena $f(x)=x$, maka untuk $x=20$, diperoleh $\boxed{f(20)=20}$
Cara 2: Substitusi langsung
Substitusi langsung $x = 20$ pada $f(x)$.

$$\begin{aligned} f(20) & = \dfrac{3(20-1)(20-2)}{2} + \dfrac{(20-2)(20-3)}{2}-2(20-1)(20-3) \\ & = \dfrac{3(19)(\cancelto{9}{18})}{\cancel{2}}+\dfrac{(\cancelto{9}{18})(17)}{\cancel{2}}-2(19)(17) \\ & = 3(19)(9)+9(17)-2(19)(17) = 20 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{f(20) = 20}$
Catatan:
Substitusi langsung $x = 20$ pada $f(x)$ masih sangat memungkinkan untuk dilakukan perhitungan, tetapi akan memakan waktu yang lama bila $x$ disubstitusi sebagai bilangan yang lebih besar, misalnya $x = 2020$. Cara yang disarankan adalah menyederhanakan rumus fungsi $f(x)$ sebisa mungkin.

[collapse]

Soal Nomor 2
Diberikan sebuah kubus besar berukuran $3 \times 3$ yang seluruh permukaannya dicat dengan warna merah. Kubus tersebut dipotong menjadi $27$ kubus satuan (kubus berukuran $1 \times 1 \times 1$). Diketahui bahwa Amir mengambil satu kubus kecil yang salah satu sisinya berwarna merah. Peluang kubus kecil yang diambil Amir memiliki tepat dua sisi berwarna merah adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Banyak kubus yang tidak terkena cat untuk kubus berukuran $n \times n \times n$ adalah $(n-2)(n-2)(n-2)$, sedangkan banyak kubus yang terkena cat satu sisi saja adalah $6(n-2)(n-2)$, serta banyak kubus yang terkena cat tepat $3$ sisi adalah $8$ (di tepi kubus).
Untuk $n = 3$, banyak kubus yang tidak terkena cat ada $1$ buah sehingga sebanyak $\color{red}{26}$ kubus yang terkena cat.
Selanjutnya, terdapat $6(3-2)(3-2) = 6$ kubus yang terkena cat satu sisi saja. Akibatnya, banyak kubus yang terkena cat dua sisi adalah $26-6-8=\color{blue}{12}$, seperti tampak pada ilustrasi gambar berikut.

Dengan demikian, peluang terambilnya kubus kecil dengan tepat dua sisi terkena cat adalah $\boxed{\dfrac{\color{blue}{12}}{\color{red}{26}} = \dfrac{6}{13}}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Diberikan trapesium siku-siku seperti pada gambar di bawah ini.


Jika $AB = 1, BD = \sqrt7$, dan $AD=CD$, maka luas trapesium tersebut adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Tarik garis dari titik $A$ sehingga tegak lurus dengan $DC$, memotong di titik $E$ seperti gambar.

Diketahui $AB = EC = 1$. Misalkan $AD = x$, maka $DE = x-1$. Misalkan juga $AE = BC = y$.
Pada segitiga siku-siku $ADE$, berlaku rumus Pythagoras.
$\begin{aligned} AE^2 & = AD^2-DE^2 \\ y^2 & = x^2-(x-1)^2 \\ y^2 & = x^2-(x^2-2x+1) \\ y^2 & = 2x-1 && (\cdots 1) \end{aligned}$
Pada segitiga siku-siku $BDC$, juga berlaku rumus Pythagoras.
$\begin{aligned} BC^2 & = BD^2-DC^2 \\ y^2 & = (\sqrt7)^2-x^2 \\ y^2 & = 7-x^2 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Berdasarkan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh
$\begin{aligned} 2x-1 & = 7-x^2 \\ x^2+2x-8 & = 0 \\ (x+4)(x-2) & = 0 \end{aligned}$
Didapat $x = -4$ (tidak memenuhi karena bernilai negatif) atau $x=2$.
Substitusi $x = 2$ pada persamaan $(1)$ sehingga diperoleh
$y^2 = 2(2)-1 \Rightarrow y = \sqrt3$
Luas trapesiun $ABCD$ selanjutnya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L_{ABCD} & = \dfrac{(AB+CD) \times BC}{2} \\ & = \dfrac{(1+2) \times \sqrt3}{2} = \dfrac32\sqrt3 \end{aligned}$
Jadi, luas trapesium itu adalah $\boxed{\dfrac32\sqrt3}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Misalkan $x, y$ bilangan asli sehingga $2x+3y=2020$. Nilai terbesar yang mungkin dari $3x+2y$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Perhatikan ekspresi $3x+2y$. Supaya bernilai sebesar mungkin, maka nilai $x$ harus dibuat maksimum karena koefisiennya lebih besar dari variabel $y$.
Tinjau persamaan $2x+3y=2020$.
Jika dipilih $x = 1010$, berakibat $y = 0$, padahal $y$ harus bilangan asli.
Nilai $x = 1009$ dan $x = 1008$ mengakibatkan nilai $y$ juga bukan bilangan asli.
Jika dipilih $x = 1007$, diperoleh $y = 2$. Artinya, nilai $x$ terbesar adalah $1007$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} 3x+2y & =3(1007)+2(2) \\ & = 3021+4 = 3025 \end{aligned}$
Jadi, nilai terbesar yang mungkin dari $\boxed{3x+2y=3025}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Suatu barisan bilangan real $a_1, a_2, a_3, \cdots$ memenuhi $a_1 = 1$, $a_2=\dfrac35$, dan $\dfrac{1}{a_n} = \dfrac{2}{a_{n-1}}-\dfrac{1}{a_{n-2}}$ untuk setiap $n \geq 3$. Bilangan $a_{2020}$ dapat ditulis sebagai $\dfrac{p}{q}$ dengan $p$ dan $q$ bilangan asli relatif prima. Nilai $p+q$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Diketahui $a_1 = 1$ dan $a_2 = \dfrac35$.
Untuk $n \geq 3$, berlaku $\dfrac{1}{a_n} = \dfrac{2}{a_{n-1}}-\dfrac{1}{a_{n-2}}$.
Cara pertama: Relasi rekurensi
Misalkan $\dfrac{1}{a_n} = b_n$, sehingga persamaan di atas ditulis $b_n = 2b_{n-1}-b_{n-2}$. Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi tersebut adalah
$\begin{aligned} r^2 & = 2r-1 \\ r^2-2r+1 & = 0 \\ (r-1)^2 &= 0 \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $r = 1$ (kembar).
Karena memiliki akar kembar, maka solusi umum relasi rekurensi tersebut adalah $b_n = C_1r^2 + C_2nr^2$.
Perhatikan bahwa $a_1 = 1$, sehingga $b_1 = 1$. Substitusi $n = 1$ dan kita peroleh
$\begin{aligned} b_1 & = C_1(1)^2 + C_2(1)(1)^2 \\ 1 & = C_1 + C_2 && (\cdots 1) \end{aligned}$
Perhatikan juga bahwa $a_2 = \dfrac35$, sehingga $b_2 = \dfrac53$. Substitusi $n = 2$ dan kita peroleh
$\begin{aligned} b_2 & = C_1(1)^2 + C_2(2)(1)^2 \\ \dfrac53 & = C_1 + 2C_2 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Dari kedua persamaan yang didapat, kita mendapat $C_1 = \dfrac13$ dan $C_2 = \dfrac23$, sehingga $b_n = \dfrac13 + \dfrac23n = \dfrac{1+2n}{3}$, artinya $a_n = \dfrac{3}{1+2n}$.
Substitusi $n = 2020$ dan akhirnya didapat $a_{2020} = \dfrac{3}{1+2(2020)} = \dfrac{1}{1347}$.
Oleh karena itu, nilai $p = 1$ dan $q = 1347$, berarti $\boxed{p+q=1348}$ 
Cara kedua: Pola
Substitusi $n = 3$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a_3} & = \dfrac{2}{a_2}-\dfrac{1}{a_1} \\ \dfrac{1}{a_3} & = \dfrac{2}{\frac35}-\dfrac11 \\ \dfrac{1}{a_3} & = \dfrac{10}{3}-1 \\ a_3 & = \dfrac37 \end{aligned}$
Substitusi $n = 4$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a_4} & = \dfrac{2}{a_3}-\dfrac{1}{a_2} \\ \dfrac{1}{a_4} & = \dfrac{2}{\frac37}-\dfrac{1}{\frac35} \\ \dfrac{1}{a_4} & = \dfrac{14}{3}-\dfrac53 \\ a_4 & = \dfrac39 \end{aligned}$
Substitusi $n = 5$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a_5} & = \dfrac{2}{a_4}-\dfrac{1}{a_3} \\ \dfrac{1}{a_5} & = \dfrac{2}{\frac39}-\dfrac{1}{\frac37} \\ \dfrac{1}{a_5} & = 6-\dfrac73 \\ a_5 & = \dfrac{3}{11} \end{aligned}$
Dari $3$ nilai yang telah didapat, tampak suatu pola barisan: $\dfrac37, \dfrac39, \dfrac{3}{11}$, yaitu pembilang tetap $3$, namun penyebut bertambah $2$ membentuk barisan aritmetika.
Rumus suku ke-$n$ dari barisan semula adalah $a_n = \dfrac{3}{2n+1}$ dengan $n \geq 3$. Pernyataan ini dapat dibuktikan menggunakan induksi matematika.
Dengan demikian,
$a_{2020} = \dfrac{3}{2(2020)+1} = \dfrac{1}{1347}$
Oleh karena itu, nilai $p = 1$ dan $q = 1347$, berarti $\boxed{p+q=1348}$

[collapse]

Klaim

Diketahui $\dfrac{1}{a_{k+1}} = \dfrac{2}{a_k}-\dfrac{1}{a_k-1}$ untuk $k \geq 3$.
Akan dibuktikan untuk setiap bilangan asli $n$, berlaku $a_n = \dfrac{3}{2n+1}$ menggunakan induksi.
Basis induksi:
Untuk $n = 1$,
$a_1 = \dfrac{3}{2(1)+1} = \dfrac{3}{3} = 1$
yang berarti benar.
Langkah induksi:
Asumsikan benar untuk $n = 1, 2, 3, \cdots, k$. Untuk $n = k+1$, maka
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a_{k+1}} & = \dfrac{2}{a_k}-\dfrac{1}{a_{k-1}} \\ \dfrac{2}{\frac{3}{2k+1}}-\dfrac{1}{\frac{3}{2(k-1)+1}} \\ & = \dfrac{2(2k+1)}{3}-\dfrac{2(k-1)+1}{3} \\ & = \dfrac{4k+2}{3}-\dfrac{2k-1}{3} \\ & = \dfrac{2k+3}{3} \\ & = \dfrac{2(k+1)+1}{3} \\ a_k & = \dfrac{3}{2(k+1)+1} \end{aligned}$
Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan di atas terbukti.

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui $S$ adalah himpunan semua titik $(x, y)$ pada bidang Kartesius, dengan $x,y$ bilangan bulat, $0 \leq x \leq 20$ dan $0 \leq y \leq 19$. Banyaknya cara memilih dua titik berbeda di $S$ sehingga titik tengahnya juga ada di $S$ adalah $\cdots \cdot$
Catatan: Dua titik $P(a,b)$ dan $Q(c, d)$ berbeda jika $a \neq c$ dan $b \neq d$. Pasangan titik $(P, Q)$ dan $(Q, P)$ dianggap sama.

Pembahasan

Misalkan diberikan $P(a, b)$ dan $Q(c, d)$. Titik tengah dari $PQ$ dinyatakan oleh $M\left(\dfrac{a+c}{2}, \dfrac{b+d}{2}\right)$ dengan $0 \leq a, c \leq 20$ dan $0 \leq b, d \leq 19$. Dari sini diketahui bahwa $a$ dan $c$ harus memiliki paritas yang sama (sama-sama ganjil atau sama-sama genap), begitu juga dengan $b$ dan $d$. Banyak kemungkinan nilai untuk $a, c$ masing-masing adalah $21$, sedangkan untuk $b, d$ sebanyak $20$.

  1. Jika $a, c$ keduanya ganjil, maka ada $10$ kemungkinan untuk $a$ dan $c$, sehingga banyak pasangan berbeda $(a, c)$ adalah $10 \cdot 10 = 100$. Jika $a, c$ keduanya genap, maka ada $11$ kemungkinan $a$ dan $c$, sehingga banyak pasangan berbeda $(a, c)$ adalah $11 \cdot 11 = 121$. Total pasangan sebanyak $100+121=221$.
  2. Jika $b, d$ keduanya ganjil, maka ada $10$ kemungkinan untuk $b$ dan $d$, sehingga banyak pasangan berbeda $(b, d)$ adalah $10 \cdot 10 = 100$. Jika $b, d$ keduanya genap, maka juga ada $10$ kemungkinan $b$ dan $d$, sehingga banyak pasangan berbeda $(b, d)$ adalah $10 \cdot 10 = 100$. Total pasangan sebanyak $100+100=200$.

Banyak titik $M\left(\dfrac{a+c}{2}, \dfrac{b+d}{2}\right)$ adalah $221 \cdot 200 = 44.200$. Karena titik $(P, Q)$ dan $(Q, P)$ dianggap sama, maka banyak pasangan $(P, Q)$ ada $\dfrac{44.200}{2!} = 22.100$, tetapi terdapat titik $P(a, b)$ dan $Q(c, d)$ sehingga $P = Q$ (ketika $a = c$ dan $b = d$). Banyak pasangan $(P, Q)$ ketika $P = Q$ adalah $21 \cdot 20 = 420$. Dengan demikian, diperoleh banyak cara memilih dua titik sehingga titik tengahnya juga di $S$ adalah $\boxed{22.100-420 = 21.680}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui segitiga $ABC$ dengan panjang sisi $BC = 3$, $CA = 4$, dan $AB = 5$. Titik $P$ terletak pada $AB$ dan $Q$ terletak di $AC$ sehingga $AP = AQ$ dan garis $PQ$ membagi segitiga $ABC$ menjadi dua daerah dengan luas yang sama. Panjang segmen $PQ$ adalah $\cdots \cdot$

Soal Nomor 8
Himpunan penyelesaian dari persamaan $|x+1| + \left|\dfrac{19}{x-1}\right| = \dfrac{20-x^2}{1-x}$ adalah interval $[a, b)$. Nilai dari $b-a$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Diketahui $|x+1| + \left|\dfrac{19}{x-1}\right| = \dfrac{20-x^2}{1-x}$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} |x+1| & = \begin{cases} x+1, &\text{jika}~x \geq -1 \\ -x-1, &\text{jika}~x < -1 \end{cases} \\ |x-1| & = \begin{cases} x-1, &\text{jika}~x \geq 1 \\ -x+1, &\text{jika}~x < 1 \end{cases} \end{aligned}$
Kasus 1: $x < -1$
Setelah dibatasi nilai $x$ dalam interval $x < -1$, kita peroleh
$\begin{aligned} (-x-1) + \dfrac{19}{-x+1} & = \dfrac{20-x^2}{1-x} \\ \text{Kalikan kedua ruas}&~\text{dengan}~(1-x) \\ (-x-1)(1-x) + 19 & = 20-x^2 \\ x^2-1 + 19 & = 20-x^2 \\ 2x^2 & = 2 \\ x & = \pm 1 \end{aligned}$
Karena $x = \pm 1$ tidak masuk interval $x < -1$, maka untuk kasus ini, tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
Kasus 2: $-1 \leq < x < 1$
Setelah dibatasi nilai $x$ dalam interval $-1 \leq x < 1$, kita peroleh
$\begin{aligned} (x+1) + \dfrac{19}{-x+1} & = \dfrac{20-x^2}{1-x} \\ \text{Kalikan kedua ruas}&~\text{dengan}~(1-x) \\ (x+1)(1-x) + 19 & = 20-x^2 \\ -x^2+1 + 19 & = 20-x^2 \\ 20 & = 20 \end{aligned}$
Pernyataan terakhir bernilai benar, artinya persamaan tersebut terpenuhi untuk semua $x \in \mathbb{R}$. Nilai $x$ yang memenuhi untuk kasus ini adalah $-1 \leq x < 1$ (syarat intervalnya).
Kasus 3: $x \geq 1$
Setelah dibatasi nilai $x$ dalam interval $x \geq 1$, kita peroleh
$\begin{aligned} (x+1) + \dfrac{19}{x-1} & = \dfrac{20-x^2}{1-x} \\ \text{Kalikan kedua ruas}&~\text{dengan}~(x-1) \\ (x+1)(x-1) + 19 & = -20+x^2 \\ x^2-1 + 19 & = -20+x^2 \\ 18 & = -20 \end{aligned}$
Pernyataan terakhir bernilai salah, artinya persamaan tersebut tidak terpenuhi untuk semua $x \in \mathbb{R}$. Kita simpulkan bahwa tidak ada nilai $x$ yang memenuhi untuk kasus ini.
Dari ketiga kasus, kita peroleh bahwa himpunan penyelesaiannya adalah nilai-nilai $x$ dalam interval $-1 \leq x < 1$ atau dalam notasi selang ditulis $[-1, 1)$, berarti $a = -1$ dan $b = 1$, sehingga $\boxed{b-a=1-(-1)=2}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Misalkan $n \geq 2$ bilangan asli sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli $a, b$ dengan $a+b=n$ berlaku $a^2+b^2$ merupakan bilangan prima. Hasil penjumlahan semua bilangan asli $n$ semacam itu adalah $\cdots \cdot$

Soal Nomor 10
Suatu komite yang terdiri dari beberapa anggota hendak menghadiri $40$ rapat. Diketahui bahwa setiap rapat dihadiri tepat $10$ anggota komite dan setiap dua anggota menghadiri rapat bersama paling banyak satu kali. Banyaknya anggota komite terkecil yang mungkin adalah $\cdots \cdot$

Kemampuan Lanjut
Pada bagian ini setiap jawaban yang benar bernilai $4$ poin, jawaban kosong bernilai nol, dan jawaban salah bernilai $-1$ (negatif satu) poin.

Soal Nomor 1
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\angle ACB = 48^{\circ}$. Garis bagi $\angle BAC$ memotong sisi $BC$ dan lingkaran luar $ABC$ berturut-turut di titik $D$ dan $E$. Jika $AC = AB + DE$, maka besar $\angle ABC = \cdots \cdot$

Soal Nomor 2
Misalkan $p$ suatu bilangan prima sehingga terdapat pasangan bilangan asli $(m, n)$ dengan $n>1$ yang memenuhi $mn^2+mnp+m+n+p=mn$ $+mp+np+n^2+2020$. Semua nilai $p$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$

Soal Nomor 3
Misalkan $P(x)$ suatu polinom sehingga $P(x)+8x=P(x-2)+6x^2$. Jika $P(1)=1$, maka $P(2) = \cdots \cdot$

Soal Nomor 4
Banyaknya tripel bilangan bulat $(x, y, z)$ dengan $0 \leq x \leq y \leq z$ yang memenuhi persamaan $x+y+z=32$ adalah $\cdots \cdot$

Soal Nomor 5
Misalkan $ABC$ segitiga dan $P, Q, R$ titik pada sisi $BC, CA$, dan $AB$. Jika luas segitiga $ABC$ sama dengan $20$ kali luas segitiga $PQR$ dan $\dfrac{AQ}{AC} + \dfrac{BR}{BA} + \dfrac{CP}{CB} = 1$, maka $\left(\dfrac{AQ}{AC}\right)^2 + \left(\dfrac{BR}{BA}\right)^2 + \left(\dfrac{CP}{CB}\right)^2$ $= \cdots \cdot$

Soal Nomor 6
Kuartet bilangan asli $(a,b,c,d)$ dikatakan keren jika memenuhi $b = a^2+1$, $c=b^2+1$, dan $d=c^2+1$, serta $\tau(a) + \tau(b) + \tau(c) + \tau(d)$ bilangan ganjil. Banyaknya kuartet keren $(a,b,c,d)$ dengan $a,b,c,d < 10^6$ adalah $\cdots \cdot$
Catatan: Untuk bilangan asli $k$, $\tau(k)$ menyatakan banyak faktor positif dari $k$.

Soal Nomor 7
Misalkan $a,b,c$ bilangan real tak negatif dengan $a+2b+3c=1$. Nilai maksimum dari $ab+2ac = \cdots \cdot$

Soal Nomor 8
Bilangan asli terkecil $n$ sehingga $n+3$ dan $2020n+1$ bilangan kuadrat sempurna adalah $\cdots \cdot$

Soal Nomor 9
Lima tim bertanding satu sama lain di mana setiap dua tim bertanding tepat sekali. Dalam setiap pertandingan, masing-masing tim memiliki peluang $1/2$ untuk menang dan tidak ada pertandingan yang berakhir seri. Peluang bahwa setiap tim menang minimal sekali dan kalah minimal sekali adalah $\cdots \cdot$

Soal Nomor 10
Misalkan $H$ adalah titik tinggi dari segitiga lancip $ABC$ dan $P$ adalah titik tengah $CH$. Jika $AP = 3$, $BP=2$, dan $CP=1$, maka panjang sisi $AB$ adalah $\cdots \cdot$
Catatan: Titik tinggi suatu segitiga adalah perpotongan ketiga garis tinggi dari segitiga tersebut.

Klik: Download Pembahasan KSN-K Matematika SMA/MA Tahun 2020 (PDF)

KategoriSOAL OLIMPIADETag, , ,

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *