Ketaksamaan QM-AM-GM-HM – Materi, Soal, dan Pembahasan

      Ketaksamaan QM-AM-GM-HM mungkin terdengar asing bagi kebanyakan orang karena teorema ini muncul dan dipakai hanya pada saat mengerjakan soal-soal setingkat olimpiade (untuk kalangan sekolah menengah), tetapi akan dipelajari secara mendalam oleh mahasiswa yang bereksplorasi dalam dunia matematika atau yang serumpun. Berikut disajikan definisi QM-AM-GM-HM.

Definisi: Rataan Kuadrat (Quadratic Mean – QM)

Jika diberikan bilangan real nonnegatif $x_1, x_2, \cdots, x_n$, maka nilai dari rataan kuadrat bilangan-bilangan itu dinyatakan oleh $\textbf{QM} = \sqrt{\dfrac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}}.$

Definisi: Rataan Aritmetik (Arithmetic Mean – AM)

Jika diberikan bilangan real nonnegatif $x_1, x_2, \cdots, x_n$, maka nilai dari rataan aritmetik bilangan-bilangan itu dinyatakan oleh $\textbf{AM} = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}.$
Catatan: Rataan aritmetik (kadang disebut sebagai rataan hitung) adalah nilai rata-rata yang telah kita kenal sejak sekolah dasar.

Definisi: Rataan Geometrik (Geometric Mean – GM)

Jika diberikan bilangan real nonnegatif $x_1, x_2, \cdots, x_n$, maka nilai dari rataan geometrik bilangan-bilangan itu dinyatakan oleh $\textbf{GM} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}.$
Catatan: Rataan geometrik sering kali disebut sebagai rataan ukur.

Definisi: Rataan Harmonik (Harmonic Mean – HM)

Jika diberikan bilangan real nonnegatif $x_1, x_2, \cdots, x_n,$ maka nilai dari rataan harmonik bilangan-bilangan itu dinyatakan oleh $\textbf{HM} = \dfrac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}.$

Ketaksamaan berikut selalu berlaku dan banyak digunakan untuk menyelesaikan persoalan maksimum-minimum.
$$\textbf{QM} \geq \textbf{AM} \geq \textbf{GM} \geq \textbf{HM}.$$Tips: untuk mempermudah mengingatnya, coba hafalkan mnemonik: Qu Adalah Guitar Hero.
Jika bilangan real nonnegatif yang kita punya adalah $x_1, x_2, \cdots, x_n,$ kesamaan QM-AM-GM-HM akan tercapai saat $x_1 = x_2 = \cdots = x_n.$

      Berikut disajikan beberapa soal dan pembahasan terkait penggunaan ketaksamaan tersebut. Sejumlah di antaranya merupakan soal OSN atau yang setingkat dengannya. Semoga bermanfaat.

Unduh soal dengan mengklik tautan berikut: Download (PDF).

Quote by Chadidjah Hakim

Manusia membutuhkan ilmu lebih daripada makan dan minum. Kita hanya makan 13 kali sehari, sedangkan kebutuhan akan ilmu sebanyak tarikan napas.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Untuk $x \geq 0,$ nilai terkecil dari $\dfrac{4x^2+8x+13}{6+6x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $2$                   E. $5$
B. $1$                     D. $4$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{4x^2+8x+13}{6+6x} & = \dfrac{4(x^2+2x)+13}{6+6x} \\ & = \dfrac{4((x+1)^2-1)+13}{6+6x} \\ & = \dfrac{4(x+1)^2+9}{6+6x}. \end{aligned}$$Sekarang dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, memakai dua suku, yakni $\dfrac{4(x+1)^2}{6+6x}$ dan $\dfrac{9}{6+6x},$ diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{4(x+1)^2}{6+6x} + \dfrac{9}{6+6x} & \geq 2\sqrt{\dfrac{4(x+1)^2}{6+6x} \cdot \dfrac{9}{6+6x}} \\ \dfrac{4(x+1)^2+9}{6+6x} & \geq 2 \cdot \dfrac{2(x+1)(3)}{6+6x} \\ \dfrac{4(x+1)^2+9}{6+6x} & \geq 2 \cdot \dfrac{\cancel{6x+6}}{\cancel{6+6x}} \\ \dfrac{4(x+1)^2+9}{6+6x} & \geq 2. \end{aligned}$$Ketaksamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai minimum dari $\dfrac{4x^2+8x+13}{6+6x}$ adalah $\boxed{2}.$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2

Nilai minimum dari $x + \dfrac{1}{x^2}$ untuk $x > 0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3\sqrt[3]{\dfrac12}$                      D. $3\sqrt{\dfrac18}$
B. $3\sqrt[3]{\dfrac14}$                      E. $\sqrt[3]{\dfrac14}$
C. $3\sqrt{\dfrac12}$

Pembahasan

Misalkan $f(x) = x + \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{x^2}$.
Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, memakai $3$ suku, yaitu $\dfrac{x}{2}, \dfrac{x}{2},$ dan $\dfrac{1}{x^2},$ diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{x^2} & \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{1}{x^2}} \\ x + \dfrac{1}{x^2} & \geq 3\sqrt[3]{\dfrac14}. \end{aligned}$
Ketaksamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai minimum $x + \dfrac{1}{x^2}$ adalah $\boxed{3\sqrt[3]{\dfrac14}}.$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3

Untuk bilangan real positif $x$ dan $y$ dengan $xy=\dfrac13$, nilai minimum dari $\dfrac{1}{9x^6}+\dfrac{1}{4y^6}$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $5$                    C. $8$                   E. $11$
B. $6$                    D. $9$

Pembahasan

Diketahui $\color{blue}{xy = \dfrac13}.$
Misalkan $x_1 = \dfrac{1}{9x^6}$ dan $x_2 = \dfrac{1}{4y^6}$. Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM pada kedua datum tersebut, kita peroleh
$\begin{aligned} \textbf{AM} & \geq \textbf{GM} \\ \dfrac{1}{9x^6}+\dfrac{1}{4y^6} & \geq 2\sqrt{\dfrac{1}{9x^6} \cdot \dfrac{1}{4y^6}} \\ & = 2\sqrt{\dfrac{1}{36(xy)^6}} \\ & = 2 \cdot \dfrac{1}{6(\color{blue}{xy})^3} \\ & = \dfrac{1}{3(\frac13)^3} = \dfrac{1}{\frac19} = 9. \end{aligned}$
Jadi, nilai minimum dari $\dfrac{1}{9x^6}+\dfrac{1}{4y^6}$ sama dengan $\boxed{9}.$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4

Jika jumlah dua bilangan bulat positif adalah $24$, maka nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                     C. $\dfrac13$                  E. $\dfrac16$
B. $\dfrac12$                   D. $\dfrac14$

Pembahasan

Misalkan dua bilangan itu adalah $x$ dan $y$, berarti $x+y=24.$ Dalam hal ini, kita akan mencari nilai minimum dari $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}.$
Dengan menggunakan ketaksamaan AM-HM, yakni $\textbf{AM} \geq \textbf{HM}$, memakai suku $x$ dan $y$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{x+y}{2} & \geq \dfrac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \\ \dfrac{24}{2} & \geq \dfrac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \\ 12 & \geq \dfrac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} & \geq \dfrac{2}{12} = \dfrac16. \end{aligned}$
Ketaksamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai minimum (terkecil) dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan itu adalah $\boxed{\dfrac16}.$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 5

Bilangan rasional positif $a < b < c$ membentuk barisan aritmetika dan memenuhi $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=3$. Banyak bilangan positif $a$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                    C. $2$                    E. $4$
B. $1$                    D. $3$

Pembahasan

Diketahui $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=3.$
Misalkan $x_1 = \dfrac{a}{b}$, $x_2=\dfrac{b}{c},$ dan $x_3=\dfrac{c}{a},$ maka berdasarkan ketaksamaan AM-GM, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} & \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{a}} \\ & = 3\sqrt[3]{1} = 3(1) = 3. \end{aligned}$
Padahal diketahui bahwa $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=3,$ dan berdasarkan ketaksamaan AM-GM, kesamaan terjadi hanya ketika $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{a},$ berakibat $a = b = c = 1.$
Di lain sisi, diketahui bahwa $a < b < c$ sehingga tidak mungkin ada nilai $a$ yang memenuhi.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6

Jika $a \geq b > 1$, maka nilai terbesar yang mungkin untuk $^a \log \left(\dfrac{a}{b}\right) + ^b \log \left(\dfrac{b}{a}\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                    C. $2$                    E. $8$
B. $1$                    D. $4$

Pembahasan

Sederhanakan dulu ekspresi logaritma yang diberikan menggunakan sifat-sifat logaritma.
$$\begin{aligned} ^a \log \left(\dfrac{a}{b}\right) + ^b \log \left(\dfrac{b}{a}\right) & = (^a \log a-^a \log b)+(^b \log b-^b \log a) \\ & = (1-^a \log b)+(1-^b \log a) \\ & = 2-(^a \log b +^b \log a) \end{aligned}$$Supaya bernilai maksimum, maka nilai $^a \log b +^b \log a$ harus dibuat sekecil mungkin. Dengan kata lain, kita harus mencari nilai minimum dari ekspresi tersebut.
Gunakan ketaksamaan AM-GM.
$\begin{aligned} ^a \log b +^b \log a & \geq 2\sqrt{^a \log b \cdot ^b \log a} \\ & = 2\sqrt{1} = 2 \end{aligned}$
Kita peroleh nilai minimumnya $\color{blue}{2}$. Akibatnya, nilai maksimum dari $2-(\color{blue}{^a \log b +^b \log a})$ adalah $2-\color{blue}{2}=0.$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7

Nilai minimum dari $f(x) = \dfrac{9x^2 \sin^2 x + 4}{x \sin x}$ untuk $0 < x < \pi$ adalah $\cdots \cdot$
A. $8$                     C. $12$                   E. $14$
B. $10$                  D. $13$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{aligned} f(x) &= \dfrac{9x^2 \sin^2 x + 4}{x \sin x} \\ & = 9x \sin x + \dfrac{4}{x \sin x}.  \end{aligned}$

Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, diperoleh
$$\begin{aligned} \textbf{AM} & \geq \textbf{GM} \\ 9x \sin x + \dfrac{4}{x \sin x} & \geq 2\sqrt{(9~\cancel{x \sin x})\left(\dfrac{4}{\cancel{x \sin x}}\right)} \\ & = 2\sqrt{36} = 12. \end{aligned}$$Akibatnya, $f(x) \geq 12$.
Jadi, nilai minimum dari $f(x)$ adalah $\boxed{12}.$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8

Diberikan $f(x) = x^2+4$. Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan real positif yang memenuhi $f(xy)+f(y-x)$ $=f(y+x)$. Nilai minimum dari $x+y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                  C. $\sqrt2$                  E. $2\sqrt2$
B. $1$                  D. $2$

Pembahasan

Dari $f(x)=x^2+4$, diperoleh
$$\begin{aligned} f(xy) & = (xy)^2 + 4 \\ f(y-x) & = (y-x)^2 + 4 = y^2-2xy+x^2+4 \\ f(y+x) & = (y+x)^2+4=y^2+2xy+x^2+4. \end{aligned}$$Substitusikan masing-masing pada persamaan $f(xy)+f(y-x)$ $=f(y+x)$.
$$\begin{aligned} ((xy)^2+4)+(\cancel{y^2}-2xy+\bcancel{x^2+4}) & = \cancel{y^2}+2xy+\bcancel{x^2+4} \\ (xy)^2+4-2xy & = 2xy \\ (xy)^2-4xy+4 & = 0 \\ (xy-2)^2 & = 0 \\ xy & = 2 \end{aligned}$$Selanjutnya, kita akan mencari nilai minimum dari $x+y$ menggunakan ketaksamaan AM-GM serta fakta bahwa $\color{blue}{xy=2}$, yakni $x+y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{2}.$
Jadi, nilai minimum dari $x+y$ adalah $\boxed{2\sqrt2}.$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 9

Banyaknya bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan $x^4-2x^3+5x^2-176x$ $+2009=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $2$                   E. $2009$
B. $1$                     D. $3$

Pembahasan

Diketahui $x^4-2x^3+5x^2-176x+2009=0.$
Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM (melibatkan $5$ suku), kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{x^4-2x^3+5x^2-176x+2009}{5} & \geq \sqrt[5]{x^4(-2x^3)(5x^2)(-176x)(2009)} \\ \dfrac{0}{5} & \geq \sqrt[5]{x^{10} \cdot 1760 \cdot 2009} \\ 0 & \geq x^{10} \cdot 1760 \cdot 2009. \end{aligned}$$Ketaksamaan di atas bernilai benar ketika $x^{10}$ bernilai negatif atau nol. Karena $x$ bilangan real, $x^{10}$ tidak mungkin bernilai negatif, artinya satu-satunya kemungkinan adalah $x^{10}$ harus bernilai $0$ sehingga $x = 0$.
Jika $x = 0$ disubstitusikan pada polinomial $x^4-2x^3+5x^2-176x+2009$, hasilnya $0-0+0-0+2009 \neq 0$. Dengan demikian, tidak ada satu pun bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan $x^4-2x^3+5x^2-176x+2009=0$.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 10

Nilai minimum dari $$\dfrac{(a^3+b^3+1)(b^3+c^3+1)(c^3+a^3+1)}{a^2b^2c^2}$$ untuk bilangan real positif $a, b, c$ adalah $\cdots \cdot$
A. $18$                  C. $30$                  E. $36$
B. $27$                  D. $33$

Pembahasan

Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM pada $3$ suku: $a^3$, $b^3$, dan $1$, diperoleh
$\begin{aligned} a^3+b^3+1 & \geq 3\sqrt[3]{a^3(b^3)(1)} \\ a^3+b^3+1 & \geq 3ab. && (\cdots 1) \end{aligned}$
Dengan prinsip yang sama untuk $b^3$, $c^3$, dan $1$, serta $c^3$, $a^3$, dan $1$, kita dapatkan
$\begin{aligned} b^3+c^3+1 & \geq 3bc && (\cdots 2) \\ c^3+a^3+1 & \geq 3ac. && (\cdots 3) \end{aligned}$
Kalikan ketiga persamaan tersebut sesuai posisi ruasnya.
$$\begin{aligned} (a^3+b^3+1)(b^3+c^3+1)(c^3+a^3+1) & \geq (3ab)(3bc)(3ac) \\ (a^3+b^3+1)(b^3+c^3+1)(c^3+a^3+1) & \geq 27a^2b^2c^2 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}~&a^2b^2c^2 \\ \dfrac{(a^3+b^3+1)(b^3+c^3+1)(c^3+a^3+1)}{a^2b^2c^2} & \geq 27 \end{aligned}$$Dari ketaksamaan terakhir, kita peroleh bahwa nilai minimum dari $$\dfrac{(a^3+b^3+1)(b^3+c^3+1)(c^3+a^3+1)}{a^2b^2c^2}$$ adalah $\boxed{27}.$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11

Banyak pasangan bilangan real $(a, b)$ yang memenuhi persamaan $a^4+b^4=4ab-2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                   C. $2$                  E. $8$
B. $1$                   D. $4$

Pembahasan

Persamaan di atas ekuivalen dengan $a^4+b^4+2=4ab.$
Berdasarkan ketaksamaan AM-GM yang melibatkan suku $a^4$ dan $b^4$, kita peroleh
$\begin{aligned} a^4+b^4 & \geq 2\sqrt{(a^4)(b^4)} \\ a^4+b^4 & \geq 2(ab)^2 \\ a^4 + b^4 + 2 & \geq 2(ab)^2 + 2. \end{aligned}$
Karena $a^4+b^4+2 = 4ab$, kita peroleh 
$\begin{aligned} 2(ab)^2 + 2 & = 4ab \\ 2(ab)^2-4ab+2 & = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas}&~\text{dengan}~2 \\ (ab)^2-2ab+1 & = 0 \\ (ab-1)^2 & = 0 \\ ab & = 1. \end{aligned}$
Substitusikan $ab = 1$ pada persamaan mula-mula untuk mendapatkan
$a^4+b^4 = 4(1)-2 = 2.$
Di lain sisi, kesamaan dapat terjadi apabila $a^4=b^4$. Dengan demikian, kita peroleh $2b^4 = 2 \Rightarrow b = \pm 1$ dan $a = \pm 1$.
Perhatikan bahwa $ab = 1$ sehingga $a$ dan $b$ harus bertanda sama.
Jadi, pasangan bilangan real $(a, b)$ yang memenuhi persamaan tersebut ada $\boxed{2}$, yaitu $(1, 1)$ dan $(-1, -1).$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12

Jika $a$ dan $b$ bilangan real positif, maka nilai minimum dari $4\left(\dfrac{a^2}{b^2} + \dfrac{b}{a}\right)^3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3$                       C. $9$                    E. $27$
B. $6$                       D. $15$

Pembahasan

Karena $a$ dan $b$ bilangan real positif, $\dfrac{a}{b}$ juga positif. Misalkan $\dfrac{a}{b} = x,$ maka ekspresi $4\left(\dfrac{a^2}{b^2} + \dfrac{b}{a}\right)^3$ dapat ditulis menjadi $4\left(x^2 + \dfrac{1}{x}\right)^3.$
Dengan mengambil tiga suku: $\left(\dfrac{1}{2x^3}, \dfrac{1}{2x^3}, 1\right)$, kita gunakan ketaksamaan AM-GM.
$$\begin{aligned} \dfrac{\dfrac{1}{2x^3}+\dfrac{1}{2x^3}+1}{3} & \geq \sqrt[3]{\dfrac{1}{2x^3} \cdot \dfrac{1}{2x^3} \cdot 1} \\ \dfrac{1}{x^3} + 1 & \geq \dfrac{3}{x^2} \sqrt[3]{\dfrac{1}{4}} \\ \text{Kedua ruas}~&\text{dikalikan}~x^2 \\ x^2 + \dfrac{1}{x} & \geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{4}} \end{aligned}$$Jadi, nilai minimum dari $x^2 + \dfrac{1}{x}$ adalah $\color{blue}{\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}}.$
Dengan demikian, nilai minimum dari $4\left(\dfrac{a^2}{b^2} + \dfrac{b}{a}\right)^3$ dinyatakan oleh
$$\boxed{4\left(\dfrac{a^2}{b^2} + \dfrac{b}{a}\right)_{\text{min}}^3 = 4\left(\color{blue}{\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}}\right)^3 = 27}.$$(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 13

Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan real positif yang memenuhi $\left(a + \dfrac{4}{a}\right)\left(b + \dfrac{5}{b}\right) = \sqrt{320},$ maka nilai $ab$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{5}$                         D. $5$
B. $2\sqrt{5}$                       E. $10$
C. $4\sqrt{5}$

Pembahasan

Karena $a, b$ bilangan real positif, ketaksamaan AM-GM dapat kita terapkan.
Pertama, ambil suku $\left(a, \dfrac{4}{a}\right).$
$$\begin{aligned} \textbf{AM} & \geq \textbf{GM} \\ \dfrac{a + \frac{4}{a}}{2} & \geq \sqrt{a \cdot \dfrac{4}{a}} \\ a + \dfrac{4}{a} & \geq 2\sqrt{4} \\ a + \dfrac{4}{a} & \geq 4 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Kedua, ambil suku $\left(b, \dfrac{5}{a}\right).$
$$\begin{aligned} \textbf{AM} & \geq \textbf{GM} \\ \dfrac{b + \frac{5}{b}}{2} & \geq \sqrt{b \cdot \dfrac{5}{b}} \\ b + \dfrac{5}{b} & \geq 2\sqrt{5} && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dengan mengalikan kedua pertidaksamaan di atas sesuai ruasnya, kita peroleh
$$\begin{aligned} \left(a + \dfrac{4}{a}\right)\left(b + \dfrac{5}{b}\right) & \geq 4 \cdot 2\sqrt{5} \\ \left(a + \dfrac{4}{a}\right)\left(b + \dfrac{5}{b}\right) & \geq \sqrt{320}. \end{aligned}$$Kesamaan terjadi ketika suku yang diambil pada masing-masing kasus adalah sama.
$$\begin{aligned} a & =\dfrac{4}{a} \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 \\ b & =\dfrac{5}{b} \Rightarrow b^2 = 5 \Rightarrow b = \sqrt{5} \end{aligned}$$Dengan demikian, nilai $\boxed{ab = 2\sqrt{5}}.$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 14

Misalkan $a, b,$ dan $c$ adalah tiga bilangan real yang memenuhi $$(4^{2a} + 1)(4^{2b} + 2)(4^{2c} + 8) = 2^{2a + 2b + 2c + 5}.$$Nilai dari $\dfrac{a+b}{c}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac13$                       C. $\dfrac23$                       E. $\dfrac54$
B. $\dfrac12$                       D. $\dfrac34$

Pembahasan

Perhatikan bahwa ekspresi $4^{2a}, 4^{2b},$ dan $4^{2c}$ selalu nonnegatif sehingga kita dapat menggunakan ketaksamaan AM-GM. Untuk suku $4^{2a}$ dan $1,$ kita peroleh
$$4^{2a} + 1 \ge 2\sqrt{4^{2a}}.$$Dengan cara yang sama, kita juga peroleh
$$\begin{cases} 4^{2b} + 2 \ge 2\sqrt{4^{2a} \cdot 2} \\ 4^{2c} + 8 \ge 2\sqrt{4^{2a} \cdot 8} \end{cases}$$Kalikan tiga ketaksamaan tersebut sesuai ruasnya.
$$\begin{aligned} (4^{2a} + 1)(4^{2b} + 2)(4^{2c} + 8) & \geq (2\sqrt{4^{2a}})(2\sqrt{4^{2a} \cdot 2})(2\sqrt{4^{2a} \cdot 8}) \\ & = 8\sqrt{4^{2a+2b+2c+2}} \\ & = 2^{2a+2b+2c+5} \end{aligned}$$Perhatikan bahwa yang kita inginkan adalah kesamaan itu tercapai, yaitu $$(4^{2a} + 1)(4^{2b} + 2)(4^{2c} + 8) = 2^{2a + 2b + 2c + 5}.$$Kondisi tersebut terjadi saat setiap dua suku yang dipilih tadi bernilai sama. Dari sana, kita bisa tentukan masing-masing nilai $a, b,$ dan $c.$
$$\begin{aligned} 4^{2a} = 1 & \Rightarrow a = 0 \\ 4^{2b} = 2 & \Rightarrow b = 1/4 \\ 4^{2a} = 8 & \Rightarrow c = 3/4 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{a+b}{c} = \dfrac{0 + 1/4}{3/4} = \dfrac13}.$

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Buktikan bahwa untuk setiap $x, y > 0$, berlaku $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \geq 2$.

Pembahasan

Berdasarkan ketaksamaan AM-GM, diperoleh
$\begin{aligned} \textbf{AM} & \geq \textbf{GM} \\ \dfrac{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}}{2} & \geq \sqrt{\dfrac{\bcancel{x}}{\cancel{y}} \cdot \dfrac{\cancel{y}}{\bcancel{x}}} = \sqrt1 = 1 \\ \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} & \geq 2. \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa berlaku $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \geq 2$ untuk setiap $x, y > 0$.

[collapse]

Soal Nomor 2

Untuk bilangan positif $a,b,c,d$, buktikan bahwa selalu berlaku
$$(a+b+c+d)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right) \geq 16.$$

Pembahasan

Misalkan diberikan bilangan positif $a, b, c, d$. Berdasarkan ketaksamaan AM-HM, diperoleh
$$\begin{aligned} \textbf{AM} & \geq \textbf{HM} \\ \dfrac{a+b+c+d}{4} & \geq \dfrac{4}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}} \\ (a+b+c+d)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right) & \geq 4(4) = 16. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$(a+b+c+d)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right) \geq 16.$$

[collapse]

Soal Nomor 3

Untuk $p, q, r > 0$ dan $p+q+r = 1,$ buktikan bahwa $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r} \geq 9.$

Pembahasan

Diketahui $\color{red}{p+q+r = 1}$.
Kita akan menggunakan ketaksamaan AM-HM, yaitu $\textbf{AM} \geq \textbf{HM}$.
$\begin{aligned} \dfrac{\color{red}{p+q+r}}{3} & \geq \dfrac{3}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}} \\ \dfrac{\color{red}{1}}{3} & \geq \dfrac{3}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}} \\ \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r} & \geq 3(3) = 9 \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r} \geq 9.$

[collapse]

Soal Nomor 4

Untuk $a,b,c \geq 0$, buktikan bahwa $(a+b)(a+c)(b+c) \geq 8abc.$

Pembahasan

Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, berlaku $3$ pernyataan berikut.
$\begin{aligned} \dfrac{a+b}{2} & \geq \sqrt{ab} && (\cdots 1) \\ \dfrac{a+c}{2} & \geq \sqrt{ac} && (\cdots 2) \\ \dfrac{b+c}{2} & \geq \sqrt{bc} && (\cdots 3) \end{aligned}$
Kalikan masing-masing sesuai ruasnya dan kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{a+b}{2} \cdot \dfrac{a+c}{2} \cdot \dfrac{b+c}{2} & \geq \sqrt{ab} \cdot \sqrt{ac} \cdot \sqrt{bc} \\ \dfrac{(a+b)(a+c)(b+c)}{8} & \geq \sqrt{a^2b^2c^2} \\ (a+b)(a+c)(b+c) & \geq 8abc. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa untuk setiap $a,b,c \geq 0$, berlaku $(a+b)(a+c)(b+c) \geq 8abc.$

[collapse]

Soal Nomor 5

Buktikan bahwa untuk $x, y, z$ bilangan real positif, berlaku $x^2+y^2+z^2$ $\geq xy+xz+yz$. Kapan tanda kesamaan terjadi?

Pembahasan

Kita akan menggunakan ketaksamaan AM-GM, memakai suku $x^2, y^2$, dan $z^2$.
Untuk masing-masing dua variabel, kita peroleh
$\begin{aligned} x^2+y^2 & \geq 2\sqrt{x^2 \cdot y^2} = 2xy \\ x^2+z^2 & \geq 2\sqrt{x^2 \cdot z^2} = 2xz \\ y^2+z^2 & \geq 2\sqrt{y^2 \cdot z^2} = 2yz. \end{aligned}$
Jumlahkan ketiga ketaksamaan tersebut dan kita peroleh
$\begin{aligned} 2x^2+2y^2+2z^2 & \geq 2xy + 2xz + 2yz \\ \text{Bagi kedua ruas}&~\text{dengan}~2 \\ x^2+y^2+z^2 & \geq xy+xz+yz. \end{aligned}$
Pernyataan terbukti.
Tanda kesamaan terjadi saat $x^2 = y^2 = z^2$, yakni ketika $x = y = z = 1$.

[collapse]

Soal Nomor 6

Buktikan bahwa $999! < 500^{999}$. 

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$999! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 999$.
Berdasarkan ketaksamaan AM-GM, berlaku
$$\boxed{\sqrt[n]{a_1 \times a_2 \times a_3 \times \cdots \times a_{n-1} \times a_n} \leq \dfrac{\sum_{i=1}^n a_n}{n}}.$$Tanda kesamaan berlaku jika dan hanya jika $a_1=a_2=a_3=\cdots=a_{n-1}=a_n.$
Karena $a_1 \neq a_2 \neq a_3 \neq \cdots \neq a_{n-1} \neq a_n$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \sqrt[n]{a_1 \times a_2 \times a_3 \times \cdots \times a_{n-1} \times a_n} & < \dfrac{\sum_{i=1}^n a_n}{n} \\ \sqrt[999]{1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 999} & < \dfrac{\color{blue}{1+2+3+\cdots+999}}{999}. \end{aligned}$$Deret yang ditandai dengan warna biru di atas merupakan deret aritmetika. Jumlahnya dapat dicari dengan menggunakan rumus $\text{S}_n = \dfrac{n}{2}(a+\text{U}_n)$.
Kita akan peroleh ketaksamaan
$\begin{aligned} \sqrt[999]{999!} & < \dfrac{\dfrac{999}{2}(1+999)}{999} \\ \sqrt[999]{999!} & < \dfrac{\cancel{999} \cdot 500}{\cancel{999}} \\ \sqrt[999]{999!} & < 500 \\ 999! & < 500^{999}. \end{aligned}$
Terbukti bahwa $999! < 500^{999}$.

[collapse]

Soal Nomor 7

Untuk $a, b>0$, buktikan bahwa $\left(\dfrac{a+nb}{n+1}\right)^{n+1} \geq ab^n$ dengan $n$ bilangan bulat positif.

Pembahasan

Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, memakai suku $a, \underbrace{b, b, \cdots, b}_{n~\text{kali}}$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{a+\overbrace{b+b+\cdots+b}^{n~\text{kali}}}{n+1} & \geq (a \cdot \overbrace{b \cdot b \cdots b}^{n~\text{kali}})^{\frac{1}{n+1}} \\ \dfrac{a+nb}{n+1} & \geq (ab^n)^{\frac{1}{n+1}} \\ \left(\dfrac{a+nb}{n+1}\right)^{n+1} & \geq ab^n. \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa ketaksamaan tersebut benar.

[collapse]

Soal Nomor 8

Buktikan bahwa $\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^2+\left(\dfrac{b+1}{b}\right)^2 \geq 18$ untuk $a, b$ bilangan real positif serta $a+b=1.$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{a+1}{a}+\dfrac{b+1}{b} & = \dfrac{a+(a+b)}{a}+\dfrac{b+(a+b)}{b} \\ & = 4 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}. \end{aligned}$$Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, memakai dua suku, yaitu $\dfrac{a+1}{a}$ dan $\dfrac{b+1}{b}$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{a+1}{a} + \dfrac{b+1}{b} = 4 + \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} & \geq 4 + 2\sqrt{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{a}} \\ 4 + \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} & \geq 4+2 = 6. \end{aligned}$$Selanjutnya dengan menggunakan ketaksamaan QM-AM, memakai dua suku, yaitu $\dfrac{a+1}{a}$ dan $\dfrac{b+1}{b}$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \left(\dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^2+\left(\dfrac{b+1}{b}\right)^2}{2}\right)^{1/2} & \geq \dfrac{\dfrac{a+1}{a}+\dfrac{b+1}{b}}{2} \\ \left(\dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^2+\left(\dfrac{b+1}{b}\right)^2}{2}\right)^{1/2} & \geq \dfrac{6}{2} = 3 \\ \dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^2+\left(\dfrac{b+1}{b}\right)^2}{2} & \geq 9 \\ \left(\dfrac{a+1}{a}\right)^2+\left(\dfrac{b+1}{b}\right)^2 & \geq 18. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^2+\left(\dfrac{b+1}{b}\right)^2 \geq 18$.

[collapse]

Soal Nomor 9

Jika $a, b > 0$ dan $a+b=1$, buktikan bahwa $\left(\dfrac{a^2+1}{a}\right)^2+\left(\dfrac{b^2+1}{b}\right)^2 \geq \dfrac{25}{2}.$

Pembahasan

Diketahui $\color{blue}{a+b=1}$.
Misalkan $f(a, b)$ adalah fungsi dua variabel.
$\begin{aligned} f(a, b) & = \left(\dfrac{a^2+1}{a}\right)^2+\left(\dfrac{b^2+1}{b}\right)^2 \\ & = \left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^2 \\ & = a^2+2+\dfrac{1}{a^2} + b^2 + 2 + \dfrac{1}{b^2} \\ & = a^2+b^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+4 \end{aligned}$
Kita akan mencari nilai minimum $f(a, b)$, ekuivalen dengan mencari nilai minimum dari $g(a, b) = a^2+b^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}$.
Dengan menggunakan ketaksamaan QM-AM, memakai $2$ suku, yaitu $a$ dan $b$, diperoleh
$\begin{aligned} \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}} & \geq \dfrac{a+b}{2} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ \dfrac{a^2+b^2}{2} & \geq \left(\dfrac{\color{blue}{a+b}}{2}\right)^2 \\ \dfrac{a^2+b^2}{2} & \geq  \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac14 \\ \color{red}{a^2+b^2} & \color{red}{\geq \dfrac12}. \end{aligned}$
Jika kita menggunakan ketaksamaan GM-HM dengan suku $a^2$ dan $b^2$, diperoleh
$\sqrt{a^2b^2} = ab \geq \dfrac{2}{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}}.~~~~(\cdots 1)$
Jika kita menggunakan ketaksamaan AM-GM dengan suku $a$ dan $b$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\color{blue}{a+b}}{2} & \geq \sqrt{ab} \\ \dfrac12 & \geq \sqrt{ab} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ \dfrac14 & \geq ab. && (\cdots 2) \end{aligned}$
Dari ketaksamaan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac14 & \geq \dfrac{2}{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}} \\ \color{red}{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}} & \color{red}{\geq 2(4) = 8}. \end{aligned}$
Sekarang jumlahkan $2$ ketaksamaan yang ditandai dengan warna merah.
$a^2+b^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2} \geq 8+\dfrac12 = \dfrac{17}{2}$
Nilai minimum dari $g(a, b) = a^2+b^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}$ adalah $\dfrac{17}{2}$, berarti nilai minimum dari $g(a,b) = f(a,b)+4$ adalah $\dfrac{17}{2}+4$ $=\dfrac{25}{2}$.
Jadi, terbukti bahwa $\left(\dfrac{a^2+1}{a}\right)^2+\left(\dfrac{b^2+1}{b}\right)^2 \geq \dfrac{25}{2}.$

[collapse]

Soal Nomor 10

Buktikan bahwa untuk bilangan real positif $a, b$, dan $c$ dengan $a+b+c \leq 6$,  berlaku $\dfrac{a+2}{a(a+4)}+\dfrac{b+2}{b(b+4)}+\dfrac{c+2}{c(c+4)} \geq 1$.

Pembahasan

Tinjau bentuk
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a+4} & = \dfrac{(a+4)+a}{a(a+4)} \\ & = \dfrac{2a+4}{a(a+4)} \\ & = 2 \cdot \dfrac{a+2}{a(a+4)} \\ \Leftrightarrow \dfrac12\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a+4}\right) & = \dfrac{a+2}{a(a+4)}.   \end{aligned}$
Oleh karena itu,
$$\begin{aligned} & \dfrac{a+2}{a(a+4)}+\dfrac{b+2}{b(b+4)}+\dfrac{c+2}{c(c+4)} \\ & = \dfrac12\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a+4} + \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b+4} + \dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c+4}\right) \\ & = \dfrac12\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a+4}+\dfrac{1}{b+4}+\dfrac{1}{c+4}\right). \end{aligned}$$Berdasarkan ketaksamaan AM-HM menggunakan suku $a, b$, dan $c$, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{a+b+c}{3} & \geq \dfrac{3}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}} \\ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} & \geq \dfrac{9}{a+b+c}. \end{aligned}$
Berdasarkan ketaksamaan AM-HM menggunakan suku $a+4, b+4$, dan $c+4$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{a+4+b+4+c+4}{3} & \geq \dfrac{3}{\dfrac{1}{a+4}+\dfrac{1}{b+4}+\dfrac{1}{c+4}} \\ \dfrac{a+b+c+12}{3} & \geq \dfrac{3}{\dfrac{1}{a+4}+\dfrac{1}{b+4}+\dfrac{1}{c+4}} \\ \dfrac{1}{a+4}+\dfrac{1}{b+4}+\dfrac{1}{c+4} & \geq \dfrac{9}{a+b+c+12}. \end{aligned}$$Sekarang kita dapatkan
$$\begin{aligned} & \dfrac{a+2}{a(a+4)}+\dfrac{b+2}{b(b+4)}+\dfrac{c+2}{c(c+4)} \\ & = \dfrac12\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a+4}+\dfrac{1}{b+4}+\dfrac{1}{c+4}\right) \\ & \geq \dfrac12\left(\dfrac{9}{a+b+c}+\dfrac{9}{a+b+c+12}\right) \\ & \geq \dfrac12\left(\dfrac{9}{6}+\dfrac{9}{6+12}\right) \\ & = \dfrac12\left(\dfrac32 + \dfrac12\right) = 1. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\dfrac{a+2}{a(a+4)}+\dfrac{b+2}{b(b+4)}+\dfrac{c+2}{c(c+4)} \geq 1.$$

[collapse]

Soal Nomor 11

Buktikan bahwa untuk $x$ dan $y$ bilangan real positif, berlaku
$\dfrac{1}{(1+\sqrt{x})^2} + \dfrac{1}{(1+\sqrt{y})^2} \geq \dfrac{2}{x+y+2}.$

Pembahasan

Berdasarkan ketaksamaan AM-GM memakai suku $1$ dan $x$, diperoleh
$$\begin{aligned} 1+x & \geq 2\sqrt{(1)(x)} = 2\sqrt{x} \\ 1+x & \geq (1+\sqrt{x})^2-(1+x) \\ (1+x)+(1+x) & \geq (1+\sqrt{x})^2 \\ 2(1+x) & \geq (1+\sqrt{x})^2 \\ \dfrac{1}{(1+\sqrt{x})^2} & \geq \dfrac{1}{2(1+x)}. && (\cdots 1)\end{aligned}$$Dengan prinsip yang sama, tetapi untuk suku $y$ dan $1$, diperoleh
$\dfrac{1}{(1+\sqrt{y})^2} \geq \dfrac{1}{2(1+y)}.~~~~(\cdots 2)$
Jumlahkan kedua ketaksamaan di atas dan kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{(1+\sqrt{x})^2} + \dfrac{1}{(1+\sqrt{y})^2} & \geq \dfrac{1}{2(1+x)}+\dfrac{1}{2(1+y)} \\ & = \dfrac12\left(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}\right). && (\cdots 3) \end{aligned}$$Selanjutnya, gunakan ketaksamaan AM-HM memakai suku $\dfrac{1}{1+x}$ dan $\dfrac{1}{1+y}$.
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y} & \geq 2 \cdot \dfrac{2}{\dfrac{1}{\frac{1}{1+x}} + \dfrac{1}{\frac{1}{1+y}}} \\ \dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y} & \geq \dfrac{4}{1+x+1+y} \\ \dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y} & \geq \dfrac{4}{x+y+2} && (\cdots 4) \end{aligned}$$Kita peroleh hubungan ketaksamaan $(3)$ dan $(4)$, yaitu
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{(1+\sqrt{x})^2} + \dfrac{1}{(1+\sqrt{y})^2} & \geq \dfrac12\left(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}\right) \\ \Rightarrow \dfrac{1}{(1+\sqrt{x})^2} + \dfrac{1}{(1+\sqrt{y})^2} & \geq \dfrac12\left(\dfrac{4}{x+y+2}\right) = \dfrac{2}{x+y+2}. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\dfrac{1}{(1+\sqrt{x})^2} + \dfrac{1}{(1+\sqrt{y})^2} \geq \dfrac{2}{x+y+2}.$$

[collapse]

Soal Nomor 12

Diberikan bilangan real positif $a, b,$ dan $c.$ Buktikan bahwa
$$\dfrac{a}{a + \sqrt{(a+b)(a+c)}} + \dfrac{b}{b + \sqrt{(b+c)(b+a)}} + \dfrac{c}{c + \sqrt{(c+a)(c+b)}} \leq 1.$$

Pembahasan

Klaim bahwa $\sqrt{(a+b)(a+c)} \geq \sqrt{ab} + \sqrt{ac}.$
Pada nyatanya, kuadrat kedua ruas menghasilkan ketaksamaan
$$\begin{aligned} \left(\sqrt{(a+b)(a+c)}\right)^2 & \geq \left(\sqrt{ab} + \sqrt{ac}\right)^2 \\ (a+b)(a+c) & \geq ab+2a\sqrt{bc} + ac \\ a^2+\cancel{ac+ab}+bc & \geq \cancel{ab}+2a\sqrt{bc} + \cancel{ac} \\ a^2+bc & \geq 2a\sqrt{bc}. \end{aligned}$$Ketaksamaan terakhir merupakan ketaksamaan yang diperoleh dari hubungan AM-GM menggunakan suku $a^2$ dan $bc$. Jadi, klaim sebelumnya benar.
Karena $\sqrt{(a+b)(a+c)} \geq \sqrt{ab} + \sqrt{ac}$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{a}{a + \sqrt{(a+b)(a+c)}} & \leq \dfrac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}} \\ & = \dfrac{a}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} \\ & = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}. && (\cdots 1) \end{aligned}$$Dengan cara yang sama, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{b}{b + \sqrt{(b+c)(b+a)}} & \leq \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} && (\cdots 2) \\ \dfrac{c}{c + \sqrt{(c+a)(c+b)}} & \leq \dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}. && (\cdots 3) \end{aligned}$$Jumlahkan ketaksamaan $(1)$, $(2)$, dan $(3)$ sehingga kita dapatkan
$$\begin{aligned} & \dfrac{a}{a + \sqrt{(a+b)(a+c)}} + \dfrac{b}{b + \sqrt{(b+c)(b+a)}} + \dfrac{c}{c + \sqrt{(c+a)(c+b)}} \\ & \leq \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} + \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} + \dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} \\ & = \dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} = 1. \end{aligned}$$Jadi, ketaksamaan yang diberikan telah terbukti.

[collapse]

Soal Nomor 13

Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan positif yang memenuhi $a+b=ab$. Buktikan bahwa $\dfrac{a}{b^2+2017} + \dfrac{b}{a^2+2017} \geq \dfrac{4}{2021}.$

Pembahasan

Diketahui $a + b = ab$.
Kuadratkan kedua ruas, kita peroleh
$\begin{aligned} (a + b)^2 & = (ab)^2 \\ a^2+b^2+2ab & = (ab)^2. \end{aligned}$
Menurut ketaksamaan AM-GM, berlaku $a^2+b^2 \geq 2ab$ sehingga seterusnya kita peroleh
$\begin{aligned} a^2+b^2+\color{red}{+2ab} & \geq 2ab\color{red}{+2ab} \\ (ab)^2 & \geq 4ab \\ ab & \geq 4. \end{aligned}$
Untuk itu, kita dapatkan
$$\begin{aligned} \dfrac{a}{b^2+2017}+\dfrac{b}{a^2+2017} & = \dfrac{a^2}{ab^2+2017a} + \dfrac{b^2}{a^2b + 2017b} \\ & \geq \dfrac{(a+b)^2}{ab(a+b)+2017(a+b)} \\ & = \dfrac{(ab)^2}{ab^2+2017ab} \\ & = \dfrac{ab}{ab+2017} = 1-\dfrac{2017}{ab+2017} \\ & \geq 1-\dfrac{2017}{4+2017} = \dfrac{4}{2021}. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{a}{b^2+2017}+\dfrac{b}{a^2+2017} \geq \dfrac{4}{2021}$.

[collapse]

Soal Nomor 14

Buktikan bahwa $n! \leq \left(\dfrac{n+1}{2}\right)^n.$
Catatan: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n.$

Pembahasan

Dari ketaksamaan AM-GM bahwa $ab \leq \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$ untuk $a,b$ bilangan bulat positif, kita peroleh ketaksamaan berikut.
$$\begin{aligned} 1 \cdot n & \leq \left(\dfrac{1+n}{2}\right)^2 && (\text{jika}~a = 1, b = n) \\ 2 \cdot (n-1) & \leq \left(\dfrac{1+n}{2}\right)^2 && (\text{jika}~a = 2, b = n-1) \\ 3 \cdot (n-2) & \leq \left(\dfrac{1+n}{2}\right)^2 && (\text{jika}~a = 3, b = n-2) \\ \hspace{8pt} & \vdots && \hspace{5.5pt} \vdots \\ (n-1) \cdot 2 & \leq \left(\dfrac{1+n}{2}\right)^2 && (\text{jika}~a = n-1, b = 2) \\ n \cdot 1 & \leq \left(\dfrac{1+n}{2}\right)^2 && (\text{jika}~a = n, b = 1) \end{aligned}$$Jika semua bentuk di atas kita kalikan sesuai dengan ruasnya sehingga tanda ketaksamaan dipertahankan, diperoleh
$$\begin{aligned} (1 \cdot n)(2 \cdot (n-1))(3 \cdot (n-2)) \cdots ((n-1) \cdot 2)(n \cdot 1) & \leq \underbrace{\left(\dfrac{1+n}{2}\right)^2\left(\dfrac{1+n}{2}\right)^2\cdots\left(\dfrac{1+n}{2}\right)^2}_{\text{sebanyak}~n} \\ (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n)(n(n-1)(n-2)\cdots 1) & \leq \left(\dfrac{1+n}{2}\right)^{2n} \\ n! \cdot n! & \leq \left(\dfrac{1+n}{2}\right)^{2n} \\ (n!)^2 & \leq \left(\dfrac{1+n}{2}\right)^{2n} \\ n! & \leq \left(\dfrac{1+n}{2}\right)^n. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\bbox[skyblue, 3pt]{n! \leq \left(\dfrac{n+1}{2}\right)^n}.$

[collapse]

Soal Nomor 15

Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan real positif yang memenuhi $ab = 6,$ tentukan nilai minimum dari $2a^2 + 4b.$ Berapa nilai $a$ dan $b$ saat kondisi tersebut terjadi?

Pembahasan

Diketahui $a, b > 0$ dan $\color{red}{ab = 6}.$
Ambil dua suku $\left(2a^2, 2b, 2b\right).$ Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, diperoleh
$$\begin{aligned} \textbf{AM} & \geq \textbf{GM} \\ \dfrac{2a^2 + 2b + 2b}{3} & \geq \sqrt[3]{2a^2 \cdot 2b \cdot 2b} \\ 2a^2 + 4b & \geq 3 \sqrt[3]{8a^2b^2} \\ 2a^2 + 4b & \geq 6\sqrt[3]{(\color{red}{ab})^2} \\ 2a^2 + 4b & \geq 6\sqrt[3]{36}. \end{aligned}$$Pertidaksamaan terakhir menunjukkan nilai maksimum $2a^2 + 4b$ adalah $\boxed{6\sqrt[3]{36}}.$
Kesamaan terjadi ketika suku yang diambil sama, yakni $2a^2 = 2b$ atau disederhanakan menjadi $a^2 = b.$ Karena $ab = 6,$ maka substitusi menghasilkan
$$\begin{aligned} a(a^2) & = 6 \\ a^3 & = 6 \\ a & = \sqrt[3]{6} \\ \Rightarrow b & = \sqrt[3]{36}. \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ dan $b$ agar nilai minimum tersebut tercapai berturut-turut adalah $\boxed{\sqrt[3]{6}}$ dan $\boxed{\sqrt[3]{36}}.$

[collapse]

Soal Nomor 16

Jika $a, b$ adalah bilangan real positif dan $a+4b=12$, tentukan nilai maksimum dari $ab$ dan $ab^2.$

Pembahasan

Diketahui $a, b > 0$ dan $a + 4b = 12.$
Jawaban a)
Ambil dua suku $\left(a, 4b\right).$ Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, diperoleh
$$\begin{aligned} \textbf{AM} & \geq \textbf{GM} \\ \dfrac{a + 4b}{2} & \geq \sqrt{a \cdot 4b} \\ \dfrac{12}{2} & \geq \sqrt{4ab} \\ 6 & \geq \sqrt{4ab} \\ 36 & \geq 4ab \\ 9 & \geq ab. \end{aligned}$$Pertidaksamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai maksimum dari $ab$ adalah $\boxed{9}$ (tercapai ketika $a = 4b).$
Jawaban b)
Ambil tiga suku $\left(a, 2b, 2b\right).$ Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, diperoleh
$$\begin{aligned} \textbf{AM} & \geq \textbf{GM} \\ \dfrac{a + 2b + 2b}{3} & \geq \sqrt[3]{a \cdot 2b \cdot 2b} \\ \dfrac{12}{3} & \geq \sqrt[3]{4ab^2} \\ 4 & \geq \sqrt[3]{4ab^2} \\ 64 & \geq 4ab^2 \\ 16 & \geq ab^2. \end{aligned}$$Pertidaksamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai maksimum dari $ab^2$ adalah $\boxed{16}$ (tercapai ketika $a = 2b).$
Catatan:
Jika tiga suku yang diambil adalah $\left(a, b, 3b\right),$ maka dengan cara yang sama seperti di atas, kita akan peroleh
$$\begin{aligned} \textbf{AM} & \geq \textbf{GM} \\ \dfrac{a + b + 3b}{3} & \geq \sqrt{a \cdot b \cdot 3b} \\ \dfrac{12}{3} & \geq \sqrt[3]{3ab^2} \\ 4 & \geq \sqrt[3]{3ab^2} \\ 64 & \geq 3ab^2 \\ \dfrac{64}{3} & \geq ab^2. \end{aligned}$$Perhatikan bahwa kesamaan tercapai ketika suku yang diambil sama semua, yaitu $a = b = 3b,$ tetapi kondisi tersebut tidak mungkin terjadi untuk $a, b$ bilangan real positif. Jadi, tidak dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum dari $ab^2$ adalah $\dfrac{64}{3}.$

[collapse]

Soal Nomor 17

Jika $a, b, c$ merupakan bilangan real positif, buktikan bahwa $$a^3+b^3+c^3 \geq a^2b + b^2c + c^2a.$$

Pembahasan

Pertama, ambil dua suku $\left(a^3, a^3, b^3\right).$
Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, diperoleh
$$\begin{aligned} \textbf{AM} & \geq \textbf{GM} \\ \dfrac{a^3 + a^3 + b^3}{3} & \geq \sqrt[3]{a^3 \cdot a^3 \cdot b^3} \\ 2a^3 + b^3 & \geq 3\sqrt[3]{a^6b^3} \\ 2a^3 + b^3 & \geq 3a^2b. && (\cdots 1) \end{aligned}$$Kedua, ambil dua suku $\left(b^3, b^3, c^3\right).$
Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, diperoleh
$$\begin{aligned} \textbf{AM} & \geq \textbf{GM} \\ \dfrac{b^3 + b^3 + c^3}{3} & \geq \sqrt[3]{b^3 \cdot b^3 \cdot c^3} \\ 2b^3 + c^3 & \geq 3\sqrt[3]{b^6c^3} \\ 2b^3 + c^3 & \geq 3b^2c. && (\cdots 2) \end{aligned}$$Terakhir, ambil dua suku $\left(c^3, c^3, a^3\right).$
Dengan menggunakan Ketaksamaan AM-GM, diperoleh
$$\begin{aligned} \textbf{AM} & \geq \textbf{GM} \\ \dfrac{c^3 + c^3 + a^3}{3} & \geq \sqrt[3]{c^3 \cdot c^3 \cdot a^3} \\ 2c^3 +a^3 & \geq 3\sqrt[3]{c^6a^3} \\ 2c^3 + a^3 & \geq 3c^2a. && (\cdots 3) \end{aligned}$$Jumlahkan ketiga pertidaksamaan sesuai dengan ruasnya sehingga akan didapat
$$\begin{aligned} (2a^3 + b^3) + (2b^3 + c^3) + (2c^3 + a^3) & \geq 3a^2b + 3b^2c + 3c^2a \\ 3a^3 + 3b^3 + 3c^3 & \geq 3a^2b + 3b^2c + 3c^2a \\ a^3 + b^3 + c^3 & \geq a^2b + b^2c + c^2a. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa untuk bilangan real positif $a, b, c,$ berlaku $$a^3 + b^3 + c^3 \geq a^2b + b^2c + c^2a.$$

[collapse]

12 Replies to “Ketaksamaan QM-AM-GM-HM – Materi, Soal, dan Pembahasan”

  1. Pada pembahasan nomor 13, kenapa bisa dinyatakan bahwa a²/(ab²+2017a) + b²/(a²b+2017b) >= (a+b)²/(ab(a+b)+2017(a+b))?

  2. pada GM 2 unsur kok ada angka duanya di depan akar, juga 3 unsur ada angka 3 nya di depan akar juga padahal pada rumusnya tidak ada ???

    1. Itu sebenernya dari hubungan AM-GM yg dikalikan 2 pada kedua ruasnya:
      $\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$
      Hal ini juga berlaku untuk 3 unsur yg dikalikan 3 pada kedua ruasnya:
      $\dfrac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$

  3. Pada soal nmr 10 bagian tinjau
    Baris ke 3 :
    2a + 4 = 2( a+ 2)
    1/a + 1/(a+4)= 2(a+2)/(a(a+4))
    Kenapa bisa jadi :
    1/a + 1/(a+4)=
    (1/2)• (a+2)/(a(a+4))
    Sy kurang paham bagian ini pak🙏🙏🙏

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *