Soal dan Pembahasan – TIMO 2018 Heat Round Secondary 1 (Kelas 7)

Berikut ini merupakan soal (beserta pembahasannya dalam Bahasa Indonesia) Thailand International Mathematical Olympiad Tahun 2018 Secondary 1 (Kelas 7). Terdapat 25 soal dalam 5 bidang lomba: logical thinking, algebra, number theory, geometry, dan combinatorics.

Logical Thinking

Question Number 1
There are 5 pieces of white chopsticks, 7 pieces of yellow chopsticks and 9 pieces of blue chopsticks mixed together. If you want to get each 3 pairs of chopsticks with same colour in the dark, at least how many piece(s) of chopstick(s) is / are needed to be taken?
Ada 5 batang sumpit putih, 7 batang sumpit kuning, dan 9 batang sumpit biru dicampur bersama. Jika kamu ingin mendapatkan 3 pasang sumpit dengan warna yang sama dalam situasi yang gelap (tanpa penerangan), paling sedikit berapa batang sumpit yang perlu diambil?

Solution

Ambil masing-masing 5 batang sumpit putih, sumpit kuning, dan sumpit biru.
Ambil satu sumpit lagi secara acak sehingga dipastikan kita sudah memegang 3 pasang sumpit dengan warna yang sama.
Jadi, paling sedikit sumpit yang harus diambil sebanyak \boxed{5 + 5 + 5 +1 = 16} batang.

[collapse]

Question Number 2
Robert goes east for 21 km, then goes south for 28 km. How far is he now from the original position?
Robert pergi ke timur sejauh 21 km, kemudian pergi ke selatan sejauh 28 km. Berapa jauh dia sekarang dari posisi awalnya?

Solution

Perhatikan sketsa berikut.

Panjang AC dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
\begin{aligned} AC & = \sqrt{21^2+28^2} \\ & = \sqrt{441+784} \\ & = \sqrt{1225} = 35 \end{aligned}
Jadi, dia berada sejauh \boxed{35~\text{km}} dari posisi awalnya.

[collapse]

Question Number 3
Given that A:B=3:7,B:C=5:11,C:D=2:3 and A+B+C+D=970. What is the value of B?
Diketahui A:B=3:7,B:C=5:11,C:D=2:3 dan A+B+C+D=970. Berapakah nilai B?

Solution

Perhatikan bahwa,
\begin{aligned} A : B & = 3 : 7 = 30 : 70 \\ B : C & = 5 : 11 = 70 : 154 \\ C : D & = 2 : 3 = 154 : 231 \\ A : B : C : D & = 30 : 70 : 154 : 231 \end{aligned}
Karena A + B + C + D = 970, maka
\begin{aligned} B & = \dfrac{70}{30+70+154+231} \cdot 970 \\ & = \dfrac{70}{485} \cdot 970 = 70 \cdot 2 = 140 \end{aligned}
Jadi, nilai dari B adalah \boxed{970}.

[collapse]

Question Number 4
Find the average of the following 10 numbers:
2015, 2026, 2006, 2005, 2018, 1989, 2046, 2039, 2007, 2029
Carilah rata-rata dari 10 bilangan berikut:
2015, 2026, 2006, 2005, 2018, 1989, 2046, 2039, 2007, 2029

Solution

Untuk mempermudah perhitungan, tambahkan 11 pada 1989, kemudian kurangi 11 pada 2018, sehingga semua bilangan berada di rentang dua ribuan.
\begin{aligned} & \dfrac{2015 + 2026 + 2006 + 2005 + 2007}{10} \\ & \dfrac{+ 2000 + 2046 + 2039 + 2007 + 2029}{10} \\ & = \dfrac {(10 \times 2000) + (15+26+6+5+7+0+46+39+7)}{10} \\ & = \dfrac{20000 + 180}{10} = 2018 \end{aligned}
Jadi, rata-rata 10 bilangan tersebut adalah \boxed{2018}.

[collapse]

Question Number 5
There are some chickens and rabbits in a cage. The number of chickens is five times as the number of rabbits. The total legs of chickens is 78 more than that of rabbit’s. How many rabbit(s) is / are there?
Ada beberapa ayam dan kelinci dalam suatu kandang. Jumlah ayam lima kali lebih banyak dari jumlah kelinci. Jumlah total kaki ayam 78 lebih banyak daripada jumlah total kaki kelinci. Berapa kelinci yang ada di sana?

Solution

Misalkan C, R berturut-turut menyatakan banyak ayam dan kelinci, sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel berikut.
\begin{aligned} C & = 5R && (\cdots 1) \\ 2C & = 4R + 78 && (\cdots 2) \end{aligned}
(Angka 2 dan 4 didapat dari jumlah kaki ayam dan kelinci)
Pada persamaan 1, dapat ditulis 2C = 10R. Substitusikan ke persamaan 2.
\begin{aligned}  2C & = 4R + 78 \\ 10R & = 4R + 78 \\ 6R & = 78 \\ R & = \dfrac{78}{6} = 13 \end{aligned}
Jadi, ada \boxed{13} ekor kelinci di kandang. 

[collapse]

Algebra

Question Number 6
Find the value of x if (3x+4)+(4x-18)=0.
Carilah nilai x jika x if (3x+4)+(4x-18)=0.

Solution

\begin{aligned} (3x+4)+(4x-18)&=0 \\ 7x & = 14 \\ x & = 2 \end{aligned}
Jadi, nilai x adalah \boxed{2}.

[collapse]

Question Number 7
Given |x+2|+(y-3)^2=0. Find the value of (x+y)+(x+y)^2+(x+y)^3+\cdots+(x+y)^{2017}+(x+y)^{2018}
Diketahui |x+2|+(y-3)^2=0. Carilah nilai dari (x+y)+(x+y)^2+(x+y)^3+\cdots+(x+y)^{2017}+(x+y)^{2018}

Solution

Perhatikan bahwa
\begin{aligned} |x+2| + (y-3)^2 & = 0 \\ |x+2| & = -(y-3)^2 \end{aligned}
Perhatikan bahwa ruas kanan bernilai negatif, padahal nilai mutlak tidak mungkim bernilai negatif. Untuk itu, satu-satunya nilai y yang mungkin agar nilai x ada, yaitu y = 3 (karena substitusi menghasilkan 0) dan akibatnya x = -2, sehingga x + y = -2 + 3 = 1
Untuk itu, didapat
\begin{aligned} & (x+y) + (x+y)^2 + (x+y)^3 + \cdots \\ & + (x+y)^{2017} + (x+y)^{2018} \\ & = 1 + 1^2 + 1^3 + \cdots + 1^{2018} \\ & = \underbrace{1+1+1+\cdots+1}_{\text{ada}~2018} \\ & = 2018 \end{aligned}

[collapse]

Question Number 8
How many negative integral solution(s) is / are there for x if 7x+24>-27?
Berapa banyak solusi bilangan bulat negatif untuk x if 7x+24>-27?

Solution

\begin{aligned} 7x + 24 & > -27 \\ 7x & > -51 \\ x & > -51 \div 7 = -7,\cdots \end{aligned}
Nilai x yang memenuhi adalah \{-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7\}. Jadi, ada \boxed{7} solusi bulat negatif untuk x.

[collapse]

Question Number 9
Given a and b are positive real numbers and satisfy equations a^2-b^2-96 and a+b=12. Find the value of a-b.
Diketahui a and b adalah bilangan real positif dan memenuhi persamaan a^2-b^2-96 dan a+b=12. Carilah nilai dari a-b.

Solution

\begin{aligned} a^2-b^2 & = 96 \\ (a+b) (a-b) & = 96 \\ 12(a-b) & = 96 \\ a-b & = \dfrac{96}{12} = 8 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{a-b=8}.

[collapse]

Question Number 10
Factorise x^2-8x+12.
Faktorkan x^2-8x+12.

Solution

Dua bilangan yang bila dikalikan, hasilnya 12 dan bila dijumlahkan, hasilnya -8 adalah -6 dan -2. Jadi,
x^2-8x+12 = (x-6)(x-2)
Catatan: Bentuk (x-6)(x-2) sama dengan (x-2)(x-6) karena perkalian bersifat komutatif.

[collapse]

Number Theory

Question Number 11
Find the sum of all positive factors of 1014.
Tentukan jumlah semua faktor positif dari 1014.

Solution

Perhatikan skema pohon faktor dari 1014 berikut.

Dengan mengombinasikan bilangan di bawah 1014 pada skema pohon faktor di atas, dapat ditentukan faktor-faktor 1014 yang termuat dalam tabel di bawah ini.

\begin{array} {|c|c|} \hline \rowcolor{yellow} \text{Kombinasi Bilangan} & \text{Faktor} \\ \hline 2 &2 \\ 3 & 3 \\ 13 & 13 \\ 169 & 169 \\ 507 & 507 \\ 1014 & 1014 \\ 2 \times 3 & 6 \\ 2 \times 13 & 26 \\ 3 \times 13 & 39 \\ 2 \times 169 & 338 \\ 2 \times 3 \times 13 & 78 \\ \hline \text{Jumlah} & 2196 \\ \hline \end{array}
Jadi, jumlah semua faktor positif dari 1014 adalah \boxed{2196}.

[collapse]

Question Number 12
Given x>0 and x+\dfrac{1}{5}=5. Find the value of x^2+\dfrac{1}{x^2}.
Diketahui x>0 dan x+\dfrac{1}{5}=5. Tentukan nilai dari x^2+\dfrac{1}{x^2}.

Solution

\begin{aligned} x + \dfrac{1}{x} & = 5 \\ \left(x + \dfrac{1}{x} \right)^2 & = 5^2 \\ x^2 + 1 + 1 + \dfrac{1}{x^2} & = 25 \\ x^2+\dfrac{1}{x^2} & = 25 - 2 = 23 \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{x^2+\dfrac{1}{x^2} = 23}

[collapse]

Question Number 13
Find the last digit of A if
A=1+4+9+16+25+\cdots+529+576+625

Tentukan angka terakhir dari A jika
A=1+4+9+16+25+\cdots +529+576+625

Solution

A merupakan hasil penjumlahan bilangan kuadrat hasil dari perpangkatan 2 untuk 1 sampai 25.
Perhatikan satuan penjumlahan bilangan kuadrat ini untuk 1 sampai 10.
1+4+9+6+5+9+4+1+0 \to 5
Begitu juga untuk 11 sampai 20 memiliki satuan 5.
Untuk 21 sampai 25:
1+4+9+6+5 \to 5
Jadi, diperoleh 5+5+5 \to 5.
Ini berarti, angka satuan dari A adalah \boxed{5}

[collapse]

Question Number 14
When a 4-digit number is divided by 4, 6 or 8, the remainder is 3. What is the smallest possible value of that 4-digit number?
Ketika suatu bilangan 4-angka dibagi 4, 6, atau 8, sisanya 3. Berapakah nilai terkecil yang mungkin dari bilangan 4-angka itu?

Solution

Diketahui: \text{KPK}(4,6,8) = 24
Kelipatan 24 yang merupakan bilangan 4-angka terkecil adalah 1008 (didapat dari 42 \times 24).
Bilangan yang dimaksud adalah \boxed{1008+3 = 1011}

[collapse]

Question Number 15
It is known that x is rational, x>0 and x=2 + \cfrac{3}{2 + \cfrac{3}{2 + \cdots}}.
Find the value of x.

Diketahui x bilangan rasional, x>0 dan x=2 + \cfrac{3}{2 + \cfrac{3}{2 + \cdots}}.
Tentukan nilai x.

Solution

Bentuk pecahan berantai di atas dapat ditulis menjadi
\begin{aligned} x & = 2 + \dfrac{3}{x} \\ \text{Kalikan}&~\text{Kedua ruas dengan x} \\ x^2 & = 2x + 3 \\ x^2-2x-3 & = 0 \\ (x-3)(x+1) & = 0 \end{aligned}
Diperoleh x = 3 atau x=-1.
Karena diberi syarat bahwa x > 0, maka nilai x adalah \boxed{3}

[collapse]

Geometry

Question Number 16
E and F are the mid-points of AB and BC respectively. The area of parellelogram ABCD is 240. Find the area of \triangle DEF.
E dan F berturut-turut adalah titik tengah AB dan BC. Luas jajargenjang ABCD adalah 240. Tentukan luas \triangle DEF.

Solution

Perhatikan gambar berikut.

Titik G dan H berturut-turut adalah titik tengah CD dan AD. Titik O adalah titik tengah jajar genjangnya.
Perhatikan segiempat ADGE. Luasnya adalah setengah kali luas jajar genjang ABCD, yaitu 120.
Luas \triangle ADE = \dfrac{1}{2} \times 120 = 60
Perhatikan segiempat CDHF. Luasnya juga setengah kali luas jajar genjang ABCD, yaitu 120.
Luas \triangle CDF = \dfrac{1}{2} \times 120 = 60
Perhatikan segiempat BFOE. Luasnya adalah seperempat kali luas jajar genjang ABCD, yaitu 60.
Luas \triangle BEF = \dfrac{1}{2} \times 60 = 30
Luas \triangle DEF dapat dihitung dengan cara mengurangi luas jajar genjang dengan luas \triangle ADE, \triangle CDF, dan \triangle BEF
\boxed{L_{\triangle DEF} = 240 - 60 - 60 - 30 = 90}  

[collapse]

Question Number 17
M(-5,-5) is the mid-point of A(-3,1) and B(x,y). Find the value of x+y.
M(-5,-5) adalah titik tengah dari A(-3,1) dan B(x,y). Carilah nilai dari x+y.

Solution

\begin{aligned} (-5,-5) & = \left(\dfrac{-3+x} {2}, \dffac{1+y} {2}\right) \\ (-10,-10) & = (-3+x, 1+y) \\ (x, y) & = (-7, -11) \end{aligned}
Jadi, nilai dari \boxed{x+y=-7+(-11)=-18}

[collapse]

Question Number 18
Little cubes with side length 1 cm are combined according to the pattern shown below. If there are 19 layers, find the surface area.
Kubus kecil dengan panjang rusuk 1 cm digabungkan berdasarkan pola yang ditunjukkan pada gambar di bawah. Jika ada 19 lapisan, tentukan luas permukaannya.

Solution

Banyak sisi yang tampak pada lapis teratas adalah 5.
Banyak sisi yang tampak pada lapis ke-2 adalah 11.
Banyak sisi yang tampak pada lapis ke-3 adalah 17.
Barisan aritmetika:
5, 11, 17, \cdots
dengan a = 5 dan b = 6.
Jumlah 19 suku pertamanya adalah
\begin{aligned} S_n & = \dfrac{n} {2}(2a + (n-1)b) \\ S_{19} & = \dfrac{19}{2}(2(5)+(19-1)(6))} \\ & = \dfrac{19}{2}(10+108) \\ & = 19 \times 59 =1121 \end{aligned}
Sisi bawah pada lapisan terbawah juga seharusnya diperhitungkan, yaitu sebanyak 19^2 = 361.
Jadi, luas permukaan seluruhnya adalah
\boxed{1~\text{cm}^2 \times (1121+361) = 1482~\text{cm}^2}

[collapse]

Question Number 19
The hypotenuse of a right-angled triangle is 20. Find the maximum area of the triangle.
Panjang hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah 20. Tentukan luas maksimum segitiga tersebut.

Solution

Luas segitiga siku-siku itu akan maksimum apabila panjang alas dan tingginya sama (membentuk segitiga siku-siku sama kaki).
Misalkan a = t = x. Berdasarkan Teorema Pythagoras, diperoleh
\begin{aligned} x^2 + x^2 & = 20^2 \\ 2x^2 & = 400 \\ x^2 & = 200 \end{aligned}.
Luas maksimum segitiga itu adalah
\begin{aligned} L & = \dfrac{1}{2}at = \dfrac{1}{2}x^2 \\ & = \dfrac{1}{2}(200) = 100 \end{aligned}

[collapse]

Question Number 20
If the radius of a circle is 77 and the circumference of a circle is the same as the area of a square, find the side length of the square. \left(\text{Take}~\pi = \dfrac{22}{7}\right)
Jika jari-jari suatu lingkaran adalah 77 dan keliling dari lingkaran sama dengan luas dari suatu persegi, carilah panjang sisi persegi itu. \left(\text{Ambil}~\pi = \dfrac{22}{7}\right)

Solution

Keliling lingkaran itu adalah
\begin{aligned} k & = 2\pi r \\ & = 2 \cdot \dfrac{22}{7} \cdot 77 \\ & = 2 \cdot 22 \cdot 11 = 22^2 \end{aligned}
Karena keliling lingkaran itu memiliki nilai yang sama dengan luas suatu persegi, maka ditulis
k = L = 22^2 \Rightarrow s = \sqrt{22^2} = 22
Jadi, panjang sisi perseginya adalah \boxed{22}.

[collapse]

Combinatorics

Question Number 21
There are 3 identical Chinese books and 4 identical Mathematical books on a bookshelf. How many different arrangement(s) is / are there?
Di rak buku terdapat 3 buku Mandarin yang sama dan 4 buku Matematika yang sama. Berapa banyak penyusunan berbeda yang dapat
dilakukan?

Solution

Soal ini merupakan kasus permutasi berulang karena penyusunannya melibatkan objek yang identik.
Banyak objek seluruhnya = 7.
Ada 4 objek identik pertama dan 3 objek identik kedua, sehingga diperoleh
\begin{aligned} P & = \dfrac{7!} {4! \times 3!} \\ & = \dfrac{7 \times \bcancel{6} \times 5 \times \cancel{4!}} {\cancel{4!} \times \bcancel{3!}} \\ & = 7 \times 5 = 35 \end{aligned}
Jadi, banyak cara penyusunannya ada \boxed{35}.

[collapse]

Question Number 22
How many 3-digit even number(s) with distinct digits is / are there?
Berapa banyak bilangan genap 3-angka yang angka penyusunnya berbeda-beda?

Solution

Banyaknya bilangan genap 3-digit yang mungkin (termasuk 0 di posisi ratusan) adalah 5 \times 9 \times 8 = 360.
Banyaknya bilangan genap 3-digit yang posisi ratusannya 0 adalah 4 \times 8 \times 1 = 32.
Jadi, banyak bilangan genap 3-digit yang angka penyusunnya berbeda-beda adalah \boxed{360-32=328}

[collapse]

Question Number 23
Choose three digits, without repetition, from 2, 3, 6, 8, 4, 9 to construct 3-digit numbers. Of these 3-digit numbers, how many of them are divisible by 9?
Pilih tiga angka, tanpa pengulangan, dari 2, 3, 6, 8, 4, 9 untuk membentuk bilangan 3-angka. Dari bilangan 3-angka itu, berapa banyak bilangan yang habis dibagi 9?

Solution

Suatu bilangan habis dibagi 9 bila jumlah digitnya juga habis dibagi 9.
Akan dicari 3 angka (a, b, c) yang memenuhi a + b + c = 9k untuk k bilangan asli (artinya jumlahnya merupakan kelipatan 9).
\begin{array} {|c|c|} \hline \rowcolor{yellow} (a, b, c) & \text{Banyak Cara} \\ \hline (2, 3, 4) & 3! = 6 \\ (4, 6, 8) & 3! = 6 \\ (3,6,9) & 3!=6 \\ \hline \text{Jumlah} & 18 \\ \hline \end{array}
Jadi, ada \boxed{18} bilangan yang habis dibagi 9.

[collapse]

Question Number 24
Numbers are drawn from the 2018 integers 1 to 2018. At least how many numbers are drawn at random to ensure that there are two numbers whose difference is 104?
Bilangan diambil dari 2018 bilangan bulat mulai dari 1 sampai 2018. Paling sedikit berapa banyak bilangan yang diambil secara acak untuk memastikan terdapat dua bilangan yang selisihnya 104?

Solution

Ambil bilangan dari 1 sampai 104 (ada 104).
Ambil bilangan dari 209 sampai 312 (ada 104).
Ambil bilangan dari 417 sampai 520 (ada 104).
Seterusnya, sampai
ambil bilangan dari
1.873 sampai 1976 (ada 104).
Terakhir, cukup ambil 1 bilangan lagi secara acak dan dipastikan terdapat dua bilangan yang selisihnya 104.
Jadi, banyak bilangan yang perlu diambil setidaknya adalah 9 \times 104 + 1 = 937

[collapse]

Question Number 25
When do the hour hand and the minute hand form a straight line for the earliest case between 10pm and 11pm?
Kapan jarum pendek dan jarum panjang membentuk garis lurus lebih dahulu di antara jam 10 malam dan jam 11 malam?

Solution

Membentuk garis lurus berarti sudutnya 180 \degree.
Misalkan proses ini terjadi pada saat jam 10 lewat detik ke-x.
Setiap jarum panjang bergerak, jarum pendek juga bergerak dengan cukup pelan. Setiap detiknya, jarum pendek bergerak menuju angka 11 dengan pergerakan sudut sebesar \dfrac{30x}{3600} = \left(\dfrac{x} {120}\right) \degree (1 jam = 3.600 detik), sedangkan jarum pendek bergerak pada detik ke-x menambah sudut sebesar \left(\dfrac{x} {10}\right) \degree
Jadi, didapat
\begin{aligned} \dfrac{x} {10} + \dfrac{x} {120} + \color{blue}{30} & = 180 \\ \dfrac{13x} {120} & = 150 \\ x & = \dfrac{150 \times 120}{13} = \dfrac{18000}{13} \end{aligned}
Catatan: Angka 30 didapat dari besar sudut terkecil yang dibentuk oleh jarum yang menunjuk angka 11 dengan 12.
Jadi, pada detik ke-\dfrac{18000}{13} atau menit 23, 08, yakni 10.23:08, kedua jarum jam akan membentuk garis lurus.

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini