Materi, Soal, dan Pembahasan – Prinsip Inklusi-Eksklusi

Prinsip Inklusi-Eksklusi (Inclusion-Exclusion Principle) merupakan perluasan konsep dari diagram Venn yang melibatkan operasi irisan dan gabungan dalam himpunan. Konsep tersebut diperluas sampai-sampai diaplikasikan secara variatif pada kombinatorika.

Perhatikan ilustrasi masalah berikut.

Ilustrasi Masalah 

Terdapat sejumlah siswa di dalam suatu kelas. Sebanyak $23$ siswa menyukai Matematika, sedangkan $18$ siswa menyukai Fisika. Berapa siswa di dalam kelas tersebut yang menyukai Matematika atau Fisika?

Permasalahan di atas tidak dapat diselesaikan secara langsung karena kurangnya informasi yang diberikan. Banyak siswa yang menyukai Matematika atau Fisika dapat diketahui jika banyak siswa yang menyukai keduanya diketahui.

Misalkan $A$ dan $B$ adalah sembarang himpunan. Perhatikan hubungan kedua himpunan tersebut dalam diagram Venn berikut.
Notasi $|A|$ (atau $n(A)$) dan $|B|$ (atau $n(B)$) berturut-turut menyatakan banyaknya anggota (kardinalitas) himpunan $A$ dan $B.$ Penjumlahan $|A| + |B|$ menghitung banyaknya anggota $A$ yang tidak terdapat dalam $B$ dan banyaknya anggota $B$ yang tidak terdapat dalam $A$ tepat sekali, dan banyaknya anggota yang terdapat dalam $A \cap B$ sebanyak dua kali. Oleh karena itu, pengurangan banyaknya anggota yang terdapat dalam $A \cap B$ dari $|A| + |B|$ membuat banyaknya anggota $A \cap B$ dihitung tepat sekali. Dengan demikian,
$$\boxed{|A \cup B| = |A| + |B|-|A \cap B|}$$Generalisasi dari konsep tersebut bagi gabungan dari sejumlah himpunan disebut sebagai Prinsip Inklusi-Eksklusi (PIE).

Khusus untuk tiga himpunan, Prinsip Inklusi-Eksklusi menjamin berlakunya hubungan berikut.
$$\boxed{|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C|-|A \cap B|-|A \cap C|-|B \cap C|+|A \cap B \cap C|}$$Khusus untuk empat himpunan, Prinsip Inklusi-Eksklusi menjamin berlakunya hubungan berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} |A \cup B \cup C \cup D| = & |A| + |B| + |C| + |D|-|A \cap B|-|A \cap C|-|A \cap D|-|B \cap C|-|B \cap D| \\ &-|C \cap D|+|A \cap B \cap C|+|A \cap B \cap D|+|A \cap C \cap D|+ \\ &|B \cap C \cap D|-|A \cap B \cap C \cap D| \end{aligned}}$$Sudah tampak polanya, kan?

Secara umum, Prinsip Inklusi-Eksklusi untuk himpunan hingga $A_1, A_2, A_3, \cdots, A_n$ adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} |A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_n| = & \displaystyle \sum_{1 \le i \le n} |A_i|-\sum_{1 \le i < j \le n} |A_i \cap A_j| + \sum_{1 \le i < j < k \le n} |A_i \cap A_j \cap A_k|- \\& \cdots+(-1)^{n+1}|A_i \cap A_j \cap \cdots \cap A_n| \end{aligned}$$

Dengan cara yang sama, kita juga bisa merumuskan jumlah anggota hasil operasi beda setangkup (disimbolkan dengan notasi $\oplus$) dari dua himpunan $A$ dan $B$, yaitu banyaknya anggota $A \cup B$ yang tidak termasuk dalam $A \cap B.$
$$\boxed{|A \oplus B| = |A \cup B|-|A \cap B|}$$Perhatikan bahwa $A \oplus B$ dibaca $A$ beda setangkup $B.$
Karena menurut Prinsip Inklusi-Eksklusi berlaku $|A \cup B| = |A| + |B|-|A \cap B|,$ maka kita peroleh
$$\begin{aligned} |A \oplus B| & = \color{blue}{|A \cup B|}-|A \cap B| \\ & = (|A| + |B|-|A \cap B|)-|A \cap B| \\ & = |A| + |B|-2|A \cap B|. \end{aligned}$$

Berikut ini disediakan sejumlah soal dan pembahasan tentang penggunaan Prinsip Inklusi-Eksklusi dalam menyelesaikan masalah. Semoga dapat dijadikan sumber belajar.

Quote by Michel de Montaigne

Kita dapat menjadi berpengetahuan dengan pengetahuan orang lain, tetapi kita tidak dapat menjadi bijaksana dengan menggunakan kearifan orang lain.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Kelas X terdiri dari $31$ siswa. Sebanyak $15$ siswa mengikuti kompetisi matematika, $13$ siswa mengikuti kompetisi IPA, dan $7$ siswa tidak mengikuti kompetisi tersebut. Banyak siswa yang mengikuti kedua kompetisi tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $2$ siswa                        D. $5$ siswa
B. $3$ siswa                        E. $8$ siswa
C. $4$ siswa

Pembahasan

Misalkan $A$ menyatakan himpunan siswa yang mengikuti kompetisi matematika, sedangkan $B$ kompetisi IPA, serta $S$ himpunan semesta, maka dapat ditulis
$\begin{aligned} \text{n}(S) & = 31 \\ \text{n}(A) & = 15 \\ \text{n}(B) & = 13 \\ \text{n}(A \cup B)^c & = 7 \end{aligned}$
Berarti,
$\begin{aligned} \text{n}(A \cup B) &Y = \text{n}(S) -\text{n}(A \cup B)^c \\ & = 31-7 = 24. \end{aligned}$

Dengan demikian, 
$$\begin{aligned} \text{n}(A \cap B) & = \text{n}(A) + \text{n}(B) -\text{n}(A \cup B) \\ & = 15 + 13 -24 = 4. \end{aligned}$$Jadi, ada $\boxed{4}$ siswa yang mengikuti kedua kompetisi tersebut.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2
Data kegiatan sarapan pagi $38$ orang peserta didik adalah sebagai berikut. 
Ada $6$ orang yang sarapan dengan roti dan nasi goreng. Ada $5$ orang yang tidak sarapan pagi. Jika banyak peserta didik yang sarapan nasi goreng dua kali banyak peserta didik yang sarapan roti, maka banyak peserta didik yang sarapan nasi goreng saja adalah $\cdots \cdot$
A. $35$ orang                     D. $20$ orang
B. $30$ orang                     E. $18$ orang
C. $25$ orang             

Pembahasan

Misalkan $R$ dan $N$ berturut-turut menyatakan himpunan peserta didik yang sarapan dengan roti dan nasi goreng. Himpunan $S$ menyatakan himpunan seluruh peserta didik dalam kasus ini. Diketahui:
$$\begin{aligned} |N| & = 2|R| \\ |R \cap N| & = 6 \\ |(R \cap N)^C| & = 5 \\ |S| & = 38 \end{aligned}$$Menurut Prinsip Inklusi-Eksklusi, berlaku
$$\begin{aligned} |S|-|(R \cap N)^C| & = |R| + |N|-|R \cap N| \\ 38-5 & = |R|+2|R|-6 \\ 33 & = 3|R|-6 \\ 39 & = 3|R| \\ 13 & = |R|. \end{aligned}$$Banyak peserta didik yang sarapan dengan nasi goreng adalah $2|R| = 2(13) = 26$ orang. Oleh karena itu, banyak peserta didik yang sarapan dengan nasi goreng SAJA adalah $\boxed{|N|-|R \cap N| = 26-6 = 20}$ orang.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3
Dari sekelompok anak terdapat $20$ anak gemar voli, $28$ anak gemar basket, dan $27$ anak gemar pingpong, $13$ anak gemar voli dan basket, $11$ anak gemar basket dan pingpong, $9$ anak gemar voli dan pingpong, serta $5$ anak gemar ketiga-tiganya. Jika dalam kelompok tersebut ada $55$ anak, banyak anak yang tidak gemar satu pun dari ketiga jenis permainan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $8$ anak                      D. $18$ anak
B. $13$ anak                    E. $20$ anak
C. $15$ anak               

Pembahasan

Misalkan $V, B,$ dan $P$ berturut-turut menyatakan himpunan anak yang menggemari voli, basket, dan pingpong. Himpunan $S$ menyatakan himpunan seluruh anak di kelompok tersebut. Diketahui:
$$\begin{array} |V| = 20 & |B \cap P| = 11  \\ |B| =28 & |V \cap P| = 9 \\ |P| = 27 & |V \cap B \cap P| = 5  \\ |V \cap B| = 13 & |S| = 55 \\ \end{array}$$Misalkan $x$ menyatakan jumlah anak yang tidak gemar ketiga jenis permainan tersebut. 

Berdasarkan Prinsip Inklusi-Eksklusi, berlaku
$$\begin{aligned} |S|-x & = |V| + |B| + |P|-|V \cap B|-|V \cap P|-|B \cap P|+|V \cap B \cap P| \\ x & = |S|-(|V| + |B| + |P|)+(|V \cap B|+|V \cap P|+|B \cap P|)-|V \cap B \cap P| \\ x &= 55 -(20+28+27) + (13+11+9) -5 \\ & = 55 -75 + 33 -5 = 8. \end{aligned}$$Jadi, ada $\boxed{8~\text{anak}}$ yang tidak gemar ketiga jenis permainan tersebut.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Dari $50$ siswa, $30$ siswa menyukai aritmetika, $30$ siswa menyukai geometri, dan $30$ siswa menyukai aljabar. Banyaknya siswa yang menyukai aritmetika dan geometri adalah $15$ orang. Banyaknya siswa yang menyukai aritmetika dan aljabar juga $15$ orang, sama halnya dengan yang menyukai aljabar dan geometri. Berapa banyak siswa yang menyukai ketiga-ketiganya?
A. $2$ siswa                          D. $5$ siswa
B. $3$ siswa                          E. $8$ siswa
C. $4$ siswa

Pembahasan

Misalkan $A$ menyatakan himpunan siswa yang menyukai aritmetika, $G$ geometri, dan $J$ aljabar, serta $S$ sebagai himpunan semesta. Untuk itu, diketahui
$\begin{aligned} |S| & = 50 \\ |A| & = 30 \\ |G| & = 30 \\ |J| & = 30 \\ |A \cap G| & = 15 \\ |A \cap J| & = 15 \\ |G \cap J| & = 15 \end{aligned}$
Ditanya: $|A \cap G \cap J|$
Menurut Prinsip Inklusi-Eksklusi, berlaku
$$\begin{aligned} |S| & = |A| + |G| + |J|-|A \cap G|-|A \cap J|-|G \cap J|+|A \cap G \cap J| \\ 50 & = 30 + 30 + 30 -15 -15 -15 + |A \cap G \cap J| \\ 50 & = 45 + |A \cap G \cap J| \\ |A \cap G \cap J| & = 50-45 = 5 \end{aligned}$$Jadi, ada $\boxed{5}$ siswa yang menyukai aritmetika, geometri, dan aljabar sekaligus.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Dari satu kelas terdata $\dfrac{5}{2}$ dari jumlah siswa yang menyukai Matematika sekaligus Fisika akan mengikuti Olimpiade Fisika. Empat kali dari jumlah siswa yang menyukai keduanya akan mengikuti Olimpiade Matematika. Jika jumlah seluruh siswa ada $44$ orang dan siswa yang mengikuti olimpiade secara otomatis menyukai pelajaran yang dilombakan, maka banyak siswa yang hanya mengikuti Olimpiade Matematika (hanya menyukai Matematika) adalah $\cdots$ orang. 
A. $8$                         C. $24$                      E. $36$
B. $20$                      D. $32$

Pembahasan

Misalkan $M$ dan $F$ berturut-turut menyatakan himpunan siswa yang menyukai Matematika dan Fisika. Diketahui:
$\begin{aligned} |F| & = \dfrac{5}{2} |F \cap M| \\ |M| & = 4|F \cap M| \\ |F \cup M| & = 44. \end{aligned}$
Menurut Prinsip Inklusi-Eksklusi, kita peroleh
$$\begin{aligned} |F \cup M| & =  |F| + |M| -|F \cap M| \\ 44 & = \dfrac{5}{2}|F \cap M| + 4|F \cap M|-|F \cap M| \\ 44 & = \left(\dfrac52 + 4- 1\right) |F \cap M| \\ 44 & = \dfrac{11}{2} |F \cap M| \\ |F \cap M| & = 44 \times \dfrac{2}{11} = 8. \end{aligned}$$Banyak siswa yang hanya mengikuti olimpiade matematika adalah $\boxed{|M| -|F \cap M| = 4(8) -8 = 24}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Dipilih suatu bilangan $4$ digit. Berapakah peluang bilangan tersebut habis dibagi $5$ atau $7$?
A. $\dfrac{617}{1.800}$                       D. $\dfrac{943}{3.000}$
B. $\dfrac{617}{2.000}$                       E. $\dfrac{2.829}{3.000}$
C. $\dfrac{707}{2.250}$

Pembahasan

Notasi $\lfloor x \rfloor$ menyatakan fungsi lantai dari $x$, artinya bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari $x.$ Sebagai contoh, $\lfloor 2,83 \rfloor = 2$ dan $\lfloor 4,003 \rfloor = 4.$
Misalkan $A$ menyatakan himpunan bilangan 4 digit yang habis dibagi $5.$ Banyak anggota $A$ sama dengan banyak bilangan yang habis dibagi $5$ dari $1$ sampai $9.999$ dikurangi banyak bilangan yang habis dibagi $5$ dari $1$ sampai $999.$
$$\begin{aligned} |A| & = \left\lfloor \dfrac{9.999}{5} \right\rfloor- \left\lfloor \dfrac{999}{5} \right\rfloor \\ & = 1.999-199 \\ & = 1.800 \end{aligned}$$Misalkan $B$ menyatakan himpunan bilangan 4 digit yang habis dibagi $7.$ Banyak anggota $B$ sama dengan banyak bilangan yang habis dibagi $7$ dari $1$ sampai $9.999$ dikurangi banyak bilangan yang habis dibagi $7$ dari $1$ sampai $999.$
$$\begin{aligned} |B| & = \left\lfloor \dfrac{9.999}{7} \right\rfloor- \left\lfloor \dfrac{999}{7} \right\rfloor \\ & = 1.428-142 \\ & = 1.286 \end{aligned}$$Bilangan kelipatan $5$ dan $7$ (sekaligus) terhitung dua kali sehingga perlu dihitung banyaknya agar bisa dikurangi.
Misalkan $A \cap B$ menyatakan himpunan bilangan 4 digit yang habis dibagi $5$ dan $7$, yaitu bilangan kelipatan $\text{KPK}(5, 7) = 35$ sehingga
$$\begin{aligned} |A \cap B| & = \left\lfloor \dfrac{9.999}{35} \right\rfloor-\left\lfloor \dfrac{999}{35} \right\rfloor \\ & = 285-28 \\ & = 257 \end{aligned}$$Menurut Prinsip Inklusi-Eksklusi, banyaknya bilangan 4 digit yang habis dibagi oleh $5$ atau $7$ adalah
$$\begin{aligned} |A \cup B| & = |A| + |B|-|A \cap B| \\ & = 1.800+1.286-257 \\ & = 2.829 \end{aligned}$$Jadi, terdapat $\boxed{2.829}$ bilangan 4 digit yang memenuhi kondisi tersebut.


Karena banyak bilangan 4 digit semuanya (dari $1.000$ sampai $9.999$) ada $9.000,$ maka peluang yang dimaksud sebesar $\boxed{\dfrac{2.829}{9.000} = \dfrac{943}{3.000}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Dalam suatu kelas terdapat $23$ siswa yang menyukai Matematika, sedangkan $18$ siswa menyukai Fisika. Jika $8$ orang di antaranya menyukai keduanya, berapa banyak siswa di dalam kelas tersebut?

Pembahasan

Misalkan $A$ adalah himpunan siswa yang menyukai Matematika dan $B$ adalah himpunan siswa yang menyukai Fisika sehingga $A \cap B$ menyatakan himpunan siswa yang menyukai keduanya. Banyaknya siswa yang menyukai salah satu mata pelajaran tersebut atau keduanya dinyatakan oleh himpunan $A \cup B.$ Dengan demikian,
$$\begin{aligned} |A \cup B| & = |A| + |B|-|A \cap B| \\ & = 23+18-8 \\ & = 33. \end{aligned}$$Jadi, ada $33$ siswa di dalam kelas tersebut.

[collapse]

Soal Nomor 2
Informasi terkecil yang dapat disimpan di dalam memori komputer adalah byte. Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak byte yang dimulai dengan 11 atau berakhir dengan 11?

Pembahasan

Misalkan:
$$\begin{aligned} A & = \text{himpunan}~\textit{byte}~\text{yang dimulai dengan 11} \\ B & = \text{himpunan}~\textit{byte}~\text{yang diakhiri dengan 11} \\ A \cap B & = \text{himpunan}~\textit{byte}~\text{yang dimulai dan diakhiri dengan 11} \end{aligned}$$sehingga
$$A \cup B = \text{himpunan}~\textit{byte}~\text{yang dimulai atau diakhiri dengan 11}.$$Perhatikan sketsa gambar berikut.
Jumlah byte yang dimulai dengan $11$ ada $2^6 = 64$ karena $2$ posisi pertama sudah diisi sehingga kita hanya perlu mengisi $6$ posisi lainnya dengan $2$ pilihan angka, yaitu $0$ dan $1.$ Jadi, $|A| = 64.$

Hal yang demikian juga berlaku untuk jumlah byte yang diakhiri dengan $11,$ yaitu ada $2^6 = 64$ karena $2$ posisi terakhir sudah diisi sehingga kita hanya perlu mengisi $6$ posisi lainnya dengan $2$ pilihan angka, yaitu $0$ dan $1.$ Jadi, $|B| = 64.$
Jumlah byte yang berawal dan berakhir dengan $11$ ada sebanyak $2^4 = 16$ karena sekarang tersisa $4$ posisi yang dapat diisi. Jadi, $|A \cap B| = 16.$
Dengan menggunakan Prinsip Inklusi-Eksklusi, jumlah byte yang dimulai atau diakhiri dengan $11$ ada sebanyak
$$\begin{aligned} |A \cup B| & = |A|+|B|-|A \cap B| \\ & = 64+64-16 \\ & = 112. \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 3
Ada berapa bilangan bulat positif yang lebih kecil atau sama dengan $100$ yang habis dibagi oleh $6$ atau $9$?

Pembahasan

Notasi $\lfloor x \rfloor$ menyatakan fungsi lantai dari $x$, artinya bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari $x.$ Sebagai contoh, $\lfloor 2,83 \rfloor = 2$ dan $\lfloor 4,003 \rfloor = 4.$
Misalkan $A$ menyatakan himpunan bilangan bulat positif $\leq 100$ yang habis dibagi $6$ sehingga

$$|A| = \left\lfloor \dfrac{100}{6} \right\rfloor = 16.$$Misalkan $B$ menyatakan himpunan bilangan bulat positif $\leq 100$ yang habis dibagi $9$ sehingga
$$|B| = \left\lfloor \dfrac{100}{9} \right\rfloor = 11.$$Bilangan kelipatan $6$ dan $9$ (sekaligus) terhitung dua kali sehingga perlu dihitung banyaknya agar bisa dikurangi.
Misalkan $A \cap B$ menyatakan himpunan bilangan bulat positif $\leq 100$ yang habis dibagi $6$ dan $9$, yaitu bilangan kelipatan $\text{KPK}(6, 9) = 18$ sehingga
$$|A \cap B| = \left\lfloor \dfrac{100}{18} \right\rfloor = 5.$$Menurut Prinsip Inklusi-Eksklusi, banyaknya bilangan bulat positif yang lebih kecil atau sama dengan $100$ yang habis dibagi oleh $6$ atau $9$ adalah
$$\begin{aligned} |A \cup B| & = |A| + |B|-|A \cap B| \\ & = 16 + 11-5 \\ & = 22. \end{aligned}$$Jadi, terdapat $\boxed{22}$ bilangan bulat positif yang memenuhi kondisi tersebut.

[collapse]

Soal Nomor 4
Berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak melampaui $1.000$ dan habis dibagi oleh $7$ atau $11$?

Pembahasan

Misalkan $A$ menyatakan himpunan bilangan bulat positif $\leq 1.000$ yang habis dibagi $7$ sehingga
$$|A| = \left\lfloor \dfrac{1.000}{7} \right\rfloor = 142.$$Misalkan $B$ menyatakan himpunan bilangan bulat positif $\leq 1.000$ yang habis dibagi $11$ sehingga
$$|B| = \left\lfloor \dfrac{1.000}{11} \right\rfloor = 90.$$Bilangan kelipatan $7$ dan $11$ (sekaligus) terhitung dua kali sehingga perlu dihitung banyaknya agar bisa dikurangi.
Misalkan $A \cap B$ menyatakan himpunan bilangan bulat positif $\leq 1.000$ yang habis dibagi $7$ dan $11$, yaitu bilangan kelipatan c sehingga
$$|A \cap B| = \left\lfloor \dfrac{1.000}{77} \right\rfloor = 12.$$Menurut Prinsip Inklusi-Eksklusi, banyaknya bilangan bulat positif yang tidak melampaui $1.000$ dan habis dibagi oleh $7$ atau $11$ adalah
$$\begin{aligned} |A \cup B| & = |A| + |B|-|A \cap B| \\ & = 142+90-12 \\ & = 220. \end{aligned}$$Jadi, terdapat $\boxed{220}$ bilangan bulat positif yang memenuhi kondisi tersebut.

[collapse]

Soal Nomor 5
Berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak melampaui $1.000$ dan habis dibagi oleh $5, 7,$ atau $11$?

Pembahasan

Misalkan $A$ menyatakan himpunan bilangan bulat positif $\leq 1.000$ yang habis dibagi $5$ sehingga
$$|A| = \left\lfloor \dfrac{1.000}{5} \right\rfloor = 200.$$Misalkan $B$ menyatakan himpunan bilangan bulat positif $\leq 1.000$ yang habis dibagi $7$ sehingga
$$|A| = \left\lfloor \dfrac{1.000}{7} \right\rfloor = 142.$$Misalkan $C$ menyatakan himpunan bilangan bulat positif $\leq 1.000$ yang habis dibagi $11$ sehingga
$$|C| = \left\lfloor \dfrac{1.000}{11} \right\rfloor = 90.$$Berikutnya, kita perlu mencari kardinalitas dari irisan dua himpunan dan tiga himpunan.
$$\begin{aligned} |A \cap B| & = \left\lfloor \dfrac{1.000}{\text{KPK}(5, 7)} \right\rfloor = \left\lfloor \dfrac{1.000}{35} \right\rfloor = 28 \\ |A \cap C| & = \left\lfloor \dfrac{1.000}{\text{KPK}(5, 11)} \right\rfloor = \left\lfloor \dfrac{1.000}{55} \right\rfloor = 18 \\ |B \cap C| & = \left\lfloor \dfrac{1.000}{\text{KPK}(7, 11)} \right\rfloor = \left\lfloor \dfrac{1.000}{77} \right\rfloor = 12 \\ |A \cap B \cap C| & = \left\lfloor \dfrac{1.000}{\text{KPK}(5, 7, 11)} \right\rfloor = \left\lfloor \dfrac{1.000}{385} \right\rfloor = 2 \end{aligned}$$
Menurut Prinsip Inklusi-Eksklusi, banyaknya bilangan bulat positif yang tidak melampaui $1.000$ dan habis dibagi oleh $5, 7,$ atau $11$ 
adalah
$$\begin{aligned} |A \cup B \cup C| & = |A| + |B| + |C|-|A \cap B|-|A \cap C|-|B \cap C|+|A \cap B \cap C| \\ & = 200 + 142+90-28-18-12+2 \\ & = 376. \end{aligned}$$Jadi, terdapat $\boxed{376}$ bilangan bulat positif yang memenuhi kondisi tersebut.

[collapse]