Anda diharuskan sudah menguasai teknik dekomposisi pecahan parsial karena pada postingan ini, langkah menguraikan bentuk pecahan yang akan didekomposisi akan dilewatkan (skip). Gunakan informasi berikut untuk menjawab soal-soal di bawah.
Soal Nomor 1
Selesaikan relasi rekurensi berikut dengan menggunakan fungsi pembangkit,
dengan
Misalkan adalah fungsi pembangkit biasa (FPB) untuk menyelesaikan relasi rekurensi ini, maka haruslah
Tinjau sukunya satu per satu.
Jadi, persamaan di atas dapat ditulis,
Jadi, solusi relasi rekurensinya adalah (barisan konstan yang setiap suku-sukunya 8).
Soal Nomor 2
Selesaikan relasi rekurensi
dengan
Relasi rekurensi tersebut merupakan relasi rekurensi homogen dengan koefisien konstan yang dapat diselesaikan dengan mudah. Tetapi, kita akan mencoba menggunakan metode fungsi pembangkit.
Misalkan fungsi pembangkit biasa (FPB) untuk relasi ini, maka haruslah
Jadi, solusi relasi rekurensinya adalah
Soal Nomor 3
Selesaikan
Misalkan
sehingga bentuk operator sumasi dari barisan rekursif tersebut dapat ditulis menjadi
Dengan menerapkan teknik dekomposisi pecahan parsial (prosedurnya memang cukup panjang dalam kasus ini), diperoleh
Jadi, didapat
Soal Nomor 4
Selesaikan .
Misalkan
sehingga bentuk operator sumasi dari barisan rekursif tersebut dapat ditulis menjadi
Dengan menggunakan teknik dekomposisi pecahan parsial, diperoleh
Jadi, barisan eksplisitnya adalah
Soal Nomor 5 (Soal OSN Pertamina Tahun 2010)
Jika , maka
Misalkan
dan perhatikan bahwa
ekuivalen dengan
, berarti dapat kita tuliskan bentuk barisan rekursif di atas menjadi
Uraikan dengan dekomposisi pecahan parsial untuk mendapatkan
Jadi, rumus barisan eksplisitnya adalah
sehingga