Soal dan Pembahasan – Relasi Rekursi Linear Homogen dengan Koefisien Konstan

Berikut ini penulis sajikan soal dan pembahasannya mengenai Relasi Rekursi Linear Homogen dengan Koefisien Konstan. Semoga bermanfaat.

Soal Nomor 1
Tentukan solusi khusus dari relasi rekursi $a_n = 2a_{n – 1}$ dengan $a_0 = 3$

Penyelesaian

Ubah persamaannya menjadi
$a_n –  2a_{n – 1} = 0$
Persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut adalah
$r – 2 = 0$
$r = 2$
Solusi umum relasi rekursi dengan akar tunggal adalah
$\boxed{a_n = C_1r^n}$
Berarti, solusi umum untuk kasus ini adalah $a_n = C_1(2)^n$
Untuk menentukan nilai $C_1$, gunakan nilai awal yang telah diberikan, yaitu $a_0 = 3$
$a_0 = C_1(2)^0 = 3$
Diperoleh $C_1 = 3$
Jadi, solusi khusus relasi rekursinya adalah $\boxed{a_n = 3(2)^n}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan solusi khusus dari relasi rekursi $a_n = a_{n – 1} + 2a_{n – 2}$ dengan $a_0 = 2$ dan $a_1 = 7$

Penyelesaian

Ubah persamaan yang diberikan menjadi
$a_n – a_{n – 1} – 2a_{n – 2} = 0$
Persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut adalah
$r^2 – r – 2 = 0$
$(r – 2)(r + 1) = 0$
Diperoleh $r = 2$ atau $r = -1$
Solusi umum relasi rekursi dengan 2 akar berbeda adalah 
$\boxed{a_n = C_1r_{1}^n + C_2r_{2}^n}$
Berarti, solusi umum berdasarkan nilai $r$ yang telah didapat adalah
$a_n = C_1(2)^n + C_2(-1)^n$
Untuk mendapatkan nilai $C_1$ dan $C_2$, masukkan $a_0 = 2$ dan $a_1 = 7$ ke persamaan itu.
$a_0 = C_1(2)^0 + C_2(-1)^0 \Rightarrow C_1 + C_2 = 2$
$a_1 = C_1(2)^1 + C_2(-1)^1 \Rightarrow 2C_1 – C_2 = 7$
Selesaikan SPLDV tersebut sehingga diperoleh $C_1 = 3$ dan $C_2 = -1$
Jadi, solusi khusus relasi rekursinya adalah $\boxed{a_n = 3(2)^n – (-1)^n}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan solusi khusus dari relasi rekursi $a_n = 6a_{n – 1} –  9a_{n – 2}$ dengan $a_0 = 1$ dan $a_1 = 6$

Penyelesaian

Ubah persamaan yang diberikan menjadi
$a_n – 6_{n – 1} + 9a_{n – 2} = 0$
Persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut adalah
$r^2 – 6r + 9 = 0$
$(r – 3)(r – 3) = 0$
Diperoleh $r = 3$ 
Solusi umum relasi rekursi dengan 2 akar kembar adalah 
$\boxed{a_n = C_1r_{1}^n + C_2nr_{2}^n}$
Berarti, solusi umum berdasarkan nilai $r$ yang telah didapat adalah
$a_n = C_1(3)^n + C_2n(3)^n$
Untuk mendapatkan nilai $C_1$ dan $C_2$, masukkan $a_0 = 1$ dan $a_1 = 6$ ke persamaan itu.
$a_0 = C_1(3)^0 + C_2(0)(3)^0 \Rightarrow C_1  = 1$
$a_1 = C_1(3)^1 + C_2(1)(3)^1 \Rightarrow 3C_1 + 3C_2= 6$
Selesaikan SPLDV tersebut sehingga diperoleh $C_1 = C_2 = 1$
Jadi, solusi khusus relasi rekursinya adalah $\boxed{a_n = 3^n + n(3)^n}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan solusi khusus dari relasi rekursi $a_n = 5a_{n – 1} –  6a_{n – 2}$ dengan $a_0 = 1$ dan $a_1 = 0$

Penyelesaian

Ubah persamaan yang diberikan menjadi
$a_n – 5a_{n – 1}  +  6a_{n – 2} = 0$
Persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut adalah
$r^2 – 5r + 6 = 0$
$(r – 2)(r – 3) = 0$
Diperoleh $r = 2$ atau $r = 3$
Solusi umum relasi rekursi dengan 2 akar kembar adalah 
$\boxed{a_n = C_1r_{1}^n + C_2nr_{2}^n}$
Berarti, solusi umum berdasarkan nilai $r$ yang telah didapat adalah
$a_n = C_1(2)^n + C_2(3)^n$
Untuk mendapatkan nilai $C_1$ dan $C_2$, masukkan $a_0 = 1$ dan $a_1 = 0$ ke persamaan itu.
$a_0 = C_1(2)^0 + C_2(3)^0 \Rightarrow C_1 + C_2 = 1$
$a_1 = C_1(2)^1 + C_2(3)^1 \Rightarrow 2C_1 + 3C_2= 0$
Selesaikan SPLDV tersebut sehingga diperoleh $C_1 = 3$ dan $C_2 = -2$
Jadi, solusi khusus relasi rekursinya adalah $\boxed{a_n = 3(3)^n – 2(3)^n = 3^{n+1} – 2(3)^n}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan solusi khusus dari relasi rekursi $a_n = 6a_{n – 1} – 11a_{n – 2} + 6a_{n – 3}$, dengan $a_0 = 2, a_1 = 5$, dan $a_2 = 15$

Penyelesaian

Ubah persamaannya menjadi
$a_n – 6a_{n – 1} + 11a_{n – 2} – 6a_{n – 3} = 0$

Persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut adalah
$r^3 – 6r^2 + 11r – 6 = 0$
$(r-1)(r-2)(r-3) = 0$
Diperoleh $r = 1, r = 2$, atau $r = 3$
Solusi umum relasi rekursi dengan 3 akar berbeda adalah 
$\boxed{a_n = C_1r_{1}^n + C_2r_{2}^n + C_3r_{3}^n}$
Berarti, solusi umum berdasarkan nilai $r$ yang telah didapat adalah
$a_n =  C_1(1)^n + C_2(2)^n + C_3(3)^n$
$a_n = C_1 + C_2(2)^n + C_3(3)^n$
Untuk mendapatkan nilai $C_1$ dan $C_2$, masukkan $a_0 = 2, a_1 = 5$, dan $a_2 = 15$ ke persamaan itu.

$$\begin{aligned} & a_0 = C_1 + C_2(2)^0 + C_3(3)^0 \Rightarrow C_1 + C_2 + C_3 = 2 \\ & a_1 = C_1 + C_2(2)^1 + C_3(3)^1 \Rightarrow C_1 + 2C_2  + 3C_3 = 5 \\ & a_2 = C_1 + C_2(2)^2+ C_3(3)^2 \Rightarrow C_1 + 4C_2 + 9C_3 = 15$$
Selesaikan SPLTV tersebut sehingga diperoleh $C_1 = 1, C_2 = -1$, dan $C_3 = 2$
Jadi, solusi khusus relasi rekursinya adalah $\boxed{a_n = 1 – 2^n + 2(3)^n }$

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan solusi umum dari relasi rekursi $a_{n + 1} = 2na_n + n(n-1)a_{n-1}$

Penyelesaian

Bagilah $a_{n+1} = 2\,n\,a_n + n(n-1)\,a_{n-1}$ dengan $n!$ untuk memperoleh
$d\frac{a_{n+1}}{n!} = 2\,\dfrac{a_n}{(n-1)!} + \dfrac{a_{n-1}}{(n-2)!}$
Misalkan $b_n = \dfrac{a_n}{(n-1)!}$, sehingga dapat ditulis
$b_{n+1} = 2b_n + b_{n – 1}$
Bentuk di atas ekuivalen dengan
$b_n = 2b_{n – 1} + b_{n – 2}$
$b_n – 2b_{n – 1} – b_{n – 2} = 0$
Persamaan karakteristiknya adalah
$r^2 – 2r – 1 = 0$
Carilah akar-akarnya dengan menggunakan rumus kuadrat. Selanjutnya, diperoleh $r = 1 \pm \sqrt{2}$
Dengan demikian, solusi umum untuk $b_n$ adalah
$$b_n = C_1r_1^n + C_2r_2^n = C_1(1 + \sqrt{2})^n + C_2(1 – \sqrt{2})^n$$
Solusi umum untuk $a_n$, yaitu
$b_n = \dfrac{a_n}{(n-1)!}$
$$\boxed{a_n = (n-1)!b_n = (n – 1)!~\left(C_1(1 + \sqrt{2})^n + C_2(1 – \sqrt{2})^n\right)}$$

[collapse]

Soal Nomor 7 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Solusi rekursif $u_n = 2u_{n – 1}, n \geq 0$ di mana $u_0 = 3$ adalah $\cdots$
A. $2^{n+2} – 1$
B. $3. 2^n$
C. $3^n + 2$
D. $2. 3^n$
E. $3(3^{n+1} – 2)$

Penyelesaian

Ubah persamaan rekursifnya menjadi
$u_n – 2u_{n-1} = 0$
Persamaan karakteristiknya adalah
$r – 2 = 0$ yang berarti $r = 2$
Jadi, solusi umumnya adalah $u_n = C_1(2)^n$
Substitusikan $u_0 = 3$, sehingga diperoleh
$3 = C_1(2)^0 \Leftrightarrow C_1 = 3$
Berarti, solusi khusus yang dimaksud adalah $\boxed{u_n = 3 . 2^n}$
(Jawaban B)

[collapse]

CategoriesRekursi LinearTags, , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *