Soal dan Pembahasan – Relasi Rekursi Linear Homogen dengan Koefisien Konstan

Soal Nomor 1
Tentukan solusi khusus dari relasi rekursi a_n = 2a_{n - 1} dengan a_0 = 3

Penyelesaian

Ubah persamaannya menjadi
a_n -  2a_{n - 1} = 0
Persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut adalah
r - 2 = 0
r = 2
Solusi umum relasi rekursi dengan akar tunggal adalah
\boxed{a_n = C_1r^n}
Berarti, solusi umum untuk kasus ini adalah a_n = C_1(2)^n
Untuk menentukan nilai C_1, gunakan nilai awal yang telah diberikan, yaitu a_0 = 3
a_0 = C_1(2)^0 = 3
Diperoleh C_1 = 3
Jadi, solusi khusus relasi rekursinya adalah \boxed{a_n = 3(2)^n}

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan solusi khusus dari relasi rekursi a_n = a_{n - 1} + 2a_{n - 2} dengan a_0 = 2 dan a_1 = 7

Penyelesaian

Ubah persamaan yang diberikan menjadi
a_n - a_{n - 1} - 2a_{n - 2} = 0
Persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut adalah
r^2 - r - 2 = 0
(r - 2)(r + 1) = 0
Diperoleh r = 2 atau r = -1
Solusi umum relasi rekursi dengan 2 akar berbeda adalah 
\boxed{a_n = C_1r_{1}^n + C_2r_{2}^n}
Berarti, solusi umum berdasarkan nilai r yang telah didapat adalah
a_n = C_1(2)^n + C_2(-1)^n
Untuk mendapatkan nilai C_1 dan C_2, masukkan a_0 = 2 dan a_1 = 7 ke persamaan itu.
a_0 = C_1(2)^0 + C_2(-1)^0 \Rightarrow C_1 + C_2 = 2
a_1 = C_1(2)^1 + C_2(-1)^1 \Rightarrow 2C_1 - C_2 = 7
Selesaikan SPLDV tersebut sehingga diperoleh C_1 = 3 dan C_2 = -1
Jadi, solusi khusus relasi rekursinya adalah \boxed{a_n = 3(2)^n - (-1)^n}

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan solusi khusus dari relasi rekursi a_n = 6a_{n - 1} -  9a_{n - 2} dengan a_0 = 1 dan a_1 = 6

Penyelesaian

Ubah persamaan yang diberikan menjadi
a_n - 6_{n - 1} + 9a_{n - 2} = 0
Persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut adalah
r^2 - 6r + 9 = 0
(r - 3)(r - 3) = 0
Diperoleh r = 3 
Solusi umum relasi rekursi dengan 2 akar kembar adalah 
\boxed{a_n = C_1r_{1}^n + C_2nr_{2}^n}
Berarti, solusi umum berdasarkan nilai r yang telah didapat adalah
a_n = C_1(3)^n + C_2n(3)^n
Untuk mendapatkan nilai C_1 dan C_2, masukkan a_0 = 1 dan a_1 = 6 ke persamaan itu.
a_0 = C_1(3)^0 + C_2(0)(3)^0 \Rightarrow C_1  = 1
a_1 = C_1(3)^1 + C_2(1)(3)^1 \Rightarrow 3C_1 + 3C_2= 6
Selesaikan SPLDV tersebut sehingga diperoleh C_1 = C_2 = 1
Jadi, solusi khusus relasi rekursinya adalah \boxed{a_n = 3^n + n(3)^n}

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan solusi khusus dari relasi rekursi a_n = 5a_{n - 1} -  6a_{n - 2} dengan a_0 = 1 dan a_1 = 0

Penyelesaian

Ubah persamaan yang diberikan menjadi
a_n - 5a_{n - 1}  +  6a_{n - 2} = 0
Persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut adalah
r^2 - 5r + 6 = 0
(r - 2)(r - 3) = 0
Diperoleh r = 2 atau r = 3
Solusi umum relasi rekursi dengan 2 akar kembar adalah 
\boxed{a_n = C_1r_{1}^n + C_2nr_{2}^n}
Berarti, solusi umum berdasarkan nilai r yang telah didapat adalah
a_n = C_1(2)^n + C_2(3)^n
Untuk mendapatkan nilai C_1 dan C_2, masukkan a_0 = 1 dan a_1 = 0 ke persamaan itu.
a_0 = C_1(2)^0 + C_2(3)^0 \Rightarrow C_1 + C_2 = 1
a_1 = C_1(2)^1 + C_2(3)^1 \Rightarrow 2C_1 + 3C_2= 0
Selesaikan SPLDV tersebut sehingga diperoleh C_1 = 3 dan C_2 = -2
Jadi, solusi khusus relasi rekursinya adalah \boxed{a_n = 3(3)^n - 2(3)^n = 3^{n+1} - 2(3)^n}

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan solusi khusus dari relasi rekursi a_n = 6a_{n - 1} - 11a_{n - 2} + 6a_{n - 3}, dengan a_0 = 2, a_1 = 5, dan a_2 = 15

Penyelesaian

Ubah persamaannya menjadi
a_n - 6a_{n - 1} + 11a_{n - 2} - 6a_{n - 3} = 0

Persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut adalah
r^3 - 6r^2 + 11r - 6 = 0
(r-1)(r-2)(r-3) = 0
Diperoleh r = 1, r = 2, atau r = 3
Solusi umum relasi rekursi dengan 3 akar berbeda adalah 
\boxed{a_n = C_1r_{1}^n + C_2r_{2}^n + C_3r_{3}^n}
Berarti, solusi umum berdasarkan nilai r yang telah didapat adalah
a_n =  C_1(1)^n + C_2(2)^n + C_3(3)^n
a_n = C_1 + C_2(2)^n + C_3(3)^n
Untuk mendapatkan nilai C_1 dan C_2, masukkan a_0 = 2, a_1 = 5, dan a_2 = 15 ke persamaan itu.

a_0 = C_1 + C_2(2)^0 + C_3(3)^0 \Rightarrow C_1 + C_2 + C_3 = 2
a_1 = C_1 + C_2(2)^1 + C_3(3)^1 \Rightarrow C_1 + 2C_2  + 3C_3 = 5
a_2 = C_1 + C_2(2)^2+ C_3(3)^2 \Rightarrow C_1 + 4C_2 + 9C_3 = 15

Selesaikan SPLDV tersebut sehingga diperoleh C_1 = 1, C_2 = -1, dan C_3 = 2
Jadi, solusi khusus relasi rekursinya adalah \boxed{a_n = 1 - 2^n + 2(3)^n }

[collapse]



Soal Nomor 6
Tentukan solusi umum dari relasi rekursi a_{n + 1} = 2na_n + n(n-1)a_{n-1}

Penyelesaian

Bagilah a_{n+1} = 2\,n\,a_n + n(n-1)\,a_{n-1} dengan n! untuk memperoleh
d\frac{a_{n+1}}{n!} = 2\,\dfrac{a_n}{(n-1)!} + \dfrac{a_{n-1}}{(n-2)!}
Misalkan b_n = \dfrac{a_n}{(n-1)!}, sehingga dapat ditulis
b_{n+1} = 2b_n + b_{n - 1}
Bentuk di atas ekuivalen dengan
b_n = 2b_{n - 1} + b_{n - 2}
b_n - 2b_{n - 1} - b_{n - 2} = 0
Persamaan karakteristiknya adalah
r^2 - 2r - 1 = 0
Carilah akar-akarnya dengan menggunakan rumus kuadrat. Selanjutnya, diperoleh r = 1 \pm \sqrt{2}
Dengan demikian, solusi umum untuk b_n adalah
b_n = C_1r_1^n + C_2r_2^n = C_1(1 + \sqrt{2})^n + C_2(1 - \sqrt{2})^n
Solusi umum untuk a_n, yaitu
b_n = \dfrac{a_n}{(n-1)!}
\boxed{a_n = (n-1)!b_n = (n - 1)!~\left(C_1(1 + \sqrt{2})^n + C_2(1 - \sqrt{2})^n\right)}

[collapse]

Soal Nomor 7 (Soal ON-MIPA PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Solusi rekursif u_n = 2u_{n - 1}, n \geq 0 di mana u_0 = 3 adalah \cdots
a. 2^{n+2} - 1
b. 3. 2^n
c. 3^n + 2
d. 2. 3^n
e. 3(3^{n+1} - 2)

Penyelesaian

Ubah persamaan rekursifnya menjadi
u_n - 2u_{n-1} = 0
Persamaan karakteristiknya adalah
r - 2 = 0 yang berarti r = 2
Jadi, solusi umumnya adalah u_n = C_1(2)^n
Substitusikan u_0 = 3, sehingga diperoleh
3 = C_1(2)^0 \Leftrightarrow C_1 = 3
Berarti, solusi khusus yang dimaksud adalah \boxed{u_n = 3 . 2^n}
(Jawaban b)

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *