Soal dan Pembahasan – Relasi Rekursi Linear Homogen dengan Koefisien Konstan

Berikut ini penulis sajikan soal dan pembahasannya mengenai Relasi Rekursi Linear Homogen dengan Koefisien Konstan. Semoga bermanfaat.

Baca: Soal dan Pembahasan – Relasi Rekurensi dengan Fungsi Pembangkit

Quote by Merry Riana

Jadilah pemuda yang memberi solusi, menebarkan inspirasi, menoreh banyak prestasi, dan membakar semangat dan memotivasi.

Soal Nomor 1
Tentukan solusi khusus dari relasi rekursi $a_n = 2a_{n- 1}$ dengan $a_0 = 3$.

Pembahasan

Ubah persamaannya menjadi $a_n-  2a_{n- 1} = 0$.
Persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut adalah
$r- 2 = 0 \Leftrightarrow r = 2$
Solusi umum relasi rekursi dengan akar tunggal adalah $\boxed{a_n = C_1r^n}$
Berarti, solusi umum untuk kasus ini adalah $a_n = C_1(2)^n$.
Untuk menentukan nilai $C_1$, gunakan nilai awal yang telah diberikan, yaitu $a_0 = 3$. Substitusi $n = 0$ pada $a_n = C_1(2)^n$ untuk mendapatkan
$a_0 = C_1(2)^0 = 3 \Leftrightarrow C_1 = 3$.
Jadi, solusi khusus relasi rekursinya adalah $\boxed{a_n = 3(2)^n}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan solusi khusus dari relasi rekursi $a_n = a_{n- 1} + 2a_{n- 2}$ dengan $a_0 = 2$ dan $a_1 = 7$.

Pembahasan

Ubah persamaan yang diberikan menjadi
$a_n- a_{n- 1}- 2a_{n- 2} = 0$
Persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut adalah
$r^2- r- 2 = 0$
$(r- 2)(r + 1) = 0$
Diperoleh $r = 2$ atau $r =-1$.
Solusi umum relasi rekursi dengan 2 akar berbeda adalah $\boxed{a_n = C_1r_{1}^n + C_2r_{2}^n}$
Berarti, solusi umum berdasarkan nilai $r$ yang telah didapat adalah
$a_n = C_1(2)^n + C_2(-1)^n$
Untuk mendapatkan nilai $C_1$ dan $C_2$, masukkan $a_0 = 2$ dan $a_1 = 7$ ke persamaan itu.
$a_0 = C_1(2)^0 + C_2(-1)^0 \Rightarrow C_1 + C_2 = 2$
$a_1 = C_1(2)^1 + C_2(-1)^1 \Rightarrow 2C_1- C_2 = 7$
Selesaikan SPLDV tersebut sehingga diperoleh $C_1 = 3$ dan $C_2 =-1$.
Jadi, solusi khusus relasi rekursinya adalah $\boxed{a_n = 3(2)^n- (-1)^n}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan solusi khusus dari relasi rekursi $a_n = 6a_{n- 1}-  9a_{n- 2}$ dengan $a_0 = 1$ dan $a_1 = 6$.

Pembahasan

Ubah persamaan yang diberikan menjadi $a_n- 6_{n- 1} + 9a_{n- 2} = 0$.
Persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut adalah
$r^2- 6r + 9 = 0$
$(r- 3)(r- 3) = 0$
Diperoleh $r = 3$.
Solusi umum relasi rekursi dengan 2 akar kembar adalah $\boxed{a_n = C_1r_{1}^n + C_2nr_{2}^n}$
Berarti, solusi umum berdasarkan nilai $r$ yang telah didapat adalah
$a_n = C_1(3)^n + C_2n(3)^n$
Untuk mendapatkan nilai $C_1$ dan $C_2$, substitusi $a_0 = 1$ dan $a_1 = 6$ ke persamaan itu.
$a_0 = C_1(3)^0 + C_2(0)(3)^0 \Rightarrow C_1  = 1$
$\begin{aligned} a_1 & = C_1(3)^1 + C_2(1)(3)^1 \\ & \Rightarrow 3C_1 + 3C_2= 6 \end{aligned}$
Selesaikan SPLDV tersebut sehingga diperoleh $C_1 = C_2 = 1$.
Jadi, solusi khusus relasi rekursinya adalah $\boxed{a_n = 3^n + n(3)^n}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Tentukan solusi khusus dari relasi rekursi $a_n = 5a_{n- 1}-  6a_{n- 2}$ dengan $a_0 = 1$ dan $a_1 = 0$.

Pembahasan

Ubah persamaan yang diberikan menjadi $a_n- 5a_{n- 1}  +  6a_{n- 2} = 0$.
Persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut adalah
$r^2- 5r + 6 = 0$
$(r- 2)(r- 3) = 0$
Diperoleh $r = 2$ atau $r = 3$.
Solusi umum relasi rekursi dengan 2 akar berbeda adalah $\boxed{a_n = C_1r_{1}^n + C_2r_{2}^n}$
Berarti, solusi umum berdasarkan nilai $r$ yang telah didapat adalah
$a_n = C_1(2)^n + C_2(3)^n$
Untuk mendapatkan nilai $C_1$ dan $C_2$, substitusi $a_0 = 1$ dan $a_1 = 0$ ke persamaan itu.
$a_0 = C_1(2)^0 + C_2(3)^0 \Rightarrow C_1 + C_2 = 1$
$a_1 = C_1(2)^1 + C_2(3)^1 \Rightarrow 2C_1 + 3C_2= 0$
Selesaikan SPLDV tersebut sehingga diperoleh $C_1 = 3$ dan $C_2 =-2$.
Jadi, solusi khusus relasi rekursinya adalah $\boxed{a_n = 3(2)^n- 2(3)^n = 3^{n+1}- 2(3)^n}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan solusi khusus dari relasi rekursi $a_n = 6a_{n- 1}- 11a_{n- 2} + 6a_{n- 3}$, dengan $a_0 = 2, a_1 = 5$, dan $a_2 = 15$.

Pembahasan

Ubah persamaannya menjadi $a_n- 6a_{n- 1} + 11a_{n- 2}- 6a_{n- 3} = 0$.
Persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut adalah
$r^3- 6r^2 + 11r- 6 = 0$
$(r-1)(r-2)(r-3) = 0$
Diperoleh $r = 1, r = 2$, atau $r = 3$.
Solusi umum relasi rekursi dengan 3 akar berbeda adalah $\boxed{a_n = C_1r_{1}^n + C_2r_{2}^n + C_3r_{3}^n}$
Berarti, solusi umum berdasarkan nilai $r$ yang telah didapat adalah
$a_n =  C_1(1)^n + C_2(2)^n + C_3(3)^n$
$a_n = C_1 + C_2(2)^n + C_3(3)^n$
Untuk mendapatkan nilai $C_1$ dan $C_2$, masukkan $a_0 = 2, a_1 = 5$, dan $a_2 = 15$ ke persamaan itu.

$$\begin{aligned} & a_0 = C_1 + C_2(2)^0 + C_3(3)^0 \Rightarrow C_1 + C_2 + C_3 = 2 \\ & a_1 = C_1 + C_2(2)^1 + C_3(3)^1 \Rightarrow C_1 + 2C_2  + 3C_3 = 5 \\ & a_2 = C_1 + C_2(2)^2+ C_3(3)^2 \Rightarrow C_1 + 4C_2 + 9C_3 = 15 \end{aligned}$$Selesaikan SPLTV tersebut sehingga diperoleh $C_1 = 1, C_2 =-1$, dan $C_3 = 2$.
Jadi, solusi khusus relasi rekursinya adalah $\boxed{a_n = 1 – 2^n + 2(3)^n }$

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan solusi umum dari relasi rekursi $a_{n + 1} = 2na_n + n(n-1)a_{n-1}$.

Pembahasan

Bagilah $a_{n+1} = 2\,n\,a_n + n(n-1)\,a_{n-1}$ dengan $n!$ untuk memperoleh
$\dfrac{a_{n+1}}{n!} = 2\,\dfrac{a_n}{(n-1)!} + \dfrac{a_{n-1}}{(n-2)!}$
Misalkan $b_n = \dfrac{a_n}{(n-1)!}$, sehingga dapat ditulis $b_{n+1} = 2b_n + b_{n- 1}$.
Bentuk di atas ekuivalen dengan
$\begin{aligned} b_n & = 2b_{n- 1} + b_{n- 2} \\ b_n- 2b_{n- 1}- b_{n- 2} & = 0 \end{aligned}$
Persamaan karakteristiknya adalah $r^2- 2r- 1 = 0$.
Carilah akar-akarnya dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus ABC). Selanjutnya, diperoleh $r = 1 \pm \sqrt{2}$.
Dengan demikian, solusi umum untuk $b_n$ adalah
$\begin{aligned} b_n & = C_1r_1^n + C_2r_2^n  \\ &= C_1(1 + \sqrt{2})^n + C_2(1- \sqrt{2})^n \end{aligned}$
Solusi umum untuk $a_n$, yaitu
$$\boxed{a_n = (n-1)!b_n = (n- 1)!~\left(C_1(1 + \sqrt{2})^n + C_2(1- \sqrt{2})^n\right)}$$

[collapse]

Soal Nomor 7 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Wilayah Tahun 2016)
Didefinisikan fungsi rekursif, $\forall n \in \mathbb{Z}, f(1)=1, f(2)=5$, dan $f(n+1)=f(n)+2f(n-1), n > 2$, maka $f(n) = \cdots \cdot$

Pembahasan

Fungsi rekursif $f(n+1)=f(n)+2f(n-1)$ ekuivalen dengan $f(n)=f(n-1)+2f(n-2)$ atau ditulis menjadi $f(n) -f(n-1) – 2f(n-2)=0$. Relasi di atas termasuk relasi rekursif homogen dengan koefisien konstan, dengan persamaan karakteristik
$r^2 -r -2 = (r -2)(r+1) = 0$
Diperoleh $r = 2$ atau $r = -1$.
Jadi, solusi relasinya adalah
$f(n) = C_12^n + C_2(-1)^n$.
Substitusikan $f(1) = 1$ dan $f(2) = 5$ berturut-turut untuk mendapatkan
$1 = C_1(2) + C_2(-1)$ dan $5 = C_1(4) + C_2$
Gunakan metode penyelesaian SPLDV untuk mendapatkan $C_1 = C_2 = 1$, sehingga $\boxed{f(n) = 2^n + (-1)^n}$

[collapse]

Soal Nomor 8 (Soal ON MIPA-PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Solusi rekursif $u_n = 2u_{n- 1}, n \geq 0$ di mana $u_0 = 3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2^{n+2}- 1$
B. $3. 2^n$
C. $3^n + 2$
D. $2 \cdot 3^n$
E. $3(3^{n+1}- 2)$

Pembahasan

Ubah persamaan rekursifnya menjadi $u_n- 2u_{n-1} = 0$.
Persamaan karakteristiknya adalah $r- 2 = 0$ yang berarti $r = 2$.
Jadi, solusi umumnya adalah $u_n = C_1(2)^n$.
Substitusikan $u_0 = 3$, sehingga diperoleh
$3 = C_1(2)^0 \Leftrightarrow C_1 = 3$.
Berarti, solusi khusus yang dimaksud adalah $\boxed{u_n = 3 \cdot 2^n}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9 (Soal KSN-K Tingkat SMA/MA Tahun 2020)
Suatu barisan bilangan real $a_1, a_2, a_3, \cdots$ memenuhi $a_1 = 1$, $a_2=\dfrac35$, dan $\dfrac{1}{a_n} = \dfrac{2}{a_{n-1}}-\dfrac{1}{a_{n-2}}$ untuk setiap $n \geq 3$. Bilangan $a_{2020}$ dapat ditulis sebagai $\dfrac{p}{q}$ dengan $p$ dan $q$ bilangan asli relatif prima. Nilai $p+q$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Diketahui $a_1 = 1$ dan $a_2 = \dfrac35$.
Untuk $n \geq 3$, berlaku $\dfrac{1}{a_n} = \dfrac{2}{a_{n-1}}-\dfrac{1}{a_{n-2}}$.
Cara pertama: Relasi rekurensi
Misalkan $\dfrac{1}{a_n} = b_n$, sehingga persamaan di atas ditulis $b_n = 2b_{n-1}-b_{n-2}$. Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi tersebut adalah
$\begin{aligned} r^2 & = 2r-1 \\ r^2-2r+1 & = 0 \\ (r-1)^2 &= 0 \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $r = 1$ (kembar).
Karena memiliki akar kembar, maka solusi umum relasi rekurensi tersebut adalah $b_n = C_1r^2 + C_2nr^2$.
Perhatikan bahwa $a_1 = 1$, sehingga $b_1 = 1$. Substitusi $n = 1$ dan kita peroleh
$\begin{aligned} b_1 & = C_1(1)^2 + C_2(1)(1)^2 \\ 1 & = C_1 + C_2 && (\cdots 1) \end{aligned}$
Perhatikan juga bahwa $a_2 = \dfrac35$, sehingga $b_2 = \dfrac53$. Substitusi $n = 2$ dan kita peroleh
$\begin{aligned} b_2 & = C_1(1)^2 + C_2(2)(1)^2 \\ \dfrac53 & = C_1 + 2C_2 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Dari kedua persamaan yang didapat, kita mendapat $C_1 = \dfrac13$ dan $C_2 = \dfrac23$, sehingga $b_n = \dfrac13 + \dfrac23n = \dfrac{1+2n}{3}$, artinya $a_n = \dfrac{3}{1+2n}$.
Substitusi $n = 2020$ dan akhirnya didapat $a_{2020} = \dfrac{3}{1+2(2020)} = \dfrac{1}{1347}$.
Oleh karena itu, nilai $p = 1$ dan $q = 1347$, berarti $\boxed{p+q=1348}$
Cara kedua: Pola
Substitusi $n = 3$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a_3} & = \dfrac{2}{a_2}-\dfrac{1}{a_1} \\ \dfrac{1}{a_3} & = \dfrac{2}{\frac35}-\dfrac11 \\ \dfrac{1}{a_3} & = \dfrac{10}{3}-1 \\ a_3 & = \dfrac37 \end{aligned}$
Substitusi $n = 4$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a_4} & = \dfrac{2}{a_3}-\dfrac{1}{a_2} \\ \dfrac{1}{a_4} & = \dfrac{2}{\frac37}-\dfrac{1}{\frac35} \\ \dfrac{1}{a_4} & = \dfrac{14}{3}-\dfrac53 \\ a_4 & = \dfrac39 \end{aligned}$
Substitusi $n = 5$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a_5} & = \dfrac{2}{a_4}-\dfrac{1}{a_3} \\ \dfrac{1}{a_5} & = \dfrac{2}{\frac39}-\dfrac{1}{\frac37} \\ \dfrac{1}{a_5} & = 6-\dfrac73 \\ a_5 & = \dfrac{3}{11} \end{aligned}$
Dari $3$ nilai yang telah didapat, tampak suatu pola barisan: $\dfrac37, \dfrac39, \dfrac{3}{11}$, yaitu pembilang tetap $3$, namun penyebut bertambah $2$ membentuk barisan aritmetika.
Rumus suku ke-$n$ dari barisan semula adalah $a_n = \dfrac{3}{2n+1}$
dengan $n \geq 3$.
Dengan demikian,
$a_{2020} = \dfrac{3}{2(2020)+1} = \dfrac{1}{1347}$
Oleh karena itu, nilai $p = 1$ dan $q = 1347$, berarti $\boxed{p+q=1348}$

[collapse]

One Reply to “Soal dan Pembahasan – Relasi Rekursi Linear Homogen dengan Koefisien Konstan”

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *