Materi, Soal, dan Pembahasan – Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

     Sebelumnya, mari kita sepakati penggunaan istilah dalam materi ini dulu. Sistem persamaan yang terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masing-masing bervariabel dua disebut sistem persamaan linear-kuadrat (SPLK). Berdasarkan karakteristik dari bagian kuadratnya, SPLK dikelompokkan sebagai berikut.

  1. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit.
  2. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit.


SPLK Dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Eksplisit

Bentuk umum SPLK dengan bagian kuadratnya berbentuk eksplisit dapat dituliskan sebagai berikut.
$$\begin{cases} y & = ax + b && (\text{bagian linear}) \\ y & = px^2 + qx + r && (\text{bagian kuadrat}) \end{cases}$$dengan $a, b, p, q, r$ bilangan real dan $a, p \neq 0.$

Sistem ini dapat diselesaikan dengan cara mensubstitusikan persamaan linear ke persamaan kuadrat, kemudian disederhanakan dan diselesaikan dengan menggunakan metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, atau rumus ABC.

Secara umum, penyelesaian dari SPLK tersebut dapat ditentukan dengan melalui langkah-langkah berikut.
Langkah 1:
Substitusikan bagian linear $y = ax+b$ ke bagian kuadrat $y = px^2+qx+r$, diperoleh
$$\begin{aligned} ax + b & = px^2+qx+r \\ px^2+qx-ax+r-b & = 0 \\ px^2+(q-a)x+(r-b) & = 0 \end{aligned}$$Persamaan terakhir merupakan persamaan kuadrat satu variabel, yaitu $x$. Selesaikan persamaan kuadrat tersebut untuk mencari nilai $x$.
Langkah 2:
Nilai-nilai $x$ yang didapat pada Langkah 1 tadi (jika ada) disubstitusikan ke persamaan $y = ax+b$ (agar perhitungannya lebih mudah), untuk memperoleh nilai $y$. Kita ingat bahwa nilai $x$ yang memenuhi persamaan kuadrat $px^2 + (q-a)x + (r-b) = 0$ disebut akar-akar dari persamaan kuadrat itu. Banyak nilai $x$ (banyak akar) dari persamaan kuadrat tersebut ditentukan oleh nilai diskriminan $D = (q-a)^2-4p(r-b)$. Dengan demikian, banyak anggota dalam himpunan penyelesaian SPLK
$$\begin{cases} y = ax+b \\ y = px^2+qx + r \end{cases}$$ditentukan oleh nilai diskriminan $D$ dengan aturan berikut.

  1. Jika $D > 0$, maka SPLK tersebut mempunyai dua anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
  2. Jika $D = 0$, maka SPLK tersebut mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
  3. Jika $D < 0$, maka SPLK tersebut tidak mempunyai anggota dalam himpunan penyelesaiannya. Dengan kata lain, himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong, dinotasikan $\emptyset$ atau $\{ \}$.


Anggota dari himpunan penyelesaian suatu SPLK dapat ditafsirkan secara geometris sebagai koordinat titik potong antara garis $y = ax+b$ dengan parabola $y = px^2+qx+r$. Kedudukan garis terhadap parabola itu ditentukan oleh nilai diskriminan $D$ dengan aturan berikut.

  1. Jika $D > 0$, maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan.
  2. Jika $D = 0$, maka garis memotong parabola tepat di satu titik. Dengan kata lain, garis itu menyinggung parabola.
  3. Jika $D < 0$, maka garis dan parabola tidak berpotongan.


Perhatikan gambar kedudukan garis $y = ax+b$ dan parabola $y = px^2+qx+r$ berikut agar lebih jelas.

SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit

Persamaan dua variabel $x$ dan $y$ dikatakan berbentuk eksplisit jika persamaan itu tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $y = f(x)$ atau $x = f(y)$. Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk $f(x, y) = 0$.
Contoh persamaan dua variabel dalam bentuk implisit adalah sebagai berikut.
a. $x^2+y^2+8 = 0$
b. $x^2+2y^2-3x+y = 0$
c. $x^2-y^2-3x+4y+9 = 0$
d. $2x^2+xy+y^2+3y-4 = 0$
Secara umum, SPLK dengan bagian kuadratnya berbentuk implisit dapat dituliskan sebagai berikut.
$$\begin{cases} px+qy + r = 0 & (\text{bagian linear}) \\ ax^2+by^2 + cxy + dx + ey + f = 0 & (\text{bagian kuadrat berbentuk implisit}) \end{cases}$$dengan $a, b, c, d, e, f, p, q, r$ semuanya merupakan bilangan real dan $p, q, a, b \neq 0.$
SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit dibagi menjadi dua, yaitu bentuk implisit yang tak dapat difaktorkan dan bentuk implisit yang dapat difaktorkan.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – SPLDV

Berikuti ini disajikan beberapa soal mengenai sistem persamaan linear dan kuadrat, disertai dengan pembahasannya. Semoga bermanfaat.

Today Quote

Students don’t need a perfect teacher. They need a happy teacher, who’s gonna make them excited to come to school and grow a love for learning.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Penyelesaian dari sistem persamaan $$\begin{cases} y & = 3x-5 && (\cdots 1) \\ y & = x^2-5x+7 && (\cdots 2) \end{cases}$$adalah $\cdots \cdot$
A. $(-2, 1)$ dan $(6, 13)$
B. $(-2, -1)$ dan $(6, -13)$
C. $(2, -1)$ dan $(-6, 13)$
D. $(2, 1)$ dan $(6, 13)$
E. $(2, 1)$ dan $(-6, -13)$

Pembahasan

Pertama, cari titik potong dari grafik kedua persamaan tersebut.
$$\begin{aligned} y & = y \\ x^2-5x+7 & = 3x-5 \\ x^2-8x+12 & = 0 \\ (x-6)(x-2) & = 0 \\ x = 6~\text{atau}~x & = 2 \end{aligned}$$Substitusi nilai $x$ ke persamaan $(1)$, yaitu $y = 3\color{red}{x}-5$.
$$\begin{aligned} x = \color{blue}{6} & \Rightarrow y = 3(6)-5 = \color{blue}{13} \\ x = \color{green}{2} & \Rightarrow y = 3(2)-5 = \color{green}{1} \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah $(6, 13)$ dan $(2, 1)$.
(Jawaban D) [/spoiler]




Soal Nomor 2
Himpunan penyelesaian dari SPLK $\begin{cases} x+y = 0 \\ x^2+y^2+8 = 0 \end{cases}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{(2, -2), (-2, 2)\}$
B. $\{(-2, -2), (2, 2)\}$
C. $\{(4, -4), (-4, 4)\}$
D. $\{(2, -4), (-4, 4)\}$
E. $\{(2, 2), (4, 4)\}$

Pembahasan
[collapse]

Diketahui SPLK
$$\begin{cases} x+y = 0 & (\cdots 1) \\ x^2+y^2-8 = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ dapat ditulis menjadi $y = -x$. Substitusikan pada persamaan $(2)$.
$$\begin{aligned} x^2+\color{red}{y}^2-8 & = 0 \\ x^2+(-x)^2-8 & = 0 \\ x^2+x^2 & = 8 \\ 2x^2 & = 8 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \end{aligned}$$Jika $x = 2$, maka diperoleh $y = -2$.
Jika $x = -2$, maka diperoleh $y = 2$.
Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(2, -2), (-2, 2)\}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Misalkan penyelesaian SPLK $\begin{cases} x-y+1 = 0 \\ x^2+y^2-13 = 0 \end{cases}$ adalah $(a, b)$ dan $(c, d)$. Nilai $a+b+c+d = \cdots \cdot$
A. $-3$                     C. $0$                    E. $12$
B. $-2$                     D. $3$

Pembahasan

Diketahui SPLK
$$\begin{cases} x-y+1 = 0 & (\cdots 1) \\ x^2+y^2-13 = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ dapat ditulis menjadi $y = x+1$. Substitusikan pada persamaan $(2)$.
$$\begin{aligned} x^2+\color{red}{y}^2-13 & = 0 \\ x^2+(x+1)^2-13 & = 0 \\ x^2+(x^2+2x+1)-13 & = \\ 2x^2+2x-12 & = 0 \\ x^2+x-6 & = 0 \\ (x+3)(x-2) & = 0 \\ x = -3~\text{atau}~x & = 2 \end{aligned}$$Jika $x = -3$, maka diperoleh $y = -2$.
Jika $x = 2$, maka diperoleh $y = 3$.
Jadi, penyelesaian SPLK tersebut adalah $(-3, -2)$ dan $(2, 3)$, sehingga nilai $\boxed{a+b+c+d = -3+(-2)+2+3 = 0}$
Catatan: Karena yang ditanyakan adalah jumlah dari $a, b, c, d$, maka masing-masing nilainya tidak perlu dipermasalahkan bila ditukar-tukar, sebab hasil penjumlahannya pasti sama.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Titik koordinat yang termasuk penyelesaian dari sistem persamaan $\begin{cases} y & = 2x+5 \\ y & = x^2-3 \end{cases}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(-4, 13)$                       D. $(2, -1)$
B. $(-2, 1)$                         E. $(4, 11)$
C. $(0, -4)$

Pembahasan

Pertama, cari titik potong dari grafik kedua persamaan tersebut.
$$\begin{aligned} y & = y \\ x^2-3 & = 2x+5 \\ x^2-2x-8 & = 0 \\ (x-4)(x+2) & = 0 \\ x = 4~\text{atau}~x & = -2 \end{aligned}$$Substitusi masing-masing dua nilai $x$ tersebut ke persamaan $y = 2x+5$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x = 4 & \Rightarrow y = 2(4) + 5 = 13 \\ x = -2 \Rightarrow y = 2(-2) + 5 = 1 \end{aligned}$$Jadi, titik potongnya adalah $(4, 13)$ dan $(-2, 1)$.
Titik potong adalah titik koordinat yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Penyelesaian dari sistem persamaan
$$\begin{cases} x-y = 2 & (\cdots 1) \\ x^2+16y^2-24xy-16 = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$adalah $\cdots \cdot$
A. $(6, 4)$ dan $\left(\dfrac{12}{7}, -\dfrac{2}{7}\right)$
B. $(6, 4)$ dan $\left(\dfrac{2}{7}, -\dfrac{12}{7}\right)$
C. $(-4, -6)$ dan $\left(\dfrac{2}{7}, -\dfrac{12}{7}\right)$
D. $(-4, -6)$ dan $\left(\dfrac{12}{7}, -\dfrac{2}{7}\right)$
E. $(-4, -6)$ dan $(6, 4)$

Pembahasan

Ubah persamaan $(1)$ menjadi
$$x = 2 + y~~~~(\cdots 3)$$Substitusi persamaan $(3)$ pada persamaan $(2)$. Kita peroleh
$$\begin{aligned} \color{blue}{x}^2+16y^2-24\color{blue}{x}y-16 = 0 \\ (2+y)^2+16y^2-24(2+y)y-16 & = 0 \\ y^2+4y+4+16y^2-48y-24y^2-16 & = 0 \\ -7y^2-44y-12 & = 0 \\ 7y^2+44y+12 & = 0 \\ (7y+2)(y+6) & = 0 \\ y = -\dfrac27~\text{atau}~y & = -6 \end{aligned}$$Substitusi nilai $y$ ke persamaan $(1)$, yaitu $x = 2+\color{red}{y}$.
$$\begin{aligned} y = \color{blue}{-\dfrac27} & \Rightarrow x = 2+\color{blue}{-\dfrac27} = \dfrac{12}{7} \\ y = \color{green}{-6} & \Rightarrow x = 2+\color{red}(-6) = -4 \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah $(-4, -6)$ dan $\left(\dfrac{12}{7}, -\dfrac27\right)$.
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – SPLTV

Soal Nomor 6
Himpunan penyelesaian SPLK $$\begin{cases} 2x+3y = 8 \\ 4x^2-12xy+9y^2 = 16 \end{cases}$$adalah $\cdots \cdot$
A. $\left\{(1, 2), \left(3, \dfrac23\right)\right\}$
B. $\left\{(2, 1), \left(3, \dfrac23\right)\right\}$
C. $\left\{(1, 2), \left(\dfrac23, 3\right)\right\}$
D. $\left\{(2, 1), \left(\dfrac23, 3\right)\right\}$
E. $\emptyset$

Pembahasan

Diketahui SPLK
$$\begin{cases} 2x+3y = 8 & (\cdots 1) \\ 4x^2-12xy+9y^2 = 16 & (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(2)$ merupakan bagian kuadrat yang dapat difaktorkan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} 4x^2-12xy+9y^2 & = 16 \\ (2x-3y)^2 & = 16 \\ (2x-3y)^2-4^2 & = 0 \\ (2x-3y+4)(2x-3y-4) & = 0 \\ 2x-3y+4 = 0~\text{atau}~2x-3y&-4 = 0 \end{aligned}$$Dengan demikian, SPLK tersebut dapat dipecah menjadi dua SPLDV berikut.
SPLDV pertama:
$$\begin{cases} 2x+3y & = 8 \\ 2x-3y + 4 & = 0 \end{cases}$$dengan penyelesaian $(1, 2)$.
SPLDV kedua:
$$\begin{cases} 2x+3y & = 8 \\ 2x-3y-4 & = 0 \end{cases}$$dengan penyelesaian $\left(3, \dfrac23\right)$.
Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah $\boxed{\left\{(1, 2), \left(3, \dfrac23\right)\right\}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLK berikut.
a. $\begin{cases} y & = 6-5x \\ y & = x^2 \end{cases}$
b. $\begin{cases} y & = x+3 \\ y & = x^2-5x+8 \end{cases}$
c. $\begin{cases} y & = 3x-8 \\ y & = x^2-3x \end{cases}$
d. $\begin{cases} y & = x+1 \\ y & = x^2+x \end{cases}$
e. $\begin{cases} y & = x+3 \\ y & = \dfrac12x^2-x+\dfrac12 \end{cases}$
f. $\begin{cases} y & = 2x+3 \\ y & = 2x^2-4x+7 \end{cases}$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui
$$\begin{cases} y & = 6-5x && (\cdots 1) \\ y & = x^2 && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2 & = 6-5x \\ x^2+5x-6 & = 0 \\ (x+6)(x-1) & = 0 \\ x = -6~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan dapatkan nilai $y$ jika masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada salah satu persamaan, misalnya $y = x^2$.
$$\begin{aligned} x = -6 & \Rightarrow y = (-6)^2 = 36 \\ x = 1 & \Rightarrow y = (1)^2 = 1 \end{aligned}$$Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(1, 36), (1, 1)\}}$
Jawaban b)
Diketahui
$$\begin{cases} y & = x+3 && (\cdots 1) \\ y & = x^2-5x+8 && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2-5x+8 & = x+3 \\ x^2-6x+5 & = 0 \\ (x-5)(x-1) & = 0 \\ x = 5~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan dapatkan nilai $y$ jika masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada salah satu persamaan, misalnya $y = x+3$.
$$\begin{aligned} x = 5 & \Rightarrow y = 5+3 = 8 \\ x = 1 & \Rightarrow y = 1+3 = 4 \end{aligned}$$Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(5, 8), (1, 4)\}}$
Jawaban c)
Diketahui
$$\begin{cases} y & = 3x-8 && (\cdots 1) \\ y & = x^2-3x && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2-3x & = 3x-8 \\ x^2-6x+8 & = 0 \\ (x-2)(x-4) & = 0 \\ x = 2~\text{atau}~x & = 4 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan dapatkan nilai $y$ jika masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada salah satu persamaan, misalnya $y = 3x-8$.
$$\begin{aligned} x = 2 & \Rightarrow y = 3(2)-8 = -2 \\ x = 4 & \Rightarrow y = 3(4)-8 = 4 \end{aligned}$$Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(2, -2), (4, 4)\}}$
Jawaban d)
Diketahui
$$\begin{cases} y & = x+1 && (\cdots 1) \\ y & = x^2+x && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2+x & = x+1 \\ x^2-1 & = 0 \\ (x+1)(x-1) & = 0 \\ x = -1~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan dapatkan nilai $y$ jika masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada salah satu persamaan, misalnya $y = x+1$.
$$\begin{aligned} x = -1 & \Rightarrow y = -1+1 = 0 \\ x = 1 & \Rightarrow y = 1+1 = 2 \end{aligned}$$Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(-1, 0), (1, 2)\}}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) SPLTV

Soal Nomor 2
Diketahui SPLK 2
$$\begin{cases} 2x+y+1 & = 0 \\ y & = x^2-4x \end{cases}$$

  1. Tunjukkan bahwa sistem persamaan linear dan kuadrat itu tepat memiliki satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
  2. Carilah himpunan penyelesaiannya itu.

 

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui
$$\begin{cases} 2x+y+1 & = 0 && (\cdots 1) \\ y & = x^2-4x && (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ dapat diubah menjadi $y = -2x-1$.
Substitusikan persamaan ini ke persamaan $(2)$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} -2x-1 & = x^2-4x \\ 0 & = x^2-2x+1 \end{aligned}$$Sistem tersebut memiliki tepat satu penyelesaian jika persamaan kuadrat di atas memiliki diskriminan yang nilainya $0$.
$$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ & = (-2)^2-4(1)(1) \\ & = 4-4 = 0 \end{aligned}$$(Terbukti)
Jawaban b)
Sebelumnya, kita peroleh persamaan kuadrat $x^2-2x+1 = 0$, yang dapat difaktorkan menjadi $(x-1)^2 = 0$, sehingga penyelesaiannya adalah $x=1$.
Substitusi $x=1$ pada persamaan linearnya, sehingga didapat
$$y = -2\color{red}{x}-1 = -2(1)-1 = -3 $$Jadi, penyelesaian SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(1, -3)\}}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Carilah nilai $a$ agar tiap SPLK berikut ini tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
a. $\begin{cases} y & = x+a \\ y & = x^2-3x \end{cases}$
b. $\begin{cases} y & = ax+1 \\ y & = \dfrac12x^2+x+1 \end{cases}$
c. $\begin{cases} y & = x+a \\ y & = \dfrac12x^2-2 \end{cases}$
d. $\begin{cases} y & = ax+2 \\ y & = ax^2+x+1 \end{cases}$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui
$$\begin{cases} y & = x+a && (\cdots 1) \\ y & = x^2-3x && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2-3x & = x+a \\ \underbrace{1}_{\color{red}{a}}x^2\underbrace{-4}_{b}x+\underbrace{a}_{c} & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila nilai diskriminan $D$ persamaan kuadrat di atas bernilai $0$.
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & = 0 \\ (-4)^2-4(1)(-a) & = 0 \\ 16+4a & = 0 \\ 4a & = -16 \\ a & = -4 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=-4}$
Jawaban b)
Diketahui
$$\begin{cases} y & = ax+1 && (\cdots 1) \\ y & = \dfrac12x^2+x+1 && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac12x^2+x+1 & = ax+1 \\ \underbrace{\dfrac12}_{\color{red}{a}}x^2+\underbrace{(1-a)}_{b}x+\underbrace{0}_{c} & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila nilai diskriminan $D$ persamaan kuadrat di atas bernilai $0$.
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & = 0 \\ (1-a)^2-4\left(\dfrac12\right)(0) & = 0 \\ (1-a)^2 & = 0 \\ 1-a & = 0 \\ a & = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=1}$
Jawaban c)
Diketahui
$$\begin{cases} y & = x+a && (\cdots 1) \\ y & = \dfrac12x^2-2 && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac12x^2-2 & = x+a \\ \underbrace{\dfrac12}_{\color{red}{a}}x^2\underbrace{-1}_{b}x+\underbrace{-2-a}_{c} & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila nilai diskriminan $D$ persamaan kuadrat di atas bernilai $0$.
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & = 0 \\ (-1)^2-4\left(\dfrac12\right)(-2-a) & = 0 \\ 1+4+2a & = 0 \\ 2a & = -5 \\ a & = -\dfrac52 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=-\dfrac52}$
Jawaban d)
Diketahui
$$\begin{cases} y & = ax+2 && (\cdots 1) \\ y & = ax^2+x+1 && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} ax^2+x+1 & = ax+2 \\ \underbrace{a}_{\color{red}{a}}x^2+\underbrace{(1-a)}_{b}x+\underbrace{-1}_{c} & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila nilai diskriminan $D$ persamaan kuadrat di atas bernilai $0$.
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & = 0 \\ (1-a)^2-4(a)(-1) & = 0 \\ (1-2a+a^2)+4a & = 0 \\ a^2+2a+1 & = 0 \\ (a+1)^2 & = 0 \\ a & = -1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=-1}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Carilah batas-batas nilai $a$ agar setiap SPLK berikut ini sekurang-kurangnya memiliki satu anggota himpunan penyelesaian.
a. $\begin{cases} y & = 2x+a \\ y & = x^2-4x+5 \end{cases}$
b. $\begin{cases} 3x+y & = -1 \\ y^2-2ax & = 0 \end{cases}$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $$\begin{cases} y & = 2x+a && (\cdots 1) \\ y & = x^2-4x+5 && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$, sehingga diperoleh
$$\begin{cases} x^2-4x+5 & = 2x+a \\ \underbrace{1}_{\color{red}{a}}x^2\underbrace{-6}_{b}x+\underbrace{(5-a)}_{c} & = 0 \end{cases}$$SPLK tersebut akan memiliki setidaknya satu penyelesaian jika persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan $D \geq 0$.
Dengan demikian, kita tuliskan
$$\begin{aligned} D & \geq 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & \geq 0 \\ (-6)^2-4(1)(5-a) & \geq 0 \\ 36-20+4a & \geq 0 \\ 16+4a & \geq 0 \\ 4a & \geq -16 \\ a & \geq -4 \end{aligned}$$Jadi, batas nilai $a$ agar SPLK ini memiliki sekurang-kurangnya satu anggota himpunan penyelesaian adalah $\boxed{a \geq -4}$
Jawaban b)
Diketahui $\begin{cases} 3x+y & = -1 && (\cdots 1) \\ y^2-2ax & = 0 && (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ dapat ditulis menjadi $y = -1-3x$.
Substitusikan persamaan ini pada persamaan $(2)$, sehingga diperoleh
$$\begin{cases} (-1-3x)^2-2ax & = 0 \\ (1+6x+9x^2)-2ax & = 0 \\ \underbrace{9}_{\color{red}{a}}x^2+\underbrace{(6-2a)}_{b}x+\underbrace{1}_{c} & = 0 \end{cases}$$SPLK tersebut akan memiliki setidaknya satu penyelesaian jika persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan $D \geq 0$.
Dengan demikian, kita tuliskan
$$\begin{aligned} D & \geq 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & \geq 0 \\ (6-2a)^2-4(9)(1) & \geq 0 \\ 4(3-a)^2-4(9) & \geq 0 \\ (3-a)^2-9 & \geq 0 && (\text{bagi}~4) \\ (3-a)^2 & \geq 9 \\ 3-a \leq -3~\text{atau}~& 3-a \geq 3 \\ -a \leq -6~\text{atau}~& -a \geq 0 \\ a \geq 6~\text{atau}~& a \leq 0 \end{aligned}$$Jadi, batas nilai $a$ agar SPLK ini memiliki sekurang-kurangnya satu anggota himpunan penyelesaian adalah $\boxed{a \leq 0~\text{atau}~a \geq 6}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Carilah nilai $m$ agar tiap SPLK berikut tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
a. $\begin{cases} y = x+m \\ x^2+4y^2-4 = 0 \end{cases}$
b. $\begin{cases} y = mx \\ x^2+y^2-8x-4y+16 = 0 \end{cases}$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui
$$\begin{cases} y = x+m & (\cdots 1) \\ x^2 + 4y^2-4 = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2+4(x+m)^2-4 & = 0 \\ x^2+4(x^2+2mx+m^2)-4 & = 0 \\ 5x^2+8mx+(4m^2-4) & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan sama dengan $0$. Kita peroleh
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (8m)^2-4(5)(4m^2-4) & = 0 \\ 64m^2-80m^2+80 & = 0 \\ -16m^2 + 80 & = 0 \\ -m^2 + 5 & = 0 && (\text{bagi}~16) \\ m^2 & = 5 \\ m & = \pm \sqrt5 \end{aligned}$$Jadi, nilai $m$ yang memuat SPLK tersebut memiliki tepat satu penyelesaian adalah $m = \sqrt5$ atau $m = -\sqrt5$.
Jawaban b)
Diketahui
$$\begin{cases} y = mx & (\cdots 1) \\ x^2 +y^2-8x-4y+16 = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusikan persamaan $(1)$ pada persamaan $(2)$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2+(mx)^2-8x-4(mx)+16 & = 0 \\ (1+m^2)x^2+(-8-4m)x+16 & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan sama dengan $0$. Kita peroleh
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (-8-4m)^2-4(1+m^2)(16) & = 0 \\ 16(2+m)^2-4(1+m^2)(16) & = 0 \\ (2+m)^2-4(1+m^2) & = 0 && (\text{bagi}~16) \\ 4+4m+m^2-4-4m^2 & = 0 \\ -3m^2+4m & = 0 \\ m(-3m + 4) & = 0 \\ m = 0~\text{atau}~m & = \dfrac43 \end{aligned}$$Jadi, nilai $m$ yang memuat SPLK tersebut memiliki tepat satu penyelesaian adalah $m = 0$ atau $m = \dfrac43$.

[collapse]

Soal Nomor 6
Misalkan $p, q$ adalah bilangan real yang bukan nol. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini dengan menyatakannya dalam $p$ dan $q$.
a. $\begin{cases} px + qy = 0 \\ p^2x^2 + pqx + q^2y^2 = 0 \end{cases}$
b. $\begin{cases} x+y = p+q \\ x^2+y^2+xy-p^2-q^2-pq = 0 \end{cases}$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui
$$\begin{cases} px + qy = 0 & (\cdots 1) \\ p^2x^2 + pqx + q^2y^2 = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ dapat ditulis kembali menjadi $y = -\dfrac{px}{q}$. Substitusikan pada persamaan $(2)$.
$$\begin{aligned} p^2x^2 + pqx + q^2\color{red}{y}^2 & = 0 \\ p^2x^2 + pqx + q^2\left(-\dfrac{px}{q}\right)^2 & = 0 \\ p^2x^2 + pqx + \cancel{q^2} \cdot \dfrac{p^2x^2}{\cancel{q^2}} & = 0 \\ 2p^2x^2 + pqx & = 0 \\ px(2px + q) & = 0 \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa kita telah memperoleh
$$\begin{aligned} px = 0 & \Rightarrow x = 0 \\ 2px + q = 0 & \Rightarrow x = -\dfrac{q}{2p} \end{aligned}$$Masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada persamaan $y = -\dfrac{px}{q}$. Kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} x = 0 & \Rightarrow y = -\dfrac{p(0)}{q} = 0 \\ x = -\dfrac{q}{2p} & \Rightarrow y = -\dfrac{p}{q} \cdot \left(-\dfrac{q}{2p}\right) = \dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah $$\boxed{\left\{(0, 0), \left(-\dfrac{q}{2p}, \dfrac12\right)\right\}}$$Jawaban b)
Diketahui
$$\begin{cases} x+y = p+q & (\cdots 1) \\ x^2+y^2+xy-p^2-q^2-pq = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Kedua ruas pada persamaan $(1)$ dikuadratkan, dan kita akan peroleh
$$\begin{aligned} (x+y)^2 & = (p+q)^2 \\ x^2+2xy+y^2 & = p^2+2pq+q^2 \\ x^2+y^2+2xy-p^2-q^2-2pq & = 0 && (\cdots 3) \end{aligned}$$Sekarang, persamaan $(3)$ dikurangi persamaan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x^2+y^2+2xy-p^2-q^2-2pq & = 0 \\ x^2+y^2+xy-p^2-q^2-pq & = 0 \end{aligned} \\  \rule{7 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} xy-pq & = 0 \\ xy & = pq \end{aligned} \end{aligned}$$
Dengan demikian, kita dapat tuliskan
$$\begin{cases} x+y & = p+q && (\cdots 1) \\ xy & = pq && (\cdots 2) \end{cases}$$Dengan demikian, didapat dua penyelesaian, yaitu $(x, y) = (p, q)$ atau $(x, y) = (q, p)$.
Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah $$\boxed{\{(p, q), (q, p)\}}$$

[collapse]

Soal Nomor 7
Tentukan himpunan penyelesaian SPLK berikut.
a. $\begin{cases} y = x + 1 \\ x^2+y^2-25 = 0 \end{cases}$
b. $\begin{cases} 2x-y-3 = 0 \\ x^2-y^2 = 0 \end{cases}$
c. $\begin{cases} 3x-y-16 = 0 \\ x^2+y^2-6x+4y-12 = 0 \end{cases}$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui SPLK
$$\begin{cases} y = x + 1 & (\cdots 1) \\ x^2+y^2-25 = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ disubstitusikan pada persamaan $(2)$.
$$\begin{aligned} x^2+\color{red}{y}^2-25 & = 0 \\ x^2+(x+1)^2-25 & = 0 \\ x^2+(x^2+2x+1)-25 & = 0 \\ 2x^2 +2x-24 & = 0 \\ x^2+x-12 & = 0 \\ (x+4)(x-3) & = 0 \\ x = -4~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Jika $x = -4$, maka diperoleh $y = -3$.
Jika $x = 3$, maka diperoleh $y = 4$.
Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(-4, -3), (3, 4)\}}$
Jawaban b)
Diketahui SPLK
$$\begin{cases} 2x-y-3 = 0 & (\cdots 1) \\ x^2-y^2 = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ dapat ditulis menjadi $y = 2x-3$. Substitusikan pada persamaan $(2)$.
$$\begin{aligned} x^2-\color{red}{y}^2 & = 0 \\ (x+\color{red}{y})(x-\color{red}{y}) & = 0 \\ (x+(2x-3))(x-(2x-3)) & = 0 \\ (3x-3)(-x+3) & = 0 \\ x = 1~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Jika $x = 1$, maka diperoleh $y = -1$.
Jika $x = 3$, maka diperoleh $y = 3$.
Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{(1, -1), (3, 3)\}}$
Jawaban c)
Diketahui SPLK
$$\begin{cases} 3x-y-16 = 0 & (\cdots 1) \\ x^2+y^2-6x+4y-12 = 0 & (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ dapat ditulis menjadi $y = 3x-16$. Substitusikan pada persamaan $(2)$.
$$\begin{aligned} x^2+\color{red}{y}^2-6x+4\color{red}{y}-12 & = 0 \\ x^2 + (3x-16)^2-6x + 4(3x-16)-12 & = 0 \\ x^2 + (9x^2-96x+256)-6x + 12x-64-12 & = 0 \\ 10x^2-90x+180 & = 0 \\ x^2-9x+18 & = 0 && (\text{bagi}~10) \\ (x-3)(x-6) & = 0 \end{aligned}$$Jika $x = 3$, maka diperoleh $y = -7$.
Jika $x = 6$, maka diperoleh $y = 2$.
Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{3, -7), (6, 2)\}}$

[collapse]

KategoriAljabarTag, , , , , ,

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *