Soal dan Pembahasan – Ranah Pengetahuan Kuantitatif UTBK (Bagian 4)

Misalkan banyak kandang adalah $x$, maka diperoleh persamaan linear satu variabel dan penyelesaiannya sebagai berikut.
$$\begin{aligned} 5(x + 6) & = 7x \\ 5x + 30 & = 7x \\ 2x & = 30 \\ x & = 15 \end{aligned}$$Jadi, ada $15$ kandang, sehingga banyak sapi Pak Sukardi adalah $\boxed{7(15) = 105}$ ekor.
(Jawaban A)

Diketahui $2x=y+7$.
Pertama, karena titik $(a, 3)$ melalui garis, maka substitusi nilai $x = a$ dan $y = 3$ untuk memperoleh
$$\begin{aligned} 2a & = 3+7 \\ 2a & = 10 \\ a & = 5 \end{aligned}$$Titik $(a-2, b+1)$ menjadi titik $(3, b+1)$, sebab $a = 5$.
Substitusi nilai $x = 3$ dan $y = b+1$ pada persamaan garis.
$$\begin{aligned} 2(3) & = (b+1)+7 \\ 6 & = b + 8 \\ b & = -2 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{b=-2}$
(Jawaban C)

Diketahui $b = 5a + 3$. Kita peroleh
$$\begin{aligned} 5a & = b-3 \\ a & = \dfrac{b-3}{5} \end{aligned}$$Agar $a$ bulat, maka $b-3$ harus habis dibagi $5$, sehingga $b$ adalah bilangan dari anggota himpunan $$\{\cdots, 3, 8, 13, 18, \cdots\}$$Berdasarkan opsi soal, bilangan yang merupakan pembagi dari $b$ adalah $13$, sebagaimana $b$ dapat bernilai $13$ juga.
(Jawaban D)

Karena $233$ dibagi $d$ menyisakan $79$, maka $233-79 = 154$ habis dibagi $d$. Faktor dari $154$ adalah $1, 2, 7, 11$, $14, 22, 77$, dan $154$. Karena hanya $154$ yang lebih besar dari $79$ (sisa hasil bagi), maka haruslah $d = 154$. Di lain sisi, $d = 154$ dapat dinyatakan sebagai $d = 2 \times 7 \times 11$, sehingga kita dapatkan bahwa $a = 2$, $b = 7$, dan $c = 11$.
Jadi, nilai dari $\boxed{a+c = 2+11 = 13}$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa $2$ minggu = $14$ hari. Misalkan $x$ menyatakan rata-rata jumlah pengunjung per hari untuk $6$ hari berikutnya. Kita peroleh persamaan linear satu variabel dan penyelesaiannya.
$$\begin{aligned} 14 \times 500 & = 8 \times 650 + 6 \times x \\ 7000 & = 5200 + 6x \\ 1800 & = 6x \\ x & = 300 \end{aligned}$$Jadi, rata-rata jumlah pengunjung per hari untuk $6$ hari berikutnya adalah $\boxed{300}$ orang.
(Jawaban A)

Urutkan sekumpulan bilangan tersebut mulai dari yang terkecil tanpa $x$.
$$13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20$$Bila $12 \leq x \leq 16$, maka mediannya adalah $16$. Bila $17 \leq x \leq 20$, maka mediannya adalah $17$.
Jadi, nilai mediannya adalah $16$ atau $17$.
(Jawaban B)

Waktu dihitung dengan cara membagi jarak terhadap kecepatan. Diketahui jarak = $w$ km dan kecepatan = $z$ km/jam, maka waktu tempuh dalam satuan jam adalah $\dfrac{\text{jarak}}{\text{kecepatan}} = \dfrac{w}{z}$.
(Jawaban C)

Misalkan kalung yang terjual di bulan April adalah $x$, maka saat bulan Mei terjual $\dfrac35x$ kalung dan bulan Juni terjual $\dfrac16 \cdot \dfrac35x = \dfrac{1}{10}x$.
Rata-rata banyak penjualan di bulan Mei dan Juni adalah
$$\begin{aligned} \dfrac{\dfrac35x + \dfrac{1}{10}x}{2} & = \dfrac{\dfrac{6+1}{10}x}{2} \\ & = \color{red}{\dfrac{7}{20}}x \end{aligned}$$Jadi, banyak penjualan di bulan April sama dengan $\dfrac{20}{7}$ kali lipat dari rata-rata banyak penjualan di bulan Mei dan Juni.
Catatan: Soal ini juga dapat diselesaikan dengan memisalkan banyak kalung yang terjual di bulan April adalah bilangan tertentu, misalnya $10, 20$, atau lainnya, guna menghindari aljabar.
(Jawaban D)

Agar mendapat untung $25\%$ terhitung dari modal, maka pedagang harus menjual barang seharga
$$\begin{aligned} \dfrac{125\%}{100\%} \times 720.000 & = \dfrac{5}{4} \times 720.000 \\ & = 900.000 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa Rp900.000,00 ini merupakan hasil potongan harga sebesar $10\%$, sehingga harga jual yang harus dipasang adalah
$$\begin{aligned} \dfrac{100\%}{90\%} \times 900.000 & = \dfrac{10}{9} \times 900.000 \\ & = 1.000.000 \end{aligned}$$Jadi, harga yang harus dipasang sebesar Rp1.000.000,00.
(Jawaban B)

Karena $1$ jam = $3.600$ detik, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} 1,05~\text{km}/\text{detik} & = 1,05~\text{km}/\text{jam} \times 3.600 \\ & = \dfrac{105}{100} ~\text{km}/\text{jam} \times 3.600 \\ & = (105 \times 36)~\text{km}/\text{jam} \\ & = 3.780~\text{km}/\text{jam} \end{aligned}$$Jadi, nilai kecepatan tersebut setara dengan $\boxed{3.780~\text{km}/\text{jam}}$
(Jawaban C)

Banyak bensin = $10 + 6 = 16$ galon. Kapasitas maksimum diketahui sebanyak $16 + 4 = 20$ galon. Dengan demikian, persentase kapasitas bensin yang ada sebesar $\dfrac{16}{20} \times 100\% = 80\%$.
(Jawaban E)

Diketahui $t_A = 4$ dan $t_B = 3$.
Waktu yang diperlukan untuk mengecat dinding secara bersama-sama dimisalkan $x$.
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{t_A}+\dfrac{1}{t_B} & = \dfrac{1}{x} \\ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} & = \dfrac{1}{x} \\ \dfrac{7}{12} & = \dfrac{1}{x} \\ \dfrac{12}{7} & = x \end{aligned}$$Jadi, mereka memerlukan waktu selama $\boxed{\dfrac{12}{7}~\text{jam}}$ untuk mengecat dinding.
(Jawaban E)

Saat pengendara B mulai bergerak, pengendara A sudah menempuh jarak $60$ km (dalam waktu sejam).
Dua jam kemudian dari saat itu, pengendara A sudah menempuh jarak $3 \times 60 = 180$ km, sementara pengendara B sudah menempuh jarak $2 \times 80 = 160$ km.
Ini menunjukkan bahwa pengendara B belum berhasil menyusul. Keduanya terpisah sejauh $180-160 = 20$ km.
(Jawaban B)

Belah ketupat, trapesium, dan limas segitiga memiliki $4$ titik sudut, sedangkan balok memiliki $8$ titik sudut. Jadi, bangun yang dimaksud adalah (1), (2), dan (3).
(Jawaban A)

Diketahui $g(x) = \dfrac{2x+1}{x^2-4}$.
Cek Pernyataan (1).
$g(x)$ dapat menghasilkan bilangan bulat. Sebagai contoh,
$$\begin{aligned} g\left(-\dfrac12\right) & = \dfrac{2\left(-\dfrac12\right)+1}{\left(-\dfrac12\right)^2-4} \\ & = \dfrac{-1+1}{\dfrac14-4} = 0 \end{aligned}$$Jadi, pernyataan (1) benar.
Cek Pernyataan (2).
$g(x)$ dapat bernilai $0$, yakni ketika $x = -\dfrac12$. Perhitungannya sama seperti di atas. Jadi, pernyataan (2) salah.
Cek Pernyataan (3).
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} g(-2) & = \dfrac{2(-2)+1}{(-2)^2-4} \\ & = \dfrac{-3}{\color{red}{0}} \end{aligned}$$Karena penyebutnya bernilai $0$, maka $g(-2)$ tidak terdefinisi. Jadi, pernyataan (3) benar.
Cek Pernyataan (4).
Ambil $x = 0$, sehingga didapat
$$\begin{aligned} g(0) & = \dfrac{2(0)+1}{0^2-4} \\ & = -\dfrac14 \end{aligned}$$Ini menunjukkan bahwa untuk bilangan bulat $x$, tidak selalu $g(x)$ bulat. Jadi, pernyataan (4) salah.
Dapat disimpulkan bahwa pernyataan (1) dan (3) SAJA yang benar.
(Jawaban B)

Cek Pernyataan (1).
$m-n$ kelipatan $10$, ditulis $m-n=10k = 5(2k)$ untuk setiap $k$ bilangan bulat positif. Ini menunjukkan bahwa $m-n$ berkelipatan $5$. Jadi, pernyataan (1) cukup untuk menjawab pertanyaan.
Cek Pernyataan (2).
$n$ kelipatan $5$, berarti kita tuliskan $m-5k$ untuk setiap bilangan bulat positif $k$. Hasil dari $m-5k$ bisa jadi berkelipatan $5$, bisa juga tidak, tergantung dari nilai $m$. Apabila $m$ juga berkelipatan $5$, maka $m-5k$ juga berkelipatan $5$. Namun bila tidak demikian, maka $m-5k$ bukan kelipatan $5$. Jadi, pernyataan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
Dapat disimpulkan bahwa pernyataan (1) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (2) SAJA tidak cukup.
(Jawaban A)

Menjumlahkan semua bilangan di $S$ sama saja artinya menjumlahkan bilangan genap dan bilangan ganjil di $S$.
Cek Pernyataan (1).
Diketahui jumlah dari semua bilangan ganjil adalah genap. Kita juga tahu bahwa jumlah dari semua bilangan genap pasti genap. Ini artinya genap + genap, menghasilkan bilangan genap. Jadi, pernyataan (1) cukup untuk menjawab pertanyaan.
Cek Pernyataan (2).
Diketahui jumlah dari semua bilangan positif adalah ganjil. Informasi ini tidak cukup untuk menjawab pertanyaan karena jumlah dari semua bilangan negatif bisa jadi ganjil atau genap. Jadi, pernyataan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
(Jawaban A)

Diketahui lebar dan panjang bingkai berbanding $3 : 4$.
Cek Pernyataan (1).
Bila luas jendela dan bingkainya sama, maka pastilah jendela dan bingkainya seukuran, sehingga lebar dan panjang jendela juga berbanding $3 : 4$. Dalam hal ini, tidak mungkin ukuran jendela melebihi ukuran bingkainya. Jadi, pernyataan (1) cukup untuk menjawab pertanyaan.
Cek Pernyataan (2).
Bingkai memiliki lebar $1$. Panjangnya juga dapat diketahui menggunakan perbandingan $3 : 4$ tadi. Akan tetapi, perbandingan panjang dan lebar jendela tetap tidak dapat ditentukan. Pernyataan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
Dapat disimpulkan bahwa pernyataan (1) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (2) SAJA tidak cukup.
(Jawaban A)

Cek Pernyataan (1).
Diketahui $AB = 3$. Informasi ini masih kurang cukup untuk menentukan panjang $BD$.
Cek Pernyataan (2).
Diketahui $AC = 7$. Sama, informasi ini juga masih kurang cukup untuk menentukan panjang $BD$.
Gunakan Kedua Pernyataan.
Diketahui $AB = 3$ dan $AC = 7$.
Dengan rumus Pythagoras pada segitiga siku-siku $ABC$, diperoleh
$$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AC^2-AB^2} \\ & = \sqrt{7^2-3^2} \\ & = \sqrt{4 \cdot 10} \\ & = 2\sqrt{10} \end{aligned}$$Jika $BD = x$, maka $$DC = BC-BD = 2\sqrt{10}-x$$ 
Karena itu, $AD = 2\sqrt{10}-x$.
Terapkan lagi rumus Pythagoras pada segitiga siku-siku $ABD$, sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} AB^2+BD^2 & = AD^2 \\ 3^2 + x^2 & = (2\sqrt{10}-x)^2 \end{aligned}$$Jika perhitungannya dilanjutkan, akan diperoleh nilai $x$.
Jadi, kedua pernyataan bersama-sama cukup untuk menjawab pertanyaan.
(Jawaban C)

Volume balok dinyatakan oleh rumus $V = plt$, dengan $p, l, t$ masing-masing menotasikan panjang, lebar, dan tinggi balok.
Cek Pernyataan (1).
Diketahui $p = 5$. Volume balok masih belum dapat ditentukan karena $lt$ tidak diketahui. Jadi, pernyataan (1) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
Cek Pernyataan (2).
Luas salah satu sisi balok $S$ adalah $35$. Namun, informasi ini masih belum cukup untuk menentukan volume balok apabila satu ukuran rusuk lain balok yang tidak berkaitan dengan sisi balok tersebut belum diketahui. Jadi, pernyataan (2) belum cukup untuk menjawab pertanyaan.
Gunakan Kedua Pernyataan.
Diketahui $p = 5$ dan luas salah satu sisi balok = $35$. Informasi ini tidak memastikan bahwa volume balok dapat ditentukan karena ada kemungkinan sisi tersebut menggunakan ukuran panjang-lebar atau panjang-tinggi.
Dapat disimpulkan bahwa pernyataan (1) dan pernyataan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
(Jawaban E)