Soal dan Pembahasan – Ranah Pengetahuan Kuantitatif UTBK (Bagian 1)

Misalkan banyak koloni bakteri pada hari ke-$0$ (mula-mula) adalah $M_0 = 100\% = 1$.
Jumlahnya berkurang $i = 10\% = 0,1$ per hari. Karena jumlahnya harus kurang dari $M = 50\% = 0,5$, maka kita tuliskan
$$\begin{aligned} M & > M_0(1-i)^n \\ 0,5 & > 1(1-0,1)^n \\ 0,5 & > 0,9^n \end{aligned}$$Dengan melakukan perhitungan perpangkatan $9$ oleh $7$, diperoleh $9^7 = 4.782.969$ sehingga $0,9^7 = 0,478~296~9$. Jadi, nilai $n$ sama dengan $7$. Artinya, jumlah koloni bakteri mencapai kurang dari $50\%$ mulai pada hari ke-$\boxed{7}$
(Jawaban C)

Misalkan rata-rata kedelapan bilangan dalam himpunan itu adalah $a$ sehingga
$$\begin{aligned} a & = \dfrac{1+11+4+9+30+7+8+X}{8} \\ a & = \dfrac{70+X}{8} \\ 8a & = 70+X \\ X & = 8a-70 \end{aligned}$$Karena $X$ adalah bilangan bulat positif, maka nilai $a \geq 9$.
Sekarang, lakukan substitusi nilai $a$ berdasarkan anggota himpunan tersebut.
$$\begin{aligned} a & = 9 \Rightarrow X = 8(9)-70 = 2 \\ a & = 11 \Rightarrow X = 8(11)-70 = 18 \\ a & = 30 \Rightarrow X = 8(30)-70 = 170 \\ a & = X \Rightarrow X = 8X-70 \Leftrightarrow X = 10 \end{aligned}$$Jadi, ada $4$ nilai $X$ yang memenuhi, yakni $X \in \{2, 18, 10, 170\}$.
(Jawaban D)

Besar tiap sudut pada segi-$n$ beraturan dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} k & = \dfrac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n} \\ & = \dfrac{180^{\circ}n-360^{\circ}}{n} \\ & = 180^\circ-\dfrac{360^\circ}{n} \end{aligned}$$Karena nilai $k$ yang diiinginkan berada di antara $166^\circ$ dan $167^\circ$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} 166^{\circ} & < 180^\circ-\dfrac{360^\circ}{n} < 167^{\circ} \\ -14^{\circ} & < -\dfrac{360^\circ}{n} < -13^{\circ} && (\text{dikurangkan}~ 180^\circ) \\ 13^\circ & < \dfrac{360^\circ}{n} < 14^\circ && (\text{dikalikan}~-1) \\ \dfrac{1}{14^\circ} & < \dfrac{n}{360^\circ} < \dfrac{1}{13^\circ} && (\text{pembalikan}) \\ \dfrac{360}{14} & < n < \dfrac{360}{13} \\ 25,71 & < n < 27,69 \end{aligned}$$Catatan: Ketika dikalikan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan harus berlawanan. Begitu juga ketika ekspresi pada setiap ruas dilakukan pembalikan.
Karena $n$ bulat, maka interval nilai $n$ yang memenuhi berdasarkan pertidaksamaan terakhir adalah $\boxed{26 \leq n \le 27}$
(Jawaban A)

Gunakan sifat komplemen peluang, yakni dengan mencari banyak cara memilih ketua dan wakil ketua tanpa syarat, lalu dikurangi banyak cara memilih ketua dan wakil dengan syarat keduanya siswa laki-laki.
Banyak cara memilih tanpa syarat (memilih $12$ orang untuk menempati $2$ jabatan berbeda, artinya menggunakan permutasi) adalah $P_{2}^{12} = \dfrac{12!}{10!} = 12 \times 11 = 132$.
Sekarang, banyak cara memilih $2$ dari $5$ siswa laki-laki adalah $P_2^5 = \dfrac{5!}{3!} = 5 \times 4 = 20$.
Dengan demikian, banyak cara memilih ketua dan wakil ketua dengan syarat minimal ada seorang siswa perempuan adalah $\boxed{132-20=112}$
(Jawaban A)

Volume bola berjari-jari $r$ dinyatakan oleh $V_{\text{bo}\text{la}} = \dfrac43 \pi r^3$.
Tabung dengan alas berjari-jari $r$ dan tingginya $2r$ (diameter bola) adalah $V_{\text{tab}\text{ung}} = \pi r^2 (2r) = 2\pi r^3$.
Dengan demikian, perbandingan volumenya adalah
$$\begin{aligned} V_{\text{tab}\text{ung}} : V_{\text{bo}\text{la}} & = 2\cancel{\pi r^3} : \dfrac43\cancel{\pi r^3} \\ & = 2 : \dfrac43 \\ & = 1 : \dfrac23 \end{aligned}$$Jadi, volume tabung sama dengan $1 : \dfrac23 = \dfrac32$ kali lipat volume bola.
(Jawaban C)

Diketahui $f(x^n) = n^2f(x)$ dan $f(p) = p$ untuk setiap bilangan prima $p$.
$$\begin{aligned} f(125) + f(2)-f(9)+f(81)+f(7) & = f(5^3) + f(2)-f(3^2)+f(3^4)+f(7) \\ & = 3^2f(5) + f(2)-2^2f(3)+4^2f(3) + f(7) \\ & = 9f(5)+f(2)+12f(3)+f(7) \\ & = 9(5)+2+12(3) + 7 \\ & = 45+2+36+7 = 90 \end{aligned}$$Jadi, nilai $$\boxed{f(125) + f(2)-f(9)+f(81)+f(7) = 90}$$(Jawaban C)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 2 & = 1^2 + 1 \\ 4 & = 2^2 \\ 12 & = 3^2 + 3 \\ 16 & = 4^2 \\ 30 & = 5^2 + 5 \\ 36 & = 6^2 \\ 56 & = 7^2 + 7 \end{aligned}$$Dengan mengikuti pola tersebut, diperoleh $x = 8^2 = 64$ dan $y = 9^2+9 = 90$ sehingga $\boxed{y-x=90-64 = 26}$
(Jawaban C)

Dimulai dari suku kedua, polanya adalah ditambah dengan bilangan prima dimulai dari $2$ secara berurutan.
$$\begin{aligned} 1 + \color{red}{2} & = 3 \\ 3 + \color{red}{3} & = 6 \\ 6 + \color{red}{5} & = 11 \\ 11 + \color{red}{7} & = 18 \\ 18 + \color{red}{11} & = 29 \\ 29 + \color{red}{13} & = \color{blue}{42} \\ 42 + \color{red}{17} & = 59 \\ 59 + \color{red}{19} & = \color{blue}{78} \end{aligned}$$Kita peroleh $x = 29$ dan $y = 78$ sehingga $\boxed{2y+x=2(78)+29 = 185}$
(Jawaban B)

Pola: Bilangan di bagian bawah didapat dari hasil kali tiga bilangan lainnya dikurangi jumlah tiga bilangan lainnya.
Pada gambar $1$:
$$(1 \cdot 2 \cdot 3)-(1+2+3) = 6-6=0$$Pada gambar $2$:
$$(2 \cdot 3 \cdot 4)-(2+3+4)=24-9=15.$$Pada gambar $3$:
$$(3 \cdot 4 \cdot 5)-(3+4+5) = 60-12=48.$$Pada gambar $4$:
$$\begin{aligned}x & = (4 \cdot 5 \cdot 6)-(4+5+6) \\ & = 120-15 = 105 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ sesuai pola adalah $\boxed{105}$
(Jawaban B)

Pola: Bilangan di kanan dikurangi $1$, lalu dikuadratkan, sama dengan jumlah dua bilangan lainnya dikurangi $1$.
Pada gambar pertama,
$(7-1)^2 = 18 + 19-1 = 36$.
Pada gambar kedua,
$(10-1)^2 = 38 + 44-1 = 81.$
Pada gambar ketiga,
$$\begin{aligned} (x-1)^2 & = 125+72-1 \\ (x-1)^2 & = 196 \\ x-1 & = \pm 14 \\ x & = \pm 14+1 \end{aligned}$$Diperoleh nilai $x = 15$ atau $x = -13$.
Berdasarkan opsi yang tersedia, nilai $\boxed{x=15}$
(Jawaban E)

Pola: Bilangan di kanan bawah ditambah dua kali dari hasil pengurangan bilangan kiri bawah terhadap bilangan atas sama dengan bilangan di tengah.
Pada gambar pertama,
$4 + 2(8-5) = 4 + 6 = 10$.
Pada gambar kedua,
$30 + 2(34-27) = 30+14=44$.
Pada gambar ketiga,
$\begin{aligned} 47+2(42-z) = 29 \\ 2(42-z) & = -18 \\ 42-z & = -9 \\ z & = 51 \end{aligned}$
Jadi, nilai $z$ sesuai pola adalah $\boxed{51}$
(Jawaban B)

Untuk $p > 0$, berlaku $\color{red}{z > x > y}$, namun untuk $p = 0$, berlaku $\color{red}{x = y = z = 0}$, sedangkan untuk $p < 0$, berlaku $\color{red}{y > x > z}$. Ini menunjukkan bahwa hubungan ketiganya tidak dapat ditentukan secara pasti.
(Jawaban E)

Pada segitiga dengan sudut $30^\circ-60^\circ-90^\circ$, perbandingan panjang sisinya adalah $1 : \sqrt3 : 2$.
Perhatikan $\triangle DEC$. Karena $DE = 3$ cm, maka $CD = 3 \times 2 = 6$ cm.
Sekarang, tinjau segitiga $CDB$. Segitiga ini adalah sama kaki (karena dua sudutnya sama besar) sehingga $CD = BD = 6$ cm.
Akibatnya, $BE = BD + DE = 6 + 3 = 9$ cm.
Pada segitiga dengan sudut $45^\circ-45^\circ-90^\circ$, perbandingan panjang sisinya adalah $1 : 1 : \sqrt2$.
Perhatikan segitiga $ABE$.
Karena $BE = 9$ cm, maka $AB = 9 \times \sqrt2 = 9\sqrt2$ cm, berdasarkan perbandingan tersebut.
Catatan: Trigonometri juga dapat dipakai sebagai alternatif untuk menyelesaikan soal ini.
(Jawaban E)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} x & = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} \\ 2x & = \sqrt3-1 \\ (2x)^2 & = (\sqrt3-1)^2 \\ 4x^2 & = 3-2\sqrt3+1 \\ 4x^2 & = 4-2\sqrt3 \\ 2x^2 & = 2-\sqrt3\end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} 4x^3 + 6x^2+2 & = 2x^2(2x + 3) + 2 \\ & = (2-\sqrt3)\left(\cancel{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}-1}{\cancel{2}} + 3\right) + 2 \\ & = (2-\sqrt3)(2+\sqrt3) + 2 \\ & = (4-3)+2 = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{4x^3 + 6x^2+2 = 3}$
(Jawaban D)

Agar $A$ dan $B$ memiliki irisan, maka berdasarkan pernyataan yang diberikan, harus ditemukan jajaran genjang pada $A$ yang semua sisinya sama panjang supaya memenuhi sifat belah ketupat.
Menggunakan Pernyataan (1):
Misalkan panjang dua sisi jajaran genjang yang tidak berseberangan adalah $a$ dan $b$ sehingga kelilingnya $2(a+b)$, maka untuk suatu bilangan bulat $k$, haruslah
$$\begin{aligned} 2(a + b) & = 4k \\ a + b & = 2k. \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $a$ tidak harus sama dengan $b$ agar diperoleh bilangan genap. Ambil contoh, $a = 7$ dan $b = 5$. Jadi, sisinya belum tentu sama panjang sehingga pernyataan (1) belum cukup menjawab pertanyaan.
Menggunakan Pernyataan (2):
Misalkan $a$ dan $b$ adalah panjang sisi jajaran genjang yang tidak berseberangan, maka hasil kali panjang sisinya menjadi $a^2b^2 = (ab)^2$ yang jelas merupakan bilangan kuadrat, tetapi tidak mengharuskan $a = b$. Sebagai contoh, $a = 9$ dan $b = 4$. Jadi, sisinya belum tentu sama panjang sehingga pernyataan (2) belum cukup menjawab pertanyaan.
Menggunakan Kedua Pernyataan:
Apabila kedua pernyataan digunakan, maka pernyataan yang memberikan informasi untuk menjawab soal hanyalah pernyataan (1), sedangkan pernyataan (2) sudah pasti berlaku untuk setiap jajaran genjang. Oleh karena itu, kedua pernyataan yang diberikan tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
(Jawaban E)

Gunakan analogi langkah per langkah seperti berikut.

1. $16$ pelukis $\Rightarrow$ $50$ lukisan ukuran $24~\text{m}^2$ $\Rightarrow$ $6$ hari.
2. $16$ pelukis $\Rightarrow$ total $1200~\text{m}^2$ $\Rightarrow$ $6$ hari.
3. $1$ pelukis $\Rightarrow$ total $75~\text{m}^2$ $\Rightarrow$ $6$ hari.
4. $1$ pelukis $\Rightarrow$ total $12,5~\text{m}^2$ $\Rightarrow$ $1$ hari.

Dengan demikian,

1. $7$ pelukis $\Rightarrow$ total $87,5~\text{m}^2$ $\Rightarrow$ $1$ hari.
2. $7$ pelukis $\Rightarrow$ $840~\text{m}^2$ $\Rightarrow$ $9,6$ hari. (Catatan: $15 \times 56 = 840$. Lalu, $840 : 87,5 = 9,6$. Oleh karena itu, di sini kita kalikan dengan $9,6$).
3. $7$ pelukis $\Rightarrow$ $15$ lukisan ukuran $56~\text{m}^2$ $\Rightarrow$ $9,6$ hari.

Jadi, dibutuhkan waktu $9,6$ hari atau dibulatkan menjadi $10$ hari.
(Jawaban E)

Perhatikan sketsa gambar segitiga $ABC$ dengan $M$ titik tengah $BC$.

Cek pernyataan (1).
Diketahui $AM = MB.$ Ini menunjukkan $\angle ABM = \angle BAM = x$ sehingga $\angle BMA = 180^\circ-2x.$ Karena berpelurus, maka $\angle AMC = 2x.$ Terakhir, $AM = MC$ berakibat $\angle ACM = \angle CMA = 90^\circ-x.$ Jadi, $\angle A = x + (90^\circ-x) = 90^\circ.$ Dengan kata lain, segitiga $ABC$ siku-siku di $A$ seperti yang tampak pada gambar berikut.
Titik pusat lingkaran luar segitiga akan tepat di $M$ dengan $MB = MC$ sebagai panjang jari-jarinya.
Karena itu, pernyataan (1) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
Cek pernyataan (2).
$AB = AC = 10$ cm hanya membuat segitiga $ABC$ sama kaki, dan informasi ini tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
Apabila kedua pernyataan digunakan bersamaan, maka segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku sama kaki dengan $AB = AC = 10$ cm sehingga dengan rumus Pythagoras, diperoleh $BC = 10\sqrt2$ cm, akibatnya $MB = MC = 5\sqrt2$ cm.
Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga sama dengan $r = 5\sqrt2$ cm.
Dapat disimpulkan bahwa dua pernyataan BERSAMA-SAMA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi SATU pernyataan SAJA tidak cukup.
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} x+\dfrac{1}{x} & = 3 \\ x^2+1 & = 3x && (\text{kalikan}~x) \\ x^2-3x+1 & = 0 \end{aligned}$$Dengan menggunakan persamaan terakhir, kita akan peroleh
$$\begin{aligned} x^3-2x^2-2x+4 & = (x^3-3x^2+x)+(x^2-3x+1) + 3 \\ & = x(x^2-3x+1)+(x^2-3x+1) + 3 \\ & = x(0) + 0 + 3 = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $x^3-2x^2-2x+4$ adalah $\boxed{3}$
(Jawaban A)

Permasalahan ini sama saja mencari nilai $\text{KPK}$ (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari $2$ sampai $9$, lalu hasilnya ditambah $1$.
Tuliskan kedelapan bilangan itu dalam bentuk faktorisasi prima.
$$\begin{array}{cc} \hline 2 = 2 & 3 = 3 \\ 4 = 2^2 & 5 = 5 \\ 6 = 2 \times 3 & 7 = 7 \\ 8 = 2^3 & 9 = 3^2 \\ \hline \end{array}$$Dengan mengambil semua faktor prima berpangkat tertinggi, kita peroleh
$$\begin{aligned} \text{KPK}(2, 3, \cdots, 9) & = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 \\ & = 8 \times 9 \times 5 \times 7 \\ & = 2520 \end{aligned}$$Ini berarti, bilangan bulat positif terkecil yang jika dibagi $2, 3, 4$, sampai dengan $9$ masing-masing bersisa $1$ adalah $\boxed{2520+1=2521}$
(Jawaban C)

Dari soal di atas, dapat kita tuliskan bahwa untuk Andi ($A$), Budi ($B$), dan Caca ($C$), berlaku
$$\begin{aligned} A + B & \Rightarrow 25~\text{m}^2/\text{jam} \\ A + C & \Rightarrow 25~\text{m}^2/\text{jam} \\ B + C & \Rightarrow 40~\text{m}^2/\text{jam} \end{aligned}$$Karena ketiganya mengecat bersama-sama, maka kecepatan mereka mengecat dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} (A+B)+(A+C)+(B+C) & \Rightarrow (25+25+40)~\text{m}^2/\text{jam} \\ 2(A+B+C) & \Rightarrow 90~\text{m}^2/\text{jam} \\ A+B+C & \Rightarrow 45~\text{m}^2/\text{jam} \end{aligned}$$Jadi, setiap $1$ jam, mereka bertiga dapat mengecat dinding seluas $45~\text{m}^2$.
Oleh karena itu, waktu yang diperlukan untuk mengecat dinding seluas $200~\text{m}^2$ adalah $\boxed{200 \div 45 \approx 4,44~\text{jam}}$
(Jawaban B)