Soal dan Pembahasan – Ranah Pengetahuan Kuantitatif UTBK (Bagian 1)

      Ujian Tertulis Berbasis Komputer (UTBK) merupakan penentu kelulusan calon mahasiswa dalam Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) di Indonesia. UTBK sering kali menjadi momok yang mengerikan bagi sebagian orang dikarenakan ujian ini menjadi faktor lulus tidaknya seseorang untuk diterima dalam perguruan tinggi yang dipilihnya. UTBK terdiri dari ujian Saintek/Soshum, atau campuran keduanya, dan juga Tes Potensi Skolastik (TPS). Khusus untuk tahun 2020, UTBK hanya memuat TPS dikarenakan adanya pandemi Covid-19. 

       Salah satu muatan dalam TPS UTBK adalah ranah pengetahuan kuantitatif, yang mencakup soal mengenai pola dan barisan bilangan, teori bilangan dasar, serta manipulasi bentuk aljabar dan geometri dasar. Untuk bisa mendapatkan skor tinggi dalam ranah ini, peserta tes harus menguasai dengan baik konsep-konsep dasar matematika (setidaknya matematika setingkat SMP).

      Upaya mempersiapkan TPS UTBK juga turut dilakukan oleh sejumlah instansi dan pihak yang berkecimpung dalam dunia pendidikan, salah satunya adalah Matematika Imba. Aktif dalam akun Instagram-nya, @matematikaimba, pihak Matematika Imba melakukan sejumlah try-out atau simulasi TPS UTBK yang dapat diikuti secara umum. Nah, untuk try-out yang sudah diadakan, berikut disertakan soal dan pembahasannya terkhusus untuk ranah pengetahuan kuantitatif.

Semoga bermanfaat dan selamat belajar!

       Satu lagi, nih. Di sini juga disediakan soal dan pembahasan dalam format PDF dari Matematika Imba, tetapi terdapat beberapa perubahan/penyesuaian soal tertentu terutama dari segi penulisan, ya. Mohon menjadi perhatian. 

Download Soal dari Mathcyber (PDF, 154 KB)

Download Soal dan Solusi dari Matematika Imba (PDF, 634 KB)

Postingan ini untuk soal dan pembahasan bagian 1. Untuk bagian lainnya, bisa dicek di tautan di bawah. Semoga bermanfaat, ya!

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Ranah Pengetahuan Kuantitatif UTBK (Bagian 2)

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Ranah Pengetahuan Kuantitatif UTBK (Bagian 3)

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Ranah Pengetahuan Kuantitatif UTBK (Bagian 4)

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Ranah Pengetahuan Kuantitatif UTBK (Bagian 5)

Quote by @matematikaimba

Semua bisa paham matematika.

Soal Nomor 1
Dalam sehari, jumlah koloni suatu bakteri berkurang sebanyak $10\%$ dari jumlahnya pada awal hari. Jumlah koloni bakteri tersebut akan kurang dari $50\%$ dari jumlah semula mulai pada hari ke-$\cdots \cdot$
A. $5$                    C. $7$                   E. $9$
B. $6$                    D. $8$

Pembahasan

Misalkan banyak koloni bakteri pada hari ke-$0$ (mula-mula) adalah $M_0 = 100\% = 1$.
Jumlahnya berkurang $i = 10\% = 0,1$ per hari. Karena jumlahnya harus kurang dari $M = 50\% = 0,5$, maka kita tuliskan
$$\begin{aligned} M & > M_0(1-i)^n \\ 0,5 & > 1(1-0,1)^n \\ 0,5 & > 0,9^n \end{aligned}$$Dengan melakukan perhitungan perpangkatan $9$ oleh $7$, diperoleh $9^7 = 4.782.969$, sehingga $0,9^7 = 0,478~296~9$. Jadi, nilai $n$ sama dengan $7$. Artinya, jumlah koloni bakteri mencapai kurang dari $50\%$ mulai pada hari ke-$\boxed{7}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui sebuah himpunan yang berisikan bilangan-bilangan bulat positif $$\{1, 11, 4, 9, 30, 7, 8, X\}.$$Banyaknya nilai $X$ sehingga rata-rata bilangan dalam himpunan tersebut merupakan salah satu anggota himpunan itu sendiri adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                      C. $3$                    E. $5$
B. $2$                      D. $4$

Pembahasan

Misalkan rata-rata kedelapan bilangan dalam himpunan itu adalah $a$, sehingga
$$\begin{aligned} a & = \dfrac{1+11+4+9+30+7+8+X}{8} \\ a & = \dfrac{70+X}{8} \\ 8a & = 70+X \\ X & = 8a-70 \end{aligned}$$Karena $X$ adalah bilangan bulat positif, maka nilai $a \geq 9$.
Sekarang, lakukan substitusi nilai $a$ berdasarkan anggota himpunan tersebut.
$$\begin{aligned} a & = 9 \Rightarrow X = 8(9)-70 = 2 \\ a & = 11 \Rightarrow X = 8(11)-70 = 18 \\ a & = 30 \Rightarrow X = 8(30)-70 = 170 \\ a & = X \Rightarrow X = 8X-70 \Leftrightarrow X = 10 \end{aligned}$$Jadi, ada $4$ nilai $X$ yang memenuhi, yakni $X \in \{2, 8, 10, 170\}$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3
Salah satu sudut dari suatu segi-$n$ beraturan lebih besar dari $166^{\circ}$, tetapi lebih kecil dari $167^{\circ}$. Interval nilai bulat $n$ yang mungkin sehingga kondisi tersebut dapat terjadi adalah $\cdots \cdot$
A. $26 \le n \le 27$
B. $25 \le n \le 27$
C. $24 \le n \le 26$
D. $17 \le n \le 18$
E. $13 \le n \le 16$

Pembahasan

Besar tiap sudut pada segi-$n$ beraturan dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} k & = \dfrac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n} \\ & = \dfrac{180^{\circ}n-360^{\circ}}{n} \\ & = 180^\circ-\dfrac{360^\circ}{n} \end{aligned}$$Karena nilai $k$ yang diiinginkan berada di antara $166^\circ$ dan $167^\circ$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} 166^{\circ} & < 180^\circ-\dfrac{360^\circ}{n} < 167^{\circ} \\ -140^{\circ} & < -\dfrac{360^\circ}{n} < -13^{\circ} \\ 13^\circ & < \dfrac{360^\circ}{n} < 14^\circ \\ \dfrac{1}{14^\circ} & < \dfrac{n}{360^\circ} < \dfrac{1}{13^\circ} \\ \dfrac{360}{14} & < n < \dfrac{360}{13} \\ 25,71 & < n < 27,69 \end{aligned}$$Karena $n$ bulat, maka interval nilai $n$ yang memenuhi berdasarkan pertidaksamaan terakhir adalah $\boxed{26 \leq n \le 27}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Terdapat $7$ siswa perempuan dan $5$ siswa laki-laki dalam suatu kelompok. Akan dipilih seorang ketua dan seorang wakil ketua dari kelompok tersebut dengan syarat minimal terdapat $1$ siswa perempuan yang menjadi ketua atau wakil ketua. Banyak cara memilih ketua dan wakil ketua sesuai dengan syarat tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $112$                       D. $66$
B. $108$                       E. $48$
C. $88$

Pembahasan

Gunakan sifat komplemen peluang, yakni dengan mencari banyak cara memilih ketua dan wakil ketua tanpa syarat, lalu dikurangi banyak cara memilih ketua dan wakil dengan syarat keduanya siswa laki-laki.
Banyak cara memilih tanpa syarat (memilih $12$ orang untuk menempati $2$ jabatan berbeda, artinya menggunakan permutasi) adalah $P_{2}^{12} = \dfrac{12!}{10!} = 12 \times 11 = 132$.
Sekarang, banyak cara memilih $2$ dari $5$ siswa laki-laki adalah $P_2^5 = \dfrac{5!}{3!} = 5 \times 4 = 20$.
Dengan demikian, banyak cara memilih ketua dan wakil ketua dengan syarat minimal ada seorang siswa perempuan adalah $\boxed{132-20=112}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Sebuah alas tabung memiliki panjang jari-jari yang sama dengan suatu bola dan tinggi tabung sama dengan panjang diameter bola. Tabung itu akan mempunyai volume sebesar $\cdots$ dari volume bola.
A. $3$ kali lipat
B. $2$ kali lipat
C. $\dfrac32$ kali lipat
D. $\dfrac43$ kali lipat
E. $\text{jawaban tidak dapat ditentukan}$

Pembahasan

Volume bola berjari-jari $r$ dinyatakan oleh $V_{\text{bo}\text{la}} = \dfrac43 \pi r^3$.
Tabung dengan alas berjari-jari $r$ dan tingginya $2r$ (diameter bola) adalah $V_{\text{tab}\text{ung}} = \pi r^2 (2r) = 2\pi r^3$.
Dengan demikian, perbandingan volumenya adalah
$$\begin{aligned} V_{\text{tab}\text{ung}} : V_{\text{bo}\text{la}} & = 2\cancel{\pi r^3} : \dfrac43\cancel{\pi r^3} \\ & = 2 : \dfrac43 \\ & = 1 : \dfrac23 \end{aligned}$$Jadi, volume tabung sama dengan $1 : \dfrac23 = \dfrac32$ kali lipat volume bola.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui bahwa $f(x^n) = n^2f(x)$ dan $f(p) = p$ untuk setiap bilangan prima $p$. Nilai $f(125) + f(2)-f(9)+f(81)+f(7)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                      D. $100$
B. $30$                    E. $206$
C. $90$

Pembahasan

Diketahui $f(x^n) = n^2f(x)$ dan $f(p) = p$ untuk setiap bilangan prima $p$.
$$\begin{aligned} f(125) + f(2)-f(9)+f(81)+f(7) & = f(5^3) + f(2)-f(3^2)+f(3^4)+f(7) \\ & = 3^2f(5) + f(2)-2^2f(3)+4^2f(3) + f(7) \\ & = 9f(5)+f(2)+12f(3)+f(7) \\ & = 9(5)+2+12(3) + 7 \\ & = 45+2+36+7 = 90 \end{aligned}$$Jadi, nilai $$\boxed{f(125) + f(2)-f(9)+f(81)+f(7) = 90}$$(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Perhatikan barisan bilangan dengan pola tertentu berikut.
$$2, 4, 12, 16, 30, 36, 56, x, y$$Nilai $y-x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $42$                 C. $26$                   E. $15$
B. $36$                 D. $20$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 2 & = 1^2 + 1 \\ 4 & = 2^2 \\ 12 & = 3^2 + 3 \\ 16 & = 4^2 \\ 30 & = 5^2 + 5 \\ 36 & = 6^2 \\ 56 & = 7^2 + 7 \end{aligned}$$Dengan mengikuti pola tersebut, diperoleh $x = 8^2 = 64$ dan $y = 9^2+9 = 90$, sehingga $\boxed{y-x=90-64 = 26}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Perhatikan barisan dengan pola tertentu berikut.
$$1, 3, 6, 11, 18, x, 42, 59, y, \cdots$$Nilai dari $2y + x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $183$                      D. $189$
B. $185$                      E. $191$
C. $187$

Pembahasan

Dimulai dari suku kedua, polanya adalah ditambah dengan bilangan prima dimulai dari $2$ secara berurutan.
$$\begin{aligned} 1 + \color{red}{2} & = 3 \\ 3 + \color{red}{3} & = 6 \\ 6 + \color{red}{5} & = 11 \\ 11 + \color{red}{7} & = 18 \\ 18 + \color{red}{11} & = 29 \\ 29 + \color{red}{13} & = \color{blue}{42} \\ 42 + \color{red}{17} & = 59 \\ 59 + \color{red}{19} & = \color{blue}{78} \end{aligned}$$Kita peroleh $x = 29$ dan $y = 78$, sehingga $\boxed{2y+x=2(78)+29 = 185}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Perhatikan gambar dengan pola bilangan tertentu berikut.


Nilai $x$ yang tepat mengikuti pola adalah $\cdots \cdot$
A. $99$                      D. $125$
B. $105$                    E. $144$
C. $120$

Pembahasan

Pola: Bilangan di bagian bawah didapat dari hasil kali tiga bilangan lainnya dikurangi jumlah tiga bilangan lainnya.
Pada gambar $1$:
$$(1 \cdot 2 \cdot 3)-(1+2+3) = 6-6=0$$Pada gambar $2$:
$$(2 \cdot 3 \cdot 4)-(2+3+4)=24-9=15.$$Pada gambar $3$:
$$(3 \cdot 4 \cdot 5)-(3+4+5) = 60-12=48.$$Pada gambar $4$:
$$\begin{aligned}x & = (4 \cdot 5 \cdot 6)-(4+5+6) \\ & = 120-15 = 105 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ sesuai pola adalah $\boxed{105}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Perhatikan gambar berikut.

Nilai $x$ yang memenuhi pola pada gambar di atas adalah $\cdots \cdot$
A. $11$                   C. $13$                    E. $15$
B. $12$                   D. $14$

Pembahasan

Pola: Bilangan di kanan dikurangi $1$, lalu dikuadratkan, sama dengan jumlah dua bilangan lainnya dikurangi $1$.
Pada gambar pertama,
$(7-1)^2 = 18 + 19-1 = 36$.
Pada gambar kedua,
$(10-1)^2 = 38 + 44-1 = 81.$
Pada gambar ketiga,
$$\begin{aligned} (x-1)^2 & = 125+72-1 \\ (x-1)^2 & = 196 \\ x-1 & = \pm 14 \\ x & = \pm 14+1 \end{aligned}$$Diperoleh nilai $x = 15$ atau $x = -13$.
Berdasarkan opsi yang tersedia, nilai $\boxed{x=15}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 11
Perhatikan gambar berikut.

Nilai $z$ yang memenuhi pola pada gambar di atas adalah $\cdots \cdot$
A. $55$                  C. $47$                   E. $42$
B. $51$                  D. $44$

Pembahasan

Pola: Bilangan di kanan bawah ditambah dua kali dari hasil pengurangan bilangan kiri bawah terhadap bilangan atas sama dengan bilangan di tengah.
Pada gambar pertama,
$4 + 2(8-5) = 4 + 6 = 10$.
Pada gambar kedua,
$30 + 2(34-27) = 30+14=44$.
Pada gambar ketiga,
$\begin{aligned} 47+2(42-z) = 29 \\ 2(42-z) & = -18 \\ 42-z & = -9 \\ z & = 51 \end{aligned}$
Jadi, nilai $z$ sesuai pola adalah $\boxed{51}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika $x = 3p$, $y = 2p$, dan $z = 6p$, maka $\cdots \cdot$
A. $y > x > z$
B. $z = x + y$
C. $z > x > y$
D. $x = y = z$
E. hubungan $x, y, z$ tidak dapat ditentukan

Pembahasan

Untuk $p > 0$, berlaku $\color{red}{z > x > y}$, namun untuk $p = 0$, berlaku $\color{red}{x = y = z = 0}$, sedangkan untuk $p < 0$, berlaku $\color{red}{y > x > z}$. Ini menunjukkan bahwa hubungan ketiganya tidak dapat ditentukan secara pasti.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 13
Perhatikan gambar segitiga berikut.

Jika $DE = 3$ cm, maka panjang $AB$ dalam satuan cm adalah $\cdots \cdot$
A. $3\sqrt2$                     D. $9$
B. $6$                            E. $9\sqrt2$
C. $6\sqrt2$

Pembahasan

Pada segitiga dengan sudut $30^\circ-60^\circ-90^\circ$, perbandingan panjang sisinya adalah $1 : \sqrt3 : 2$.
Perhatikan $\triangle DEC$. Karena $DE = 3$ cm, maka $CD = 3 \times 2 = 6$ cm.
Sekarang, tinjau segitiga $CDB$. Segitiga ini adalah sama kaki (karena dua sudutnya sama besar), sehingga $CD = BD = 6$ cm.
Akibatnya, $BE = BD + DE = 6 + 3 = 9$ cm.
Pada segitiga dengan sudut $45^\circ-45^\circ-90^\circ$, perbandingan panjang sisinya adalah $1 : 1 : \sqrt2$.
Perhatikan segitiga $ABE$.
Karena $BE = 9$ cm, maka $AB = 9 \times \sqrt2 = 9\sqrt2$ cm, berdasarkan perbandingan tersebut.
Catatan: Trigonometri juga dapat dipakai sebagai alternatif untuk menyelesaikan soal ini.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 14
Jika $x = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$, maka nilai dari $4x^3 + 6x^2+2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac12$                   C. $2$                   E. $4$
B. $1$                     D. $3$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} x & = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} \\ 2x & = \sqrt3-1 \\ (2x)^2 & = (\sqrt3-1)^2 \\ 4x^2 & = 3-2\sqrt3+1 \\ 4x^2 & = 4-2\sqrt3 \\ 2x^2 & = 2-\sqrt3\end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} 4x^3 + 6x^2+2 & = 2x^2(2x + 3) + 2 \\ & = (2-\sqrt3)\left(\cancel{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}-1}{\cancel{2}} + 3\right) + 2 \\ & = (2-\sqrt3)(2+\sqrt3) + 2 \\ & = (4-3)+2 = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{4x^3 + 6x^2+2 = 3}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui $A$ adalah himpunan beberapa jajaran genjang dan $B$ adalah himpunan beberapa belah ketupat. Apakah himpunan $A$ dan $B$ memiliki irisan?

  1. Untuk setiap jajaran genjang di $A$, nilai kelilingnya merupakan kelipatan empat.
  2. Apabila kita mengalikan nilai panjang keempat sisi pada setiap jajar genjang di $A$, maka hasilnya selalu merupakan bilangan kuadrat.
  1. Pernyataan (1) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (2) SAJA tidak cukup.
  2. Pernyataan (2) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (1) SAJA tidak cukup.
  3. Dua pernyataan BERSAMA-SAMA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi SATU pernyataan SAJA tidak cukup.
  4. Salah satu pernyataan SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan.
  5. Pernyataan (1) dan pernyataan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.

Pembahasan

Agar $A$ dan $B$ memiliki irisan, maka berdasarkan pernyataan yang diberikan, harus ditemukan jajaran genjang pada $A$ yang semua sisinya sama panjang supaya memenuhi sifat belah ketupat.
Cek pernyataan (1).
Misalkan panjang dua sisi jajaran genjang yang tidak berseberangan adalah $a$ dan $b$ sehingga kelilingnya $2(a+b)$, maka untuk suatu bilangan bulat $k$, haruslah
$$\begin{aligned} 2(a + b) & = 4k \\ a + b & = 2k \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $a$ tidak harus sama dengan $b$ agar diperoleh bilangan genap. Ambil contoh, $a = 7$ dan $b = 5$. Jadi, sisinya belum tentu sama panjang, sehingga pernyataan (1) belum cukup menjawab pertanyaan.
Cek pernyataan (2).
Misalkan $a$ dan $b$ adalah panjang sisi jajaran genjang yang tidak berseberangan, maka hasil kali panjang sisinya menjadi $a^2b^2 = (ab)^2$ yang jelas merupakan bilangan kuadrat, namun tidak mengharuskan $a = b$. Sebagai contoh, $a = 9$ dan $b = 4$. Jadi, sisinya belum tentu sama panjang, sehingga pernyataan (2) belum cukup menjawab pertanyaan.
Dapat disimpulkan bahwa pernyataan (1) dan pernyataan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 16
Sebanyak $16$ pelukis dapat membuat $50$ lukisan yang sama berukuran $24~\text{m}^2$ dalam waktu $6$ hari. Dengan demikian, $7$ pelukis dapat membuat $15$ lukisan yang sama berukuran $56~\text{m}^2$ dalam waktu kira-kira $\cdots$ hari.
A. $6$                    C. $8$                  E. $10$
B. $7$                    D. $9$

Pembahasan

Gunakan analogi langkah per langkah seperti berikut.

  1. $16$ pelukis $\Rightarrow$ $50$ lukisan ukuran $24~\text{m}^2$ $\Rightarrow$ $6$ hari.
  2. $16$ pelukis $\Rightarrow$ total $1200~\text{m}^2$ $\Rightarrow$ $6$ hari.
  3. $1$ pelukis $\Rightarrow$ total $75~\text{m}^2$ $\Rightarrow$ $6$ hari.
  4. $1$ pelukis $\Rightarrow$ total $12,5~\text{m}^2$ $\Rightarrow$ $1$ hari.

Dengan demikian,

  1. $7$ pelukis $\Rightarrow$ total $87,5~\text{m}^2$ $\Rightarrow$ $1$ hari.
  2. $7$ pelukis $\Rightarrow$ $840~\text{m}^2$ $\Rightarrow$ $9,6$ hari. (Catatan: $15 \times 56 = 840$. Lalu, $840 : 87,5 = 9,6$. Oleh karena itu, di sini kita kalikan dengan $9,6$).
  3. $7$ pelukis $\Rightarrow$ $15$ lukisan ukuran $56~\text{m}^2$ $\Rightarrow$ $9,6$ hari.

Jadi, dibutuhkan waktu $9,6$ hari atau dibulatkan menjadi $10$ hari.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 17
Terdapat segitiga $ABC$ dengan $M$ sebagai titik tengah $BC$. Berapakah panjang jari-jari lingkaran luar segitiga $ABC$?

  1. Diketahui panjang $AM = MB$.
  2. Diketahui panjang $AB = AC = 10$ cm.
  1. Pernyataan (1) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (2) SAJA tidak cukup.
  2. Pernyataan (2) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (1) SAJA tidak cukup.
  3. Dua pernyataan BERSAMA-SAMA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi SATU pernyataan SAJA tidak cukup.
  4. Salah satu pernyataan SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan.
  5. Pernyataan (1) dan pernyataan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar segitiga $ABC$ dengan $M$ titik tengah $BC$.

Cek pernyataan (1).
$AM = MB$ mengakibatkan segitiga $ABC$ siku-siku di $A$ seperti tampak pada gambar berikut.

Titik pusat lingkaran luar segitiga akan tepat di $M$ dengan $MB = MC$ sebagai panjang jari-jarinya.
Karena itu, pernyataan (1) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
Cek pernyataan (2).
$AB = AC = 10$ cm hanya membuat segitiga $ABC$ sama kaki, dan informasi ini tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
Apabila kedua pernyataan digunakan bersamaan, maka segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku sama kaki dengan $AB = AC = 10$ cm, sehingga dengan rumus Pythagoras, diperoleh $BC = 10\sqrt2$ cm, akibatnya $MB = MC = 5\sqrt2$ cm.
Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga sama dengan $r = 5\sqrt2$ cm.
Dapat disimpulkan bahwa dua pernyataan BERSAMA-SAMA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi SATU pernyataan SAJA tidak cukup.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 18
Diketahui bahwa $x+\dfrac{1}{x} = 3$. Nilai dari $x^3-2x^2-2x+4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3$                    C. $1$                   E. $-1$
B. $2$                    D. $0$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} x+\dfrac{1}{x} & = 3 \\ x^2+1 & = 3x && (\text{kalikan}~x) \\ x^2-3x+1 & = 0 \end{aligned}$$Dengan menggunakan persamaan terakhir, kita akan peroleh
$$\begin{aligned} x^3-2x^2-2x+4 & = (x^3-3x^2+x)+(x^2-3x+1) + 3 \\ & = x(x^2-3x+1)+(x^2-3x+1) + 3 \\ & = x(0) + 0 + 3 = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $x^3-2x^2-2x+4$ adalah $\boxed{3}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19
Bilangan bulat positif terkecil yang jika dibagi $2, 3, 4$, sampai dengan $9$ masing-masing bersisa $1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $361$                    D. $5041$
B. $841$                    E. $15121$
C. $2521$

Pembahasan

Permasalahan ini sama saja mencari nilai $\text{KPK}$ (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari $2$ sampai $9$, lalu hasilnya ditambah $1$.
Tuliskan kedelapan bilangan itu dalam bentuk faktorisasi prima.
$$\begin{array}{cc} \hline 2 = 2 & 3 = 3 \\ 4 = 2^2 & 5 = 5 \\ 6 = 2 \times 3 & 7 = 7 \\ 8 = 2^3 & 9 = 3^2 \\ \hline \end{array}$$Dengan mengambil semua faktor prima berpangkat tertinggi, kita peroleh
$$\begin{aligned} \text{KPK}(2, 3, \cdots, 9) & = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 \\ & = 8 \times 9 \times 5 \times 7 \\ & = 2520 \end{aligned}$$Ini berarti, bilangan bulat positif terkecil yang jika dibagi $2, 3, 4$, sampai dengan $9$ masing-masing bersisa $1$ adalah $\boxed{2520+1=2521}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 20
Andi dan Budi dapat mengecat dinding suatu rumah seluas $50~\text{m}^2$ dalam $2$ jam. Budi dan Caca dapat mengecat dinding suatu rumah seluas $75~\text{m}^2$ dalam $3$ jam. Andi dan Caca dapat mengecat dinding suatu rumah seluas $100~\text{m}^2$ dalam $2,5$ jam. Jika Andi, Budi, dan Caca mendapatkan tugas untuk mengecat dinding suatu rumah seluas $200~\text{m}^2$ secara bersamaan, maka waktu yang diperlukan kira-kira $\cdots \cdot$
A. $4$ jam                       D. $5$ jam
B. $4,44$ jam                  E. $5,33$ jam
C. $4,67$ jam

Pembahasan

Dari soal di atas, dapat kita tuliskan bahwa untuk Andi ($A$), Budi ($B$), dan Caca ($C$), berlaku
$$\begin{aligned} A + B & \Rightarrow 25~\text{m}^2/\text{jam} \\ A + C & \Rightarrow 25~\text{m}^2/\text{jam} \\ B + C & \Rightarrow 40~\text{m}^2/\text{jam} \end{aligned}$$Karena ketiganya mengecat bersama-sama, maka kecepatan mereka mengecat dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} (A+B)+(A+C)+(B+C) & \Rightarrow (25+25+40)~\text{m}^2/\text{jam} \\ 2(A+B+C) & \Rightarrow 90~\text{m}^2/\text{jam} \\ A+B+C & \Rightarrow 45~\text{m}^2/\text{jam} \end{aligned}$$Jadi, setiap $1$ jam, mereka bertiga dapat mengecat dinding seluas $45~\text{m}^2$.
Oleh karena itu, waktu yang diperlukan untuk mengecat dinding seluas $200~\text{m}^2$ adalah $\boxed{200 \div 45 \approx 4,44~\text{jam}}$
(Jawaban B)

[collapse]

4 Replies to “Soal dan Pembahasan – Ranah Pengetahuan Kuantitatif UTBK (Bagian 1)”

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *