Soal dan Pembahasan – Ranah Pengetahuan Kuantitatif UTBK (Bagian 2)

Karena $A = 8,922$, maka $A^* = 9$ bila dibulatkan ke satuan terdekat. Dengan demikian, diperoleh $\boxed{A-A^* = 8,922-9 = -0,078}$
(Jawaban D)

Gunakan sifat $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$. Untuk $a = 14.500$ dan $b = 10.500$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \sqrt{14.500^2-10.500^2} & = \sqrt{(14.500+10.500)(14.500-10.500)} \\ & = \sqrt{(25.000)(4.000)} \\ & = \sqrt{5^2 \cdot 10^3 \cdot 2^2 \cdot 10^3} \\ & = \sqrt{5^2 \cdot 10^6 \cdot 2^2} \\ & = 5 \cdot 10^3 \cdot 2 = 10.000 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\sqrt{14.500^2-10.500^2} = 10.000}$$(Jawaban C)

Banyak siswa perempuan dalam pecahan adalah $\dfrac56$.
Banyak siswa laki-laki dalam pecahan adalah $1-\dfrac56 = \dfrac16$.
Banyak siswa yang suka menggambar adalah
$$\begin{aligned} \dfrac14 \cdot \dfrac56 + \dfrac35 \cdot \dfrac16 & = \dfrac{5}{24}+\dfrac{1}{10} \\ & = \dfrac{25+12}{120} = \dfrac{37}{120} \end{aligned}$$Banyak siswa yang tidak suka menggambar adalah $\boxed{1-\dfrac{37}{120} = \dfrac{83}{120}}$
(Jawaban E)

Misalkan $\dfrac{a}{b}=\dfrac35$, sehingga didapat $5a=3b$.
Karena pembilang dikurang $3$ dan penyebut dikurang $8$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{a-3}{b-8} & = \dfrac34 \\ 4(a-3) & = 3(b-8) \\ 4a-12 & = 3b-24 \\ 4a-3b & = -12 \\ 4a-5a & = -12 && (\text{Subs.}~5a=3b) \\ -a & = -12 \\ a & = 12 \end{aligned}$$Karena $5a=3b$, maka $3b=5(12) \Rightarrow b = 20$. Jadi, pecahan yang dimaksud adalah $\dfrac{12}{20}$. Jika pembilangnya ditambah $3$ dan penyebutnya dikurang $2$, kita peroleh $\boxed{\dfrac{12+3}{20-2} = \dfrac{15}{18} = \dfrac56}$
(Jawaban A)

Diketahui $f(x)=-\dfrac{1}{3x}, x \neq 0$.
Karena $f(a)=-\dfrac19$, maka diperoleh
$$\begin{aligned} -\dfrac{1}{3a} & = -\dfrac19 \\ 3a & = 9 \\ a & = 3 \end{aligned}$$Karena $f(ab) = \dfrac{1}{18}$ dan $a = 3$, maka diperoleh
$$\begin{aligned} f(3b) & = \dfrac{1}{18} \\ -\dfrac{1}{3(3b)} & = \dfrac{1}{18} \\ -\dfrac{1}{9b} & = \dfrac{1}{18} \\ -9b & = 18 \\ b & = -2 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{b=-2}$
(Jawaban C)

Diketahui $y=x^3+3x-5.$
Substitusi nilai $x$ pada persamaan kurva dan harus ditemukan nilai $y$ yang sesuai dengan koordinat titik.
Cek (1). Titik $(1, \color{blue}{-1})$.
$$y = 1^3+3(1)-5 = 1+3-5 = \color{blue}{-1}$$Titik $(1, -1)$ terletak pada kurva.
Cek (2). Titik $(-1, \color{blue}{-9})$.
$$y = (-1)^3+3(-1)-5 = -1-3-5 = \color{blue}{-9}$$Titik $(-1, -9)$ terletak pada kurva.
Cek (3). Titik $(2, \color{blue}{9})$.
$$y = 2^3+3(2)-5 = 8+6-5 \color{blue}{9}$$Titik $(2,9)$ terletak pada kurva.
Cek (4). Titik $(-3, \color{blue}{-40})$.
$$y = (-3)^3+3(-3)-5 = -27-9-5 = \color{red}{-41}$$Titik $(-3, -40)$ TIDAK terletak pada kurva.
Jadi, (1), (2), dan (3) SAJA yang benar.
(Jawaban A)

Sifat-sifat yang dimiliki belah ketupat, antara lain:

1. Panjang setiap sisinya sama.
2. Besar sudut yang berhadapan sama besar.
3. Kedua diagonalnya saling tegak lurus, tetapi belum tentu sama panjang.

Oleh karena itu, pernyataan yang menunjukkan sifat belah ketupat adalah (1) dan (3).
(Jawaban B)

Banyak bola seluruhnya ada $4+5+8+3 = 20$.
Cek Pernyataan (1).
Banyak bola merah = $4$.
$$P(\text{merah}) = \dfrac{4}{20} = \dfrac15$$Pernyataan (1) benar.
Cek Pernyataan (2).
Banyak bola bukan kuning = $15$.
$$P^C(\text{kuning}) = \dfrac{15}{20} = \dfrac34$$Pernyataan (2) benar.
Cek Pernyataan (3).
Banyak bola hijau = $8$.
$$P(\text{merah}) = \dfrac{8}{20} = \dfrac25$$Pernyataan (3) benar.
Cek Pernyataan (4).
Banyak bola bukan biru = $17$.
$$P^C(\text{biru}) = \dfrac{17}{20}$$Pernyataan (4) benar.
Dapat disimpulkan bahwa SEMUA pilihan benar.
(Jawaban E)

Diketahui SPLDV $$\begin{cases} x-y & = a \\ x+y & = b \end{cases}$$Apabila kedua persamaan itu dijumlahkan, maka diperoleh $2x = a + b$. Namun bila dikurangkan, maka diperoleh $2y = b-a$. Ini artinya,
$$\begin{cases} x & = \dfrac{a+b}{2} \\ y & = \dfrac{b-a}{2} \end{cases}$$Agar diperoleh $x$ dan $y$ bulat, maka $a$ dan $b$ harus KEDUANYA GENAP atau KEDUANYA GANJIL, sehingga bila dijumlahkan atau dikurangkan, hasilnya GENAP (habis dibagi $2$).
Oleh karena itu, pernyataan (2): keduanya sama-sama ganjil dan (4): keduanya sama-sama genap, benar.
(Jawaban C)

Perlu diketahui bahwa
$$\begin{aligned} 1~\text{tahun} & = 12~\text{bulan} \\ 1~\text{lustrum} &= 5~\text{tahun} \\ 1~\text{windu} &= 8~\text{tahun} \\ 1~\text{dasawarsa} &= 10~\text{tahun} \end{aligned}$$Cek Pernyataan (1).
$$\begin{aligned} 39.999~\text{bulan} & = \dfrac{39.999}{12}~\text{tahun} \\ & = 3.333\dfrac{3}{12}~\text{tahun} \end{aligned}$$Jadi, pernyataan (1) benar.
Cek Pernyataan (2).
$$\begin{aligned} 599~\text{lustrum} & = (599 \times 5)~\text{tahun} \\ & = 2.995~\text{tahun} \end{aligned}$$Jadi, pernyataan (2) salah.
Cek Pernyataan (3).
$$\begin{aligned} 399~\text{dasawarsa} & = (399 \times 10)~\text{tahun} \\ & = 3.990~\text{tahun} \end{aligned}$$Jadi, pernyataan (3) benar.
Cek Pernyataan (4).
$$\begin{aligned} 299~\text{windu} & = (299 \times 8)~\text{tahun} \\ & = 2.392~\text{tahun} \end{aligned}$$Jadi, pernyataan (4) salah.
Dapat disimpulkan bahwa pernyataan (1) dan (3) SAJA yang benar.
(Jawaban B)

Misalkan banyak atlet dan banyak kamar hotel berturut-turut $x$ dan $y$.
Cek Pernyataan (1).
Dari pernyataan ini, diperoleh persamaan linear $x = 7(y-1) = 7y-7$. Nilai $x$ bergantung pada nilai $y$, sehingga banyak atlet belum dapat ditentukan.
Cek Pernyataan (2).
Dari pernyataan ini, diperoleh persamaan linear $x = 6y+14$. Nilai $x$ juga masih bergantung pada nilai $y$, sehingga banyak atlet belum dapat ditentukan.
Apabila kedua pernyataan dipakai, maka diperoleh SPLDV
$$\begin{cases} x & = 7y-7 \\ x & = 6y + 14 \end{cases}$$Kurangkan dan kita peroleh $y = 21$, sehingga $x = 7(21)-7 = 140$. Jadi, banyak atlet ada $140$ orang.
Dapat disimpulkan bahwa dua pernyataan BERSAMA-SAMA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi SATU pernyataan SAJA tidak cukup.
(Jawaban C)

Cek Pernyataan (1).
Jika panjang jari-jari lingkaran $r = 5$ cm, maka luas lingkaran $B$ adalah $$L = \pi r^2 = \pi (5)^2 = 25\pi~\text{cm}^2.$$Jadi, pernyataan (1) cukup untuk menjawab pertanyaan.
Cek Pernyataan (2).
Keliling lingkaran $B$ adalah $k = 10\pi$ cm, sehingga
$$\begin{aligned} k & = 2\pi r \\ 10\pi & = 2\pi r \\ r & = 5~\text{cm} \end{aligned}$$Kita peroleh panjang jari-jari lingkaran $B$ juga $5$ cm, identik dengan pernyataan pertama, sehingga luas lingkaran $B$ juga $25\pi~\text{cm}^2$. Jadi, pernyataan (2) cukup untuk menjawab pertanyaan.
Dapat disimpulkan bahwa salah satu pernyataan SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan.
(Jawaban D)

Misalkan berat $20$ buah jeruk di kotak $P$ disusun mulai dari yang terkecil adalah $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_{20}$.
Misalkan juga berat $19$ buah jeruk di kotak $Q$ disusun mulai dari yang terkecil adalah $x_{21}, x_{22}, x_{23}, \cdots, x_{39}$.
Jika digabungkan, maka akan ada $39$ buah jeruk dengan jeruk teringan $x_1$ dan jeruk terberat $x_{39}$, tersusun seperti berikut.
$$x_1, x_2, x_3, \cdots, x_{19}, \underbrace{x_{20}}_{\text{med}\text{ian}}, x_{21}, \cdots, x_{39}$$Nilai median ditentukan oleh $x_{20}$.
Cek Pernyataan (1).
Jeruk yang paling ringan di kotak $Q$ adalah $90$ gram, artinya $x_{21} = 90$, tetapi informasi ini tidak dapat dipakai untuk menentukan nilai $x_{20}$.
Cek Pernyataan (2).
Jeruk yang paling berat di kotak $P$ adalah $75$ gram, artinya $x_{20} = 75$. Ini menunjukkan bahwa median berat $39$ buah jeruk tersebut adalah $75$ gram, sehingga pertanyaan terjawab.
Dapat disimpulkan bahwa pernyataan (2) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (1) SAJA tidak cukup.
(Jawaban B)

Diketahui $f(x) = 2p^x$.
Nilai $f(1)$ dapat dicari asalkan nilai $p$ telah diketahui.
Cek Pernyataan (1).
Karena $f(3) = -16$, maka diperoleh
$$\begin{aligned} 2p^3 & = -16 \\ p^3 & = -8 \\ p & = \sqrt[3]{-8} = -2 \end{aligned}$$Akibatnya, $f(x) = 2(-2)^x$, sehingga $f(1) = 2(-2)^1 = -4$. Jadi, pernyataan (1) cukup untuk menjawab pertanyaan.
Cek Pernyataan (2).
Karena $f(2) = 8$, maka diperoleh
$$\begin{aligned} 2p^2 & = 8 \\ p^2 & = 4 \\ p & = \pm 2 \end{aligned}$$Akibatnya, $f(x) = 2(\pm 2)^x$, sehingga $f(1) = 2(\pm 2) = \pm 4$. Nilai $f(1)$ ditemukan, tetapi tidak tunggal (ada dua kemungkinan), sehingga pernyataan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
Dapat disimpulkan bahwa pernyataan (1) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (2) SAJA tidak cukup.
(Jawaban A)

Cek Pernyataan (1).
$ab < 0$ menunjukkan dua kemungkinan, $a < 0, b > 0$ atau $a > 0, b < 0$.
$bc > 0$ menunjukkan dua kemungkinan, $b > 0, c > 0$ atau $b < 0, c < 0$.
Jika diasumsikan $a < 0$, maka akibatnya $b > 0$, sehingga $c > 0$.
Jika diasumsikan $a > 0$, maka akibatnya $b < 0$, sehingga $c < 0$.
Oleh karena itu, pertanyaan “apakah $c > 0$?” tidak memiliki jawaban yang pasti (bisa iya, bisa tidak).
Cek Pernyataan (2).
$ac < 0$ menunjukkan dua kemungkinan, $a < 0, c > 0$ atau $a > 0, c < 0$. Oleh karena itu, pertanyaan “apakah $c > 0$?” tidak memiliki jawaban yang pasti (bisa iya, bisa tidak).
Bila kedua pernyataan tersebut dipakai, maka pernyataan (2) tetap akan menjadi penentu nilai $c$, yang bergantung pada nilai $a$.
Dapat disimpulkan bahwa pernyataan (1) dan pernyataan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
(Jawaban E)

Supaya $a \times b$ bernilai ganjil, maka $a$ dan $b$ keduanya harus ganjil.
Banyak bilangan ganjil pada $A$ ada $3$ dari $5$ bilangan yang ada, sedangkan banyak bilangan ganjil pada $B$ ada $2$ dari $4$ bilangan.
Dengan demikian, peluang diperolehnya bilangan ganjil pada kedua himpunan tersebut adalah
$$\begin{aligned} P(ab = \text{ganjil}) & = \dfrac35 \times \dfrac24 \\ & = \dfrac{3}{10} \end{aligned}$$Kita peroleh nilai $P = \dfrac{3}{10}$. Dari tabel diketahui bahwa $Q = \dfrac34$, sehingga hubungan yang benar adalah $Q > P$.
(Jawaban B)

Dari $15$ titik yang saling tidak segaris, kita pilih $3$ titik sembarang (tanpa mempermasalahkan urutan pemilihan) untuk membentuk segitiga. Jadi, banyak segitiga berbeda dapat dicari dengan menggunakan rumus kombinasi memilih $3$ dari $15$ objek, yaitu
$$\begin{aligned} C_3^{15} & = \dfrac{15!}{12! \cdot 3!} \\ & = \dfrac{\cancelto{5}{15} \cdot \cancelto{7}{14} \cdot 13 \cdot \cancel{12!}}{\cancel{12!} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2}} \\ & = 5 \cdot 7 \cdot 13 = 455 \end{aligned}$$Jadi, nilai kuantitas $P = 455$. Dari tabel, diketahui $Q = 455$, sehingga hubungan yang benar adalah $P = Q$.
(Jawaban C)

Pertama, kita cari dulu total harga belinya. (Ingat, 1 lusin = 12 buah)
$$\begin{aligned} \text{Harga Beli} & = 5 \times 66.000 + (12 \times 3) \times 5.500 \\ & = 330.000 + 198.000 \\ & = 528.000 \end{aligned}$$Selanjutnya, kita cari total harga jual jika donat dijual Rp7.000,00/buah.
Total donat keseluruhan ada $8$ lusin atau $12 \times 8 = 96$ buah, sehingga
$$\begin{aligned} \text{Harga Jual} & = 96 \times 7.000 \\ & = 672.000 \end{aligned}$$Keuntungan yang diperoleh sama dengan harga jual dikurang harga beli, yaitu $$672.000-528.000 = 144.000$$Jadi, Pak Sukardi mendapatkan keuntungan Rp144.000,00, berarti kuantitas $P$ = Rp144.000,00.
Karena dari tabel diketahui $Q = 140.000$, maka hubungan yang benar adalah $P > Q$.
(Jawaban A)

Perhatikan bahwa $\dfrac15 < \dfrac{x}{15}$ ekuivalen dengan $\dfrac{3}{15} < \dfrac{x}{15}$ atau $x > 3$ untuk $x$ anggota bilangan bulat.
Dari sini, nilai $x$ terkecil adalah $4$, berarti $P = 4$. Karena dari tabel diketahui $Q = 3$, maka hubungan yang benar adalah $P > Q$.
(Jawaban A)

Karena rata-rata dua kelompok bilangan itu sama, maka kita tuliskan
$$\begin{aligned} \dfrac{a+b+21}{3} & = \dfrac{a+b+21+33}{4} \\ \text{Misalkan}~&a + b = x \\ \dfrac{x+21}{3} & = \dfrac{x+54}{4} \\ 4(x+21) & = 3(x+54) \\ 4x+84 & = 3x + 162 \\ x & = 162-84 = 78 \end{aligned}$$Jadi, $a + b = P = 78$. Karena dari tabel diketahui $Q = 78$, maka hubungan yang benar adalah $P = Q$.
(Jawaban C)