Soal dan Pembahasan – Fungsi Analitik dan Harmonik serta Teoremanya dalam Sistem Bilangan Kompleks

Misalkan $z = x + iy$ berarti
$f(z) = z^2 = (x + iy)^2 = (x^2 -y^2) + 2ixy$
Diperoleh $u =x^2 -y^2$ dan $v = 2xy$ di mana $u$ dan $v$ masing-masing merepresentasikan bagian real dan imajiner dalam fungsi $f$.
(1a) Cek turunan parsial $u =x^2$ terhadap $x$
$\dfrac{\partial (x^2 – y^2)}{\partial x} = 2x$
(1b) Cek turunan parsial $v = 2xy$ terhadap $y$
$\dfrac{\partial (2xy)} {\partial x} = 2x$
Kita dapatkan bahwa hasil (1a) dan (1b) sama.
Selanjutnya,
(2a) Cek turunan parsial $u = x^2 -y^2$ terhadap $y$
$\dfrac{\partial (x^2 -y^2)} {\partial y} = -2y$
(2b) Cek negatif turunan parsial $v = 2xy$ terhadap $x$
$-\dfrac{\partial (2xy)} {x} = -2y$
Kita dapatkan bahwa hasil (2a) dan (2b) sama.
Dengan demikian, $f(z)$ memenuhi PCR.

(Jawaban a)
Perhatikan bahwa
$x = r \cos \theta$, sedangkan $y = r \sin \theta$
sehingga fungsi $f$ bisa ditulis sebagai
$f(z) = x^2 + iy^2$
Jadi, $u = x^2$ dan $v = y^2$
(1a) Cek turunan parsial $u =x^2$ terhadap $x$
$\dfrac{\partial (x^2)}{\partial x} = 2x$
(1b) Cek turunan parsial $v = y^2$ terhadap $y$
$\dfrac{\partial (y^2)} {\partial y} = 2y$
Kita dapatkan bahwa hasil (1a) dan (1b) tidak sama. $\bigstar$
Selanjutnya,
(2a) Cek turunan parsial $u = x^2$ terhadap $y$
$\dfrac{\partial (x^2)} {\partial y} = 0$
(2b) Cek negatif turunan parsial $v = y^2$ terhadap $x$
$-\dfrac{\partial (y^2)} {x} = 0$
Kita dapatkan bahwa hasil (2a) dan (2b) sama.
Dengan demikian, $f(z)$ tetap tidak memenuhi PCR karena salah satu syarat tak terpenuhi.
Catatan: $\bigstar$ Dari sini sebenarnya sudah dapat disimpulkan bahwa $f(z)$ tidak memenuhi PCR.
(Jawaban b)
Ubah fungsi $f$ dalam bentuk $x$ dan $y$ (sebelumnya dalam bentuk eksponen)
$\begin{aligned} f(z) & = f(re^{i\theta}) = \dfrac{1}{re^{i\theta}} \\ & = \dfrac{1}{r(\cos \theta + i~\sin \theta)} \\ & = \dfrac{1}{x + iy} = \dfrac{x -iy} {x^2+y^2} \\ & = \dfrac{x} {x^2+y^2} -\left(\dfrac{y} {x^2+y^2}\right) i \end{aligned} $
Diperoleh $u = \dfrac{x} {x^2+y^2}$ dan $v = \dfrac{-y} {x^2+y^2}$
(1a) Cek turunan parsial $u$ terhadap $x$
$\dfrac{\partial \left(\dfrac{x} {x^2+y^2}\right)}{\partial x} = \dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$
(1b) Cek turunan parsial $v$ terhadap $y$
$\dfrac{\partial \left(-\dfrac{y} {x^2+y^2}\right)} {\partial y} = \dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$
Kita dapatkan bahwa hasil (1a) dan (1b) sama.
Selanjutnya,
(2a) Cek turunan parsial $u$ terhadap $y$
$\dfrac{\partial \left(\dfrac{x} {x^2+y^2}\right)} {\partial y} = \dfrac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}$
(2b) Cek negatif turunan parsial $v$ terhadap $x$
$-\dfrac{\partial \left(\dfrac{-y} {x^2+y^2}\right)} {x} = \dfrac{-2xy} {(x^2+y^2)^2}$
Kita dapatkan bahwa hasil (2a) dan (2b) sama.
Dengan demikian, $f(z)$ memenuhi PCR.

Periksa apakah fungsi kompleks tersebut memenuhi PCR atau tidak. Perhatikan bahwa,
$\dfrac{\partial (2x(1-y))} {\partial x} = 2 -2y = \dfrac{\partial (x^2-y^2+2y)} {\partial y} $
dan juga
$\dfrac{\partial (2x(1-y))} {\partial y} = -2x = -\dfrac{\partial (x^2-y^2+2y)} {\partial x}$
Terlihat bahwa solusi sistem PCR terpenuhi di seluruh bidang kompleks. Jadi, $f$ fungsi analitik.

Cek turunan parsial kedua dari $2x(1-y) = 2x -2xy$ terhadap $x$
$\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial (2x – 2xy)}{\partial x}\right) = \dfrac{\partial (2-2y)} {\partial x} =0$
Selanjutnya, cek turunan parsial kedua dari $2x(1-y) = 2x -2xy$ terhadap $y$
$\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial (2x – 2xy)}{\partial y}\right) = \dfrac{\partial (-2x)} {\partial y} =0$
Karena $\dfrac{\partial^2 u} {\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u} {\partial y^2} = 0$, maka $U$ memenuhi Persamaan Laplace sehingga dapat dikatakan bahwa fungsi $U$ adalah fungsi harmonik. 

Suatu fungsi kompleks dikatakan fungsi analitik jika memenuhi PCR, yaitu:
(1)
$\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y} = 2 -2y$
berarti
$\begin{aligned}v & = \displaystyle \int \left(\dfrac{\partial v}{\partial y}\right)~\text{d}y \\ & = \int (2-2y)~\text{d}y \\ & = 2y -y^2+ C(x) \end{aligned} $
(2)
$\begin{aligned} \dfrac{\partial v} {\partial x} & = -\dfrac{\partial u} {\partial y} \\ \dfrac{\partial (2y-y^2+C(x))} {\partial x}&  = -(-2x) \\  C'(x) & = 2x \\ C(x)&  = x^2 \end{aligned} $
Dengan demikian, kita dapatkan
$\boxed{v = 2y -y^2+x^2}$

Perhatikan bahwa
$f(z) = u + iv = (y^3 -3x^2y) + iv$
Fungsi $f$ memenuhi PCR sehingga haruslah berlaku
(1)
$\dfrac{\partial (y^3-3x^2y)} {\partial x} = \dfrac{\partial v} {\partial y} = -6xy$
Dengan integral, kita dapat menentukan $v$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} v & = \displaystyle \int \dfrac{\partial v} {\partial y}~\text{d}y \\ & = \int (-6xy)~\text{d}y \\ & = -3xy^2 + C(x) \bigstar \end{aligned}$
(2)
$\dfrac{\partial (y^3-3x^2y)} {\partial y} = -\dfrac{\partial v} {\partial x} = 3y^2 – 3x^2$
Dari $\bigstar$, kita tuliskan
$-3y^2 +C'(x) = 3y^2-3x^2$
Diperolehlah
$C'(x) =3x^2$ atau $C(x) = x^3$
Jadi, $v = -3y^2 + x^3$, sehingga
$\boxed{f(z) = y^3 -3x^2y + (x^3 -3y^2)i} $

Fungsi $f(z)$ dapat diekspansikan dalam bentuk deret pangkat di sekitar $z = 0$ dengan uraian Maclaurin, yaitu
$\ln (1-z) = -z -\dfrac{z^2}{2} -\dfrac{z^3}{3} -\dfrac{z^4}{4} -\cdots$
Untuk menentukan titik singularnya, harus dicari titik di mana $f(z)$ tidak memiliki turunan. Perhatikan bahwa jika $f(z) = \ln (1-z)$, maka
$f'(z) = -\dfrac{1}{1-z}$, berarti titik singular yang dimaksud adalah $z = 1$. Jadi, daerah lingkaran konvergensinya adalah lingkaran dengan pusat di titik asal dan berjari-jari $1$.

Diketahui $u(x, y) =x^2-y^2$
Agar fungsi tersebut analitik, maka PCR harus terpenuhi, yaitu
$\dfrac{\partial u} {\partial x} = 2x = \dfrac{\partial v} {\partial y} $
berarti,
$v = \displaystyle \int \dfrac{\partial v} {\partial y}~\text{d}y = \int 2x~\text{d}y = 2xy + C(x) \bigstar$
Selain itu, juga harus memenuhi persamaan
$-\dfrac{\partial u} {\partial y} = 2y = \dfrac{\partial v} {\partial x}$, dan dari $\bigstar$, didapat
$2y + C'(x) = 2y$
berarti $C'(x) = 0$ dan akibatnya $C(x) = C$.
Jadi, bagian imajiner dalam fungsi kompleks tersebut adalah $v = 2xy + C$ dengan $C$ sebagai suatu konstanta sembarang.