Soal dan Pembahasan – Fungsi Analitik dan Harmonik serta Teoremanya dalam Sistem Bilangan Kompleks

Suatu fungsi kompleks disebut fungsi analitik jika memenuhi Persamaan Cauchy-Riemann (PCR). PCR melibatkan turunan parsial, sehingga Anda harus sudah memahami materi turunan parsial beserta teknik diferensial terkait (baca: kalkulus).
Suatu fungsi kompleks disebut fungsi harmonik dalam \mathbb{R} jika fungsi tersebut memenuhi Persamaan Laplace (PL).

Soal Nomor 1
Periksa apakah f(z) = z^2 memenuhi Persamaan Cauchy-Riemann.

Penyelesaian

Misalkan z = x + iy berarti
f(z) = z^2 = (x + iy)^2 = (x^2 - y^2) + 2ixy
Diperoleh u =x^2 - y^2 dan v = 2xy di mana u dan v masing-masing merepresentasikan bagian real dan imajiner dalam fungsi f.
(1a) Cek turunan parsial u =x^2 terhadap x
\dfrac{\partial (x^2 - y^2)}{\partial x} = 2x
(1b) Cek turunan parsial v = 2xy terhadap y
\dfrac{\partial (2xy)} {\partial x} = 2x
Kita dapatkan bahwa hasil (1a) dan (1b) sama.
Selanjutnya,
(2a) Cek turunan parsial u = x^2 - y^2 terhadap y
\dfrac{\partial (x^2 - y^2)} {\partial y} = -2y
(2b) Cek negatif turunan parsial v = 2xy terhadap x
-\dfrac{\partial (2xy)} {x} = -2y
Kita dapatkan bahwa hasil (2a) dan (2b) sama.
Dengan demikian, f(z) memenuhi PCR.

[collapse]

Soal Nomor 2
Apakah fungsi berikut memenuhi PCR?
a) f(z) = r^2 \cos^2 \theta + ir^2 \sin^2 \theta
b) f(z) = \dfrac{1}{z} dengan z = re^{i\theta}

Penyelesaian

(Jawaban a)
Perhatikan bahwa
x = r \cos \theta, sedangkan
y = r \sin \theta
sehingga fungsi f bisa ditulis sebagai
f(z) = x^2 + iy^2
Jadi, u = x^2 dan v = y^2
(1a) Cek turunan parsial u =x^2 terhadap x
\dfrac{\partial (x^2)}{\partial x} = 2x
(1b) Cek turunan parsial v = y^2 terhadap y
\dfrac{\partial (y^2)} {\partial y} = 2y
Kita dapatkan bahwa hasil (1a) dan (1b) tidak sama. \bigstar
Selanjutnya,
(2a) Cek turunan parsial u = x^2 terhadap y
\dfrac{\partial (x^2)} {\partial y} = 0
(2b) Cek negatif turunan parsial v = y^2 terhadap x
-\dfrac{\partial (y^2)} {x} = 0
Kita dapatkan bahwa hasil (2a) dan (2b) sama.
Dengan demikian, f(z) tetap tidak memenuhi PCR karena salah satu syarat tak terpenuhi.
Catatan: \bigstar Dari sini sebenarnya sudah dapat disimpulkan bahwa f(z) tidak memenuhi PCR.
(Jawaban b)
Ubah fungsi f dalam bentuk x dan y (sebelumnya dalam bentuk eksponen)
\begin{aligned} f(z) & = f(re^{i\theta}) = \dfrac{1}{re^{i\theta}} \\ & = \dfrac{1}{r(\cos \theta + i~\sin \theta)} \\ & = \dfrac{1}{x + iy} = \dfrac{x -iy} {x^2+y^2} \\ & = \dfrac{x} {x^2+y^2} - \left(\dfrac{y} {x^2+y^2}\right) i \end{aligned}
Diperoleh u = \dfrac{x} {x^2+y^2} dan v = \dfrac{-y} {x^2+y^2}
(1a) Cek turunan parsial u terhadap x
\dfrac{\partial \left(\dfrac{x} {x^2+y^2}\right)}{\partial x} = \dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}
(1b) Cek turunan parsial v terhadap y
\dfrac{\partial \left(-\dfrac{y} {x^2+y^2}\right)} {\partial y} = \dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}
Kita dapatkan bahwa hasil (1a) dan (1b) sama.
Selanjutnya,
(2a) Cek turunan parsial u terhadap y
\dfrac{\partial \left(\dfrac{x} {x^2+y^2}\right)} {\partial y} = \dfrac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}
(2b) Cek negatif turunan parsial v terhadap x
-\dfrac{\partial \left(\dfrac{-y} {x^2+y^2}\right)} {x} = \dfrac{-2xy} {(x^2+y^2)^2}
Kita dapatkan bahwa hasil (2a) dan (2b) sama.
Dengan demikian, f(z) memenuhi PCR.

[collapse]

Soal Nomor 3
Apakah fungsi kompleks f(z) = 2x(1-y) + (x^2 - y^2 + 2y) i analitik?

Penyelesaian

Periksa apakah fungsi kompleks tersebut memenuhi PCR atau tidak. Perhatikan bahwa,
\dfrac{\partial (2x(1-y))} {\partial x} = 2 - 2y = \dfrac{\partial (x^2-y^2+2y)} {\partial y}
dan juga
\dfrac{\partial (2x(1-y))} {\partial y} = -2x = -\dfrac{\partial (x^2-y^2+2y)} {\partial x}
Terlihat bahwa solusi sistem PCR terpenuhi di seluruh bidang kompleks. Jadi, f fungsi analitik.

[collapse]

Soal Nomor 4
Buktikan bahwa fungsi real U = 2x(1 - y) harmonik.

Penyelesaian

Cek turunan parsial kedua dari 2x(1-y) = 2x - 2xy terhadap x
\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial (2x - 2xy)}{\partial x}\right) = \dfrac{\partial (2-2y)} {\partial x} =0
Selanjutnya, cek turunan parsial kedua dari 2x(1-y) = 2x - 2xy terhadap y
\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial (2x - 2xy)}{\partial y}\right) = \dfrac{\partial (-2x)} {\partial y} =0
Karena \dfrac{\partial^2 u} {\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u} {\partial y^2} = 0, maka U memenuhi Persamaan Laplace sehingga dapat dikatakan bahwa fungsi U adalah fungsi harmonik. 

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan fungsi v sehingga f(z) = (2x - 2xy) + iv adalah fungsi analitik (menentukan fungsi sekawan dari u)

Penyelesaian

Suatu fungsi kompleks dikatakan fungsi analitik jika memenuhi PCR, yaitu:
(1)
\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y} = 2 -2y
berarti
\begin{aligned}v & = \displaystyle \int \left(\dfrac{\partial v}{\partial y}\right)~dy \\ & = \int (2-2y)~dy \\ & = 2y - y^2+ C(x) \end{aligned}
(2)
\begin{aligned} & \dfrac{\partial v} {\partial x} = -\dfrac{\partial u} {\partial y} \\& \dfrac{\partial (2y-y^2+C(x))} {\partial x} = -(-2x) \\ & C'(x) = 2x \\ & C(x) = x^2 \end{aligned}
Dengan demikian, kita dapatkan
\boxed{v = 2y - y^2+x^2}

[collapse]

Soal Nomor 6 (Soal ON-MIPA PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Harmonik sekawan/konjugat dari fungsi u(x, y) = y^3 - 3x^2y yang dituliskan dalam bentuk f(z) adalah \cdots

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
f(z) = u + iv = (y^3 - 3x^2y) + iv
Fungsi f memenuhi PCR sehingga haruslah berlaku
(1)
\dfrac{\partial (y^3-3x^2y)} {\partial x} = \dfrac{\partial v} {\partial y} = -6xy
Dengan integral, kita dapat menentukan v sebagai berikut.
v = \displaystyle \int \dfrac{\partial v} {\partial y}~dy = \int (-6xy)~dy = -3xy^2 + C(x) \bigstar
(2)
\dfrac{\partial (y^3-3x^2y)} {\partial y} = -\dfrac{\partial v} {\partial x} = 3y^2 - 3x^2
Dari \bigstar, kita tuliskan
-3y^2 +C'(x) = 3y^2- 3x^2
Diperolehlah
C'(x) =3x^2 atau C(x) = x^3
Jadi, v = -3y^2 + x^3, sehingga
\boxed{f(z) = y^3 - 3x^2y + (x^3 - 3y^2)i}

[collapse]

Soal Nomor 7
Tentukan daerah lingkaran konvergensi (disk of convergence) dari fungsi kompleks f(z) = \ln (1-z)

Penyelesaian

Fungsi f(z) dapat diekspansikan dalam bentuk deret pangkat di sekitar z = 0 dengan uraian Maclaurin, yaitu
\ln (1-z) = -z - \dfrac{z^2}{2} - \dfrac{z^3}{3} - \dfrac{z^4}{4} - \cdots
Untuk menentukan titik singularnya, harus dicari titik di mana f(z) tidak memiliki turunan. Perhatikan bahwa jika f(z) = \ln (1-z), maka
f'(z) = -\dfrac{1}{1-z}, berarti titik singular yang dimaksud adalah z = 1. Jadi, daerah lingkaran konvergensinya adalah lingkaran dengan pusat di titik asal dan berjari-jari 1.

[collapse]

Soal Nomor 8
Suatu fungsi u(x, y) = x^2-y^2 adalah bagian real dari fungsi kompleks f. Tentukan bagian imajinernya agar fungsi tersebut analitik.

Penyelesaian

Diketahui u(x, y) =x^2-y^2
Agar fungsi tersebut analitik, maka PCR harus terpenuhi, yaitu
\dfrac{\partial u} {\partial x} = 2x = \dfrac{\partial v} {\partial y}
berarti,
v = \displaystyle \int \dfrac{\partial v} {\partial y}~dy = \int 2x~dy = 2xy + C(x) \bigstar
Selain itu, juga harus memenuhi persamaan
-\dfrac{\partial u} {\partial y} = 2y = \dfrac{\partial v} {\partial x}, dan dari \bigstar, didapat
2y + C'(x) = 2y
berarti
C'(x) = 0 dan akibatnya C(x) = C
Jadi, bagian imajiner dalam fungsi kompleks tersebut adalah
v = 2xy + C dengan C sebagai suatu konstanta sembarang.

[collapse]
Ayo Beri Rating Postingan Ini

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *