Soal dan Pembahasan – Fungsi Analitik dan Harmonik serta Teoremanya dalam Sistem Bilangan Kompleks

Suatu fungsi kompleks disebut fungsi analitik jika memenuhi Persamaan Cauchy-Riemann (PCR). PCR melibatkan turunan parsial, sehingga Anda harus sudah memahami materi turunan parsial beserta teknik diferensial terkait (baca: kalkulus).
Suatu fungsi kompleks disebut fungsi harmonik dalam $\mathbb{R} $ jika fungsi tersebut memenuhi Persamaan Laplace (PL).

Today Quote

Hidup ini singkat. Mungkin hari ini kamu masih menyia-nyiakan hidup, dan esoknya kamu akan merasakan kalau hidup ini sudah menjauh darimu. Oleh karena itu, semakin cepat menghargai hidup, maka hari-hari yang kamu nikmati juga akan semakin bervariasi. Daripada berharap umur panjang, lebih baik nikmati saja hidupmu dari awal.

Soal Nomor 1
Periksa apakah $f(z) = z^2$ memenuhi Persamaan Cauchy-Riemann.

Penyelesaian

Misalkan $z = x + iy$ berarti
$f(z) = z^2 = (x + iy)^2 = (x^2 -y^2) + 2ixy$
Diperoleh $u =x^2 -y^2$ dan $v = 2xy$ di mana $u$ dan $v$ masing-masing merepresentasikan bagian real dan imajiner dalam fungsi $f$.
(1a) Cek turunan parsial $u =x^2$ terhadap $x$
$\dfrac{\partial (x^2 – y^2)}{\partial x} = 2x$
(1b) Cek turunan parsial $v = 2xy$ terhadap $y$
$\dfrac{\partial (2xy)} {\partial x} = 2x$
Kita dapatkan bahwa hasil (1a) dan (1b) sama.
Selanjutnya,
(2a) Cek turunan parsial $u = x^2 -y^2$ terhadap $y$
$\dfrac{\partial (x^2 -y^2)} {\partial y} = -2y$
(2b) Cek negatif turunan parsial $v = 2xy$ terhadap $x$
$-\dfrac{\partial (2xy)} {x} = -2y$
Kita dapatkan bahwa hasil (2a) dan (2b) sama.
Dengan demikian, $f(z)$ memenuhi PCR.

[collapse]

Soal Nomor 2
Apakah fungsi berikut memenuhi PCR?
a) $f(z) = r^2 \cos^2 \theta + ir^2 \sin^2 \theta$
b) $f(z) = \dfrac{1}{z}$ dengan $z = re^{i\theta}$

Penyelesaian

(Jawaban a)
Perhatikan bahwa
$x = r \cos \theta$, sedangkan $y = r \sin \theta$
sehingga fungsi $f$ bisa ditulis sebagai
$f(z) = x^2 + iy^2$
Jadi, $u = x^2$ dan $v = y^2$
(1a) Cek turunan parsial $u =x^2$ terhadap $x$
$\dfrac{\partial (x^2)}{\partial x} = 2x$
(1b) Cek turunan parsial $v = y^2$ terhadap $y$
$\dfrac{\partial (y^2)} {\partial y} = 2y$
Kita dapatkan bahwa hasil (1a) dan (1b) tidak sama. $\bigstar$
Selanjutnya,
(2a) Cek turunan parsial $u = x^2$ terhadap $y$
$\dfrac{\partial (x^2)} {\partial y} = 0$
(2b) Cek negatif turunan parsial $v = y^2$ terhadap $x$
$-\dfrac{\partial (y^2)} {x} = 0$
Kita dapatkan bahwa hasil (2a) dan (2b) sama.
Dengan demikian, $f(z)$ tetap tidak memenuhi PCR karena salah satu syarat tak terpenuhi.
Catatan: $\bigstar$ Dari sini sebenarnya sudah dapat disimpulkan bahwa $f(z)$ tidak memenuhi PCR.
(Jawaban b)
Ubah fungsi $f$ dalam bentuk $x$ dan $y$ (sebelumnya dalam bentuk eksponen)
$\begin{aligned} f(z) & = f(re^{i\theta}) = \dfrac{1}{re^{i\theta}} \\ & = \dfrac{1}{r(\cos \theta + i~\sin \theta)} \\ & = \dfrac{1}{x + iy} = \dfrac{x -iy} {x^2+y^2} \\ & = \dfrac{x} {x^2+y^2} -\left(\dfrac{y} {x^2+y^2}\right) i \end{aligned} $
Diperoleh $u = \dfrac{x} {x^2+y^2}$ dan $v = \dfrac{-y} {x^2+y^2}$
(1a) Cek turunan parsial $u$ terhadap $x$
$\dfrac{\partial \left(\dfrac{x} {x^2+y^2}\right)}{\partial x} = \dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$
(1b) Cek turunan parsial $v$ terhadap $y$
$\dfrac{\partial \left(-\dfrac{y} {x^2+y^2}\right)} {\partial y} = \dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$
Kita dapatkan bahwa hasil (1a) dan (1b) sama.
Selanjutnya,
(2a) Cek turunan parsial $u$ terhadap $y$
$\dfrac{\partial \left(\dfrac{x} {x^2+y^2}\right)} {\partial y} = \dfrac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}$
(2b) Cek negatif turunan parsial $v$ terhadap $x$
$-\dfrac{\partial \left(\dfrac{-y} {x^2+y^2}\right)} {x} = \dfrac{-2xy} {(x^2+y^2)^2}$
Kita dapatkan bahwa hasil (2a) dan (2b) sama.
Dengan demikian, $f(z)$ memenuhi PCR.

[collapse]

Soal Nomor 3
Apakah fungsi kompleks $f(z) = 2x(1-y) + (x^2 -y^2 + 2y) i$ analitik?

Penyelesaian

Periksa apakah fungsi kompleks tersebut memenuhi PCR atau tidak. Perhatikan bahwa,
$\dfrac{\partial (2x(1-y))} {\partial x} = 2 -2y = \dfrac{\partial (x^2-y^2+2y)} {\partial y} $
dan juga
$\dfrac{\partial (2x(1-y))} {\partial y} = -2x = -\dfrac{\partial (x^2-y^2+2y)} {\partial x}$
Terlihat bahwa solusi sistem PCR terpenuhi di seluruh bidang kompleks. Jadi, $f$ fungsi analitik.

[collapse]

Soal Nomor 4
Buktikan bahwa fungsi real $U = 2x(1 -y)$ harmonik.

Penyelesaian

Cek turunan parsial kedua dari $2x(1-y) = 2x -2xy$ terhadap $x$
$\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial (2x – 2xy)}{\partial x}\right) = \dfrac{\partial (2-2y)} {\partial x} =0$
Selanjutnya, cek turunan parsial kedua dari $2x(1-y) = 2x -2xy$ terhadap $y$
$\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial (2x – 2xy)}{\partial y}\right) = \dfrac{\partial (-2x)} {\partial y} =0$
Karena $\dfrac{\partial^2 u} {\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u} {\partial y^2} = 0$, maka $U$ memenuhi Persamaan Laplace sehingga dapat dikatakan bahwa fungsi $U$ adalah fungsi harmonik. 

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan fungsi $v$ sehingga $f(z) = (2x -2xy) + iv$ adalah fungsi analitik (menentukan fungsi sekawan dari $u$).

Penyelesaian

Suatu fungsi kompleks dikatakan fungsi analitik jika memenuhi PCR, yaitu:
(1)
$\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y} = 2 -2y$
berarti
$\begin{aligned}v & = \displaystyle \int \left(\dfrac{\partial v}{\partial y}\right)~\text{d}y \\ & = \int (2-2y)~\text{d}y \\ & = 2y -y^2+ C(x) \end{aligned} $
(2)
$\begin{aligned} \dfrac{\partial v} {\partial x} & = -\dfrac{\partial u} {\partial y} \\ \dfrac{\partial (2y-y^2+C(x))} {\partial x}&  = -(-2x) \\  C'(x) & = 2x \\ C(x)&  = x^2 \end{aligned} $
Dengan demikian, kita dapatkan
$\boxed{v = 2y -y^2+x^2}$

[collapse]

Soal Nomor 6 (Soal ON-MIPA PT Seleksi Untan Tahun 2017)
Harmonik sekawan/konjugat dari fungsi $u(x, y) = y^3 -3x^2y$ yang dituliskan dalam bentuk $f(z)$ adalah $\cdots \cdot$

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$f(z) = u + iv = (y^3 -3x^2y) + iv$
Fungsi $f$ memenuhi PCR sehingga haruslah berlaku
(1)
$\dfrac{\partial (y^3-3x^2y)} {\partial x} = \dfrac{\partial v} {\partial y} = -6xy$
Dengan integral, kita dapat menentukan $v$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} v & = \displaystyle \int \dfrac{\partial v} {\partial y}~\text{d}y \\ & = \int (-6xy)~\text{d}y \\ & = -3xy^2 + C(x) \bigstar \end{aligned}$
(2)
$\dfrac{\partial (y^3-3x^2y)} {\partial y} = -\dfrac{\partial v} {\partial x} = 3y^2 – 3x^2$
Dari $\bigstar$, kita tuliskan
$-3y^2 +C'(x) = 3y^2-3x^2$
Diperolehlah
$C'(x) =3x^2$ atau $C(x) = x^3$
Jadi, $v = -3y^2 + x^3$, sehingga
$\boxed{f(z) = y^3 -3x^2y + (x^3 -3y^2)i} $

[collapse]

Soal Nomor 7
Tentukan daerah lingkaran konvergensi (disk of convergence) dari fungsi kompleks $f(z) = \ln (1-z)$.

Penyelesaian

Fungsi $f(z)$ dapat diekspansikan dalam bentuk deret pangkat di sekitar $z = 0$ dengan uraian Maclaurin, yaitu
$\ln (1-z) = -z -\dfrac{z^2}{2} -\dfrac{z^3}{3} -\dfrac{z^4}{4} -\cdots$
Untuk menentukan titik singularnya, harus dicari titik di mana $f(z)$ tidak memiliki turunan. Perhatikan bahwa jika $f(z) = \ln (1-z)$, maka
$f'(z) = -\dfrac{1}{1-z}$, berarti titik singular yang dimaksud adalah $z = 1$. Jadi, daerah lingkaran konvergensinya adalah lingkaran dengan pusat di titik asal dan berjari-jari $1$.

[collapse]

Soal Nomor 8
Suatu fungsi $u(x, y) = x^2-y^2$ adalah bagian real dari fungsi kompleks $f$. Tentukan bagian imajinernya agar fungsi tersebut analitik.

Penyelesaian

Diketahui $u(x, y) =x^2-y^2$
Agar fungsi tersebut analitik, maka PCR harus terpenuhi, yaitu
$\dfrac{\partial u} {\partial x} = 2x = \dfrac{\partial v} {\partial y} $
berarti,
$v = \displaystyle \int \dfrac{\partial v} {\partial y}~\text{d}y = \int 2x~\text{d}y = 2xy + C(x) \bigstar$
Selain itu, juga harus memenuhi persamaan
$-\dfrac{\partial u} {\partial y} = 2y = \dfrac{\partial v} {\partial x}$, dan dari $\bigstar$, didapat
$2y + C'(x) = 2y$
berarti $C'(x) = 0$ dan akibatnya $C(x) = C$.
Jadi, bagian imajiner dalam fungsi kompleks tersebut adalah $v = 2xy + C$ dengan $C$ sebagai suatu konstanta sembarang.

[collapse]
CategoriesAnalisis KompleksTags, , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *