Pembuktian Rumus Luas Jajaran Genjang dan Trapesium

Sebelumnya kita sudah membahas mengenai pembuktian rumus dasar luas segitiga yang secara detail telah dijelaskan melalui pos yang dapat diakses dari tautan berikut.

Baca Juga: Pembuktian Rumus Dasar Luas Segitiga

Sekarang kita akan membuktikan rumus luas jajaran genjang (parallelogram) dan luas trapesium (trapezoid). Rumus luas kedua bangun datar tersebut kemungkinan besar telah disampaikan oleh guru saat kita masih menginjak bangku sekolah dasar sehingga sepertinya sudah tidak asing lagi untuk diketahui. Sebelum lanjut, kita perlu memberi definisi terkait jajaran genjang dan trapesium—bagaimana suatu bangun datar bisa disebut sebagai jajaran genjang dan trapesium.

Definisi: Jajaran Genjang

Jajaran genjang adalah bangun datar berbentuk segi empat (memiliki empat sisi dan empat sudut) yang berciri-ciri: ada 2 pasang sisi sejajar dan 2 pasang sudut yang berhadapan sama besar.

Definisi di atas menunjukkan bahwa persegi panjang sebenarnya juga adalah jajaran genjang khusus dengan besar semua sudutnya $90^\circ.$

Definisi: Trapesium

Trapesium adalah bangun datar berbentuk segi empat (memiliki empat sisi dan empat sudut) yang berciri-ciri hanya ada 1 pasang sisi sejajar dan kedua sisi tersebut tidak sama panjang.

Contoh bangun datar jajaran genjang dan trapesium dapat dilihat pada gambar berikut.

Quote by Marie Curie

Nothing in life is to be feared, it is only to be understood. Now is the time to understand more, so that we may fear less.

Pembuktian Rumus Luas Jajaran Genjang

Jika suatu jajaran genjang memiliki alas $a$ dan tinggi $t$ seperti tampak pada gambar di bawah, maka luasnya sama dengan $L = a \times t.$

Perhatikan bahwa “tinggi” jajaran genjang adalah panjang garis yang tegak lurus terhadap sisi alasnya, bukan panjang sisi tegak pada jajaran genjang. Untuk membuktikan rumus tersebut, kita akan menggunakan pengetahuan yang kita dapatkan sebelumnya tentang luas segitiga.

Misalkan panjang sisi satunya sebagai $b.$ Tarik salah satu garis diagonal jajaran genjang dan misalkan panjangnya $c.$ Jajaran genjang tersebut telah kita belah menjadi dua segitiga yang kongruen (sama persis) karena ketiga panjang sisinya sama, yaitu $a, b,$ dan $c.$ Jadi, luasnya juga seharusnya sama.

Luas jajaran genjang adalah jumlah luas segitiga I dan segitiga II.
$$\begin{aligned} L_{\text{jajaran genjang}} & = L_{\triangle I} + L_{\triangle II} \\ & = L_{\triangle I} + L_{\triangle I} && (\text{karena sama}) \\ & = 2 \times L_{\triangle I} \\ & = \cancel{2} \times \left(\dfrac{1}{\cancel{2}} \times a \times t \right) \\ & = a \times t \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa rumus luas jajaran genjang adalah
$$\boxed{\large L = a \times t}$$


Pembuktian Rumus Luas Trapesium

Jika suatu trapesium memiliki panjang sisi sejajar $a$ dan $b$ serta tinggi $t$ seperti tampak pada gambar di bawah, maka luasnya sama dengan $L = \dfrac{a \times b}{2} \times t.$

Perhatikan bahwa “tinggi” trapesium adalah panjang garis yang tegak lurus terhadap sisi alasnya. Untuk membuktikan rumus tersebut, kita akan menggunakan pengetahuan yang kita dapatkan sebelumnya tentang luas segitiga dan luas jajaran genjang.

Tarik garis yang sejajar dengan salah satu sisi tegak trapesium seperti gambar di atas. Akibatnya, kita peroleh dua bangun datar: jajaran genjang (daerah I) dan segitiga (daerah II). Jajaran genjang tersebut memiliki panjang alas $b$ dan tinggi $t,$ sedangkan segitiga tersebut memiliki panjang alas $(a-b)$ dengan tinggi yang sama.

Luas trapesium adalah jumlah luas jajaran genjang ditambah luas segitiga.
$$\begin{aligned} L_{\text{trapesium}} & = L_{\text{jajaran genjang}} + L_{\text{segitiga}} \\ & = (b \times t) + \left(\dfrac12 \times (a-b) \times t \right) \\ & = t \times \left(b + \dfrac{a-b}{2}\right) && (\text{Faktorkan}~t)  \\ & = t \times \dfrac{2b + a-b}{2} \\ & = t \times \dfrac{a + b}{2} \\ & = \dfrac{a+b}{2} \times t \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa rumus luas trapesium adalah
$$\boxed{\large L = \dfrac{a+b}{2} \times t}$$

0 0 votes
Article Rating

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Subscribe
Notify of
guest

0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments