Soal dan Pembahasan – Persamaan Lingkaran

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan materi persamaan lingkaran yang merupakan salah satu hasil irisan kerucut pada kajian geometri analitik. Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan referensi. Semua gambar grafik yang terdapat dalam postingan ini merupakan hasil screenshot. Aplikasi yang digunakan untuk menggambar grafiknya adalah Geogebra Classic 5. Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut: Download

Today Quote

Siapkan masa kini. Tidak perlu menyesali apa yang telah terjadi di masa lalu dan mengkhawatirkan apa yang belum terjadi di masa depan.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Irisan Kerucut: Elips

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Irisan Kerucut: Hiperbola

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Lingkaran yang berpusat di titik $p$ menyinggung sumbu-$Y$ seperti yang terlihat pada gambar berikut.
Persamaan lingkaran tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $(x-10)^2+(y+6)^2=10$
B. $(x-10)^2+(y+6)^2=36$
C. $(x+10)^2+(y-6)^2=36$
D. $(x-10)^2+(y+6)^2=100$
E. $(x+10)^2+(y-6)^2=100$

Pembahasan

Dari gambar, tampak bahwa pusat lingkarannya berada di koordinat $(10, -6)$. Karena lingkaran tepat menyinggung sumbu-$Y$, maka panjang jari-jarinya adalah $10$.
Persamaan lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$ dirumuskan oleh $(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2$. Untuk $(a, b) = (10, -6)$ dan $r = 10$, didapat $\boxed{(x-10)^2+(y+6)^2 = 100}$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui $P(h, k)$ dan $r$ berturut-turut menyatakan pusat dan jari-jari lingkaran $x^2+y^2+8x-2y-8=0$. Nilai dari $r+k-h = \cdots \cdot$
A. $10$                      C. $15$                   E. $19$
B. $12$                      D. $17$

Pembahasan

Ubah persamaan lingkaran itu ke dalam bentuk umum (kanonik), yakni
$\begin{aligned} x^2+y^2+8x-2y-8&=0 \\ (x+4)^2- 16 + (y-1)^2-1-8 & = 0 \\ (x+4)^2 + (y-1)^2-25 & = 0 \\ (x+4)^2 + (y-1)^2 &=25 \end{aligned}$
Perhatikan bahwa lingkaran yang berpusat di $(x_p, y_p)$ dan berjari-jari $r$ memiliki persamaan $(x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2$.
Untuk itu, pusat lingkaran ini adalah $(-4, 1)$ dan jari-jarinya $r = \sqrt{25} = 5$.
Dengan kata lain, $h =-4, k = 1$, dan $r = 5$, sehingga
$\boxed{r + k-h = 5 + 1-(-4) = 10}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Lingkaran $L \equiv (x+1)^2+(y-3)^2=9$ memotong garis $y = 3$. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $x = 2$ dan $x =-4$
B. $x = 2$ dan $x =-2$
C. $x =-2$ dan $x = 4$
D. $x =-2$ dan $x =-4$
E. $x = 8$ dan $x =-10$

Pembahasan

Titik potong lingkaran dengan garis itu dapat ditentukan dengan mensubstitusikan $y = 3$ ke persamaan lingkaran.
$\begin{aligned} (x+1)^2+(y-3)^2 &=9 \\ (x+1)^2+(0-0)^2 & = 9 \\ (x+1)^2 & = 9 \\ x+1 & = \pm 3 \\ x = 2~&\text{atau}~x =-4 \end{aligned}$
Jadi, titik potongnya di $(2,3)$ dan $(-4, 3)$.
Persamaan garis singgung lingkaran $(x-x_p)^2+(y-y_p)^2 = r^2$ dan melalui $(a, b)$ adalah $(x-x_p)(a-x_p) + (y-y_p)(b-y_p)$.
Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $(2,3)$ adalah
$\begin{aligned} (x+1)(2+1) + (y-3)(3-3) & = 9 \\ 3(x+1) & = 9 \\ x +1& = 3 \\ x &= 2 \end{aligned}$
Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $(-4,3)$ adalah
$\begin{aligned} (x+1)(-4+1) + (y-3)(3-3) & = 9 \\-3(x+1) & = 9 \\ x +1& =-3 \\ x &=-4 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah $x = 2$ dan $x =-4$ (Jawaban A)



[collapse]

Baca Juga: Cara Menghitung Luas Daun Beraturan dalam Matematika

Soal Nomor 4
Lingkaran $L \equiv (x-3)^2+(y-2)^2=4$ memotong garis $y = 2$. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $x =-1$ dan $x =-5$
B. $x =-1$ dan $x = 5$
C. $x = 1$ dan $x =-5$
D. $x = 1$ dan $x = 5$
E. $x = 4$ dan $x = 6$

Pembahasan

Titik potong lingkaran dengan garis itu dapat ditentukan dengan mensubstitusikan $y = 2$ ke persamaan lingkaran.
$\begin{aligned} (x-3)^2+(2-2)^2 &=4 \\ (x-3)^2+(0-0)^2 & = 4 \\ (x-3)^2 & = 4 \\ x-3 & = \pm 2 \\ x = 5~&\text{atau}~x = 1 \end{aligned}$
Jadi, titik potongnya di $(1,2)$ dan $(5,2)$.
Persamaan garis singgung lingkaran $(x-x_p)^2+(y-y_p)^2 = r^2$ dan melalui $(a, b)$ adalah $(x-x_p)(a-x_p) + (y-y_p)(b-y_p)$.
Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $(1,2)$ adalah
$\begin{aligned} (x-3)(1-3) + (y-2)(2-2) & = 4 \\-2(x-3) & = 4 \\ x-3& =-2 \\ x &= 1 \end{aligned}$
Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $(5,2)$ adalah
$\begin{aligned} (x-3)(5-3) + (y-2)(2-2) & =4 \\ 2(x-3) & =4 \\ x-3& = 2 \\ x &= 5 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah $x = 1$ dan $x = 5$.
(Jawaban D)

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan- Persamaan Kuadrat

Soal Nomor 5
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+12x-6y+13=0$ di titik $(-2,-1)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x-y+1=0$
B. $x+2y+4=0$
C. $2x-y+3=0$
D. $-2x-y-5=0$
E. $3x-2y+4=0$

Pembahasan

Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ di titik $(x_1, y_1)$ dinyatakan oleh
$$\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}A(x+x_1)+\dfrac{1}{2}B(y+y_1) + C = 0}$$Diketahui:
$A = 12$, $B =-6$, $C = 13$, $x_1 =-2$, $y_1 =-1$,
sehingga persamaan garis singgungnya adalah
$$\begin{aligned}-2x-y + \dfrac{1}{2}(12)(x-2)+\dfrac{1}{2}(-6)(y-1) + 13 & = 0 \\-2x-y + 6x-12-3y + 3 +13 & = 0 \\ 4x-4y+4& = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan 4} & \\ x-y+1 & = 0 \end{aligned}$$Perhatikan grafiknya di bawah ini.

(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 6
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-6x+4y+11=0$ di titik $(2,-1)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x-y-12=0$
B. $x-y-4=0$
C. $x-y-3=0$
D. $x+y-3=0$
E. $x+y+3=0$

Pembahasan

Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ di titik $(x_1, y_1)$ dinyatakan oleh
$$\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}A(x+x_1)+\dfrac{1}{2}B(y+y_1) + C = 0}$$Diketahui:
$A =-6, B = 4, C = 11, x_1 = 2, y_1 =-1$,
sehingga persamaan garis singgungnya adalah
$$\begin{aligned} 2x- y + \dfrac{1}{2}(-6)(x+2)+\dfrac{1}{2}(4)(y-1) + 11 & = 0 \\ 2x-y-3x-6 + 2y-2 +11 & = 0 \\-x + y+ 3 & = 0 \\ \text{Kali kedua ruas dengan-1} & \\ x-y-3 & = 0 \end{aligned}$$Perhatikan grafiknya di bawah ini.

(Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 7
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ di titik $(7,1)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3x-4y-41=0$
B. $4x+3y-55=0$
C. $4x-5y-53=0$
D. $4x+3y-31=0$
E. $4x-3y-40=0$

Pembahasan

Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ di titik $(x_1, y_1)$ dinyatakan oleh
$$\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}A(x+x_1)+\dfrac{1}{2}B(y+y_1) + C = 0}$$Diketahui:
$A =-6, B = 4, C =-12, x_1 = 7, y_1 = 1$,
sehingga persamaan garis singgungnya adalah
$$\begin{aligned} 7x + y + \dfrac{1}{2}(-6)(x+7)+\dfrac{1}{2}(4)(y+1)-12 & = 0 \\ 7x + y-3x-21 + 2y + 2-12& = 0 \\ 4x+3y-31& = 0\end{aligned}$$Perhatikan grafiknya di bawah ini.

(Jawaban D)  

[collapse]

Soal Nomor 8
Persamaan lingkaran yang pusatnya di titik $(1,2)$ dan menyinggung garis $y=x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3x^2+3y^2-6x-15y+16=0$
B. $2x^2+2y^2-4x-8y+9=0$
C. $2x^2+2y^2-4x-6y+7=0$
D. $x^2+y^2-2x+4y+2=0$
E. $x^2+y^2-4x-2y+1=0$

Pembahasan

Diketahui titik pusat lingkarannya adalah $(x_p, y_p) = (1,2)$.
Garis singgungnya adalah $y=x$ atau dapat ditulis $-x+y = 0$. Ini berarti,
$\begin{aligned} \text{Koefi}\text{sien}~x & = a =-1 \\ \text{Koefi}\text{sien}~y & = b = 1 \\ \text{Konstan}\text{ta} & = c = 0 \end{aligned}$
Jari-jari lingkaran dapat ditentukan dengan:
$\boxed{r = \dfrac{ax_p + by_p + c} {\sqrt{a^2+b^2}}}$
yaitu
$\begin{aligned} r & = \dfrac{-1(1) + 1(2) + 0}{\sqrt{(-1)^2+1^2}} \\ & = \dfrac{-1 + 2}{\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}} {\sqrt{2}}  = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{aligned}$
Persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
$\begin{aligned} (x-x_p)^2+(y-y_p)^2 & = r^2 \\ (x-1)^2+(y-2)^2 & = \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right)^2 \\ (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4) & = \dfrac{1}{2} \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}&~2 \\ 2x^2+2y^2-4x-8y+9&=0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan lingkaran yang pusatnya di titik $(1,2)$ dan menyinggung garis $y=x$ adalah $\boxed{2x^2+2y^2-4x-8y+9=0}$
Perhatikan grafiknya di bawah ini.

(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Persamaan garis yang sejajar dengan $x+2y-5=0$ yang membagi lingkaran $x^2+y^2-8x+6y-20=0$ menjadi dua bagian yang sama adalah $\cdots \cdot$
A. $x+2y+2=0$
B. $x+2y+6=0$
C. $x+2y-2=0$
D. $x+2y=0$
E. $x+2y-8=0$

Pembahasan

Gradien garis $x+2y-5=0$ adalah $m_1 =-\dfrac{\text{Koefi}\text{sien}~x}{\text{Koefi}\text{sien}~y} =-\dfrac{1}{2}$
Karena sejajar, maka garis yang membagi dua lingkaran itu juga memiliki gradien yang sama, yaitu $m = m_1 =-\dfrac{1}{2}$.
Ubah persamaan lingkarannya menjadi bentuk umum (kanonik).
$\begin{aligned} x^2+y^2-8x+6y-20 & = 0 \\ (x^2- 8x) + (y^2 + 6y)-20 & = 0 \\ (x- 4)^2-16 + (y+3)^2-9-20 & = 0 \\ (x-4)^2 + (y+3)^2 = 45 \end{aligned}$
Persamaan lingkaran di atas menunjukkan bahwa titik pusat lingkaran di $(4,-3)$.
Garis yang membagi dua lingkaran itu pasti melalui titik pusat lingkaran.
Persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1) = (4,-3)$ dan bergradien $m =-\dfrac{1}{2}$ adalah
$\begin{aligned} y-y_1 &= m(x-x_1) \\ y-(-3) & =-\dfrac{1}{2}(x- 4) \\ 2y + 6 & =-x + 4 \\ x + 2y + 2 & = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis yang dimaksud adalah $\boxed{x+2y+2=0}$
(Jawaban A)
Perhatikan gambar grafiknya untuk lebih jelasnya.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Garis Singgung Lingkaran (Tingkat SMP)

Soal Nomor 10
Titik $(a, b)$ disebut titik letis jika $a$ dan $b$ keduanya adalah bilangan bulat. Banyaknya titik letis pada lingkaran yang berpusat di $O$ dan berjari-jari $5$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4$                      D. $12$
B. $6$                      E. tidak bisa dipastikan
C. $8$

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik asal $(0,0)$ dan berjari-jari $r = 5$ adalah $x^2 + y^2 = 25$.
Bila dipilih $x = 0$, maka $y = \pm 5$ dan sebaliknya.
Bila dipilih $x = \pm 3$, maka $y = \pm 4$ dan sebaliknya.
Untuk itu, pasangan $(x, y) \in \mathbb{Z}$ yang memenuhi persamaan lingkaran di atas adalah
$\begin{aligned} & (0, 5), (0,-5), (5, 0), (-5, 0), (3, 4), \\ & (3,-4), (-3, 4), (-3,-4), (4, 3), (4,-3), \\ & (-4, 3), (-4,-3) \end{aligned}$
Jadi, banyaknya titik letis pada lingkaran yang berpusat di $O$ dan berjari-jari $5$ ada $\boxed{12}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-2x+6y-10=0$ yang 
sejajar dengan garis $2x-y+4=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2x-y=14$                 D. $2x-y=-5$
B. $2x-y=10$                 E. $2x-y=-6$
C. $2x-y=5$

Pembahasan

Ubah persamaan lingkarannya ke dalam bentuk umum. 
$\begin{aligned} x^2+y^2-2x+6y-10 & = 0 \\ (x-1)^2-1 + (y + 3)^2-9-10 & = 0 \\ (x-1)^2 + (y+3)^2 & = 20 \end{aligned}$
Lingkaran tersebut berpusat di $(1,-3)$ dan berjari-jari $\sqrt{20} = 2\sqrt5$.
Gradien garis $2x-y+4=0$ adalah $m_1 =-\dfrac{\text{Koefi}\text{sien}~x} {\text{Koefi}\text{sien}~y} =-\dfrac{2}{-1} = 2$. 
Karena sejajar, maka garis singgung lingkaran juga memiliki gradien $m=2$.
Persamaan garis singgung bergradien $2$ pada lingkaran dengan pusat di $(1,-3)$ dan jari-jarinya $2\sqrt5$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} y-y_p & = m(x-x_p) \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y-(-3) & = 2(x-1) \pm 2\sqrt{5}\sqrt{1+2^2} \\ y + 3 & = 2x-2 \pm 10 \\ 2x- y & = 5 \pm 10 \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh dua persamaan garis singgung lingkaran, yaitu
$\begin{cases} 2x-y = 15 \\ 2x-y =-5 \end{cases}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui 2 lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2+6x-8y+21=0$ dan $x^2+y^2+10x-8y+25=0$. Hubungan antara kedua lingkaran ini adalah $\cdots \cdot$
A. berpotongan di satu titik
B. tidak berpotongan
C. bersinggungan luar
D. bersinggungan dalam
E. sepusat

Pembahasan

Lingkaran $x^2+y^2+6x-8y+21=0$ memiliki bentuk umum:
$\begin{aligned} (x^2+6x) + (y^2-8y) + 21 & = 0 \\ (x+3)^2-9 + (y-4)^2-16 + 21 & = 0 \\ (x+3)^2 + (y-4)^2 = 4 \end{aligned}$
Bentuk terakhir menunjukkan lingkaran ini berpusat di $(-3, 4)$ dan berjari-jari $r = \sqrt{4} = 2$.
Lingkaran $x^2+y^2+10x-8y+25=0$ memiliki bentuk umum:
$\begin{aligned} (x^2+10x) + (y^2-8y) + 25 & = 0 \\ (x+5)^2-25 + (y-4)^2-16 + 25 & = 0 \\ (x+5)^2 + (y-4)^2 & = 16 \end{aligned}$
Bentuk terakhir menunjukkan lingkaran ini berpusat di $(-5, 4)$ dan berjari-jari $r = \sqrt{16} = 4$.
Jarak kedua pusat lingkaran adalah $s =-3-(-5) = 2$.
Selisih kedua jari-jari lingkaran adalah $\triangle r = 4-2 = 2$
Karena sama, maka dapat disimpulkan bahwa kedua lingkaran itu bersinggungan dalam.
Secara geometris, dapat dibuat sketsa grafiknya sebagai berikut.

(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui titik $A(-2,1)$ dan $B(4,-3)$. Jika $P(x,y)$ terletak pada bidang koordinat sedemikian sehingga $PA^2 + PB^2 = AB^2$, maka $P$ merupakan titik-titik yang terletak pada busur lingkaran yang memotong sumbu-$X$ pada $\cdots \cdot$
A. $x = 2\sqrt{13}+1$ dan $x = 2\sqrt{3}-1$
B. $x = 2\sqrt{13}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}+1$
C. $x = 2\sqrt{13}-1$ dan $x =-2\sqrt{3}-1$
D. $x = 2\sqrt{13}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}-1$
E. $x =-2\sqrt{13}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}-1$

Pembahasan

Karena berlaku persamaan Pythagoras $PA^2+PB^2=AB^2$, maka dapat diasumsikan bahwa $PAB$ merupakan segitiga siku-siku yang sudut siku-sikunya di $P$.
Diketahui $P(x, y), A(-2,1), B(4,-3)$
Dengan menggunakan rumus jarak dalam koordinat Kartesius, diperoleh persamaan
$$\begin{aligned} \left(\sqrt{(x+2)^2+(y-1)^2}\right)^2 + & \left(\sqrt{(4-x)^2+(-3-y)^2}\right)^2 \\ & = \left(\sqrt{(4+2)^2+(-3-1)^2}\right)^2 \end{aligned}$$Sederhanakan dengan menghapus tanda akar dan menguraikan bentuk kuadratnya.
$\begin{aligned} & (x^2+4x+4)+ (y^2-2y+1)+ \\ & (16-8x+x^2)+ (9+6y+y^2) = 52 \end{aligned}$
Sederhanakan bentuk aljabarnya.
$\begin{aligned} 2x^2 + 2y^2-4x + 4y-22 & = 0 \\ \text{Bagi 2 pada kedua ruasnya} & \\ x^2+y^2-2x+2y-11&=0 \end{aligned}$
Bentuk terakhir adalah persamaan lingkaran yang mewakili kedudukan titik $P$ pada bidang koordinat.
Lingkaran ini memotong sumbu-$X$ saat $y = 0$, sehingga
$\begin{aligned} x^2+0^2-2x+2(0)-11&=0 \\ x^2-2x-11 & = 0 \end{aligned}$
Gunakan rumus ABC untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat di atas.
$\begin{aligned} x_{1,2} & = \dfrac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4(1)(-11)}} {2(1)} \\ & = \dfrac{2 \pm \sqrt{48}} {2} \\ & = \dfrac{2 \pm 4\sqrt{3}} {2} \\ & = \pm 2\sqrt{3} + 1 \end{aligned}$
Jadi, lingkarannya akan memotong sumbu-$X$ di $x = 2\sqrt{3}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}+1$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 14
Persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2 = 36$ dari titik $(9,-6)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3x+2y=12$
B. $3x-2y=12$
C. $3x+2y=-18$
D. $3x-y=12$
E. $2x-3y=18$

Pembahasan

Persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2=r^2$ dari titik $(x_1,y_1)$ dirumuskan oleh $x_1x + y_1y = r^2$.
Untuk itu, persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2=36$ dari titik $(9,-6)$ adalah
$\begin{aligned} 9x-6y & = 36 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&~\text{dengan 3} \\ 3x-2y & = 12 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis polarnya adalah $\boxed{3x-2y=12}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 15
Lingkaran yang berpusat di $(2,3)$ dan menyinggung garis $y-7=0$, juga menyinggung garis dengan persamaan $\cdots \cdot$
A. $x+6 = 0$ dan $y + 4 = 0$
B. $x-6 = 0$ dan $y + 1 = 0$
C. $x+2 = 0$ dan $y-6 = 0$
D. $x-2 = 0$ dan $y-6 = 0$
E. $x-2 = 0$ dan $y + 1 = 0$

Pembahasan

Perhatikan sketsa berikut.

Jika titik pusat lingkaran di $(2, 3)$, maka jarak titik ini ke titik singgung $(2, 7)$ adalah jari-jari lingkaran, yaitu $r = 7-3 = 4$. Ini berarti, persamaan lingkarannya adalah
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 4^2 = 16$
Sketsa grafiknya seperti berikut.
Tampak bahwa garis horizontal dan vertikal yang menyinggung lingkaran ini adalah:
$\begin{aligned} y & =-1 \equiv y + 1 = 0 \\ x & = 6 \equiv x-6 = 0 \\ x &=-2 \equiv x + 2 = 0 \\ y & = 7 \equiv y-7  = 0 \end{aligned}$
Dari pilihan yang diberikan, jawaban yang tepat adalah B.

[collapse]

Soal Nomor 16
Jika kuasa titik $M(m, 4)$ sama dengan nol terhadap lingkaran $x^2+y^2=25$, maka nilai $m = \cdots \cdot$
A. $\sqrt{3}$                       D. $\pm 2$
B. $3$                           E. $\pm 3$
C. $2$

Pembahasan

Persamaan lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ ekuivalen dengan $x^2 + y^2-25 = 0$. Nilai kuasa titik $(x_1, y_1)$ pada lingkaran tersebut adalah $x_1^2 + y_1^2-25$.
Agar nilai tersebut nol, ditulis
$\begin{aligned} x_1^2 + y_1^2-25 & = 0 \\ m^2 + 4^2-25 & = 0 \\ m^2-9 & = 0 \\ m^2 & = 9 \\ m & = \pm 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{m = \pm 3}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 17
Misalkan titik $A$ dan $B$ berada pada lingkaran $x^2 + y^2-6x-2y + k = 0$ sehingga garis singgung lingkaran di titik $A$ dan $B$ berpotongan di $C(8,1)$. Jika luas segiempat yang melalui titik $A,B,C$, dan pusat lingkaran adalah $12$, maka $k = \cdots \cdot$
A. $-1$                C. $1$                   E. $3$
B. $0$                   D. $2$

Pembahasan

Ubah persamaan lingkaran itu ke bentuk umumnya. 
$\begin{aligned} x^2+y^2-6x-2y+k&=0 \\ (x- 3)^2- 9 + (y-1)^2-1+k&=0 \\ (x-3)^2 + (y-1)^2 & =10- k \end{aligned}$
Pusat lingkaran di $P(3,1)$ dan $r = \sqrt{10-k}$
Perhatikan bahwa garis yang ditarik dari titik $P(3,1)$ ke titik $C(8,1)$ membentuk garis horizontal (mendatar). Ini berarti, garis $AB$ berupa garis vertikal, sehingga segiempat $PABC$ berupa layang-layang. 
Perhatikan sketsa berikut untuk lebih jelasnya.

Ingat bahwa jari-jari dan garis singgung selalu membentuk sudut siku-siku, sehingga diperoleh segitiga $PAC$, siku-siku di $A$. 
Diketahui:
$\begin{aligned} r & = PA = \sqrt{10-k} \\ PC & = 8-3 = 5 \end{aligned}$
Panjang $AC$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras. 
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{PC^2-PA^2} \\ & = \sqrt{5^2-(10-k)} \\ & = \sqrt{k+15} \end{aligned}$
Dengan demikian, luas layang-layangnya dirumuskan oleh
$\begin{aligned} 2 \cdot L_{\triangle PAC} & = 12 \\ 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot PA \cdot AC & = 12 \\ \sqrt{10-k} \cdot \sqrt{k+15}&=12 \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\ (10-k) (k+15) & = 144 \\-k^2-5k + 150-144 & = 0 \\ k^2+5k-6&=0 \\ (k+6)(k-1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $k =-6$ atau $k = 1$
Berdasarkan pilihan yang tersedia, jawaban yang tepat adalah C.

[collapse]

Soal Nomor 18
Lingkaran $x^2 + y^2 -16x-12y = 0$ memotong sumbu-$Y$ di titik $P$. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran di titik $P$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3y = 4x + 36$
B. $3y =-4x + 36$
C. $3y = 4x + 12$
D. $4y = 3x + 12$
E. $4y =-3x + 12$

Pembahasan

Karena lingkaran memotong sumbu-$Y$, maka nilai $x = 0$. Substitusikan ke persamaan lingkaran.
$\begin{aligned} x^2+y^2-16x-12y&=0 \\ 0^2-y^2-16(0)-12y & = 0 \\-y^2-12y & = 0 \\ y(y+12) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $y = 0$ atau $y = 12$. Ini berarti, ada dua kemungkinan koordinat titik $P$, yaitu di $(0,0)$ atau $(0,12)$.
Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $P(0,0)$ adalah
$(A =-16, B =-12, C = 0$, $x_1 = y_1 = 0)$
$$\begin{aligned} & x_1x + y_1y + \dfrac{1}{2}A(x+x_1)+\dfrac{1}{2}B(y+y_1)+C = 0 \\ & 0x + 0y + \dfrac{1}{2}(-16)(x + 0)+\dfrac{1}{2}(-12)(y+0) + 0 = 0 \\ &-8x-6y  = 0 \\ & 4x + 3y  = 0 \end{aligned}$$Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $P(0,12)$ adalah
$(A =-16, B =-12, C = 0, x_1 = 0, y_1 = 12)$
$$\begin{aligned} & x_1x + y_1y + \dfrac{1}{2}A(x+x_1)+\dfrac{1}{2}B(y+y_1)+C = 0 \\ & 0x + 12y + \dfrac{1}{2}(-16)(x + 0)+\dfrac{1}{2}(-12)(y+12) + 0 = 0 \\ & 12y-8x-6y-72 = 0 \\ & 6y = 8x + 72 \\ & 3y = 4x + 36 \end{aligned}$$Berdasarkan pilihan yang tersedia, jawaban yang tepat adalah A.
Perhatikan gambar grafiknya sebagai bentuk representasi geometrisnya.

[collapse]

Soal Nomor 19
Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis $2x+3y-5=0$ serta menyinggung sumbu-$X$ negatif dan sumbu-$Y$ positif adalah $\cdots \cdot$

A. $x^2+y^2+5x-5y+25=0$
B. $x^2+y^2-5x+5y+25=0$
C. $x^2+y^2+10x-10y+25=0$
D. $x^2+y^2-10x+10y+25=0$
E. $x^2+y^2+5x+5y+10=0$

Pembahasan

Karena lingkaran menyinggung sumbu-$X$ negatif dan sumbu-$Y$ positif, maka dapat dipastikan bahwa lingkaran itu berada di kuadran II seperti sketsa gambar berikut.
Lingkaran menyinggung sumbu-X negatif dan sumbu-Y positif
Jarak dari pusat lingkaran ke sisi lingkaran adalah jari-jari $r$, sehingga koordinat titik pusatnya adalah $(-r, r)$.
Karena pusat terletak pada garis $2x+3y-5=0$, maka substitusi $x = -r$ dan $y = r$, diperoleh
$\begin{aligned} 2(-r)+3r-5 & = 0 \\ r & = 5 \end{aligned}$
Pusat lingkaran di $(-5, 5)$.
Persamaan lingkarannya adalah
$\begin{aligned} (x-a)^2+(y-b)^2&=r^2 \\ (x+5)^2+(y-5)^2 & = 5^2 \\ (x^2+10x+25)+(y^2-10y+\cancel{25}) & = \cancel{25} \\ x^2+y^2+10x-10y+25&=0 \end{aligned}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 20
Persamaan lingkaran $(x+1)^2+y^2=9$ menyinggung garis $ax+by=2a$. Nilai dari $\dfrac{a^2}{a^2+b^2} = \cdots \cdot$
A. $0$                        C. $2$                      E. $4$
B. $1$                        D. $3$

Pembahasan

Persamaan lingkaran $(x+1)^2+y^2=9$ berpusat di $(x_1, y_1) = (-1, 0)$ dan berjari-jari $r = \sqrt9 = 3$.
Lingkaran ini menyinggung garis $ax+by=2a$ atau ekuivalen dengan $ax+by-2a=0$.
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} r & = 3 \\ \left|\dfrac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right| & = 3 \\ \left|\dfrac{a(-1)+b(0)+(-2a)}{\sqrt{a^2+b^2}}\right| & = 3 \\ \left|\dfrac{-3a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right| & = 3 \\ \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} & = 1 \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ \dfrac{a^2}{a^2+b^2} & = 1^2=1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{a^2}{a^2+b^2} = 1}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 21
Titik pusat lingkaran $L$ berada di kuadran I dan berada di sepanjang garis $y = 2x$. Jika $L$ menyinggung sumbu-$Y$ di titik $(0,6)$, persamaan lingkaran $L$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x^2+y^2-3x-6y=0$
B. $x^2+y^2+6x-12y-108=0$
C. $x^2+y^2+12x+6y-72=0$
D. $x^2+y^2-12x-6y=0$
E. $x^2+y^2-6x-12y+36=0$

Pembahasan

Karena lingkaran $L$ menyinggung sumbu-$Y$ di titik $(0,6)$, maka dapat dipastikan bahwa ordinat pusat lingkaran $L$ adalah $6$, dengan absis yang dapat ditentukan oleh persamaan $y=2x$, yaitu
$6 = 2x \Leftrightarrow x = 3$
Jadi, pusat lingkaran $L$ di $(3,6)$. 
Jari-jari lingkarannya adalah jarak dari titik $(3,26$ ke $(0,6)$, yaitu $r = 3$. Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah
$\begin{aligned} (x-3)^2 + (y-6)^2 &= 3^2 \\ (x^2-6x + 9) + (y^2-12y + 36) & = 9 \\ x^2 + y^2-6x-12y + 36 & = 0 \end{aligned}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 22
Diketahui lingkaran $L \equiv x^2 + y^2 -2x-4y-10 = 0$. Garis yang membelah lingkaran menjadi dua bagian yang sama luasnya dan melalui titik $(a, b)$ memiliki persamaan $\cdots \cdot$
A. $(b+2)x+(1+a)y+(2a-b) = 0$
B. $(b-2)x+(1+a)y+(2a+b) = 0$
C. $(b+2)x+(1-a)y+(2a-b) = 0$
D. $(b+2)x+(1-a)y+(2a+b) = 0$
E. $(b-2)x+(1-a)y+(2a-b) = 0$

Pembahasan

Suatu garis yang membelah lingkaran menjadi dua bagian yang sama luasnya pasti melalui titik pusat lingkaran.
Oleh karena itu, kita cari titik pusat lingkaran yang diberikan
$\begin{aligned} x^2 + y^2-2x-4y -10 & = 0 \\ (x-1)^2-1+(y-2)^2-4-10 & = 0 \\ (x-1)^2+(y-2)^2 & = 15 \end{aligned}$
Diperoleh titik pusat di $(1, 2)$.

Persamaan garis yang melalui $(1, 2)$ dan $(a, b)$ adalah
$$\begin{aligned} \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \dfrac{y-2}{b-2} & = \dfrac{x-1}{a-1} \\ (y-2)(a-1) & = (b-2)(x-1) \\ ay-y-2a+2 & = bx-b-2x+2 \\ (b-2)x+(1-a)y+(2a-b) & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis itu dinyatakan oleh $\boxed{(b-2)x+(1-a)y+(2a-b) = 0}$
(Jawaban E)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Selidiki apakah persamaan berikut merupakan persamaan lingkaran atau bukan.
a. $(x-4)^2 + (y-1)^2-36 = 0$
b. $x^2 + y^2-4x- 8y + 25 = 0$
c. $x^2 + 3x + 4y-10 = 0$

Pembahasan

Persamaan lingkaran haruslah berbentuk $(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2$ dengan $(a, b)$ sebagai koordinat titik pusat dan $r$ jari-jari lingkaran serta $r > 0$.
Jawaban a)
Persamaan $(x-4)^2 + (y-1)^2-36 = 0$ ekuivalen dengan $(x- 4)^2 + (y-1)^2 = 36$
Persamaan ini menunjukkan bentuk persamaan lingkaran yang pusatnya di $(4, 1)$ dan berjari-jari $r = \sqrt{36} = 6$.
Jawaban b)
Ubah bentuk persamaan ini menjadi seperti berikut.
$\begin{aligned} x^2 + y^2-4x-8y + 25 & = 0 \\ (x^2-4x)+(y^2-8y) + 25 & = 0 \\ (x-2)^2-4 + (y-4)^2-16 + 25 & = 0 \\ (x-2)^2 + (y-4)^2 & =-5 \end{aligned}$
Persamaan di atas serupa dengan bentuk persamaan lingkaran, namun ditemukan bahwa $r$ bernilai negatif, sehingga persamaan $x^2 + y^2-4x-8y + 25 = 0$ bukan persamaan lingkaran.
Jawaban c)
Persamaan $x^2 + 3x + 4y-10 = 0$ tidak memiliki suku $y^2$ sehingga bukan termasuk persamaan lingkaran.

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan persamaan lingkaran dengan ketentuan berikut.

  1. Berdiameter $10$ dan berpusat di titik $(-5,5)$;
  2. Berjari-jari $7$ dan berpusat di titik $(1,0)$;
  3. Berjari-jari $\sqrt{3}$ dan berpusat di titik asal.

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$ adalah
$\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2}$
Jawaban a)
Diketahui: $d = 10, r = 5, r^2 = 25, a =-5, b = 5$.
(Ingat bahwa panjang jari-jari adalah setengah dari panjang diameter)
Persamaan lingkarannya adalah
$\boxed{(x+5)^2+(y-5)^2 = 25}$
atau bila diuraikan menjadi
$\boxed{x^2+y^2+10x-10y+25=0}$
Jawaban b)
Diketahui: $r = 7, r^2 = 49a = 1, b = 0$.
Persamaan lingkarannya adalah
$\boxed{(x-1)^2+y^2 = 49}$
atau bila diuraikan menjadi
$\boxed{x^2+y^2-2y-48 =0}$
Jawaban c)
Diketahui: $r = \sqrt{3}, r^2 = 3, a = b = 0$
(Titik asal juga disebut titik pusat koordinat, yaitu $(0,0)$)
Persamaan lingkarannya adalah
$\boxed{x^2+y^2 = 3}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan berikut.
a. $(x+5)^2+(y-3)^2 = 16$
b. $x^2+y^2+10x-8y-8=0$
c. $3x^2+3y^2+12x-9y = 0$

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$ adalah
$\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2}$
Jawaban a)
Dengan membandingkan persamaan lingkaran tersebut dengan bentuk umum persamaan lingkaran, diperoleh $a =-5, b=3$, dan $r^2 = 16$, atau $r = 4$.
Jadi, kooordinat titik pusatnya di $(-5,3)$ dan jari-jari lingkarannya $4$ satuan panjang.
Jawaban b)
Ubah persamaan lingkaran tersebut ke dalam bentuk umum (kanonik).
$\begin{aligned} x^2+y^2+10x-8y-8 & = 0 \\ (x^2+10x) + (y^2-8y) + 8 & = 0 \\ (x+5)^2- 25 + (y-4)^2-16 + 8 & = 0 \\ (x+5)^2 + (y-4)^2 = 33 \end{aligned}$
Diperoleh $a =-5, b = 4, r^2 = 33, r = \sqrt{33}$.
Jadi, koordinat titik pusatnya di $(-5,4)$ dan jari-jari lingkarannya $\sqrt{33}$ satuan panjang.
Jawaban c)
Ubah persamaan lingkaran tersebut ke dalam bentuk umum (kanonik).
$\begin{aligned} 3x^2+3y^2+12x- 9y & = 0 \\ \text{Bagi 3 pada kedua ruas} & \\ x^2+y^2+4x-3y & = 0 \\ (x^2+4x) + (y^2-3y) & = 0 \\ (x + 2)^2-4 + \left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4} & = 0 \\ (x + 2)^2 + \left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2 & = \dfrac{25}{4} \end{aligned}$
Diperoleh
$a =-2, b = \dfrac{3}{2}, r^2 = \dfrac{25}{4}, r = \dfrac{5}{2}$.

Jadi, koordinat titik pusatnya di $\left(-2,\dfrac{3}{2}\right)$ dan jari-jari lingkarannya $\dfrac{5}{2}$ satuan panjang.

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui lingkaran dengan persamaan $(x-2)^2 + (y+5)^2 = 40$.
Selidikilah letak titik-titik berikut terhadap lingkaran itu.
a. Titik $A(2, 5)$
b. Titik $B(-4,-3)$
c. Titik $C(0,-4)$
d. Titik $D(8,-7)$
e. Titik $E(-1,2)$
f. Titik $F(6,-2)$

Pembahasan

Ada $3$ kemungkinan kedudukan titik terhadap suatu lingkaran, yaitu terletak di luar lingkaran, pada lingkaran, dan di dalam lingkaran. Pada persamaan lingkaran $(x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2$, apabila substitusi nilai $(x, y)$ mengakibatkan ruas kiri lebih besar dari ruas kanan, maka itu berarti titik dengan koordinat tersebut berada di luar lingkaran. Jika lebih kecil, berarti titiknya di dalam lingkaran. Jika sama, berarti titiknya pada lingkaran.
Jawaban a)
Titik $A(2,5)$. Substitusikan $x = 2$ dan $y = 5$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas.
$\begin{aligned}(x-2)^2 + (y+5)^2 & = (2-2)^2 + (5+5)^2 \\ & = 0^2 + 10^2 \\ & = 100 > 40 \end{aligned}$
Ini berarti, titik $A$ berada di luar lingkaran itu.
Jawaban b)
Titik $B(-4,-3)$. Substitusikan $x =-4$ dan $y =-3$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas.
$\begin{aligned} & (x-2)^2 + (y+5)^2 \\ & = (-4-2)^2 + (-3+5)^2 \\ & = (-6)^2 + 2^2 \\ & = 40 \end{aligned}$
Ini berarti, titik $B$ berada pada lingkaran itu.
Jawaban c)
Titik $C(0,-4)$. Substitusikan $x = 0$ dan $y =-4$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas.
$\begin{aligned} & (x-2)^2 + (y+5)^2 \\ & = (0-2)^2 + (-4+5)^2 \\ & = (-2)^2 + 1^2 \\ & = 5 < 40 \end{aligned}$
Ini berarti, titik $C$ berada di dalam lingkaran itu.
Jawaban d)
Titik $D(8,-7)$. Substitusikan $x = 8$ dan $y =-7$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas.
$\begin{aligned} & (x-2)^2 + (y+5)^2 \\ & = (8-2)^2 + (-7+5)^2 \\ & = 6^2 + (-2)^2 \\ & = 40 \end{aligned}$
Ini berarti, titik $D$ berada pada lingkaran itu.
(Jawaban e)
Titik $E(-1, 2)$. Substitusikan $x =-1$ dan $y = 2$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas.
$\begin{aligned}(x-2)^2 + (y+5)^2 & = (-1-2)^2 + (2+5)^2 \\ & = (-3)^2 + 7^2 \\ & = 58 > 40 \end{aligned}$
Ini berarti, titik $E$ berada di luar lingkaran itu.
(Jawaban f)
Titik $F(6,-2)$. Substitusikan $x = 6$ dan $y =-2$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas.
$\begin{aligned}(x-2)^2 + (y+5)^2 & = (6-2)^2 + (-2+5)^2 \\ & = 4^2 + 3^2 \\ & = 25 < 40 \end{aligned}$
Ini berarti, titik $F$ berada di dalam lingkaran itu.
Grafik lingkaran dan posisi titiknya pada bidang koordinat ada pada gambar berikut.

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan- Aplikasi (Soal Cerita) Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Soal Nomor 5
Diketahui titik $A(5,-1)$ dan $B(2,-4)$. Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya melalui titik $A$ dan $B$.

Pembahasan

Jika diameter lingkaran melalui kedua titik itu, maka panjang diameternya sama dengan panjang garis yang ditarik dari kedua titik tersebut, yaitu
$\begin{aligned} d & = \sqrt{(5-2)^2+(-1-4)^2} \\ & =\sqrt{9+25}=\sqrt{34} \end{aligned}$
Jari-jarinya adalah
$r = \dfrac{1}{2}d = \dfrac{1}{2}\sqrt{34}$
Pusat lingkaran di titik tengah garisnya:
$(x_p, y_p) = \left(\dfrac{5+2}{2}, \dfrac{-1+4}{2}\right) = \left(\dfrac{7}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$
Persamaan lingkaran yang berpusat di $(x_p, y_p) = \left(\dfrac{7}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$ dan berjari-jari $r = \dfrac{1}{2}\sqrt{34}$ adalah
$\begin{aligned} (x-x_p)^2+(y-y_p)^2&=r^2 \\ \left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2& = \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{34}\right)^2 \\ \left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2& = \dfrac{17}{2} \end{aligned}$
Perhatikan grafiknya agar lebih jelas.

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui sebuah persegi dengan titik sudut di $(2, -1)$, $(6, -1)$, $(6, 3)$, dan $(2, 3)$. Tentukan persamaan lingkaran di dalam dan di luar persegi tersebut.

Pembahasan

Pertama, sketsakan koordinat empat titik sudut persegi, lalu hubungkan dengan garis seperti berikut.

Kita peroleh bahwa persegi itu memiliki panjang sisi $4$.
Persamaan Lingkaran Dalam
Perhatikan sketsa gambar berikut.

Lingkaran di dalam persegi tersebut memiliki panjang jari-jari yang nilainya setengah kali dari panjang sisinya, yaitu $\dfrac12 \times 4 = 2$.
Titik pusat lingkaran sama dengan titik pusat persegi, atau titik tengah dari titik ujung diagonalnya, yaitu $\left(\dfrac{2+6}{2}, \dfrac{-1+3}{2}\right) = (4, 1)$.
Persamaan lingkaran yang berpusat di $(4, 1)$ dan berjari-jari $2$ adalah
$\begin{aligned} (x-x_p)^2+(y-y_p)^2 & = r^2 \\ \Rightarrow (x-4)^2+(y-1)^2 & = 4 \end{aligned}$
Persamaan Lingkaran Luar
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Lingkaran di luar persegi tersebut memiliki panjang diameter yang nilainya sama dengan panjang diagonal persegi, yaitu $\sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt2$, berarti panjang jari-jarinya $2\sqrt2$.
Titik pusat lingkaran sama dengan titik pusat persegi, atau titik tengah dari titik ujung diagonalnya, yaitu $\left(\dfrac{2+6}{2}, \dfrac{-1+3}{2}\right) = (4, 1)$.
Persamaan lingkaran yang berpusat di $(4, 1)$ dan berjari-jari $2\sqrt2$ adalah
$\begin{aligned} (x-x_p)^2+(y-y_p)^2 & = r^2 \\ \Rightarrow (x-4)^2+(y-1)^2 & = (2\sqrt2)^2 = 8 \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Two circles with radius of $2$ are passing centers of the other circle. If the center for one circle is at the origin and the other at $(2, 0)$, then find the coordinates of intersections!
Dua lingkaran dengan jari-jari $2$ melalui pusatnya satu sama lain. Jika pusat lingkaran pertama di titik asal, sedangkan pusat lingkaran yang lain di $(2, 0)$, tentukan kooordinat titik potongnya.

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang memiliki $r = 2$ dan pusat di $(0, 0)$ adalah
$x^2 + y^2 = 4 \Leftrightarrow y^2 = 4-x^2~~~\bigstar$
Persamaan lingkaran yang memiliki $r = 2$ dan pusat di $(2, 0)$ adalah
$(x-2)^2 + y^2 = 4$
Substitusikan ($\bigstar$) pada persamaan di atas,
$\begin{aligned} (x-2)^2 + (4-x^2) & = 4 \\ (x^2-4x + 4) + (4-x^2) & = 4 \\-4x + 8 & = 4 \\ x & = 1 \end{aligned}$
Substitusikan $x = 1$ pada salah satu persamaan lingkaran, misalnya pada $x^2 + y^2 = 4$.
$\begin{aligned} x^2 + y^2 & = 4 \\ (1)^2 + y^2 & = 4 \\ y^2 & = 3 \\ y & = \pm \sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, titik potong kedua lingkaran itu ada dua, yaitu $(1, \sqrt{3})$ dan $(1,-\sqrt{3})$.

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan nilai $k$ agar garis $y = kx$ dan lingkaran $x^2 + y^2-10x + 16 = 0$:
a. berpotongan di dua titik;
b. bersinggungan;
c. tidak berpotongan.

Pembahasan

Substitusikan $y = kx$ ke persamaan lingkaran itu, sehingga ditulis
$\begin{aligned} x^2 + y^2-10x + 16 & = 0 \\ x^2 + (kx)^2-10x + 16 & = 0 \\ (1 + k^2)x^2-10x + 16 & = 0 \end{aligned}$
Bentuk terakhir merupakan persamaan kuadrat dengan $a = 1 + k^2, b =-10, c = 16$. Diskriminan dari persamaan kuadrat itu adalah
$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ & = (-10)^2-4(1 + k^2)(16) \\ & = 100-64-64k^2 \\ & = 36- 64k^2 \end{aligned}$
Jawaban a)
Agar garis dan lingkarannya berpotongan di dua titik, nilai $D$ harus lebih dari $0$.
$\begin{aligned} D & > 0 \\ 36- 64k^2 & > 0 \\-64k^2 & >-36 \\ k^2 & < \dfrac{36}{64} = \dfrac{9}{16} \\-\dfrac{3}{4} & < k <\dfrac{3}{4} \end{aligned}$
Jadi, nilai $k$ adalah $\left\{k~|-\dfrac{3}{4} < k <\dfrac{3}{4}, k \in \mathbb{R}\right\}$
Jawaban b)
Agar garis dan lingkarannya bersinggungan, nilai $D$ harus sama dengan $0$.
$\begin{aligned} D & = 0 \\ 36-64k^2 & = 0 \\-64k^2 & =-36 \\ k^2 & = \dfrac{36}{64} \\ k & = \pm \dfrac{6}{8} = \pm \dfrac{3}{4} \end{aligned}$
Jadi, nilai $k$ adalah $\left\{k~|~k = \dfrac{3}{4}~\text{atau}~k =-\dfrac{3}{4}\right\}$
Jawaban c)
Agar garis dan lingkarannya tidak berpotongan, nilai $D$ harus kurang dari $0$.
$\begin{aligned} D & < 0 \\ 36- 64k^2 & < 0 \\-64k^2 & <-36 \\ k^2 & > \dfrac{36}{64} = \dfrac{9}{16} \\ k & <-\dfrac{3}{4}~\text{atau}~k > \dfrac{3}{4} \end{aligned}$
Jadi, nilai $k$ adalah $\left\{k~|~k <-\dfrac{3}{4}~\text{atau}~k > \dfrac{3}{4}, k \in \mathbb{R}\right\}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik: $A( 2,-4), B(5,-1)$, dan $C(2,2)$.

Pembahasan

Dalam bentuk umum, persamaan lingkaran berbentuk $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, dengan $(a, b)$ titik pusat lingkaran.
Dengan substitusi nilai $(x, y)$ pada persamaan itu, diperoleh
$$\begin{aligned} A(2,-4): (2-a)^2 + (-4-b)^2 & = r^2 && (\cdots 1) \\ B(5,-1): (5-a)^2 + (-1-b)^2 & = r^2 && (\cdots 2) \\ C(2,2): (2-a)^2 + (2-b)^2 & = r^2 && (\cdots 3) \end{aligned}$$Kurangi persamaan 1 dengan persamaan 3 untuk memperoleh
$\begin{aligned} (-4-b)^2-(2-b)^2 & = 0 \\ (-4-b-2+b)(-4-b+2-b) & = 0 \\-6(-2b-2) & = 0 \\-2b & = 2 \\ b & =-1 \end{aligned}$
(Ingat bahwa: $a^2- b^2 = (a-b)(a+b)$)
Substitusikan $b =-1$ pada persamaan $1$ dan $2$, kemudian kurangkan.
$\begin{aligned} (2-a)^2 + (-4+1)^2 & = r^2 \\ (5-a)^2 + (-1+1)^2 & = r^2 \\ \rule{5 cm}{1 pt}~&- \\ (2-a)^2 + 9-(5-a)^2 & = 0 \\ (4- 4a + a^2) + 9-(25-10a + a^2) & = 0 \\ 6a & = 12 \\ a & = 2 \end{aligned}$
Terakhir, substitusikan $a = 2$ dan $b =-1$ pada salah satu dari tiga persamaan di atas. Sebagai contoh, misalkan pada persamaan 1.
$\begin{aligned} (2-a)^2 + (-4-b)^2 & = r^2 \\ (2-2)^2 + (-4+1)^2 & = r^2 \\ r^2 & = 9 \end{aligned}$
Jadi, persamaan lingkaran yang melalui ketiga titik itu adalah $\boxed{(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9}$
Gambar grafiknya sebagai berikut.

[collapse]

Soal Nomor 10
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dari gradien yang diketahui berikut.
a. $x^2+y^2=4; m = 2$
b. $x^2+y^2-4x-2=0; m =-1$
c. $x^2+y^2-3x+2y-3=0; m = 1$
d. $x^2+y^2-3x-5=0; m =-3$
e. $(x+2)^2+(y-1)^2=8; m=1$
f. $(x-1)^2+(y-5)^2=10; m = 2$
g. $x^2+(y+2)^2=5; m =-3$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2 = 4$.
Lingkaran ini memiliki pusat di $(0, 0)$ dan berjari-jari $r = \sqrt4 = 2$.
Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh
$\boxed{y-b) = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}}$
Untuk $a = b = 0$, $m = 2$, dan $r = 2$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu
$\begin{aligned} y-0 & = 2(x-0) \pm 2\sqrt{1+(2)^2} \\ y & = 2x \pm 2\sqrt5 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y = 2x + 2\sqrt5$ atau $y = 2x-2\sqrt5$.
Jawaban b)
Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-4x-2=0$.
Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk umum persamaan lingkaran dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, yaitu
$\begin{aligned} ((x-2)^2-4) + y^2-2 & = 0 \\ (x-2)^2 + y^2 & = 6 \end{aligned}$
Lingkaran ini memiliki pusat di $(2, 0)$ dan berjari-jari $r = \sqrt6$.
Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh
$\boxed{y-b) = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}}$
Untuk $a = 2$, $b = 0$, $m =-1$, dan $r = \sqrt6$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu
$\begin{aligned} y-0 & =-1(x-2) \pm \sqrt6 \cdot \sqrt{1+(-1)^2} \\ y & =-x + 2 \pm \sqrt{12} \\ y & =-x+2 \pm 2\sqrt3 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y =-x + 2 + 2\sqrt3$ atau $y =-x+2-2\sqrt3$.
Jawaban c)
Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-3x+2y-3=0$.
Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk umum persamaan lingkaran dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, yaitu
$$\begin{aligned} \left[\left(x-\dfrac32\right)^2-\dfrac94\right] + [(y+1)^2-1]-3 & = 0 \\ \left(x-\dfrac32\right)^2 + (y+1)^2 & = \dfrac94+1+3 \\ \left(x-\dfrac32\right)^2 + (y+1)^2 & = \dfrac94+1+3 \\ \left(x-\dfrac32\right)^2 + (y+1)^2 & = \dfrac{25}{4} \end{aligned}$$Lingkaran ini memiliki pusat di $\left(\dfrac32,-1\right)$ dan berjari-jari $r = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac52$.
Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh
$\boxed{y-b) = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}}$
Untuk $a = \dfrac32$, $b =-1$, $m = 1$, dan $r = \dfrac52$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu
$\begin{aligned} y-(-1)& = 1\left(x-\dfrac32\right) \pm \dfrac52 \cdot \sqrt{1+(1)^2} \\ y+1 & = x-\dfrac32 \pm \dfrac52\sqrt{2} \\ y & = x-\dfrac52 \pm \dfrac52\sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y = x-\dfrac52 + \dfrac52\sqrt2$ atau $y = x-\dfrac52-\dfrac52\sqrt2$.
Jawaban d)
Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-3x-5=0$.
Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk umum persamaan lingkaran dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, yaitu
$\begin{aligned} \left[\left(x-\dfrac32\right)^2-\dfrac94\right] + y^2-5 & = 0 \\ \left(x-\dfrac32\right)^2 + y^2 & = \dfrac94+5 \\ \left(x-\dfrac32\right)^2 + y^2 & = \dfrac{29}{5} \end{aligned}$
Lingkaran ini memiliki pusat di $\left(\dfrac32, 0\right)$ dan berjari-jari $r = \dfrac12\sqrt{29}$.
Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh
$\boxed{y-b) = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}}$
Untuk $a = \dfrac32$, $b = 0$, $m =-3$, dan $r = \dfrac12\sqrt{29}$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu
$$\begin{aligned} y-0 & =-3\left(x-\dfrac32\right) \pm \dfrac12\sqrt{29} \cdot \sqrt{1+(-3)^2} \\ y & =-3x+ \dfrac92 \pm \dfrac12\sqrt{290} \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y =-3x+\dfrac92+\dfrac12\sqrt{290}$ atau $y =-3x+\dfrac92- \dfrac12\sqrt{290}$.
Jawaban e)
Diketahui persamaan lingkaran $(x+2)^2+(y-1)^2=8$.
Lingkaran ini memiliki pusat di $(-2, 1)$ dan berjari-jari $r = \sqrt8 = 2\sqrt2$.
Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh
$\boxed{y-b) = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}}$
Untuk $a =-2$, $b = 1$, $m = 1$, dan $r = 2\sqrt2$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu
$\begin{aligned} y-1 & = 1(x-(-2)) \pm 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{1+(1)^2} \\ y & = x+3 + \pm 4 \end{aligned}$
Dengan mengganti tanda $\pm$ menjadi $+$ atau $-$, kita peroleh persamaan garis singgung lingkaran itu, yakni $y = x+7$ atau $y = x-1$.
Jawaban f)
Diketahui persamaan lingkaran $(x-1)^2+(y-5)^2=10$.
Lingkaran ini memiliki pusat di $(1, 5)$ dan berjari-jari $r = \sqrt{10}$.
Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh
$\boxed{y-b) = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}}$
Untuk $a = 1$, $b = 5$, $m = 2$, dan $r = \sqrt{10}$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu
$\begin{aligned} y-5 & = 2(x-1) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{1+(2)^2} \\ y & = 2x+3 + \pm 5\sqrt{2} \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y = 2x+3+5\sqrt2$ atau $y = 2x+3-5\sqrt2$.

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan- Gradien dan Persamaan Garis Lurus

Soal Nomor 11
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2-4x+8y+10=0$ yang memenuhi kriteria berikut.

  1. tegak lurus terhadap garis $x+3y-15=0$;
  2. sejajar terhadap garis $x+3y-15=0$.

Pembahasan

Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-4x+8y+10=0$. Persamaan ini dapat diubah menjadi bentuk umumnya menggunakan metode kuadrat sempurna, yakni
$\begin{aligned} ((x-2)^2-4)+((y+4)^2-16)+10 & =0 \\ (x-2)^2+(y+4)^2 & = 10 \end{aligned}$

Lingkaran ini memiliki titik pusat di $(2,-4)$ dan berjari-jari $r = \sqrt{10}$.
Jawaban a)
Garis $x + 3y-15 = 0$ memiliki gradien $m_g =-\dfrac{\text{Koef.}~x}{\text{Koef.}~y} =-\dfrac{1}{3}$. Karena garis singgungnya tegak lurus dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya adalah $m =-\dfrac{1}{m_g} = 3$.
Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh
$\begin{aligned} y-b & = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y-(-4) & =3(x-2) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{1 + (3)^2} \\ y+4 & = 3x-6 \pm 10 \\ y & = 3x-10 \pm 10 \end{aligned}$
Jadi, ada $2$ garis singgung lingkaran tersebut, yaitu $y = 3x$ atau $y=3x-20$.
Jawaban b)
Garis $x + 3y-15 = 0$ memiliki gradien $m_g =-\dfrac{\text{Koef.}~x}{\text{Koef.}~y} =-\dfrac{1}{3}$. Karena garis singgungnya sejajar dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya sama, yaitu $m = m_g =-\dfrac13$.
Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh
$$\begin{aligned} y-b & = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y-(-4) & =-\dfrac13(x-2) \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{1 + \left(-\dfrac13\right)^2} \\ y+4 & =-\dfrac13x+\dfrac23  \pm \sqrt{10} \cdot \dfrac13\sqrt{10} \\ y & =-\dfrac13x-\dfrac{10}{3} \pm \dfrac{10}{3} \end{aligned}$$Jadi, ada $2$ garis singgung lingkaran tersebut, yaitu $y =-\dfrac13x$ atau $y=-\dfrac13x-\dfrac{20}{3}$.

[collapse]

Soal Nomor 12
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada:

  1. koordinat $(-3,2)$ dan menyinggung sumbu-$Y$;
  2. koordinat $(4,2)$ dan menyinggung sumbu-$X$.

Pembahasan

(Jawaban a)
Karena pusatnya di $(-3,2)$ dan menyinggung sumbu-$Y$, maka panjang jari-jarinya adalah jarak pusat dari sumbu-$X$ ke sumbu-$Y$, yaitu $r = 3$.
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 & = r^2 \\ (x + 3)^2 + (y- 2)^2 & = 3^2 \\ (x+3)^2 + (y-2)^2 & = 9 \end{aligned}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{(x+3)^2 + (y-2)^2 = 9}$
(Jawaban b)
Karena pusatnya di $(4,2)$ dan menyinggung sumbu-$X$, maka panjang jari-jarinya adalah jarak pusat dari sumbu-$Y$ ke sumbu-$X$, yaitu $r = 2$.
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 & = r^2 \\ (x-4)^2 + (y-2)^2 & = 2^2 \\ (x-4)^2 + (y-2)^2 & = 4 \end{aligned}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{(x-4)^2 + (y-2)^2 = 4}$

[collapse]

Soal Nomor 13
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$ yang melalui titik $(0,0)$.

Pembahasan

Persamaan garis yang melalui titik pusat $(0,0)$ adalah $y = mx$ dengan $m$ sebagai gradiennya.
Substitusikan $y = mx$ pada persamaan lingkaran tersebut.
$\begin{aligned} (x-3)^2 + (y-4)^2 & = 25 \\ (x-3)^2 + (mx-4)^2 & = 25 \\ x^2-6x + 9 + m^2x^2- 8mx + 16 & = 25 \\ (1 + m^2)x^2- (8m + 6)x & = 0 \end{aligned}$
Kita peroleh persamaan kuadrat dengan koefisien $x^2$, yaitu $a = 1 + m^2$, koefisien $x$, yaitu $b = 8m + 6$, dan konstanta $c = 0$.
Agar garis itu menyinggung lingkaran, maka diskriminannya haruslah bernilai $0$.
$\begin{aligned} b^2-4ac & = 0 \\ (-8m-6)^2- 4(1 + m^2)(0) & = 0 \\ (-8m- 6)^2 & = 0 \\-8m-6 & = 0 \\ m & = \dfrac{6}{-8} =-\dfrac{3}{4} \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung itu adalah $\boxed{y =-\dfrac{3}{4}x}$

[collapse]

Soal Nomor 14
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis $x + y-5 = 0$ dan melalui titik potong kedua lingkaran $x^2 + y^2- 2x-2y-34 = 0$ dan $x^2 + y^2 + 8x-2y-100 = 0$.

Pembahasan

(Langkah 1: Menentukan titik potong kedua lingkaran)
Persamaan kedua lingkaran itu dalam bentuk umum adalah:
$\begin{aligned} (x-1)^2 + (y-1)^2 & = 36 \\ (x+4)^2 + (y-1)^2 & = 117 \end{aligned}$
Kurangkan persamaan atas dengan persamaan bawah untuk memperoleh
$\begin{aligned} (x-1)^2-(x + 4)^2 & =-81 \\ (x^2-2x + 1)-(x^2 + 8x + 16) & =-81 \\-10x + 1-16 & =-81 \\-10x & =-66 \\ x & = \dfrac{33}{5} \end{aligned}$
Substitusikan nilai $x = \dfrac{33}{5}$ pada salah satu persamaan lingkaran, misalnya pada $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 36$, sehingga didapat
$\begin{aligned} \left(\dfrac{33}{5}-1\right)^2 + (y-1)^2 & = 36 \\ y-1 & = \pm \dfrac{1}{5}\sqrt{116} \\ y & = 1 \pm \dfrac{1}{5}\sqrt{116} \end{aligned}$
Ini berarti, ada 2 titik potong kedua lingkaran, yaitu pada koordinat $\left(\dfrac{33}{5}, 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right)$ dan $\left(\dfrac{33}{5}, 1-\dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right)$.
(Langkah 2: Menentukan titik pusat lingkaran yang dimaksud)
Misalkan titik pusat lingkarannya, yaitu $(x_p, y_p)$, terletak pada garis $x + y-5 = 0$ sehingga berlaku $y_p = 5-x_p$. Ini berarti,
$\begin{aligned} (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 & = r^2 \\ (x-x_p)^2 + (y + x_p- 5)^2 & = r^2 \end{aligned}$
Karena lingkaran melalui titik $\left(\dfrac{33}{5}, 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right)$ dan $\left(\dfrac{33}{5}, 1-\dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right)$, diperoleh
$$\begin{aligned} \left(\dfrac{33}{5}-x_p\right)^2 + \left(\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p-5\right)^2 & = r^2 \\ \left(\dfrac{33}{5}-x_p\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p-5\right)^2 & = r^2 \end{aligned}$$Kurangi persamaan atas dengan persamaan bawah untuk mendapatkan
$\begin{aligned} & \left(\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p-5\right)^2 \\ & = \left(-\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p- 5\right)^2 \end{aligned}$
Jabarkan, sehingga nantinya didapat
$x_p = \dfrac{\frac{16}{5}\sqrt{116}}{\frac{4}{5}\sqrt{116}} = 4$
Ini berarti, $y_p = 1$.
Jadi, titik pusat lingkarannya di $(4, 1)$.
(Langkah 3: Menentukan persamaan lingkaran)
Substitusikan $x_p = 4, y_p = 1, x = \dfrac{33}{5}, y = 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}$ pada persamaan lingkaran $(x-x_p)^2 + (y-y_p)^2= r^2$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} r^2 & = \left(\dfrac{33}{5}-4\right)^2 + \left(1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}-1\right)^2 \\ r^2 & = \dfrac{169}{25} + \dfrac{116}{25} = \dfrac{57}{5} \end{aligned}$
Jadi, persamaan lingkaran itu adalah
$\boxed{(x-4)^2 + (y-1)^2 = \dfrac{57}{5}}$
Perhatikan grafiknya di bawah ini.

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan- Persamaan Kuadrat Versi HOTS & Olimpiade

Soal Nomor 15
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui $(2,1)$ dan konsentris dengan lingkaran $x^2+y^2+6x+8y-37=0$.

Pembahasan

Lingkaran $x^2+y^2+6x+8y-37=0$ dapat diubah menjadi bentuk umum (kanonik) sebagai berikut. 
$\begin{aligned} x^2+y^2+6x+8y-37 & = 0 \\ (x^2+6x) + (y^2+8y)- 37 & = 0 \\ (x+3)^2-9+(y+4)^2-16-37 &= 0 \\ (x+3)^2 + (y+4)^2 & = 62 \end{aligned}$
Pusat lingkaran di $(-3,-4)$.
Persamaan lingkaran yang berpusat di $(-3,-4)$ dan melalui titik $(2,1)$ adalah
$r^2 = (2 + 3)^2 + (1 + 4)^2 = 50$
Jadi, diperoleh $r^2 = 50$.
Dengan demikian, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
$\boxed{(x+3)^2 + (y+4)^2 = 50}$

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan- Fungsi Kuadrat

Soal Nomor 16
Hitung nilai $A, B$, dan $C$ jika lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C = 0$ melalui titik $(3,5), (-2,4)$, dan $(-6,-2)$.

Pembahasan

Substitusi tiap titik sebagai nilai $x, y$ pada persamaan lingkaran, sehingga diperoleh
$\begin{cases} 3^2 + 5^2 + 3A + 5B + C & = 0 \\ (-2)^2+4^2-2A+4B+C & = 0 \\ (-6)^2+(-2)^2-6A-2B+C & = 0 \end{cases}$
atau disederhanakan menjadi
$\begin{cases} 3A+5B+C =-34 & (1) \\-2A+4B+C =-20 & (2) \\-6A- 2B +C =-40 & (3) \end{cases}$
Dari $(1)$ dan $(2)$, diperoleh
$\begin{aligned} 3A + 5B + C =-34 \\-2A + 4B + C =-20 \\ \rule{3.5 cm}{0.8pt}- \\ 5A + B =-14 &~~~(4) \end{aligned}$
Dari $(2)$ dan $(3)$, diperoleh
$\begin{aligned} 3A + 5B + C =-34 \\-6A- 2B + C =-40 \\ \rule{3.5 cm}{0.8pt}- \\ 9A + 7B = 6 &~~~(5) \end{aligned}$
Selanjutnya, dari $(4)$ dan $(5)$, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5A+B & =-14 \\ 9A+7B & = 6 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 7 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~35A+7B & =-98 \\ 9A+7B & = 6 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.8pt}- \\ & \! \begin{aligned} 26A& =-104 \\ A & =-4 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusikan (gantikan) $A =-4$ pada persamaan $(4)$ atau $(5)$, misalkan pada persamaan $(4)$ .
$\begin{aligned} 5A+B&=-14 \\ 5(-4)+B&=-14 \\-20+B&=-14 \\ B & = 6 \end{aligned}$
Substitusikan (gantikan) $A =-4$ dan $B = 6$ pada persamaan $(1), (2)$, atau $(3)$, misalkan pada persamaan $(1)$ .
$\begin{aligned} 3A+5B+C & =-34 \\ 3(-4) + 5(6) + C & =-34 \\-12+30+C&=-34 \\ C & =-52 \end{aligned}$
Jadi, nilai $A, B$, dan $C$ berturut-turut adalah $-4, 6$, dan $-52$.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- SPLTV

Soal Nomor 17
Pada sebuah panggung, seorang penata lampu menggunakan lampu sorot untuk menyinari area panggung. Sinar yang dihasilkan dari lampu sorot berbentuk lingkaran dengan persamaan $(x-13)^2 + (y-4)^2 = 16$.

  1. Buatlah gambar lingkaran yang dihasilkan lampu sorot pada bidang Kartesius.
  2. Jika tiga penampil, yaitu Handi, Lusi, dan Jane berturut-turut ada pada koordinat $(11, 4), (8, 5)$, dan $(15, 5)$, manakah penampil yang berada di luar sinar lampu sorot?

Pembahasan

Jawaban a)
Perhatikan bahwa $(x-13)^2 + (y-4)^2 = 16$ merupakan persamaan lingkaran yang berpusat di $(13, 4)$ dan berjari-jari $r = \sqrt{16} = 4$.
Posisikan titik $(13, 4)$, kemudian geser sejauh $4$ satuan ke kiri, kanan, atas, dan bawah, sehingga diperoleh titik $(9, 4), (17, 4), (13, 8)$, dan $(13, 0)$. Hubungkan keempat titik itu dengan menggunakan garis lengkung sehingga terbentuklah sebuah lingkaran.

Jawaban b)
Substitusikan nilai $x$ dan $y$ berdasarkan koordinat $(x, y)$ yang diberikan ke bentuk $(x-13)^2 + (y-4)^2$. Perhatikan tiga ketentuan berikut:
Apabila bernilai kurang dari $16$, maka itu berarti titik koordinatnya berada di dalam lingkaran (sinar lampu sorot);

Apabila bernilai tepat $16$, maka itu berarti titik koordinatnya persis di tepi lingkaran (tepi sinar lampu sorot);
Apabila bernilai lebih dari $16$, maka itu berarti titik koordinatnya berada di luar lingkaran (sinar lampu sorot);
Untuk koordinat $(11, 4)$, diperoleh
$\begin{aligned} (11-13)^2 + (4-4)^2 & = (-2)^2 + 0^2 \\ & = 4 < 16 \end{aligned}$
Jadi, Handi berada di dalam sinar lampu sorot.
Untuk koordinat $(8, 5)$, diperoleh
$\begin{aligned} (8-13)^2 + (5-4)^2 & = (-5)^2 + 1^2 \\ & = 26 > 16 \end{aligned}$
Jadi, Lusi berada di luar sinar lampu sorot.
Untuk koordinat $(15, 5)$, diperoleh
$(15-13)^2 + (5-4)^2 = (2)^2 + 1^2 = 5 < 16$
Jadi, Jane berada di dalam sinar lampu sorot. Penampil yang berada di luar sinar lampu sorot adalah Lusi.

[collapse]

Soal Nomor 18
Sebuah radar ditempatkan pada koordinat $(2, 3)$ dan mampu mendeteksi hingga $50$ km ke segala arah.

  1. Buatlah persamaan yang menggambarkan kemampuan deteksi radar.
  2. Jika sebuah objek berada pada koordinat $(40, 20)$, dapatkah radar tersebut mendeteksinya? Berikan alasannya!

Pembahasan

Jawaban a)
Kemampuan deteksi radar itu dapat dideskripsikan sebagai lingkaran yang berpusat di $(2, 3)$ dan berjari-jari $r = 50$, atau $r^2 = 2500$.
Persamaannya adalah $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 2500$
Jawaban b)
Substitusikan nilai $x = 40$ dan $y = 20$ pada bentuk $(x-2)^2 + (y-3)^2$ menghasilkan
$\begin{aligned} (40-2)^2 + (20-3)^2 & = 38^2 + 17^2 \\ & = 1733 < 2500 \end{aligned}$
Karena itu, objek yang berada pada koordinat$(40, 20)$ terdeteksi oleh radar itu.

[collapse]

Soal Nomor 19
Sebuah asteroid yang melaju dengan persamaan $2y-2x-20=0$ diperkirakan akan menabrak sebuah satelit yang berputar mengelilingi bumi dengan persamaan $x^2+y^2=52$. 
Tentukan titik koordinat tabrakan yang akan terjadi dengan asumsi titik $(0,0)$ dihitung dari inti bumi.

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} 2y-2x-20&=0 \\ 2y & = 2x+20 \\ y & = x+10 \end{aligned}$
Substitusikan $y = x+10$ ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=52$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} x^2+(x+10)^2 & = 52 \\ x^2 + (x^2+20x+100) & = 52 \\ 2x^2+20x+8& = 0 \\ x^2+10x+24&=0 \\ (x+6)(x+4) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x=-6$ atau $x=-4$
Untuk $x=-6$, diperoleh
$y = x + 10 \Rightarrow y =-6+10 = 4$
Untuk $x=-4$, diperoleh
$y = x + 10 \Rightarrow y =-4+10 = 6$
Jadi, titik tabrakannya berada di koordinat $(-6,4)$ dan $(-4, 6)$.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Lingkaran (Tingkat SD)

3 Replies to “Soal dan Pembahasan – Persamaan Lingkaran”

  1. Good blog you have here.. It’s hard to find high-quality writing like yours these days. I really appreciate people like you! Take care!!

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *