Soal dan Pembahasan – Irisan Kerucut: Persamaan Lingkaran

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan materi persamaan lingkaran yang merupakan salah satu hasil irisan kerucut pada kajian geometri analitik. Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan referensi.
Semua gambar grafik yang terdapat dalam postingan ini merupakan hasil screenshot. Aplikasi yang digunakan untuk menggambar grafiknya adalah Geogebra Classic 5.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Irisan Kerucut: Elips

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Irisan Kerucut: Hiperbola

 Soal Nomor 1
Selidiki apakah persamaan berikut merupakan persamaan lingkaran atau bukan.
a. (x - 4)^2 + (y - 1)^2 - 36 = 0
b. x^2 + y^2 - 4x - 8y + 25 = 0


c. x^2 + 3x + 4y - 10 = 0

Penyelesaian

Persamaan lingkaran haruslah berbentuk (x-a)^2+(y-b)^2 & = r^2 dengan (a, b) sebagai koordinat titik pusat dan r jari-jari lingkaran dan r > 0.
Jawaban a)
Persamaan (x - 4)^2 + (y - 1)^2 - 36 = 0 ekuivalen dengan (x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 36
Persamaan ini menunjukkan bentuk persamaan lingkaran yang pusatnya di (4, 1) dan berjari-jari r = \sqrt{36} = 6.
Jawaban b)
Ubah bentuk persamaan ini menjadi seperti berikut.
\begin{aligned} x^2 + y^2 - 4x - 8y + 25 & = 0 \\ (x^2-4x)+(y^2-8y) + 25 & = 0 \\ (x-2)^2 - 4 + (y-4)^2 - 16 + 25 & = 0 \\ (x-2)^2 + (y-4)^2 & = -5 \end{aligned}
Persamaan di atas serupa dengan bentuk persamaan lingkaran, namun ditemukan bahwa r bernilai negatif, sehingga persamaan x^2 + y^2 - 4x - 8y + 25 = 0 bukan persamaan lingkaran.
Jawaban c)
Persamaan x^2 + 3x + 4y - 10 = 0 tidak memiliki suku y^2 sehingga bukan termasuk persamaan lingkaran.

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan persamaan lingkaran dengan ketentuan berikut.
a) berdiameter 10 dan berpusat di titik (-5,5);
b) berjari-jari 7 dan berpusat di titik (1,0);
c) berjari-jari \sqrt{3} dan berpusat di titik asal.

Penyelesaian

Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah
\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2}
(Jawaban a)
Diketahui: d = 10, r = 5, r^2 = 25, a = -5, b = 5.
(Ingat bahwa panjang jari-jari adalah setengah dari panjang diameter)
Persamaan lingkarannya adalah
\boxed{(x+5)^2+(y-5)^2 = 25}
atau bila diuraikan menjadi
\boxed{x^2+y^2+10x-10y+25=0}
(Jawaban b)
Diketahui: r = 7, r^2 = 49a = 1, b = 0.
Persamaan lingkarannya adalah
\boxed{(x-1)^2+y^2 = 49}
atau bila diuraikan menjadi
\boxed{x^2+y^2-2y-48 =0}
(Jawaban c)
Diketahui: r = \sqrt{3}, r^2 = 3, a = b = 0
(Titik asal juga disebut titik pusat koordinat, yaitu (0,0))
Persamaan lingkarannya adalah
\boxed{x^2+y^2 = 3}

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan berikut:
a) (x+5)^2+(y-3)^2 = 16
b) x^2+y^2+10x-8y-8=0
c) 3x^2+3y^2+12x - 9y = 0

Penyelesaian

Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah
\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2}
(Jawaban a)
Dengan membandingkan persamaan lingkaran tersebut dengan bentuk umum persamaan lingkaran, diperoleh a = -5, b=3, dan r^2 = 16, atau r = 4.
Jadi, kooordinat titik pusatnya di (-5,3) dan jari-jari lingkarannya 4 satuan panjang.
(Jawaban b)
Ubah persamaan lingkaran tersebut ke dalam bentuk umum (kanonik).
\begin{aligned} x^2+y^2+10x-8y-8 & = 0 \\ (x^2+10x) + (y^2-8y) + 8 & = 0 \\ (x+5)^2 - 25 + (y-4)^2 - 16 + 8 & = 0 \\ (x+5)^2 + (y-4)^2 = 33 \end{aligned}
Diperoleh a = -5, b = 4, r^2 = 33, r = \sqrt{33}.
Jadi, koordinat titik pusatnya di (-5,4) dan jari-jari lingkarannya \sqrt{33} satuan panjang.
(Jawaban c)
Ubah persamaan lingkaran tersebut ke dalam bentuk umum (kanonik).
\begin{aligned} 3x^2+3y^2+12x - 9y & = 0 \\ \text{Bagi 3 pada kedua ruas} & \\ x^2+y^2+4x-3y & = 0 \\ (x^2+4x) + (y^2-3y) & = 0 \\ (x + 2)^2 - 4 + \left(y - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{4} & = 0 \\ (x + 2)^2 + \left(y - \dfrac{3}{2}\right)^2 & = \dfrac{25}{4} \end{aligned}
Diperoleh
a = -2, b = \dfrac{3}{2}, r^2 = \dfrac{25}{4}, r = \dfrac{5}{2}.

Jadi, koordinat titik pusatnya di \left(-2,\dfrac{3}{2}\right) dan jari-jari lingkarannya \dfrac{5}{2} satuan panjang.

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui lingkaran dengan persamaan:
(x-2)^2 + (y+5)^2 = 40
Selidikilah letak titik-titik berikut terhadap lingkaran itu.
a. Titik A(2, 5)
b. Titik B(-4, -3)
c. Titik C(0, -4)
d. Titik D(8, -7)
e. Titik E(-1,2)
f. Titik F(6,-2)

Penyelesaian

Ada 3 kemungkinan kedudukan titik terhadap suatu lingkaran, yaitu terletak di luar lingkaran, pada lingkaran, dan di dalam lingkaran. Pada persamaan lingkaran (x - x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2, apabila substitusi nilai (x, y) mengakibatkan ruas kiri lebih besar dari ruas kanan, maka itu berarti titik dengan koordinat tersebut berada di luar lingkaran. Jika lebih kecil, berarti titiknya di dalam lingkaran. Jika sama, berarti titiknya pada lingkaran.
(Jawaban a)
Titik A(2,5). Substitusikan x = 2 dan y = 5 pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas.
\begin{aligned}(x-2)^2 + (y+5)^2 & = (2-2)^2 + (5+5)^2 \\ & = 0^2 + 10^2 \\ & = 100 > 40 \end{aligned}
Ini berarti, titik A berada di luar lingkaran itu.
(Jawaban b)
Titik B(-4,-3). Substitusikan x = -4 dan y = -3 pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas.
\begin{aligned}(x-2)^2 + (y+5)^2 & = (-4-2)^2 + (-3+5)^2 \\ & = (-6)^2 + 2^2 \\ & = 40 \end{aligned}
Ini berarti, titik B berada pada lingkaran itu.
(Jawaban c)
Titik C(0, -4). Substitusikan x = 0 dan y = -4 pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas.
\begin{aligned}(x-2)^2 + (y+5)^2 & = (0-2)^2 + (-4+5)^2 \\ & = (-2)^2 + 1^2 \\ & = 5 < 40 \end{aligned}
Ini berarti, titik C berada di dalam lingkaran itu.
(Jawaban d)
Titik D(8,-7). Substitusikan x = 8 dan y = -7 pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas.
\begin{aligned}(x-2)^2 + (y+5)^2 & = (8-2)^2 + (-7+5)^2 \\ & = 6^2 + (-2)^2 \\ & = 40 \end{aligned}
Ini berarti, titik D berada pada lingkaran itu.
(Jawaban e)
Titik E(-1, 2). Substitusikan x = -1 dan y = 2 pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas.
\begin{aligned}(x-2)^2 + (y+5)^2 & = (-1-2)^2 + (2+5)^2 \\ & = (-3)^2 + 7^2 \\ & = 58 > 40 \end{aligned}
Ini berarti, titik E berada di luar lingkaran itu.
(Jawaban f)
Titik F(6, -2). Substitusikan x = 6 dan y = -2 pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas.
\begin{aligned}(x-2)^2 + (y+5)^2 & = (6-2)^2 + (-2+5)^2 \\ & = 4^2 + 3^2 \\ & = 25 < 40 \end{aligned}
Ini berarti, titik F berada di dalam lingkaran itu.
Grafik lingkaran dan posisi titiknya pada bidang koordinat ada pada gambar berikut.

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui P(h, k) dan r berturut-turut menyatakan pusat dan jari-jari lingkaran x^2+y^2+8x-2y-8=0. Nilai dari r+k-h = \cdots
A. 10            C. 15              E. 19
B. 12            D. 17

Penyelesaian

Ubah persamaan lingkaran itu ke dalam bentuk umum (kanonik), yakni
\begin{aligned} x^2+y^2+8x-2y-8&=0 \\ (x+4)^2 - 16 + (y-1)^2 - 1 - 8 & = 0 \\ (x+4)^2 + (y-1)^2 - 25 & = 0 \\ (x+4)^2 + (y-1)^2 &=25 \end{aligned}
Perhatikan bahwa lingkaran yang berpusat di (x_p, y_p) dan berjari-jari r memiliki persamaan (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2.
Untuk itu, pusat lingkaran ini adalah (-4, 1) dan jari-jarinya r = \sqrt{25} = 5.
Dengan kata lain, h = -4, k = 1, dan r = 5, sehingga
\boxed{r + k - h = 5 + 1 - (-4) = 10}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui titik A(5,-1) dan B(2,-4). Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya melalui titik A dan B.

Penyelesaian

Jika diameter lingkaran melalui kedua titik itu, maka panjang diameternya sama dengan panjang garis yang ditarik dari kedua titik tersebut, yaitu
d = \sqrt{(5-2)^2+(-1-4)^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}
Jari-jarinya adalah
r = \dfrac{1}{2}d = \dfrac{1}{2}\sqrt{34}
Pusat lingkaran di titik tengah garisnya:
(x_p, y_p) = \left(\dfrac{5+2}{2}, \dfrac{-1+4}{2}\right) = \left(\dfrac{7}{2}, \dfrac{3}{2}\right)
Persamaan lingkaran yang berpusat di (x_p, y_p) = \left(\dfrac{7}{2}, \dfrac{3}{2}\right) dan berjari-jari r = \dfrac{1}{2}\sqrt{34} adalah
\begin{aligned} (x-x_p)^2+(y-y_p)^2&=r^2 \\ \left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2& = \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{34}\right)^2 \\ \left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2& = \dfrac{17}{2} \end{aligned}
Perhatikan grafiknya agar lebih jelas.

[collapse]

Soal Nomor 7
Two circles with radius of 2 are passing centers of the other circle. If the center for one circle is at the origin and the other at (2, 0), then find the coordinates of intersections!
Dua lingkaran dengan jari-jari 2 melalui pusatnya satu sama lain. Jika pusat lingkaran pertama di titik asal, sedangkan pusat lingkaran yang lain di (2, 0), tentukan kooordinat titik potongnya!

Penyelesaian

Persamaan lingkaran yang memiliki r = 2 dan pusat di (0, 0) adalah
x^2 + y^2 = 4 \Leftrightarrow y^2 = 4 - x^2~~~\bigstar
Persamaan lingkaran yang memiliki r = 2 dan pusat di (2, 0) adalah
(x - 2)^2 + y^2 = 4
Substitusikan (\bigstar) pada persamaan di atas,
\begin{aligned} (x - 2)^2 + (4 - x^2) & = 4 \\ (x^2 - 4x + 4) + (4 - x^2) & = 4 \\ -4x + 8 & = 4 \\ x & = 1 \end{aligned}
Substitusikan x = 1 pada salah satu persamaan lingkaran, misalnya pada x^2 + y^2 = 4.
\begin{aligned} x^2 + y^2 & = 4 \\ (1)^2 + y^2 & = 4 \\ y^2 & = 3 \\ y & = \pm \sqrt{3} \end{aligned}
Jadi, titik potong kedua lingkaran itu ada dua, yaitu (1, \sqrt{3}) dan (1, -\sqrt{3}).

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan nilai k agar garis y = kx dan lingkaran x^2 + y^2 - 10x + 16 = 0:
a. berpotongan di dua titik
b. bersinggungan
c. tidak berpotongan

Penyelesaian

Substitusikan y = kx ke persamaan lingkaran itu, sehingga ditulis
\begin{aligned} x^2 + y^2 - 10x + 16 & = 0 \\ x^2 + (kx)^2 - 10x + 16 & = 0 \\ (1 + k^2)x^2 - 10x + 16 & = 0 \end{aligned}
Bentuk terakhir merupakan persamaan kuadrat dengan a = 1 + k^2, b = -10, c = 16. Diskriminan dari persamaan kuadrat itu adalah
\begin{aligned} D & = b^2 -4ac \\ & = (-10)^2 - 4(1 + k^2)(16) \\ & = 100 - 64 - 64k^2 \\ & = 36 - 64k^2 \end{aligned}
(Jawaban a)
Agar garis dan lingkarannya berpotongan di dua titik, nilai D harus lebih dari 0.
\begin{aligned} D & > 0 \\ 36 - 64k^2 & > 0 \\ -64k^2 & > -36 \\ k^2 & < \dfrac{36}{64} = \dfrac{9}{16} \\ -\dfrac{3}{4} & < k <\dfrac{3}{4} \end{aligned}
Jadi, nilai k adalah \{k~|-\dfrac{3}{4} & < k <\dfrac{3}{4}, k \in \mathbb{R}\}
(Jawaban b)
Agar garis dan lingkarannya bersinggungan, nilai D harus sama dengan 0.
\begin{aligned} D & = 0 \\ 36 - 64k^2 & = 0 \\ -64k^2 & = -36 \\ k^2 & = \dfrac{36}{64} \\ k & = \pm \dfrac{6}{8} = \pm \dfrac{3}{4} \end{aligned}
Jadi, nilai k adalah \{k~|~k = \dfrac{3}{4}~\text{atau}~k = -\dfrac{3}{4}\}
(Jawaban c)
Agar garis dan lingkarannya tidak berpotongan, nilai D harus kurang dari 0.
\begin{aligned} D & < 0 \\ 36 - 64k^2 & < 0 \\ -64k^2 & < -36 \\ k^2 & > \dfrac{36}{64} = \dfrac{9}{16} \\ k & < -\dfrac{3}{4}~\text{atau}~k > \dfrac{3}{4} \end{aligned}
Jadi, nilai k adalah \{k~|~k < -\dfrac{3}{4}~\text{atau}~k > \dfrac{3}{4}, k \in \mathbb{R}\}

[collapse]

Soal Nomor 9
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik: A( 2, -4), B(5, -1), dan C(2,2).

Penyelesaian

Dalam bentuk umum, persamaan lingkaran berbentuk (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, dengan (a, b) titik pusat lingkaran.
Dengan substitusi nilai (x, y) pada persamaan itu, diperoleh
\begin{aligned} A(2, -4): (2-a)^2 + (-4-b)^2 & = r^2 && (\cdots 1) \\ B(5, -1): (5-a)^2 + (-1-b)^2 & = r^2 && (\cdots 2) \\ C(2,2): (2-a)^2 + (2-b)^2 & = r^2 && (\cdots 3) \end{aligned}
Kurangi persamaan 1 dengan persamaan 3 untuk memperoleh
\begin{aligned} (-4 - b)^2 - (2-b)^2 & = 0 \\ (-4-b-2+b)(-4-b+2-b) & = 0 \\ -6(-2b - 2) & = 0 \\ -2b & = 2 \\ b & = -1 \end{aligned}
(Ingat bahwa: a^2 - b^2 = (a-b)(a+b))
Substitusikan b = -1 pada persamaan 1 dan 2, kemudian kurangkan.
\begin{aligned} (2-a)^2 + (-4+1)^2 & = r^2 \\ (5-a)^2 + (-1+1)^2 & = r^2 \\ \noindent \rule{5 cm}{1 pt}~&- \\ (2-a)^2 + 9 - (5 - a)^2 & = 0 \\ (4 - 4a + a^2) + 9 - (25 - 10a + a^2) & = 0 \\ 6a & = 12 \\ a & = 2 \end{aligned}
Terakhir, substitusikan a = 2 dan b = -1 pada salah satu dari tiga persamaan di atas. Sebagai contoh, misalkan pada persamaan 1.
\begin{aligned} (2-a)^2 + (-4-b)^2 & = r^2 \\ (2-2)^2 + (-4+1)^2 & = r^2 \\ r^2 & = 9 \end{aligned}
Jadi, persamaan lingkaran yang melalui ketiga titik itu adalah \boxed{(x-2)^2 + (y+1)^2 & = 9}
Gambar grafiknya sebagai berikut.

[collapse]

Soal Nomor 10
Lingkaran L \equiv (x+1)^2+(y-3)^2=9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah \cdots
A. x = 2 dan x = -4
B. x = 2 dan x = -2
C. x = -2 dan x = 4
D. x = -2 dan x = -4
E. x = 8 dan x = -10

Penyelesaian

Titik potong lingkaran dengan garis itu dapat ditentukan dengan mensubstitusikan y = 3 ke persamaan lingkaran.
\begin{aligned} (x+1)^2+(y-3)^2 &=9 \\ (x+1)^2+(0-0)^2 & = 9 \\ (x+1)^2 & = 9 \\ x+1 & = \pm 3 \\ x = 2~&\text{atau}~x = -4 \end{aligned}
Jadi, titik potongnya di (2,3) dan (-4, 3).
Persamaan garis singgung lingkaran (x-x_p)^2+(y-y_p)^2 = r^2 dan melalui (a, b) adalah (x-x_p)(a-x_p) + (y-y_p)(b-y_p).
Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (2,3) adalah
\begin{aligned} (x+1)(2+1) + (y-3)(3-3) & = 9 \\ 3(x+1) & = 9 \\ x +1& = 3 \\ x &= 2 \end{aligned}
Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (-4,3) adalah
\begin{aligned} (x+1)(-4+1) + (y-3)(3-3) & = 9 \\ -3(x+1) & = 9 \\ x +1& = -3 \\ x &=-4 \end{aligned}
Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah x = 2 dan x = -4 (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 11
Lingkaran L \equiv (x-3)^2+(y-2)^2=4 memotong garis y = 2. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah \cdots
A. x = -1 dan x = -5
B. x = -1 dan x = 5
C. x = 1 dan x = -5
D. x = 1 dan x = 5
E. x = 4 dan x = 6

Penyelesaian

Titik potong lingkaran dengan garis itu dapat ditentukan dengan mensubstitusikan y = 2 ke persamaan lingkaran.
\begin{aligned} (x-3)^2+(2-2)^2 &=4 \\ (x-3)^2+(0-0)^2 & = 4 \\ (x-3)^2 & = 4 \\ x-3 & = \pm 2 \\ x = 5~&\text{atau}~x = 1 \end{aligned}
Jadi, titik potongnya di (1,2) dan (5,2).
Persamaan garis singgung lingkaran (x-x_p)^2+(y-y_p)^2 = r^2 dan melalui (a, b) adalah (x-x_p)(a-x_p) + (y-y_p)(b-y_p).
Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (1,2) adalah
\begin{aligned} (x-3)(1-3) + (y-2)(2-2) & = 4 \\ -2(x-3) & = 4 \\ x -3& = -2 \\ x &= 1 \end{aligned}
Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (5,2) adalah
\begin{aligned} (x-3)(5-3) + (y-2)(2-2) & =4 \\ 2(x-3) & =4 \\ x -3& = 2 \\ x &= 5 \end{aligned}
Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah x = 1 dan x = 5 (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12
Persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2+12x-6y+13=0 di titik (-2,-1) adalah \cdots
A. x-y+1=0
B. x+2y+4=0
C. 2x-y+3=0
D. -2x-y-5=0
E. 3x-2y+4=0

Penyelesaian

Persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2+Ax+By+C=0 di titik (x_1, y_1) dinyatakan oleh
\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}A(x+x_1)+\dfrac{1}{2}B(y+y_1) + C = 0}
Diketahui:
A = 12, B = -6, C = 13, x_1 = -2, y_1 = -1,
sehingga persamaan garis singgungnya adalah
\begin{aligned} -2x - y + \dfrac{1}{2}(12)(x-2)+\dfrac{1}{2}(-6)(y-1) + 13 & = 0 \\ -2x - y + 6x - 12 -3y + 3 +13 & = 0 \\ 4x -4y+4& = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan 4} & \\ x-y+1 & = 0 \end{aligned}
(Jawaban A)
Perhatikan grafiknya di bawah ini.

[collapse]

Soal Nomor 13
Persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2-6x+4y+11=0 di titik (2,-1) adalah \cdots
A. x-y-12=0
B. x-y-4=0
C. x-y-3=0
D. x+y-3=0
E. x+y+3=0

Penyelesaian

Persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2+Ax+By+C=0 di titik (x_1, y_1) dinyatakan oleh
\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}A(x+x_1)+\dfrac{1}{2}B(y+y_1) + C = 0}
Diketahui:
A = -6, B = 4, C = 11, x_1 = 2, y_1 = -1,
sehingga persamaan garis singgungnya adalah
\begin{aligned} 2x - y + \dfrac{1}{2}(-6)(x+2)+\dfrac{1}{2}(4)(y-1) + 11 & = 0 \\ 2x - y - 3x - 6 + 2y - 2 +11 & = 0 \\ -x + y+ 3 & = 0 \\ \text{Kali kedua ruas dengan -1} & \\ x-y-3 & = 0 \end{aligned}
(Jawaban C)
Perhatikan grafiknya di bawah ini.

[collapse]

Soal Nomor 14
Persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2-6x+4y-12=0 di titik (7,1) adalah \cdots
A. 3x-4y-41=0
B. 4x+3y-55=0
C. 4x-5y-53=0
D. 4x+3y-31=0
E. 4x-3y-40=0

Penyelesaian

Persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2+Ax+By+C=0 di titik (x_1, y_1) dinyatakan oleh
\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}A(x+x_1)+\dfrac{1}{2}B(y+y_1) + C = 0}
Diketahui:
A = -6, B = 4, C = -12, x_1 = 7, y_1 = 1,
sehingga persamaan garis singgungnya adalah
\begin{aligned} 7x + y + \dfrac{1}{2}(-6)(x+7)+\dfrac{1}{2}(4)(y+1) -12 & = 0 \\ 7x + y - 3x - 21 + 2y + 2 -12& = 0 \\ 4x+3y-31& = 0\end{aligned}
(Jawaban D)
Perhatikan grafiknya di bawah ini.

[collapse]

Soal Nomor 15
Persamaan lingkaran yang pusatnya di titik (1,2) dan menyinggung garis y=x adalah \cdots
A. 3x^2+3y^2-6x-15y+16=0
B. 2x^2+2y^2-4x-8y+9=0
C. 2x^2+2y^2-4x-6y+7=0
D. x^2+y^2-2x+4y+2=0
E. x^2+y^2-4x-2y+1=0

Penyelesaian

Diketahui titik pusat lingkarannya adalah (x_p, y_p) = (1,2).
Garis singgungnya adalah y=x atau dapat ditulis -x+y = 0. Ini berarti,
\begin{aligned} \text{Koefisien}~x & = a = -1 \\ \text{Koefisien}~y & = b = 1 \\ \text{Konstanta} & = c = 0 \end{aligned}
Jari-jari lingkaran dapat ditentukan dengan:
\boxed{r = \dfrac{ax_p + by_p + c} {\sqrt{a^2+b^2}}}
yaitu
\begin{aligned} r & = \dfrac{-1(1) + 1(2) + 0}{\sqrt{(-1)^2+1^2}} \\ & = \dfrac{-1 + 2}{\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}} {\sqrt{2}}  = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{aligned}
Persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
\begin{aligned} (x-x_p)^2+(y-y_p)^2 & = r^2 \\ (x-1)^2+(y-2)^2 & = \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right)^2 \\ (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4) & = \dfrac{1}{2} \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}&~2 \\ 2x^2+2y^2-4x-8y+9&=0 \end{aligned}
Jadi, persamaan lingkaran yang pusatnya di titik (1,2) dan menyinggung garis y=x adalah \boxed{2x^2+2y^2-4x-8y+9&=0} (Jawaban B)
Perhatikan grafiknya di bawah ini.

[collapse]

Soal Nomor 16
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada:
a) koordinat (-3,2) dan menyinggung sumbu Y
b) koordinat (4,2) dan menyinggung sumbu X

Penyelesaian

(Jawaban a)
Karena pusatnya di (-3,2) dan menyinggung sumbu Y, maka panjang jari-jarinya adalah jarak pusat dari sumbu X ke sumbu Y, yaitu r = 3.
Untuk itu, didapat
\begin{aligned} (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 & = r^2 \\ (x + 3)^2 + (y - 2)^2 & = 3^2 \\ (x+3)^2 + (y-2)^2 & = 9 \end{aligned}
Jadi, persamaan lingkarannya adalah \boxed{(x+3)^2 + (y-2)^2 & = 9}
(Jawaban b)
Karena pusatnya di (4,2) dan menyinggung sumbu X, maka panjang jari-jarinya adalah jarak pusat dari sumbu Y ke sumbu X, yaitu r = 2.
Untuk itu, didapat
\begin{aligned} (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 & = r^2 \\ (x - 4)^2 + (y - 2)^2 & = 2^2 \\ (x-4)^2 + (y-2)^2 & = 4 \end{aligned}
Jadi, persamaan lingkarannya adalah \boxed{(x-4)^2 + (y-2)^2 & = 4}

[collapse]

Soal Nomor 17
Persamaan garis yang sejajar dengan x+2y-5=0 yang membagi lingkaran x^2+y^2-8x+6y-20=0 menjadi dua bagian yang sama adalah \cdots
A. x+2y+2=0
B. x+2y+6=0
C. x+2y-2=0
D. x+2y=0
E. x+2y-8=0

Penyelesaian

Gradien garis x+2y-5=0 adalah m_1 = -\dfrac{\text{Koefisien x}}{\text{Koefisien y}} = -\dfrac{1}{2}
Karena sejajar, maka garis yang membagi dua lingkaran itu juga memiliki gradien yang sama, yaitu m = m_1 = -\dfrac{1}{2}.
Ubah persamaan lingkarannya menjadi bentuk umum (kanonik).
\begin{aligned} x^2+y^2-8x+6y-20 & = 0 \\ (x^2 - 8x) + (y^2 + 6y) - 20 & = 0 \\ (x - 4)^2 - 16 + (y+3)^2 - 9 - 20 & = 0 \\ (x-4)^2 + (y+3)^2 = 45 \end{aligned}
Persamaan lingkaran di atas menunjukkan bahwa titik pusat lingkaran di (4, -3).
Garis yang membagi dua lingkaran itu pasti melalui titik pusat lingkaran.
Persamaan garis yang melalui titik (x_1, y_1) = (4, -3) dan bergradien m = -\dfrac{1}{2} adalah
\begin{aligned} y - y_1 &= m(x-x_1) \\ y - (-3) & = -\dfrac{1}{2}(x - 4) \\ 2y + 6 & = -x + 4 \\ x + 2y + 2 & = 0 \end{aligned}
Jadi, persamaan garis yang dimaksud adalah \boxed{x+2y+2=0} (Jawaban A)
Perhatikan gambar grafiknya untuk lebih jelasnya.

[collapse]

Soal Nomor 18
Titik (a, b) disebut titik letis jika a dan b keduanya adalah bilangan bulat. Banyaknya titik letis pada lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari 5 adalah \cdots
A. 4              D. 12
B. 6              E. tidak bisa dipastikan
C. 8

Penyelesaian

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik asal (0,0) dan berjari-jari r = 5 adalah x^2 + y^2 = 25.
Bila dipilih x = 0, maka y = \pm 5 dan sebaliknya.
Bila dipilih x = \pm 3, maka y = \pm 4 dan sebaliknya.
Untuk itu, pasangan (x, y) \in \mathbb{Z} yang memenuhi persamaan lingkaran di atas adalah
\begin{aligned} & (0, 5), (0, -5), (5, 0), (-5, 0), (3, 4), \\ & (3, -4), (-3, 4), (-3, -4), (4, 3), (4, -3), \\ & (-4, 3), (-4, -3) \end{aligned}
Jadi, banyaknya titik letis pada lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari 5 ada 12 (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 19
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x-3)^2 + (y - 4)^2 = 25 yang melalui titik (0,0).

Penyelesaian

Persamaan garis yang melalui titik pusat (0,0) adalah y = mx dengan m sebagai gradiennya.
Substitusikan y = mx pada persamaan lingkaran tersebut.
\begin{aligned} (x-3)^2 + (y - 4)^2 & = 25 \\ (x - 3)^2 + (mx-4)^2 & = 25 \\ x^2 - 6x + 9 + m^2x^2 - 8mx + 16 & = 25 \\ (1 + m^2)x^2 - (8m + 6)x & = 0 \end{aligned}
Kita peroleh persamaan kuadrat dengan koefisien x^2, yaitu a = 1 + m^2, koefisien x, yaitu b = 8m + 6, dan konstanta c = 0.
Agar garis itu menyinggung lingkaran, maka diskriminannya haruslah bernilai 0.
\begin{aligned} D & = b^2-4ac = 0 \\ (-8m-6)^2 - 4(1 + m^2)(0) & = 0 \\ (-8m - 6)^2 & = 0 \\ -8m - 6 & = 0 \\ m & = \dfrac{6}{-8} = -\dfrac{3}{4} \end{aligned}
Jadi, persamaan garis singgung itu adalah \boxed{y = -\dfrac{3}{4}x}

[collapse]

Soal Nomor 20
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2-2x+6y-10=0 yang 
sejajar dengan garis 2x-y+4=0 adalah …
A. 2x-y=14                 D. 2x-y=-5
B. 2x-y=10                 E. 2x-y=-6
C. 2x-y=5

Penyelesaian

Ubah persamaan lingkarannya ke dalam bentuk umum. 
\begin{aligned} x^2+y^2-2x+6y-10 & = 0 \\ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 - 10 & = 0 \\ (x-1)^2 + (y+3)^2 & = 20 \end{aligned}
Lingkaran tersebut berpusat di (1, -3) dan berjari-jari \sqrt{20} = 2\sqrt5.
Gradien garis 2x-y+4=0 adalah m_1 = -\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} = -\dfrac{2}{-1} = 2
Karena sejajar, maka garis singgung lingkaran juga memiliki gradien m=2.
Persamaan garis singgung bergradien 2 pada lingkaran dengan pusat di (1, -3) dan jari-jarinya 2\sqrt5 dinyatakan oleh
\begin{aligned} y - y_p & = m(x - x_p) \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y - (-3) & = 2(x - 1) \pm 2\sqrt{5}\sqrt{1+2^2} \\ y + 3 & = 2x - 2 \pm 10 \\ 2x - y & = 5 \pm 10 \end{aligned}
Dengan demikian, kita peroleh dua persamaan garis singgung lingkaran, yaitu
\begin{cases} 2x - y = 15 \\ 2x - y = -5 \end{cases}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 21
Diketahui 2 lingkaran dengan persamaan x^2+y^2+6x-8y+21=0 dan x^2+y^2+10x-8y+25=0. Hubungan antara kedua lingkaran ini adalah \cdots
A. berpotongan di satu titik
B. tidak berpotongan
C. bersinggungan luar
D. bersinggungan dalam
E. sepusat

Penyelesaian

Lingkaran x^2+y^2+6x-8y+21=0 memiliki bentuk umum:
\begin{aligned} (x^2+6x) + (y^2-8y) + 21 & = 0 \\ (x+3)^2 - 9 + (y-4)^2 - 16 + 21 & = 0 \\ (x+3)^2 + (y-4)^2 = 4 \end{aligned}
Bentuk terakhir menunjukkan lingkaran ini berpusat di (-3, 4) dan berjari-jari r = \sqrt{4} = 2.
Lingkaran x^2+y^2+10x-8y+25=0 memiliki bentuk umum:
\begin{aligned} (x^2+10x) + (y^2-8y) + 25 & = 0 \\ (x+5)^2 - 25 + (y-4)^2 - 16 + 25 & = 0 \\ (x+5)^2 + (y-4)^2 & = 16 \end{aligned}
Bentuk terakhir menunjukkan lingkaran ini berpusat di (-5, 4) dan berjari-jari r = \sqrt{16} = 4.
Jarak kedua pusat lingkaran adalah s = -3--5) = 2.
Selisih kedua jari-jari lingkaran adalah \triangle r = 4 - 2 = 2
Karena sama, maka dapat disimpulkan bahwa kedua lingkaran itu bersinggungan dalam.
Secara geometris, dapat dibuat sketsa grafiknya sebagai berikut.

(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 22
Diketahui titik A(-2,1) dan B(4, -3). Jika P(x,y) terletak pada bidang koordinat sedemikian sehingga PA^2 + PB^2 = AB^2, maka P merupakan titik-titik yang terletak pada busur lingkaran yang memotong sumbu X pada \cdots
A. x = 2\sqrt{13}+1 dan x = 2\sqrt{3}-1
B. x = 2\sqrt{13}+1 dan x = -2\sqrt{3}+1
C. x = 2\sqrt{13}-1 dan x = -2\sqrt{3}-1
D. x = 2\sqrt{13}+1 dan x = -2\sqrt{3}-1
E. x = -2\sqrt{13}+1 dan x = -2\sqrt{3}-1

Penyelesaian

Karena berlaku persamaan Pythagoras PA^2+PB^2=AB^2, maka dapat diasumsikan bahwa PAB merupakan segitiga siku-siku yang sudut siku-sikunya di P.
Diketahui P(x, y), A(-2,1), B(4,-3)
Dengan menggunakan rumus jarak dalam koordinat Kartesius, diperoleh persamaan
\begin{aligned} \left(\sqrt{(x+2)^2+(y-1)^2}\right)^2 + & \left(\sqrt{(4-x)^2+(-3-y)^2}\right)^2 \\ & = \left(\sqrt{(4+2)^2+(-3-1)^2}\right)^2 \end{aligned}
Sederhanakan dengan menghapus tanda akar dan menguraikan bentuk kuadratnya.
\begin{aligned} (x^2+4x+4)+& (y^2-2y+1)+(16-8x+x^2)+\\ & (9+6y+y^2) = 52 \end{aligned}
Sederhanakan bentuk aljabarnya.
\begin{aligned} 2x^2 + 2y^2 - 4x + 4y - 22 & = 0 \\ \text{Bagi 2 pada kedua ruasnya} & \\ x^2+y^2 -2x+2y-11&=0 \end{aligned}
Bentuk terakhir adalah persamaan lingkaran yang mewakili kedudukan titik P pada bidang koordinat.
Lingkaran ini memotong sumbu X saat y = 0, sehingga
\begin{aligned} x^2+0^2-2x+2(0)-11&=0 \\ x^2-2x-11 & = 0 \end{aligned}
Gunakan rumus ABC untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat di atas.
\begin{aligned} x_{1,2} & = \dfrac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4(1)(-11)}} {2(1)} \\ & = \dfrac{2 \pm \sqrt{48}} {2} \\ & = \dfrac{2 \pm 4\sqrt{3}} {2} \\ & = \pm 2\sqrt{3} + 1 \end{aligned}
Jadi, lingkarannya akan memotong sumbu X di x = 2\sqrt{3}+1 dan x = -2\sqrt{3}+1.(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 23
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis x + y -5 = 0 dan melalui titik potong kedua lingkaran x^2 + y^2 - 2x - 2y - 34 = 0 dan x^2 + y^2 + 8x - 2y - 100 = 0.

Penyelesaian

(Langkah 1: Menentukan titik potong kedua lingkaran)
Persamaan kedua lingkaran itu dalam bentuk umum adalah:
\begin{aligned} (x-1)^2 + (y-1)^2 & = 36 \\ (x+4)^2 + (y-1)^2 & = 117 \end{aligned}
Kurangkan persamaan atas dengan persamaan bawah untuk memperoleh
\begin{aligned} (x-1)^2 - (x + 4)^2 & = -81 \\ (x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 8x + 16) & = -81 \\ -10x + 1 - 16 & = -81 \\ -10x & = -66 \\ x & = \dfrac{33}{5} \end{aligned}
Substitusikan nilai x = \dfrac{33}{5} pada salah satu persamaan lingkaran, misalnya pada (x-1)^2 + (y-1)^2 = 36, sehingga didapat
\begin{aligned} \left(\dfrac{33}{5} - 1\right)^2 + (y-1)^2 & = 36 \\ y - 1 & = \pm \dfrac{1}{5}\sqrt{116} \\ y & = 1 \pm \dfrac{1}{5}\sqrt{116} \end{aligned}
Ini berarti, ada 2 titik potong kedua lingkaran, yaitu pada koordinat \left(\dfrac{33}{5}, 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right) dan \left(\dfrac{33}{5}, 1 - \dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right).
(Langkah 2: Menentukan titik pusat lingkaran yang dimaksud)
Misalkan titik pusat lingkarannya, yaitu (x_p, y_p), terletak pada garis x + y - 5 = 0 sehingga berlaku y_p = 5 - x_p. Ini berarti,
\begin{aligned} (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 & = r^2 \\ (x-x_p)^2 + (y + x_p - 5)^2 & = r^2 \end{aligned}
Karena lingkaran melalui titik \left(\dfrac{33}{5}, 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right) dan \left(\dfrac{33}{5}, 1 - \dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right), diperoleh
\begin{aligned} \left(\dfrac{33}{5} - x_p\right)^2 + \left(\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p - 5\right)^2 & = r^2 \\ \left(\dfrac{33}{5} - x_p\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p - 5\right)^2 & = r^2 \end{aligned}
Kurangi persamaan atas dengan persamaan bawah untuk mendapatkan
\left(\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p - 5\right)^2 & = \left(-\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p - 5\right)^2
Jabarkan, sehingga nantinya didapat
x_p = \dfrac{\frac{16}{5}\sqrt{116}}{\frac{4}{5}\sqrt{116}} = 4
Ini berarti, y_p = 1.
Jadi, titik pusat lingkarannya di (4, 1).
(Langkah 3: Menentukan persamaan lingkaran)
Substitusikan x_p = 4, y_p = 1, x = \dfrac{33}{5}, y = 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116} pada persamaan lingkaran (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 & = r^2, sehingga diperoleh
\begin{aligned} r^2 & = \left(\dfrac{33}{5} - 4\right)^2 + \left(1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116} - 1\right)^2 \\ r^2 & = \dfrac{169}{25} + \dfrac{116}{25} = \dfrac{57}{5} \end{aligned}
Jadi, persamaan lingkaran itu adalah
\boxed{(x-4)^2 + (y-1)^2 = \dfrac{57}{5}}
Perhatikan grafiknya di bawah ini.

[collapse]

Soal Nomor 24
Persamaan garis polar lingkaran x^2+y^2 = 36 dari titik (9, -6) adalah \cdots
A. 3x+2y=12
B. 3x-2y=12
C. 3x+2y=-18
D. 3x-y=12
E. 2x-3y=18

Penyelesaian

Persamaan garis polar lingkaran x^2+y^2=r^2 dari titik (x_1,y_1) dirumuskan oleh x_1x + y_1y = r^2.
Untuk itu, persamaan garis polar lingkaran x^2+y^2=36 dari titik (9,-6) adalah
\begin{aligned} 9x - 6y & = 36 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&~\text{dengan 3} \\ 3x - 2y & = 12 \end{aligned}
Jadi, persamaan garis polarnya adalah \boxed{3x-2y=12} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 25
Lingkaran yang berpusat di (2,3) dan menyinggung garis y-7=0, juga menyinggung garis dengan persamaan \cdots
A. x+6 = 0 dan y + 4 = 0
B. x-6 = 0 dan y + 1 = 0
C. x+2 = 0 dan y - 6 = 0
D. x-2 = 0 dan y - 6 = 0
E. x-2 = 0 dan y + 1 = 0

Penyelesaian

Perhatikan sketsa berikut.

Jika titik pusat lingkaran di (2, 3), maka jarak titik ini ke titik singgung (2, 7) adalah jari-jari lingkaran, yaitu r = 7 - 3 = 4. Ini berarti, persamaan lingkarannya adalah
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4^2 = 16
Sketsa grafiknya seperti berikut.
Tampak bahwa garis horizontal dan vertikal yang menyinggung lingkaran ini adalah:
\begin{aligned} y & = -1 \equiv y + 1 = 0 \\ x & = 6 \equiv x - 6 = 0 \\ x &= -2 \equiv x + 2 = 0 \\ y & = 7 \equiv y - 7  = 0 \end{aligned}
Dari pilihan yang diberikan, jawaban yang tepat adalah B.

[collapse]

Soal Nomor 26
Jika kuasa titik M(m, 4) sama dengan nol terhadap lingkaran x^2+y^2=25, maka nilai m = \cdots
A. \sqrt{3}              D. \pm 2
B. 3                E. \pm 3
C. 2

Penyelesaian

Persamaan lingkaran x^2 + y^2 = 25 ekuivalen dengan x^2 + y^2 - 25 = 0. Nilai kuasa titik (x_1, y_1) pada lingkaran tersebut adalah x_1^2 + y_1^2 - 25.
Agar nilai tersebut nol, ditulis
\begin{aligned} x_1^2 + y_1^2 - 25 & = 0 \\ m^2 + 4^2 - 25 & = 0 \\ m^2 - 9 & = 0 \\ m^2 & = 9 \\ m & = \pm 3 \end{aligned}
Jadi, nilai \boxed{m = \pm 3} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 27
Misalkan titik A dan B berada pada lingkaran x^2 + y^2 - 6x - 2y + k = 0 sehingga garis singgung lingkaran di titik A dan B berpotongan di C(8,1). Jika luas segiempat yang melalui titik A,B,C, dan pusat lingkaran adalah 12, maka k = \cdots
A. -1            C. 1             E. 3
B. 0             D. 2

Penyelesaian

Ubah persamaan lingkaran itu ke bentuk umumnya. 
\begin{aligned} x^2+y^2-6x-2y+k&=0 \\ (x - 3)^2 - 9 + (y-1)^2-1+k&=0 \\ (x-3)^2 + (y-1)^2 & =10 - k \end{aligned}
Pusat lingkaran di P(3,1) dan r = \sqrt{10-k}
Perhatikan bahwa garis yang ditarik dari titik P(3,1) ke titik C(8,1) membentuk garis horizontal (mendatar). Ini berarti, garis AB berupa garis vertikal, sehingga segiempat PABC berupa layang-layang
Perhatikan sketsa berikut untuk lebih jelasnya.

Ingat bahwa jari-jari dan garis singgung selalu membentuk sudut siku-siku, sehingga diperoleh segitiga PAC, siku-siku di A
Diketahui:
\begin{aligned} r & = PA = \sqrt{10-k} \\ PC & = 8-3 = 5 \end{aligned}
Panjang AC dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras
\begin{aligned} AC & = \sqrt{PC^2-PA^2} \\ & = \sqrt{5^2 - (10-k)} \\ & = \sqrt{k+15} \end{aligned}
Dengan demikian, luas layang-layangnya dirumuskan oleh
\begin{aligned} 2 \cdot L_{\triangle PAC} & = 12 \\ 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot PA \cdot AC & = 12 \\ \sqrt{10-k} \cdot \sqrt{k+15}&=12 \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\ (10-k) (k+15) & = 144 \\ -k^2 - 5k + 150 - 144 & = 0 \\ k^2+5k-6&=0 \\ (k+6)(k-1) & = 0 \end{aligned}
Diperoleh k = -6 atau k = 1
Berdasarkan pilihan yang tersedia, jawaban yang tepat adalah C.

[collapse]

Soal Nomor 28
Lingkaran x^2 + y^2  -16x - 12y & = 0 memotong sumbu Y di titik P. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran di titik P adalah \cdots
A. 3y = 4x + 36
B. 3y = -4x + 36
C. 3y = 4x + 12
D. 4y = 3x + 12
E. 4y = -3x + 12

Penyelesaian

Karena lingkaran memotong sumbu Y, maka nilai x = 0. Substitusikan ke persamaan lingkaran.
\begin{aligned} x^2+y^2-16x-12y&=0 \\ 0^2-y^2-16(0)-12y & = 0 \\ -y^2 - 12y & = 0 \\ y(y+12) & = 0 \end{aligned}
Diperoleh y = 0 atau y = 12. Ini berarti, ada dua kemungkinan koordinat titik P, yaitu di (0,0) atau (0,12).
Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik P(0,0) adalah
(A = -16, B = -12, C = 0, x_1 = y_1 = 0)
\begin{aligned} & x_1x + y_1y + \dfrac{1}{2}A(x+x_1)+\dfrac{1}{2}B(y+y_1)+C = 0 \\ & 0x + 0y + \dfrac{1}{2}(-16)(x + 0)+\dfrac{1}{2}(-12)(y+0) + 0 = 0 \\ & -8x - 6y  = 0 \\ & 4x + 3y  = 0 \end{aligned}
Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik P(0,12) adalah
(A = -16, B = -12, C = 0, x_1 = 0, y_1 = 12)
\begin{aligned} & x_1x + y_1y + \dfrac{1}{2}A(x+x_1)+\dfrac{1}{2}B(y+y_1)+C = 0 \\ & 0x + 12y + \dfrac{1}{2}(-16)(x + 0)+\dfrac{1}{2}(-12)(y+12) + 0 = 0 \\ & 12y - 8x - 6y - 72 = 0 \\ & 6y = 8x + 72 \\ & 3y = 4x + 36 \end{aligned}
Berdasarkan pilihan yang tersedia, jawaban yang tepat adalah A.
Perhatikan gambar grafiknya sebagai bentuk representasi geometrisnya.

[collapse]

Soal Nomor 29
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui (2,1) dan konsentris dengan lingkaran x^2+y^2+6x+8y-37=0.

Penyelesaian

Lingkaran x^2+y^2+6x+8y-37=0 dapat diubah menjadi bentuk umum (kanonik) sebagai berikut. 
\begin{aligned} x^2+y^2+6x+8y-37 & = 0 \\ (x^2+6x) + (y^2+8y) - 37 & = 0 \\ (x+3)^2-9+(y+4)^2-16-37 &= 0 \\ (x+3)^2 + (y+4)^2 & = 62 \end{aligned}
Pusat lingkaran di (-3, -4).
Persamaan lingkaran yang berpusat di (-3,-4) dan melalui titik (2,1) adalah
r^2 = (2 + 3)^2 + (1 + 4)^2 = 50
Jadi, diperoleh r^2 = 50.
Dengan demikian, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
\boxed{(x+3)^2 + (y+4)^2 = 50}

[collapse]

Soal Nomor 30
Hitung nilai A, B, dan C jika lingkaran x^2+y^2+Ax+By+C = 0 melalui titik (3,5), -2,4), dan (-6,-2)

Penyelesaian

Substitusi tiap titik sebagai nilai x, y pada persamaan lingkaran, sehingga diperoleh
\begin{cases} 3^2 + 5^2 + 3A + 5B + C & = 0 \\ (-2)^2+4^2-2A+4B+C & = 0 \\ (-6)^2+(-2)^2-6A-2B+C & = 0 \end{cases}
atau disederhanakan menjadi
\begin{cases} 3A+5B+C = -34 & (1) \\ -2A+4B+C = -20 & (2) \\ -6A - 2B +C = -40 & (3) \end{cases}
Dari (1) dan (2), diperoleh
\begin{aligned} 3A + 5B + C = -34 \\ -2A + 4B + C = -20 \\ \noindent\rule{3.5 cm}{0.8pt} - \\ 5A + B = -14 &~~~(4) \end{aligned}
Dari (2) dan (3), diperoleh
\begin{aligned} 3A + 5B + C = -34 \\ -6A - 2B + C = -40 \\ \noindent\rule{3.5 cm}{0.8pt} - \\ 9A + 7B = 6 &~~~(5) \end{aligned}
Selanjutnya, dari (4) dan (5), diperoleh
\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5A+B & = -14 \\ 9A+7B & = 6 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 7 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 35A+7B & = -98 \\ 9A+7B & = 6 \end{aligned} \\ & \noindent\rule{2.5 cm}{0.8pt} - \\ & \! \begin{aligned} 26A& = -104 \\ A & = -4 \end{aligned} \end{aligned}
Substitusikan (gantikan) A = -4 pada persamaan (4) atau (5), misalkan pada persamaan (4) .
\begin{aligned} 5A+B&=-14 \\ 5(-4)+B&=-14 \\ -20+B&=-14 \\ B & = 6 \end{aligned}
Substitusikan (gantikan) A = -4 dan B = 6 pada persamaan (1), (2), atau (3), misalkan pada persamaan (1) .
\begin{aligned} 3A+5B+C & = -34 \\ 3(-4) + 5(6) + C & =-34 \\ -12+30+C&=-34 \\ C & = -52 \end{aligned}
Jadi, nilai A, B, dan C berturut-turut adalah -4, 6, dan -52.

[collapse]

Soal Nomor 31
Tiga lingkaran berdiameter sama dan saling bersinggungan. Persamaan lingkaran pertama dan kedua adalah x^2+10x+y^2+2y+1=0 dan x^2-6x+y^2+2y-6=0. Persamaan lingkaran yang ketiga adalah \cdots
A. (x-1)^2 + (y+1+3\sqrt{3})^2 = 4^2
B. (x+1)^2 + (y+1-4\sqrt{3})^2 = 4^2
C. (x+2)^2 + (y+1+4\sqrt{3})^2 = 4^2
D. (x-2)^2 + (y+2-4\sqrt{3})^2 = 4^2
E. (x-2)^2 + (y+2+3\sqrt{3})^2 = 4^2

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 32
Titik pusat lingkaran L berada di kuadran I dan berada di sepanjang garis y = 2x. Jika L menyinggung sumbu-Y di titik (0,6), persamaan lingkaran L adalah \cdots
A. x^2+y^2-3x-6y=0
B. x^2+y^2+6x-12y-108=0
C. x^2+y^2+12x+6y-72=0
D. x^2+y^2-12x-6y=0
E. x^2+y^2-6x-12y+36=0

Penyelesaian

Karena lingkaran L menyinggung sumbu-Y di titik (0,6), maka dapat dipastikan bahwa ordinat pusat lingkaran L adalah 6, dengan absis yang dapat ditentukan oleh persamaan y=2x, yaitu
6 = 2x \Leftrightarrow x = 3
Jadi, pusat lingkaran L di (3,6)
Jari-jari lingkarannya adalah jarak dari titik (3,26 ke (0,6), yaitu r = 3. Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah
\begin{aligned} (x - 3)^2 + (y - 6)^2 &= 3^2 \\ (x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 12y + 36) & = 9 \\ x^2 + y^2 - 6x - 12y + 36 & = 0 \end{aligned}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 33
Dua buah lingkaran melalui titik pangkal, serta menyinggung garis x + y = 8 dan kedua pusatnya terletak pada garis x = 2. Carilah kedua persamaan lingkaran tersebut.

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 34
Pada sebuah panggung, seorang penata lampu menggunakan lampu sorot untuk menyinari area panggung. Sinar yang dihasilkan dari lampu sorot berbentuk lingkaran dengan persamaan (x - 13)^2 + (y - 4)^2 = 16.
a. Buatlah gambar lingkaran yang dihasilkan lampu sorot pada bidang Kartesius
b. Jika tiga penampil, yaitu Handi, Lusi, dan Jane berturut-turut ada pada koordinat (11, 4), (8, 5), dan (15, 5), manakah penampil yang berada di luar sinar lampu sorot?

Penyelesaian

Jawaban a)
Perhatikan bahwa (x - 13)^2 + (y - 4)^2 = 16 merupakan persamaan lingkaran yang berpusat di (13, 4) dan berjari-jari r = \sqrt{16} = 4.
Posisikan titik (13, 4), kemudian geser sejauh 4 satuan ke kiri, kanan, atas, dan bawah, sehingga diperoleh titik (9, 4), (17, 4), (13, 8), dan (13, 0). Hubungkan keempat titik itu dengan menggunakan garis lengkung sehingga terbentuklah sebuah lingkaran.

Jawaban b)
Substitusikan nilai x dan y berdasarkan koordinat (x, y) yang diberikan ke bentuk (x - 13)^2 + (y - 4)^2. Perhatikan tiga ketentuan berikut:
Apabila bernilai kurang dari 16, maka itu berarti titik koordinatnya berada di dalam lingkaran (sinar lampu sorot);
Apabila bernilai tepat 16, maka itu berarti titik koordinatnya persis di tepi lingkaran (tepi sinar lampu sorot);
Apabila bernilai lebih dari 16, maka itu berarti titik koordinatnya berada di luar lingkaran (sinar lampu sorot);
Untuk koordinat (11, 4), diperoleh
(11 - 13)^2 + (4 - 4)^2 = (-2)^2 + 0^2 = 4 < 16
Jadi, Handi berada di dalam sinar lampu sorot.
Untuk koordinat (8, 5), diperoleh
(8 - 13)^2 + (5 - 4)^2 = (-5)^2 + 1^2 = 26 > 16
Jadi, Lusi berada di luar sinar lampu sorot.
Untuk koordinat (15, 5), diperoleh
(15 - 13)^2 + (5 - 4)^2 = (2)^2 + 1^2 = 5 < 16
Jadi, Jane berada di dalam sinar lampu sorot.
Penampil yang berada di luar sinar lampu sorot adalah Lusi.

[collapse]

Soal Nomor 35
Sebuah radar ditempatkan pada koordinat (2, 3) dan mampu mendeteksi hingga 50 km ke segala arah.
a. Buatlah persamaan yang menggambarkan kemampuan deteksi radar.
b. Jika sebuah objek berada pada koordinat (40, 20), dapatkah radar tersebut mendeteksinya? Berikan alasannya!

Penyelesaian

Jawaban a)
Kemampuan deteksi radar itu dapat dideskripsikan sebagai lingkaran yang berpusat di (2, 3) dan berjari-jari r = 50, atau r^2 = 2500.
Persamaannya adalah (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 2500
Jawaban b)
Substitusikan nilai x = 40 dan y = 20 pada bentuk (x - 2)^2 + (y - 3)^2 menghasilkan
(40 - 2)^2 + (20 - 3)^2 = 38^2 + 17^2 = 1733 < 2500
Karena itu, objek yang berada pada koordinat(40, 20) terdeteksi oleh radar itu.

[collapse]

Soal Nomor 36
Sebuah asteroid yang melaju dengan persamaan 2y-2x-20=0 diperkirakan akan menabrak sebuah satelit yang berputar mengelilingi bumi dengan persamaan x^2+y^2=52
Tentukan titik koordinat tabrakan yang akan terjadi dengan asumsi titik (0,0) dihitung dari inti bumi.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
\begin{aligned} 2y-2x-20&=0 \\ 2y & = 2x+20 \\ y & = x+10 \end{aligned}
Substitusikan y = x+10 ke persamaan lingkaran x^2+y^2=52, sehingga ditulis
\begin{aligned} x^2+(x+10)^2 & = 52 \\ x^2 + (x^2+20x+100) & = 52 \\ 2x^2+20x+8& = 0 \\ x^2+10x+24&=0 \\ (x+6)(x+4) & = 0 \end{aligned}
Diperoleh x=-6 atau x=-4
Untuk x=-6, diperoleh
y = x + 10 \Rightarrow y = -6+10 = 4
Untuk x=-4, diperoleh
y = x + 10 \Rightarrow y = -4+10 = 6
Jadi, titik tabrakannya berada di koordinat (-6,4) dan (-4, 6)

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini
CategoriesGeometri, Geometri Analitik Datar, Irisan KerucutTags, , , , , ,

11 Replies to “Soal dan Pembahasan – Irisan Kerucut: Persamaan Lingkaran”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *