Materi, Soal, dan Pembahasan – Kurva Indiferens

      Kurva indiferens (indifference curve) diartikan sebagai kurva yang menunjukkan titik-titik kombinasi jumlah dari dua jenis barang yang dikonsumsi pada tingkat kepuasan tertentu. Kurva indiferens dapat ditunjukkan oleh fungsi dua variabel $f(x, y) = a$ dengan $a \ge 0$ di mana $x$ dan $y$ adalah jumlah barang yang dikonsumsi, sedangkan $a$ menunjukkan tingkat kepuasan. Berikut ini merupakan contoh kurva indiferens.

Tiga kurva indiferens dengan tingkat kepuasan yang berbeda

       Sumbu-$X$ (horizontal) menunjukkan jumlah barang $x$, sedangkan sumbu-$Y$ (vertikal) menunjukkan jumlah barang $y$. Misalkan seorang konsumen memilih kombinasi jumlah barang yang dikonsumsi pada titik $A$, berarti ia mengonsumsi barang $x$ sebanyak $x_1$ dan barang $y$ sebanyak $y_1$. Demikian juga bila di titik $B$, maka ia mengonsumsi barang $x$ sebanyak $x_2$ dan barang $y$ sebanyak $y_2$. Tingkat kepuasan konsumen di setiap titik yang dilalui kurva indiferens selalu sama, yaitu sebesar $a$.

        Apabila parameter $a$ diubah-ubah nilainya, maka akan diperoleh himpunan kurva indiferens yang tidak saling berpotongan. Kurva indiferens merupakan kurva turun, karena untuk menambah jumlah barang $x$ yang dikonsumsi, konsumen harus mengurangi jumlah konsumsinya terhadap barang $y$ agar tingkat kepuasannya tetap sama. Kurva indiferens juga cembung terhadap titik pusat koordinat. Keadaan ini menunjukkan bahwa setiap pengurangan $y$ sebanyak $\Delta y$ harus diimbangi dengan penambahan $x$ sebanyak $\Delta x$ agar tingkat kepuasan dapat dipertahankan. Ini selaras dengan hukum substitusi yang menyatakan bahwa semakin langka suatu barang, semakin besar nilai substitusinya terhadap barang yang jumlahnya melimpah.

        Kurva yang dipakai untuk menunjukkan kurva indiferens adalah parabola, elips, dan hiperbola. Perlu diketahui bahwa lingkaran merupakan elips khusus yang panjang sumbu mayor-minornya sama. Selain itu, kita hanya memakai sejumlah bagian dari kurva utuhnya untuk merepresentasikan kurva indiferens. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah.

Garis lengkung biru merupakan bagian elips yang dipakai untuk mewakili kurva indiferens

         Konsumen selalu berusaha untuk melakukan konsumsi pada titik yang berada pada kurva indiferens di posisi paling jauh dari titik pusat koordinat karena kepuasan yang didapat lebih besar atau karena dengan kombinasi tersebut, ia dapat mengonsumsi kedua jenis barang dalam jumlah yang banyak. Akan tetapi, kebebasan memilih kurva indiferens dibatasi oleh jumlah uang yang dimiliki konsumen. Dengan sejumlah uang tertentu $(M)$, konsumen dapat membelanjakan semuanya untuk membeli barang $x$ saja dan memperoleh sebanyak $\dfrac{M}{P_x}$ unit dengan $P_x$ sebagai harga (price) barang $x$. Di lain sisi, ia juga dapat membelanjakan semuanya untuk membeli barang $y$ saja dan memperoleh sebanyak $\dfrac{M}{P_y}$ unit dengan $P_x$ sebagai harga (price) barang $y$.

        Apabila dengan uang sebanyak $M$ itu digunakan untuk membeli barang $x$ dan $y$, maka kombinasi jumlah barang $x$ dan $y$ yang dapat dibeli ditunjukkan oleh garis lurus yang menghubungkan titik $\left(\dfrac{M}{P_x}, 0\right)$ dan $\left(0, \dfrac{M}{P_y}\right)$. Garis inilah yang disebut dengan garis anggaran (budget line). Tingkat kepuasan maksimum tercapai ketika konsumen membelanjakan uangnya untuk membeli barang $x$ sebanyak $x_1$ dan barang $y$ sebanyak $y_1$, yaitu pada posisi persinggungan antara garis anggaran dengan kurva indiferens, seperti yang tampak pada gambar.

Titik singgung garis anggaran dan kurva indiferens merupakan titik terjadinya kepuasan maksimum konsumen dengan kendala M

      Dengan menggunakan kurva indiferens dan garis anggaran, kita dapat menentukan jumlah barang $x$ dan $y$ yang harus dibeli oleh konsumen dengan sejumlah uang tertentu agar tercapai kepuasan maksimum.

Quote by Steve Jobs

If today were the last day of my life, would I want to do what I’m about to do today?

Berikut ini disajikan sejumlah soal dan pembahasan terkait kurva indiferens sebagai salah satu materi matematika ekonomi. Semoga membantu.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Kepuasan seorang konsumen dalam mengonsumsi barang $x$ dan $y$ ditunjukkan oleh persamaan $xy + 5x + 2y = a-10$. Jumlah maksimum barang $y$ yang dapat dikonsumsi bila tingkat kepuasannya sebesar $50$ adalah $\cdots \cdot$
A. $10$                     C. $30$                    E. $50$
B. $20$                     D. $40$

Pembahasan

Diketahui persamaan kurva indiferens $xy + 5x + 2y = a-10$. Jumlah maksimum barang $y$ tercapai ketika $x = 0$. Karena tingkat kepuasan $a = 50$, maka dengan substitusi diperoleh
$$\begin{aligned} xy + 5x + 2y & = a-10 \\ \Rightarrow 0y + 5(0) + 2y & = 50-10 \\ 2y & = 40 \\ y & = 20 \end{aligned}$$Jadi, jumlah maksimum barang $y$ yang dapat dikonsumsi bila tingkat kepuasannya sebesar $50$ adalah $\boxed{20}$ unit.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Bila kurva indiferens konsumen dapat ditunjukkan oleh persamaan $x+y-\sqrt{2xy} = a$ dan andaikan kepuasan seseorang dapat diukur, maka berapakah jumlah barang $y$ yang harus dikonsumsi pada saat ia mengonsumsi barang $x$ sebanyak $3$ unit agar tingkat kepuasannya tetap $15$ satuan?
A. $4$ unit                        D. $12$ unit
B. $6$ unit                        E. $24$ unit
C. $8$ unit

Pembahasan

Diketahui persamaan kurva indiferens $x+y-\sqrt{2xy} = a.$
Karena $\color{blue}{x = 3}$ dan $\color{red}{a = 15}$, maka dengan substitusi diperoleh
$$\begin{aligned} \color{blue}{x}+y-\sqrt{2\color{blue}{x}y} & = \color{red}{a} \\ 3+y-\sqrt{6y} & = 15 \\ y-12 & = \sqrt{6y} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ (y-12)^2 & = (\sqrt{6y})^2 \\ y^2-24y+144 & = 6y \\ y^2-30y+144 & = 0 \\ (y-24)(y-6) & = 0 \\ y = 24~\text{atau}~y & = 6 \end{aligned}$$Bila tidak ada barang $x$ yang dikonsumsi, jumlah barang $y$ yang harus dikonsumsi agar tingkat kepuasannya tetap $15$ satuan adalah $y = 15$. Oleh karena itu, pada tingkat kepuasan yang sama, tidak mungkin ia mengonsumsi sebanyak $24$ unit (tidak mungkin melebihi $15$). Jadi, kita simpulkan bahwa jumlah barang $y$ yang harus dikonsumsi adalah $\boxed{6}$ unit.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Bila himpunan kurva indiferens berbentuk $3x^2-2xy+2y^2=a$ dan persamaan garis anggaran adalah $2x+y=6$, maka jumlah barang $x$ dan $y$ yang dibeli konsumen adalah $\cdots \cdot$
A. $x = 2, y = 2$
B. $x = 1, y = 4$
C. $x = 3, y = 0$
D. $x = 0, y = 6$
E. $x = 4, y = 1$

Pembahasan

Diketahui persamaan garis anggaran (budget line equation) dinyatakan oleh $2x+y=6$, ekuivalen dengan $y=6-2x$. Sekarang, substitusikan nilai $y$ ini pada persamaan kurva indiferens.
$$\begin{aligned} 3x^2-2x\color{red}{y}+2\color{red}{y}^2 &= a \\ 3x^2-2x(6-2x)+2(6-2x)^2-a & = 0 \\ 3x^2-12x+4x^2+2(36-24x+4x^2)-a & = 0 \\ \color{red}{15}x^2\color{blue}{-60}x+\color{green}{(72-a)} & = 0 \end{aligned}$$Persamaan garis anggaran dan kurva indiferens akan bersinggungan ketika persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan $D = 0$.
$$\begin{aligned} b^2-4ac & = 0 \\ \color{blue}{(-60)}^2-4\color{red}{(15)}\color{green}{(72-a)} & = 0 \\ 3.600-4.320+60a & = 0 \\ -720+60a & = 0 \\ 60a & = 720 \\ a & = 12 \end{aligned}$$Jadi, persamaan kuadratnya berbentuk
$$\begin{aligned} 15x^2-60x+(72-12) & = 0 \\ 15x^2-60x+60 & = 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&(15) \\ x^2-4x+4 & = 0 \\ (x-2)(x-2) & = 0 \\ x & = 2 \end{aligned}$$Untuk $x = 2$, diperoleh
$$\begin{aligned} y & = 6-2\color{red}{x} \\ & = 6-2(2) = 2 \end{aligned}$$Jadi, jumlah barang $x$ dan $y$ yang dibeli oleh konsumen adalah $\boxed{x=2, y=2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Pernyataan berikut ini yang benar terkait kurva indiferens adalah $\cdots \cdot$

  1. grafik yang dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indiferens adalah elips dan lingkaran
  2. kurva indiferens bentuknya cembung terhadap titik asal
  3. apabila nilai parameter $a$ diubah-ubah, maka akan diperoleh himpunan kurva indiferens yang satu sama lain saling memotong
  4. kurva indiferens menunjukkan titik-titik kombinasi barang $x$ dan $y$ yang dikonsumsi, serta memberikan tingkat kepuasan yang tidak sama
  5. kurva indiferens selalu berbentuk garis lurus

Pembahasan

Cek Pernyataan A:
Kurva indiferens yang berbentuk lengkungan dapat direpresentasikan oleh persamaan elips dan lingkaran, khususnya pada bagian lengkungan dengan arah kemiringan negatif (bagian kiri bawah). Perlu diketahui bahwa lingkaran adalah elips khusus, yaitu elips yang sumbu mayor minornya sama panjang (yang selanjutnya disebut sebagai jari-jari). Jadi, pernyataan pada opsi A benar.
Cek Pernyataan B:
Kurva indiferens memiliki arah kemiringan (slope) yang bernilai negatif. Ini artinya kurvanya akan cekung terhadap titik asal (titik pusat koordinat). Jadi, pernyataan pada opsi B salah.
Cek Pernyataan C:
Mengubah parameter $a$ pada persamaan kurva indiferens tidak akan menghasilkan kurva yang saling memotong satu sama lain. Jadi, pernyataan pada opsi C salah.
Cek Pernyataan D:
Menurut definisinya, kurva indiferens adalah kurva yang menghubungkan titik-titik kombinasi dari sejumlah barang tertentu yang dikonsumsi dan memberikan tingkat kepuasan yang sama, atau keadaan di mana konsumen berada dalam keadaan indiferen dalam mengkonsumsi berbagai jenis barang. Jadi, pernyataan pada opsi D salah.
Cek Pernyataan E:
Kurva indiferens umumnya berbentuk lengkungan yang cekung terhadap titik pusat koordinat. Ada juga kurva indiferens yang bentuknya garis lurus. Hal ini terjadi ketika konsumen hanya memperhatikan total dari banyaknya dua barang yang ada, tanpa memperhatikan utilitas masing-masing barang.
Dengan demikian, kurva indiferens tidak selalu berbentuk garis lurus. Jadi, pernyataan pada opsi E salah.
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Permintaan, Penawaran, Konsumsi, dan Tabungan

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Bila kurva indiferens seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan $xy = a$, sedangkan persamaan garis anggarannya adalah $5y + 6x = 60$, tentukan kombinasi jumlah barang $x$ dan barang $y$ yang akan dibeli oleh konsumen tersebut. Gambarkan juga grafik yang merepresentasikan keadaan tersebut.

Pembahasan

Karena persamaan garis anggaran (budget line equation) dinyatakan oleh $5y + 6x = 60$, maka dapat kita tuliskan menjadi
$$\begin{aligned} 5y & = 60-6x \\ y & = \dfrac{60-6x}{5} \end{aligned}$$Sekarang, substitusikan nilai $y$ ini pada persamaan kurva indiferens.
$$\begin{aligned} x\color{red}{y} & = a \\ x \cdot \dfrac{60-6x}{5} & = a \\ \text{Kedua ruas dikali}&~5 \\ x(60-6x) & = 5a \\ \color{red}{-6}x^2 + \color{blue}{60}x\color{green}{-5a} & = 0 \end{aligned}$$Persamaan garis anggaran dan kurva indiferens akan bersinggungan ketika persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan $D = 0$.
$$\begin{aligned} b^2-4ac & = 0 \\ \color{blue}{(60)}^2-4\color{red}{(-6)}\color{green}{(-5a)} & = 0 \\ 3600-120a & = 0 \\ 120a & = 3600 \\ a & = 30 \end{aligned}$$Jadi, persamaan kuadratnya berbentuk
$$\begin{aligned} -6x^2+60x-5(30) & = 0 \\ -6x^2+60x-150 & = 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&(-6) \\ x^2-10x+25 & = 0 \\ (x-5)(x-5) & = 0 \\ x & = 5 \end{aligned}$$Untuk $x = 5$, diperoleh
$$\begin{aligned} y & = \dfrac{60-6\color{red}{x}}{5} \\ & = \dfrac{60-6(5)}{5} \\ & = 6 \end{aligned}$$Jadi, jumlah barang $x$ yang dikonsumsi sebanyak $5$ unit, sedangkan jumlah barang $y$ yang dikonsumsi sebanyak $6$ unit.
Grafik kurva indiferens $xy = 30$ dan garis anggaran $5y + 6x = 60$ dapat dilihat dari gambar berikut. Tampak bahwa kedua grafik bersinggungan di titik $(5, 6)$.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Matematika Ekonomi (Tingkat SMA/Sederajat)

Soal Nomor 2
Gambarkan sketsa himpunan kurva indiferens $(x+2)(y+1)=a$ untuk $a = 8$, $a = 10$, dan $a = 20$ pada satu bidang koordinat Kartesius.

Pembahasan

Diketahui $(x+2)(y+1)=a.$
Telah kita ketahui bahwa kurva indiferens selalu melengkung dari kiri atas menuju kanan bawah. Kemudian untuk mencari titik potongnya terhadap sumbu-$X$, asumsikan nilai $y = 0.$
Jadi, diperoleh
$$\begin{aligned} (x + 2)(0 + 1) & = a \\ x + 2 & = a \\ x & = a-2 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita dapatkan
$$\begin{aligned} a = 8 & \Rightarrow x = 8-2 = 6 \\ a = 10 & \Rightarrow x = 10-2 = 8 \\ a = 20 & \Rightarrow x = 20-2 = 18 \end{aligned}$$Jadi, titik potong kurva indiferens terhadap sumbu-$X$ adalah $(6, 0)$, $(8, 0)$, dan $(18, 0)$.
Berikutnya, untuk mencari titik potongnya terhadap sumbu-$Y$, asumsikan nilai $x = 0.$
Jadi, diperoleh
$$\begin{aligned} (0 + 2)(y + 1) & = a \\ y + 1 & = \dfrac{a}{2} \\ y & = \dfrac{a}{2}-1 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita dapatkan
$$\begin{aligned} a = 8 & \Rightarrow y = \dfrac{8}{2}-1 = 3 \\ a = 10 & \Rightarrow y = \dfrac{10}{2}-1 = 4 \\ a = 20 & \Rightarrow y = \dfrac{20}{2}-1 = 9 \end{aligned}$$Jadi, titik potong kurva indiferens terhadap sumbu-$Y$ adalah $(0, 3)$, $(0, 4)$, dan $(0, 9)$.
Jadi, sketsa kurva indiferens dapat dilihat seperti gambar.

[collapse]

Soal Nomor 3
Seorang konsumen dalam mengonsumsi barang $x$ dan $y$ memiliki tingkat kepuasan yang ditunjukkan oleh persamaan $xy + y + 6x = a-6$. Kurva indiferens tersebut berbentuk hiperbola. Tingkat kepuasan konsumen tersebut adalah $30$ satuan.

  1. Tentukan titik pusat hiperbola.
  2. Berapa jumlah maksimum barang $x$ yang dapat dikonsumsi?  

Pembahasan

Diketahui persamaan kurva indiferens $xy + y + 6x = a-6$.
Jawaban a)
Karena tingkat kepuasan $a = 30$, maka dengan substitusi kita peroleh
$$\begin{aligned} xy + y + 6x = 30-6 \\ xy + y + 6x+6 & = 30 \\ y(x+1)+6(x+1) & = 30 \\ (y+6)(x+1) & = 30 \end{aligned}$$Diperoleh titik pusat hiperbola, yakni $(-1, -6)$.
Jawaban b)
Jumlah maksimum barang $x$ yang dapat dikonsumsi dapat dicari ketika $y = 0$.
Kita peroleh
$$\begin{aligned} xy + y + 6x & = a-6 \\ \Rightarrow x(0) + 0 + 6x & = 30-6 \\ 6x & = 24 \\ x & = 4 \end{aligned}$$Jadi, jumlah maksimum barang $x$ yang dapat dikonsumsi adalah $\boxed{4}$ unit.

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui himpunan kurva indiferens ditunjukkan oleh persamaan $(x+2)(y+1)=a$. Harga barang $x$ per unit adalah Rp4,00, sedangkan harga barang $y$ per unit adalah Rp6,00. Jika jumlah uang yang dimiliki adalah Rp130,00, tentukan jumlah barang $x$ dan $y$ yang harus dikonsumsi agar mendapatkan kepuasan maksimum.

Pembahasan

Diketahui persamaan kurva indiferens $(x+2)(y+1)=a$.
Pertama, akan dicari persamaan garis anggaran dulu.
Apabila konsumen membelanjakan seluruh uangnya hanya untuk membeli barang $x$, maka ia akan memperoleh $\dfrac{130}{4} = \dfrac{65}{2}$ unit. Diperoleh titik $\color{red}{A\left(\dfrac{65}{2}, 0\right)}$.
Apabila konsumen membelanjakan seluruh uangnya hanya untuk membeli barang $y$, maka ia akan memperoleh $\dfrac{130}{6} = \dfrac{65}{3}$ unit. Diperoleh titik $\color{red}{B\left(0, \dfrac{65}{3}\right)}$.
Persamaan garis anggaran melalui kedua titik tersebut. Dengan menggunakan skema seperti berikut, kita peroleh bentuk persamaannya.
$$\begin{aligned} \dfrac{65}{2}y & = -\dfrac{65}{3}x + \dfrac{4225}{6} \\ \text{Kedua}&~\text{ruas dikali}~\dfrac{6}{65} \\ 3y & = -2x + 65 \end{aligned}$$Dari persamaan kurva indiferens, substitusikan $3y = -2x + 65$.
$$\begin{aligned} (x+2)(y+1) & = a \\ (x+2)(3y+3) & = 3a \\ (x+2)((-2x + 65) + 3) & = 3a \\ (x+2)(-2x + 68) & = 3a \\ \color{red}{-2}x^2 + \color{blue}{64}x + \color{green}{(136-3a)} & = 0 \end{aligned}$$Persamaan garis anggaran dan kurva indiferens akan bersinggungan ketika persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan $D = 0$.
$$\begin{aligned} b^2-4ac & = 0 \\ \color{blue}{(64)}^2-4\color{red}{(-2)}\color{green}{(136-3a)} & = 0 \\ 4.096+1.088-24a & = 0 \\ 5.184-24a & = 0 \\ 24a & = 5.184 \\ a & = 216 \end{aligned}$$Jadi, persamaan kuadratnya berbentuk
$$\begin{aligned} -2x^2+64x+(136-3(216)) & = 0 \\ -2x^2 + 64x-512 & = 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&(-2) \\ x^2-32x+256 & = 0 \\ (x-16)(x-16) & = 0 \\ x & = 16 \end{aligned}$$Untuk $x = 16$, diperoleh
$$\begin{aligned} 3y & = -2\color{red}{x} + 65 \\ 3y & = -2(16) + 65 \\ 3y & = 33 \\ y & = 11 \end{aligned}$$Jadi, jumlah barang $x$ dan $y$ yang harus dikonsumsi agar mendapatkan kepuasan maksimum berturut-turut adalah $\boxed{16}$ unit dan $\boxed{11}$ unit.

[collapse]

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *