Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi diam (stasioner) merupakan kondisi dari turunan pertama suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Kondisi yang dimaksud dapat berupa berikut.

  1. Jika $f'(x)$ bertanda positif, atau $f'(x) > 0$, maka kurva fungsi dalam keadaan naik (disebut fungsi naik).
  2. Jika $f'(x)$ bertanda negatif, atau $f'(x) < 0$, maka kurva fungsi dalam keadaan turun (disebut fungsi turun).
  3. Jika $f'(x)$ bertanda netral, atau $f'(x) = 0$, maka kurva fungsi dalam keadaan tidak turun dan tidak naik, istilahnya kita sebut sebagai stasioner (disebut juga fungsi diam).

 

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Menggunakan Limit

Kondisi suatu fungsi $y=f(x)$ dalam keadaan naik, turun, atau diam
Diberikan fungsi $y = f(x)$ dalam interval $I$ dengan $f(x)$ diferensiabel (dapat diturunkan) pada setiap $x$ di dalam interval $I$.

  1. Jika $f'(x) > 0$, maka kurva $f(x)$ akan selalu naik pada interval $I$.
  2. Jika $f'(x) < 0$, maka kurva $f(x)$ akan selalu turun pada interval $I$.
  3. Jika $f'(x) = 0$, maka kurva $f(x)$ stasioner (tetap/diam) pada interval $I$.
  4. Jika $f'(x) \geq 0$, maka kurva $f(x)$ tidak pernah turun pada interval $I$.
  5. Jika $f'(x) \leq 0$, maka kurva $f(x)$ tidak pernah naik pada interval $I$.

Perhatikan sketsa grafik suatu fungsi $f(x)$ berikut.

Perhatikan bahwa kurva yang ditandai dengan warna merah adalah ketika fungsi itu dikatakan naik, dan biru untuk fungsi turun. Titik $a$ dan $b$ disebut titik stasioner, yaitu titik di mana fungsi itu diam (tidak naik maupun tidak turun). Fungsi $f(x)$ naik saat $x < a$ atau $x > b$, sedangkan $f(x)$ turun pada saat $a < x < b$.

Quote by Alex Platon

A wise man admits to being wrong and corrects his behavior. A fool is never wrong and the greatest fool is the one who believes him.

Untuk memantapkan pemahaman mengenai salah satu submateri turunan ini, mari simak soal-soal berikut yang telah disertai dengan pembahasannya masing-masing. Soal-soal ini didominasi dari buku Matematika Kelas XI Sukino.

Baca Juga: Pembuktian Turunan Fungsi Trigonometri Dasar

Soal Nomor 1
Interval $x$ yang membuat kurva fungsi $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$ selalu turun adalah $\cdots \cdot$
A. $-1<x<3$
B. $0<x<3$
C. $1<x<3$
D. $x<1$ atau $x>3$
E. $x<0$ atau $x>3$

Pembahasan

Diketahui $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$, sehingga turunan pertamanya adalah $f'(x) = 3x^2-12x+9$.
Kurva $f(x)$ selalu turun jika diberi syarat $f'(x) < 0$.
$\begin{aligned} 3x^2-12x+9 & < 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&\text{dengan}~3 \\ x^2-4x+3 & < 0 \\ (x-3)(x-1) & < 0 \\ \therefore 1 < x & < 3 \end{aligned}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $f(x)$ selalu turun adalah $\boxed{1<x<3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Aljabar

Soal Nomor 2
Diberikan fungsi $g(x)=2x^3-9x^2+12x$. Interval $x$ yang memenuhi kurva fungsi $g(x)$ selalu naik adalah $\cdots \cdot$
A. $x<-2$ atau $x>-1$
B. $x<-1$ atau $x>2$
C. $x<1$ atau $x>2$
D. $1<x<2$
E. $-1<x<2$

Pembahasan

Diketahui $g(x)=2x^3-9x^2+12x$, sehingga turunan pertamanya adalah $g'(x) = 6x^2-18x+12$.
Kurva $g(x)$ selalu naik jika diberi syarat $g'(x) > 0$.
$\begin{aligned} 6x^2-18x+12 & > 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&\text{dengan}~6 \\ x^2-3x+2 & > 0 \\ (x-2)(x-1) & > 0 \\ \therefore x < 1~\text{atau}~x & > 2 \end{aligned}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $g(x)$ selalu naik adalah $\boxed{x<1~\text{atau}~x>2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Grafik fungsi $p(x) = x(6-x)^2$ tidak pernah turun dalam interval $\cdots \cdot$
A. $x \leq -2$ atau $x \geq 6$
B. $x \leq 2$ atau $x \geq 6$
C. $x < 2$ atau $x \geq 6$
D. $x \leq 2$ atau $x > 6$
E. $x < 2$ atau $x > 6$

Pembahasan

Diketahui $p(x) = x(6-x)^2$. Turunan pertama $p(x)$ dapat dicari secara manual dengan menjabarkan seperti berikut (pangkatnya masih kecil, sehingga masih sangat memungkinkan untuk dijabarkan).
$\begin{aligned} p(x) & = x(6-x)^2 \\ & = x(36-12x+x^2) \\ & = 36x-12x^2+x^3 \\ p'(x) & = 36-24x+3x^2 \end{aligned}$
Grafik fungsi $p(x)$ tidak pernah turun jika diberi syarat $p'(x) \ge 0$.
$\begin{aligned} 36-24x+3x^2 & \ge 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&\text{dengan}~3 \\ x^2-8x+12 & \ge 0 \\ (x-2)(x-6) & \ge 0 \\ \therefore x \le 2~\text{atau}~x & \ge 6 \end{aligned}$
Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $p(x)$ tidak pernah turun adalah $\boxed{x \le 2~\text{atau}~x \ge 6}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Grafik fungsi $\pi(x) = x^3+3x^2+5$ tidak pernah naik untuk nilai-nilai $\cdots \cdot$
A. $-2 \leq x \leq 0$
B. $-2 \leq x < 0$
C. $-2 < x \leq 0$
D. $x \leq -2$ atau $x \geq 0$
E. $-2 < x < 0$

Pembahasan

Diketahui $\pi(x) = x^3+3x^2+5$, sehingga turunan pertamanya adalah $\pi'(x) = 3x^2+6x$.
Grafik fungsi $\pi(x)$ tidak pernah naik jika diberi syarat $\pi'(x) \le 0$.
$\begin{aligned} 3x^2+6x & \le 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&\text{dengan}~3 \\ x^2+2x & \le 0 \\ x(x+2) & \le 0 \\ \therefore -2 \le x & \le 0 \end{aligned}$
Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $\pi(x)$ tidak pernah turun adalah $\boxed{-2 \le x \le 0}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Trigonometri

Soal Nomor 5
Diberikan fungsi $R(x)=x^3-3x^2+3x-2$. Nilai-nilai $x$ dari fungsi tersebut mengakibatkan kurva fungsi $R(x)$ $\cdots \cdot$
A. tidak pernah naik
B. tidak pernah turun
C. bisa naik, bisa turun
D. selalu turun
E. selalu naik

Pembahasan

Diketahui $R(x)=x^3-3x^2+3x-2$.
Turunan pertamanya adalah $R'(x) = 3x^2-6x+3$. Selanjutnya, kita akan mencari titik stasioner fungsi tersebut, yakni saat $R'(x) = 0$.
$\begin{aligned} 3x^2-6x+3 & = 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}&~\text{dengan}~3 \\ x^2-2x+1 & = 0 \\ (x-1)^2 & = 0 \\ x & = 1 \end{aligned}$
Perhatikan bahwa pada ekspresi $(x-1)^2$, kita mendapati bahwa nilai darinya tidak mungkin bertanda negatif (ingat bahwa semua bilangan real yang dikuadratkan tidak akan bertanda negatif), sehingga grafik fungsi $R(x)$ tidak pernah turun, melainkan stasioner (tetap) atau naik, seperti yang tampak pada sketsa gambar berikut.



(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Nilai-nilai $x$ dari fungsi $y = \dfrac{x^2+3}{x-1}$ yang mengakibatkan kurva fungsi itu selalu turun adalah $\cdots \cdot$
A. $x<-1$ atau $x>3$
B. $-1<x<3$
C. $x<1$ atau $x>3$
D. $-1<x<1$ atau $1<x<3$
E. $-1<x<1$ atau $x>3$

Pembahasan

Diketahui $y = \dfrac{x^2+3}{x-1}$. Turunan pertamanya dapat ditentukan dengan menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan $u = x^2+3 \Rightarrow u’ = 2x$ dan $v = x-1 \Rightarrow v’ = 1$, sehingga
$\begin{aligned} y’ & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{2x(x-1)-(x^2+3)(1)}{(x-1)^2} \\ & = \dfrac{2x^2-2x-x^2-3)}{(x-1)^2} \\ & = \dfrac{x^2-2x-3}{(x-1)^2} \\ & = \dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2} \end{aligned}$
Grafik fungsi tersebut selalu turun jika diberi syarat $y’ < 0$, yaitu
$\dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2} < 0$.
Dari pertidaksamaan di atas, diketahui bahwa penyebut dipastikan bernilai positif untuk $x \neq 1$, sehingga yang memengaruhi tanda hanya pembilangnya saja.
Agar keseluruhan bernilai negatif, pembilangnya harus dibuat negatif.
$\begin{aligned} (x-3)(x+1) & < 0 \\ \therefore -1 < x & < 3 \end{aligned}$
Karena $x \neq 1$ (berakibat penyebut bernilai $0$), maka kita peroleh bahwa interval $x$ yang memenuhi adalah seluruh bilangan di antara $-1$ dan $3$, kecuali $1$, kita tulis
$\boxed{-1 < x < 1~\text{atau}~1 < x < 3}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Grafik fungsi $f(x)=ax^3+x^2+5$ akan selalu naik dalam interval $0<x<2$. Nilai $a$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-3$                     C. $\dfrac13$                 E. $3$
B. $-\dfrac13$                    D. $1$

Pembahasan

Diketahui $f(x)=ax^3+x^2+5$ dan $f(x)$ selalu naik di $0 < x < 2$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{aligned} (x-0)(x-2) & < 0 \\ x(x-2) & < 0 \\ x^2-2x & < 0 && (\cdots 1) \end{aligned}$
Turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x) = 3ax^2 + 2x$.
Grafik fungsi $f(x)$ selalu naik jika diberi syarat $f'(x) > 0$.
$\begin{aligned} 3ax^2+2x & > 0 \\ \text{Kedua ruas dikali}~&\text{dengan}~-1 \\ -3ax^2-2x & < 0 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Kaitkan pertidaksamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{cases} x^2-2x & < 0 \\ -3ax^2-2x & < 0 \end{cases}$
Diperoleh $-3a = 1 \Rightarrow a = -\dfrac13$
Jadi, Nilai $a$ yang membuat $f(x)$ selalu naik pada interval tersebut adalah $\boxed{-\dfrac13}$ 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Grafik fungsi $T(x)=2x^3+3ax^2-4bx+5$ akan selalu turun dalam interval $-4<x<1$. Nilai $\dfrac{b}{a}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                    C. $3$                    E. $9$
B. $2$                    D. $6$

Pembahasan

Diketahui $T(x)=2x^3+3ax^2-4bx+5$ dan $T(x)$ selalu turun di $-4 < x < 1$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{aligned} (x+4)(x-1) & < 0 \\ x^2-x+4x-4 & < 0 \\ x^2+3x-4 & < 0 && (\cdots 1) \end{aligned}$
Turunan pertama $T(x)$ adalah $T'(x) = 6x^2+6ax-4b$.
Grafik fungsi $T(x)$ selalu turun jika diberi syarat $T'(x) < 0$.
$\begin{aligned} 6x^2+6ax-4b & < 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&\text{dengan}~6 \\ x^2+ax-\dfrac23b & < 0 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Kaitkan pertidaksamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{cases} x^2+3x-4 & < 0 \\ x^2+ax-\dfrac23b & < 0 \end{cases}$
Diperoleh:
$\begin{aligned} a & = 3 (\checkmark) \\ \bullet -\dfrac23b & = -4 \Rightarrow b = 6 (\checkmark) \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{\dfrac{b}{a} = \dfrac{6}{3} = 2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Garis Singgung Menggunakan Turunan

Soal Nomor 10
Grafik fungsi $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ hanya turun pada interval $-1<x<5$. Nilai $a+b = \cdots \cdot$
A. $-21$                  C. $-9$                   E. $21$
B. $-15$                  D. $9$

Pembahasan

Diketahui $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ dan $f(x)$ selalu turun di $-1 < x < 5$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{aligned} (x+1)(x-5) & < 0 \\ x^2-5x+x-5 & < 0 \\ x^2-4x-5 & < 0 && (\cdots 1) \end{aligned}$
Turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x) = 3x^2+2ax+b$.
Grafik fungsi $f(x)$ selalu turun jika diberi syarat $f'(x) < 0$.
$\begin{aligned} 3x^2+2ax+b & < 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&\text{dengan}~3 \\ x^2+\dfrac23ax+\dfrac13b & < 0 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Kaitkan pertidaksamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{cases} x^2-4x-5 & < 0 \\ x^2+\dfrac23ax+\dfrac13b & < 0 \end{cases}$
Diperoleh:
$\begin{aligned} \bullet \dfrac23a & = -4 \Rightarrow a = -6 \\ \bullet \dfrac13b & = -5 \Rightarrow b = -15 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{a+b =-6+(-15) = -21}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 11
Grafik fungsi $L(x)=ax^3+9bx^2-24x+5$ akan selalu naik dalam interval $x<-4$ atau $x>1$. Nilai $a+b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                    C. $3$                    E. $9$
B. $2$                    D. $6$

Pembahasan

Diketahui $L(x)=ax^3+9bx^2-24x+5$ dan $L(x)$ selalu naik di $x<-4$ atau $x>1$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{aligned} (x+4)(x-1) & > 0 \\ x^2-x+4x-4 & > 0 \\ x^2+3x-4 & > 0 && (\cdots 1) \end{aligned}$
Turunan pertama $L(x)$ adalah $L'(x) = 3ax^2+18bx-24$.
Grafik fungsi $L(x)$ selalu naik jika diberi syarat $L'(x) > 0$.
$\begin{aligned} 3ax^2+18bx-24 & > 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&\text{dengan}~6 \\ \dfrac{a}{2}x^2+3bx-4 & > 0 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Catatan: Mengapa harus dibagi 6? Karena kita harus membuat konstantanya menjadi $-4$ sesuai dengan pertidaksamaan $(1)$.
Berikutnya, kaitkan pertidaksamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{cases} x^2+3x-4 & > 0 \\ \dfrac{a}{2}x^2+3bx-4 & > 0 \end{cases}$
Diperoleh:
$\begin{aligned} \bullet~\dfrac{a}{2} & = 1 \Rightarrow a = 2 \\ \bullet~3b & = 3 \Rightarrow b = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{a+b =2+1=3}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Fungsi $f(x) = \sin^2 x$ dengan $0 < x < 2\pi$ naik pada interval $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{\pi}{2} < x < \pi$ atau $\dfrac{3\pi}{2} < x < 2\pi$
B. $\dfrac{2\pi}{3} < x < \pi$
C. $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ atau $\pi < x < \dfrac{3\pi}{2}$
D. $0 < x < \pi$ atau $\pi < x < 2\pi$
E. $0 < x < 2\pi$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = \sin^2 x$.
Turunan pertamanya adalah $f'(x) = 2 \sin x \cos x = \sin 2x$. Grafik fungsi $f$ akan naik ketika diberi syarat $f'(x) > 0$, yaitu $\sin 2x > 0$.
Pembuat nol adalah $\left\{0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2}, 2\pi\right\}$.
Buat garis bilangan dan tentukan tanda kepositivan dengan uji titik.

Ini berarti, $\sin 2x > 0$ terpenuhi ketika $0 < x <\dfrac{\pi}{2}$ atau $\pi < x < \dfrac{3\pi}{2}$. Jadi, $f(x) = \sin^2 x$ akan naik pada interval $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ atau $\pi < x < \dfrac{3\pi}{2}$, seperti yang dipertegas pada sketsa grafik berikut.
(Jawaban C)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Tentukan interval $x$ agar kurva fungsi berikut ini dalam keadaan selalu naik.
a. $f(x)=x^4-2x^2+1$
b. $g(x)=\dfrac{x}{x+1}$
c. $f(x)=8x^{1/3}-x^{4/3}$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $f(x)=x^4-2x^2+1$, sehingga turunan pertamanya adalah $f'(x) = 4x^3-4x$.
Kurva $f(x)$ selalu naik jika diberi syarat $f'(x) > 0$.
$\begin{aligned} 4x^3-4x & > 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&\text{dengan}~4 \\ x^3-x & > 0 \\ x(x+1)(x-1) & > 0 \end{aligned}$
Diperoleh pembuat nol $x = -1$, $x = 0$, atau $x = 1$. Buat garis bilangan dan tentukan tanda kepositivannya dengan melakukan uji titik.

Kita peroleh bahwa penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{-1 < x < 0~\text{atau}~x > 1}$, yang merupakan interval nilai $x$ yang membuat grafik $f(x)$ selalu naik.
Jawaban b)
Diketahui $g(x)=\dfrac{x}{x+1}$. Turunan pertamanya dapat dicari dengan menggunakan aturan hasil bagi.
Misal $u = x \Rightarrow u’ = 1$ dan $v = x+1 \Rightarrow v’ = 1$.
$\begin{aligned} g'(x) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{1(x+1)-x(1)}{(x+1)^2} \\ & = \dfrac{1}{(x+1)^2} \end{aligned}$
Kurva $g(x)$ selalu naik jika diberi syarat $g'(x) > 0$, yaitu $\dfrac{1}{(x+1)^2} > 0$.
Perhatikan bahwa penyebut dipastikan tidak akan bernilai negatif karena berbentuk kuadrat, sedangkan pembilangnya sudah jelas positif. Ini artinya, semua nilai $x \in \mathbb{R}$ akan memenuhi kecuali $x = -1$ karena akan membuat penyebut menjadi $0$. Kita simpulkan bahwa $g(x)$ selalu naik pada interval $\boxed{x \neq -1}$, dan ini dipertegas dari gambar grafik fungsi $g(x)$ berikut.

Jawaban c)
Diketahui $f(x)=8x^{1/3}-x^{4/3}$. Turunan pertamanya adalah
$\begin{aligned} f'(x) & = 8(1/3)x^{1/3-1}-(4/3)x^{4/3-1} \\ & = \dfrac83x^{-2/3}-\dfrac43x^{1/3} \end{aligned}$
Kurva $f(x)$ selalu naik jika diberi syarat $f'(x) > 0$.
$\begin{aligned} \dfrac83x^{-2/3}-\dfrac43x^{1/3} & > 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas}&~\text{dengan}~x^{2/3} \\ \dfrac83-\dfrac43x & > 0 \\ -\dfrac43x & > \dfrac83 \\ x & < 2 \end{aligned}$
Jadi, interval nilai $x$ yang membuat grafik $f(x)$ selalu naik adalah $\boxed{x<2}$ dan kesimpulan ini dipertegas oleh gambar grafik $f(x)$ berikut dengan menggunakan bantuan aplikasi Geogebra.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan (Diferensial)

Soal Nomor 2
Tentukan interval $x$ agar kurva fungsi berikut ini dalam keadaan selalu turun.
a. $f(x)=4x^4+4x^3-12x^2$
b. $g(x)=x\sqrt{x^2+1}$
c. $g(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x^2-2}$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui $f(x) = 4x^4+4x^3-12x^2$.
Turunan pertama $f(x)$ adalah
$f'(x) = 16x^3+12x^2-24x$.
Agar kurva $f(x)$ selalu turun, maka harus diberi syarat $f'(x) < 0$.
$\begin{aligned} 16x^3+12x^2-24x & > 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}&~\text{dengan}~4 \\ 4x^3+3x^2-6x & > 0 \\ x(4x^2+3x-6) & > 0 \end{aligned}$
Bentuk $4x^2+3x-6$ tidak dapat difaktorkan secara rasional karena bila diperiksa nilai diskriminannya ($D = b^2-4ac$) bukan bilangan kuadrat. Jadi, kita akan menggunakan rumus ABC.
$\begin{aligned} x_{1,2} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-3 \pm \sqrt{(3)^2-4(4)(-6)}}{2(4)} \\ & = \dfrac{-3 \pm \sqrt{105}}{8} \end{aligned}$
Dengan demikian, dari pertidaksamaan sebelumnya, kita peroleh $3$ pembuat nol, yaitu
$\begin{cases} x & = 0 \\ x & = \dfrac{-3 + \sqrt{105}}{8} \\ x & = \dfrac{-3- \sqrt{105}}{8} \end{cases}$
Lakukan uji titik dan bantuan garis bilangan untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan tersebut.

Kita peroleh bahwa penyelesaiannya adalah $x < \dfrac{-3-\sqrt{105}}{8}$ atau $0 < x < \dfrac{-3+\sqrt{105}}{8}$. Interval inilah yang akan membuat grafik $f(x)$ selalu turun.
Jawaban b)
Diketahui $g(x)=x\sqrt{x^2+1}$.
Dengan menggunakan aturan hasil kali, kita misalkan $u = x \Rightarrow u’ = 1$ dan $v = \sqrt{x^2+1}$, berakibat
$\begin{aligned} v’ & = \dfrac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x \\ & = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} \end{aligned}$

Dengan demikian,
$\begin{aligned} f'(x) & = u’v+uv’ \\ & = 1\sqrt{x^2+1} + x \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} \\ & = \sqrt{x^2+1}+\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} \end{aligned}$
Kurva $f(x)$ selalu turun pada saat $f'(x) < 0$.
$\begin{aligned} \sqrt{x^2+1}+\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} & > 0 \\ \text{Kedua ruas dikali dengan}&~\sqrt{x^2+1} \\ (x^2+1)+x^2 & > 0 \\ 2x^2+1 & > 0 \end{aligned}$
Bentuk $2x^2+1$ memiliki nilai diskriminan $D = 0^2-4(2)(1) = -8$. Karena diskriminan bertanda negatif dan koefisien $x^2$ positif, maka disimpulkan bahwa bentuk kuadrat itu definit positif (selalu positif untuk semua nilai $x$). Dengan kata lain, tidak ada satupun nilai $x$ yang membuat $f(x)$ selalu turun.

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Turunan Fungsi Implisit

4 Replies to “Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Naik dan Fungsi Turun”

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *