Pembuktian Rumus Dasar Luas Segitiga

Pernahkah kamu mendengar “segitiga” sebelumnya? Istilah tersebut sudah dikenalkan saat berada di tingkat sekolah dasar ketika belajar tentang bangun dan bentuk. Segitiga adalah bangun datar yang terbentuk dari tiga titik yang tidak segaris. Oleh karena itu, segitiga pasti memiliki tiga sisi dan tiga sudut. Segitiga juga merupakan penyusun bangun datar lainnya.

Berdasarkan besar sudutnya, segitiga dibedakan menjadi beberapa macam, yaitu sebagai berikut.

  1. Segitiga lancip, yaitu segitiga yang besar setiap sudutnya kurang dari $90^\circ.$
  2. Segitiga siku-siku, yaitu segitiga yang salah satu besar sudutnya sama dengan $90^\circ.$
  3. Segitiga tumpul, yaitu segitiga yang salah satu besar sudutnya lebih dari $90^\circ.$

Kali ini, kita akan membuktikan bahwa luas segitiga pada dasarnya dapat dihitung dengan mengalikan panjang alas dan tingginya, kemudian dibagi dua. Secara matematis, jika $a$ adalah panjang alas dan $t$ adalah tinggi segitiga, maka luas segitiga tersebut adalah
$$\boxed{\large L = \dfrac12 \times a \times t}$$Sebuah rumus yang tentu tidak asing, bukan?

Today Quote

Gelas yang ringan sekali pun bila dipegang terus menerus akan membuat tangan terasa pegal. Masalah seringan apa pun, janganlah berlarut-larut untuk dipikirkan. Letakkan gelas Anda dan mulailah bekerja.

Sebelum membuktikan kebenaran rumus tersebut, perlu didefinisikan terlebih dahulu tentang luas, terutama berdasarkan bangun persegi panjang.

Definisi: Luas Persegi Panjang

Pada persegi panjang dengan panjang $a$ dan lebar $t,$ luas didefinisikan sebagai perkalian panjang dan lebarnya, yakni $L = a \times t.$

Berdasarkan definisi tersebut, kita akan membuktikan bahwa luas segitiga sama dengan setengah dari luas persegi panjang yang memiliki panjang $a$ dan lebar $t.$


Kasus 1: Segitiga Siku-siku

Perhatikan gambar segitiga siku-siku dengan panjang alas $a$ dan tinggi $t$ berikut.
Buatlah garis bantu berupa garis putus-putus sehingga terbentuk persegi panjang dengan panjang $a$ dan lebar $t$ seperti berikut.
Jelas terlihat bahwa luas daerah I sama dengan luas daerah II. Karena jumlah luas kedua daerah itu sama dengan luas persegi panjang, maka kita tuliskan
$$\begin{aligned} L_I + L_{II} & = L_{\text{persegi panjang}} = a \times t \\ L_I + L_I & = a \times t && (\text{Karena}~L_I = L_{II})  \\ 2 L_I & = a \times t \\ L_I & = \dfrac12 \times a \times t. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa luas segitiga siku-siku dengan panjang alas $a$ dan tinggi $t$ adalah $L = \dfrac12 \times a \times t.$


Kasus 2: Segitiga Lancip

Perhatikan gambar segitiga lancip dengan panjang alas $a$ dan tinggi $t$ berikut.

Perhatikan bahwa garis tinggi $t$ membagi segitiga lancip tersebut menjadi dua segitiga siku-siku yang selanjutnya kita sebut sebagai daerah I dan II.
Misalkan panjang alas masing-masing segitiga adalah $a_1$ dan $a_2$ sehingga $a_1 + a_2 = a.$ Dengan menggunakan pengetahuan kita sebelumnya tentang luas segitiga siku-siku, kita peroleh
$$\begin{aligned} L_{\text{segitiga lancip}} & = L_I + L_{II} \\ & = \dfrac12 \times \color{red}{a_1} \times t + \dfrac12 \times \color{red}{a_2} \times t \\ & = \dfrac12 \times \color{red}{(a_1 + a_2)} \times t \\ & = \dfrac12 \times a \times t. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa luas segitiga lancip dengan panjang alas $a$ dan tinggi $t$ adalah $L = \dfrac12 \times a \times t.$


Kasus 3: Segitiga Tumpul

Perhatikan gambar segitiga lancip dengan panjang alas $a$ dan tinggi $t$ berikut.

Segitiga tumpul tersebut dapat kita perpanjang sisi alasnya sehingga diperoleh segitiga siku-siku kecil dan besar (daerah II dan daerah I). Misalkan panjang alas segitiga siku-siku kecil adalah $b$ seperti tampak pada gambar berikut.
Dengan menggunakan pengetahuan kita sebelumnya tentang luas segitiga siku-siku, kita peroleh
$$\begin{aligned} L_{\text{segitiga tumpul}} & = L_I \\ & =  (L_I + L_{II})-L_{II} \\ & = \dfrac12 \times \color{red}{(a+b)} \times t-\dfrac12 \times \color{red}{b} \times t \\ & = \dfrac12 \times \color{red}{(a+b-b)} \times t \\ & = \dfrac12 \times a \times t. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa luas segitiga tumpul dengan panjang alas $a$ dan tinggi $t$ adalah $L = \dfrac12 \times a \times t.$


Setiap segitiga telah dibuktikan kebenarannya bahwa luasnya adalah $L = \dfrac12 \times a \times t.$ Sekarang, Anda akan sudah mendapat SIM (surat izin memakai) rumus ini dengan pemahaman yang telah terkoneksi dengan konsep sebelumnya. Berikutnya, mari kita buktikan rumus luas jajaran genjang dan trapesium yang telah diulas melalui tautan berikut.

Baca Juga: Pembuktian Rumus Luas Jajaran Genjang dan Trapesium

0 0 votes
Article Rating

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Subscribe
Notify of
guest

0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments