Soal dan Pembahasan – UAS Struktur Aljabar (Teori Grup) Tahun Ajaran 2018/2019


Berikut ini merupakan soal dan pembahasan (menyusul) Ujian Mata Kuliah Struktur Aljabar Program Studi Pendidikan Matematika S1 yang diujikan kepada mahasiswa Semester 5 pada tanggal 7 Januari 2019 oleh Dr. Dede Suratman, M.Si.

Soal Nomor 1
Pandang \mathbb{Z}_{20}

sebagai grup dengan operasi penjumlahan modulo 20 dan \mathbb{Z}_{10} sebagai grup dengan operasi penjumlahan modulo 10. Tentukan semua homomorfisma grup yang mungkin dari \mathbb{Z}_{20} ke \mathbb{Z}_{10}

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 2
Misalkan S_4 adalah grup permutasi dengan operasi komposisi fungsi
a. Berikan sebuah contoh subgrup H yang berorder 4.
b. Tentukan semua koset kiri dari H di S_4.

Penyelesaian

Jawaban a)
Banyaknya elemen di S_4 adalah

|S_4| = 4! = 24
Misalkan S_4 = \{a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{24}\}
dengan:
\begin{array}{cc} a_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} & a_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \\ a_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{pmatrix} & a_4 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix} \\ a_5 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} & a_6 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \\ a_7 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} & a_8 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix} \\ a_9 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix} & a_{10} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix} \\ a_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} & a_{12} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \\ a_{13} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix} & a_{14} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 3 & 1 \end{pmatrix} \\ a_{15} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1 \end{pmatrix} & a_{16} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \\ a_{17} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} & a_{18} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \\ a_{19} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} & a_{20} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \\ a_{21} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} & a_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \\ a_{23} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} & a_{24} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4& 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{array}
Anggota S_4 yang berorder 4 artinya a \in S_4 yang memenuhi persamaan a^4 = e = a_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}, di mana a_1 merupakan elemen identitas dalam S_4.
Hasil pengoperasian komposisi fungsi pangkat 4 pada ke-24 elemen S_4 menunjukkan bahwa ada 6 elemen yang berorder 4, yaitu \{a_{12}, a_{13}, a_{17}, a_{19}, a_{21}, a_{24}\}
Sebagai ilustrasi, misalnya kita memilih a_{12}.
\begin{aligned} (a_{12})^2 & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}
\begin{aligned} (a_{12})^3 & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{aligned}
\begin{aligned} (a_{12})^4 & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} = a_{1} \end{aligned}
Perhatikan bahwa himpunan beranggotakan anggota S_4 yang berorder 4, yakni \{a_{12}, a_{13}, a_{17}, a_{19}, a_{21}, a_{24}\} memiliki subset tak kosong sebanyak 2^6 -1 = 63.
Pilih satu di antaranya, misalnya H = \{a_{12}\}.
Jawaban b)
Semua koset kiri dari H dalam S_4 adalah
\begin{aligned} & a_1H = \{a_1a_{12}\} = \{a_{12}\} \\ & a_2H = \{a_2a_{12}\} = \{a_{15}\} \\ & a_3H = \{a_3a_{12}\} = \{a_{23}\} \\ & a_4H = \{a_4a_{12}\} = \{a_{14}\} \\ & a_5H = \{a_5a_{12}\} = \{a_{11}\} \\ & a_6H = \{a_6a_{12}\} = \{a_{10}\} \\ & a_7H = \{a_7a_{12}\} = \{a_{8}\} \\ & a_8H = \{a_8a_{12}\} = \{a_{19}\} \\  & a_9H = \{a_9a_{12}\} = \{a_{5}\} \\  & a_{10}H = \{a_{10}a_{12}\} = \{a_{3}\} \\ & a_{11}H = \{a_{11}a_{12}\} = \{a_{17}\} \\ & a_{12}H = \{a_{12}a_{12}\} = \{a_{18}\} \\ & a_{13}H = \{a_{13}a_{12}\} = \{a_{22}\} \\ & a_{14}H = \{a_{14}a_{12}\} = \{a_{24}\} \\ & a_{15}H = \{a_{15}a_{12}\} = \{a_{13}\} \\ & a_{16}H = \{a_{16}a_{12}\} = \{a_{4}\} \\ & a_{17}H = \{a_{17}a_{12}\} = \{a_{9}\} \\ & a_{18}H = \{a_{18}a_{12}\} = \{a_{21}\} \\ & a_{19}H = \{a_{19}a_{12}\} = \{a_{20}\} \\ & a_{20}H = \{a_{20}a_{12}\} = \{a_{7}\} \\ & a_{21}H = \{a_{21}a_{12}\} = \{a_{1}\} \\ & a_{22}H = \{a_{22}a_{12}\} = \{a_{2}\} \\ & a_{23}H = \{a_{23}a_{12}\} = \{a_{6}\} \\ & a_{24}H = \{a_{24}a_{12}\} = \{a_{16}\} \end{aligned}

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks

Soal Nomor 3
Pandang \mathbb{Z} sebagai grup dengan operasi penjumlahan biasa dan himpunan matriks berordo 2
M_2(\mathbb{Z}_{2}) = \left\{\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} | a, b, c, d \in \mathbb{Z}_2\right\}
sebagai grup dengan operasi penjumlahan matriks
a. Berikan sebuah contoh homomorfisma grup yang tidak trivial, f: \mathbb{Z} \to M_2(\mathbb{Z}_2).
b. Tentukan range f.
C. Tentukan kernel f.

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 4
Diberikan \text{H} dan \text{N} adalah subgrup normal di G. Buktikan bahwa \text{H} \cap \text{N} merupakan subgrup normal. 

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Catatan:
a. Kernel f = \left\{x \in \mathbb{Z} | f(x) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right\}
b. Subgrup normal \text{N} di G adalah a\text{N} = \text{N}a, \forall a \in G

Ayo Beri Rating Postingan Ini
KategoriStruktur Aljabar, UAS Mata KuliahTag, , , , , , , , , , , , , ,

4 Balasan untuk “Soal dan Pembahasan – UAS Struktur Aljabar (Teori Grup) Tahun Ajaran 2018/2019”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *