Soal dan Pembahasan – UAS Struktur Aljabar (Teori Grup) Tahun Ajaran 2018/2019


Berikut ini merupakan soal dan pembahasan (menyusul) Ujian Mata Kuliah Struktur Aljabar Program Studi Pendidikan Matematika S1 yang diujikan kepada mahasiswa Semester $5$ pada tanggal $7$ Januari $2019$ oleh Dr. Dede Suratman, M.Si.

Soal Nomor 1
Pandang $\mathbb{Z}_{20}$ sebagai grup dengan operasi penjumlahan modulo $20$ dan $\mathbb{Z}_{10}$ sebagai grup dengan operasi penjumlahan modulo $10$. Tentukan semua homomorfisma grup yang mungkin dari $\mathbb{Z}_{20}$ ke $\mathbb{Z}_{10}$

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 2
Misalkan $S_4$ adalah grup permutasi dengan operasi komposisi fungsi
a. Berikan sebuah contoh subgrup $H$ yang berorder $4$.
b. Tentukan semua koset kiri dari $H$ di $S_4$.

Penyelesaian

Jawaban a)
Banyaknya elemen di $S_4$ adalah

$|S_4| = 4! = 24$
Misalkan $S_4 = \{a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{24}\}$
dengan:
$$\begin{array}{cc} a_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} & a_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \\ a_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{pmatrix} & a_4 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix} \\ a_5 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} & a_6 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \\ a_7 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} & a_8 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix} \\ a_9 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix} & a_{10} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix} \\ a_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} & a_{12} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \\ a_{13} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix} & a_{14} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 3 & 1 \end{pmatrix} \\ a_{15} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1 \end{pmatrix} & a_{16} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \\ a_{17} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} & a_{18} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \\ a_{19} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} & a_{20} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \\ a_{21} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} & a_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \\ a_{23} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} & a_{24} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4& 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{array}$$
Anggota $S_4$ yang berorder $4$ artinya $a \in S_4$ yang memenuhi persamaan $a^4 = e = a_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$, di mana $a_1$ merupakan elemen identitas dalam $S_4$.
Hasil pengoperasian komposisi fungsi pangkat $4$ pada ke-$24$ elemen $S_4$ menunjukkan bahwa ada $6$ elemen yang berorder $4$, yaitu $\{a_{12}, a_{13}, a_{17}, a_{19}, a_{21}, a_{24}\}$
Sebagai ilustrasi, misalnya kita memilih $a_{12}$.
$$\begin{aligned} (a_{12})^2 & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} (a_{12})^3 & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} (a_{12})^4 & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} = a_{1} \end{aligned}$$
Perhatikan bahwa himpunan beranggotakan anggota $S_4$ yang berorder $4$, yakni $\{a_{12}, a_{13}, a_{17}, a_{19}, a_{21}, a_{24}\}$ memiliki subset tak kosong sebanyak $2^6 -1 = 63$.
Pilih satu di antaranya, misalnya $H = \{a_{12}\}$.
Jawaban b)
Semua koset kiri dari $H$ dalam $S_4$ adalah
$\begin{aligned} & a_1H = \{a_1a_{12}\} = \{a_{12}\} \\ & a_2H = \{a_2a_{12}\} = \{a_{15}\} \\ & a_3H = \{a_3a_{12}\} = \{a_{23}\} \\ & a_4H = \{a_4a_{12}\} = \{a_{14}\} \\ & a_5H = \{a_5a_{12}\} = \{a_{11}\} \\ & a_6H = \{a_6a_{12}\} = \{a_{10}\} \\ & a_7H = \{a_7a_{12}\} = \{a_{8}\} \\ & a_8H = \{a_8a_{12}\} = \{a_{19}\} \\  & a_9H = \{a_9a_{12}\} = \{a_{5}\} \\  & a_{10}H = \{a_{10}a_{12}\} = \{a_{3}\} \\ & a_{11}H = \{a_{11}a_{12}\} = \{a_{17}\} \\ & a_{12}H = \{a_{12}a_{12}\} = \{a_{18}\} \\ & a_{13}H = \{a_{13}a_{12}\} = \{a_{22}\} \\ & a_{14}H = \{a_{14}a_{12}\} = \{a_{24}\} \\ & a_{15}H = \{a_{15}a_{12}\} = \{a_{13}\} \\ & a_{16}H = \{a_{16}a_{12}\} = \{a_{4}\} \\ & a_{17}H = \{a_{17}a_{12}\} = \{a_{9}\} \\ & a_{18}H = \{a_{18}a_{12}\} = \{a_{21}\} \\ & a_{19}H = \{a_{19}a_{12}\} = \{a_{20}\} \\ & a_{20}H = \{a_{20}a_{12}\} = \{a_{7}\} \\ & a_{21}H = \{a_{21}a_{12}\} = \{a_{1}\} \\ & a_{22}H = \{a_{22}a_{12}\} = \{a_{2}\} \\ & a_{23}H = \{a_{23}a_{12}\} = \{a_{6}\} \\ & a_{24}H = \{a_{24}a_{12}\} = \{a_{16}\} \end{aligned}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks

Soal Nomor 3
Pandang $\mathbb{Z}$ sebagai grup dengan operasi penjumlahan biasa dan himpunan matriks berordo $2$.
$M_2(\mathbb{Z}_{2}) = \left\{\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} | a, b, c, d \in \mathbb{Z}_2\right\}$
sebagai grup dengan operasi penjumlahan matriks
a. Berikan sebuah contoh homomorfisma grup yang tidak trivial, $f: \mathbb{Z} \to M_2(\mathbb{Z}_2)$.
b. Tentukan range $f$.
C. Tentukan kernel $f$.

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 4
Diberikan $\text{H}$ dan $\text{N}$ adalah subgrup normal di $G$. Buktikan bahwa $\text{H} \cap \text{N}$ merupakan subgrup normal. 

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Catatan:
a. Kernel $f = \left\{x \in \mathbb{Z} | f(x) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right\}$
b. Subgrup normal $\text{N}$ di $G$ adalah $a\text{N} = \text{N}a, \forall a \in G$

CategoriesStruktur Aljabar, UAS Mata KuliahTags, , , , , , , , , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *