Teorema bendera Inggris (British flag theorem) mungkin pertama kali terdengar menarik dan unik dari segi namanya. Teorema ini merupakan salah satu bahasan yang muncul dalam bidang geometri. Apa hubungan matematika dengan bendera Inggris?
Perhatikan gambar persegi panjang $ABCD$ berikut.
Jika $P$ terletak di dalam persegi panjang $ABCD$, maka berlaku
$$\boxed{\large{AP^2 + CP^2 = BP^2 + DP^2}}$$Teorema demikian disebut sebagai Teorema Bendera Inggris dan akan kita bahas secara tuntas di sini.
Teorema ini dinamakan demikian karena jika kita menarik garis bantu yang melalui titik $P$ dan sejajar dengan sisi-sisi persegi panjang, maka akan terlihat seperti bendera negara Inggris (secara khusus dikenal dengan istilah Union Flag).
Pembuktian Teorema Bendera Inggris
Perhatikan gambar berikut.
Diketahui bahwa
$\begin{array}{cc} AE = DG & EB = CG \\ AH = BF & DH = CF \\ \end{array}$
Dengan menggunakan teorema Pythagoras pada 4 segitiga siku-siku berikut, kita peroleh bahwa
$\begin{aligned} \triangle AEP & \Rightarrow AP^2 = AE^2 + EP^2 \\ \triangle CGP & \Rightarrow CP^2 = CG^2 + GP^2 \\ \triangle DGP & \Rightarrow DP^2 = DG^2 + GP^2 \\ \triangle EBP & \Rightarrow BP^2 = EP^2 + EB^2 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} AP^2 + CP^2 & = (AE^2 + EP^2) + (CG^2 + GP^2) && (\text{Teore}\text{ma Pytha}\text{goras pada}~\triangle AEP~\text{dan}~\triangle CGP) \\ & = (AE^2 + GP^2) + (EP^2 + CG^2) && (\text{Sifat Komu}\text{tatif dan Asosiatif}) \\ & = (DG^2 + GP^2) + (EP^2 + EB^2) && (AE = DG~\text{dan}~CG = EB) \\ & = DP^2 + BP^2 && (\text{Teorem}\text{a Pytha}\text{goras pada}~\triangle DGP~\text{dan}~\triangle EBP) \end{aligned}$$Jadi, terbukti kebenaran Teorema Bendera Inggris.
Baca: Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras
Berikut ini adalah beberapa soal mengenai penggunaan teorema bendera Inggris yang telah disertai dengan pembahasannya. Semoga dapat menambah pemahaman.
Quote by Stephen Hawking
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Perhatikan persegi panjang $ABCD$ berikut.
Jika titik $P$ merupakan titik di dalam persegi panjang itu, maka panjang $CP$ adalah $\cdots$ cm.
A. $10$ C. $14$
B. $12$ D. $16$
Berdasarkan teorema bendera Inggris, berlaku
$\begin{aligned} AP^2 + CP^2 & = BP^2 + DP^2 \\ 5^2 + CP^2 & = (\sqrt{160})^2 + 3^2 \\ 25 + CP^2 & = 160 + 9 \\ 25 + CP^2 & = 169 \\ CP^2 & = 144 \\ CP & = 12~\text{cm}. \end{aligned}$
Jadi, panjang $CP$ adalah $\boxed{12~\text{cm}}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 2
Titik $O$ terletak di dalam persegi panjang $ABCD$. Jika $AO = 7,$ $BO = 5,$ dan $CO = 8$, maka panjang $DO$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{22}$ C. $3\sqrt{22}$
B. $2\sqrt{22}$ D. $4\sqrt{22}$
Perhatikan gambar berikut.
Berdasarkan teorema bendera Inggris, diperoleh
$\begin{aligned} AO^2 + CO^2 & = BO^2 + DO^2 \\ 7^2 + 8^2 & = 5^2 + DO^2 \\ 49 + 64 & = 25 + DO^2 \\ 113 & = 25 + DO^2 \\ DO^2 & = 88 \\ DO & = \sqrt{88} = 2\sqrt{22}. \end{aligned}$
Jadi, panjang $\boxed{DO=2\sqrt{22}}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 3
Perhatikan gambar persegi panjang $ABCD$ berikut.
Panjang $CE$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$ C. $4$
B. $3$ D. $5$
Dari gambar, diketahui bahwa panjang $AE = 16$, $BE = 11$, dan $DE = 12.$
Dengan menggunakan teorema bendera Inggris, diperoleh
$\begin{aligned} AE^2+CE^2&=BE^2+DE^2 \\ 16^2+CE^2&=11^2+12^2 \\ 256+CE^2&=121+144 \\ 256+CE^2 & = 265 \\ CE^2 & = 9 \\ CE & = 3. \end{aligned}$
Jadi, panjang $CE$ adalah $\boxed{3}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 4
Diketahui sebuah persegi $PQRS$ dengan titik $T$ diposisikan seperti gambar berikut.
Bilangan di ruas garis menyatakan panjang ruas garis tersebut dalam satuan cm. Jika $PT$ dan $RT$ segaris, maka luas persegi $PQRS$ adalah $\cdots \cdot$
A. $36~\text{cm}^2$ C. $100~\text{cm}^2$
B. $72~\text{cm}^2$ D. $200~\text{cm}^2$
Dari gambar, diketahui bahwa $PT = 6\sqrt2$ cm dan $QT = ST = 2\sqrt{13}$ cm. Berdasarkan teorema bendera Inggris, diperoleh
$\begin{aligned} PT^2 + RT^2 & = QT^2 + ST^2 \\ (6\sqrt2)^2 + RT^2 & = (2\sqrt{13})^2 + (2\sqrt{13})^2 \\ 72 + RT^2 & = 52 + 52 \\ 72 + RT^2 & = 104 \\ RT^2 & = 32 \\ RT & = \sqrt{32} = 4\sqrt2~\text{cm}. \end{aligned}$
Diperoleh panjang $RT = 4\sqrt2$ cm.
Karena $PT$ dan $RT$ segaris, panjang diagonal $PR$ dapat ditentukan sebagai berikut.
$\begin{aligned} PR & = PT + RT \\ & = 6\sqrt2 + 4\sqrt2 \\ & = 10\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, luas persegi tersebut adalah $\boxed{L = \dfrac{PR^2}{2} = \dfrac{(10\sqrt2)^2}{2} = 100~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 5
Diberikan sebuah persegi panjang $TUVW$ dan layang-layang $PTQW$ seperti yang tampak pada gambar di bawah.
Jika keliling layang-layang $PTQW$ adalah $4(\sqrt{p} + \sqrt{q})$ cm, maka nilai $p+q=\cdots \cdot$
A. $6$ C. $9$
B. $7$ D. $10$
Dari gambar, diketahui bahwa $TQ = 2\sqrt5$ cm, $UQ = 2\sqrt{29}~\text{cm}$, dan $VQ= 2\sqrt{26}$ cm. Berdasarkan teorema bendera Inggris, diperoleh
$$\begin{aligned} TQ^2 + VQ^2 & = UQ^2 + WQ^2 \\ (2\sqrt5)^2 + (2\sqrt{26})^2 & = (2\sqrt{29})^2 + WQ^2 \\ 20 + 104 & = 116 + WQ^2 \\ 124 & = 116 + WQ^2 \\ WQ^2 & = 8 \\ WQ & = \sqrt{8} = 2\sqrt2~\text{cm}. \end{aligned}$$Diperoleh panjang $WQ = 2\sqrt2$ cm.
Karena $PTQW$ adalah layang-layang, $WQ = WP = 2\sqrt2$ cm dan $TQ = TP = 2\sqrt5$ cm sehingga kelilingnya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} k_{PTQW} & = 2(2\sqrt2 + 2\sqrt5) \\ & = 4(\sqrt2 + \sqrt5)~\text{cm}. \end{aligned}$
Ini menandakan bahwa nilai $p = 2$ dan $q = 5$ (atau sebaliknya) sehingga nilai $\boxed{p+q=2+5=7}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 6
Perhatikan gambar berikut.
$ABCD$ merupakan persegi panjang dengan $E$ titik di dalamnya. Luas segitiga $EFB$ adalah $\cdots$ satuan luas.
A. $8$ C. $12$
B. $10$ D. $16$
Dari gambar, diketahui bahwa $AE = 10$, $CE = 2\sqrt5$, dan $DE = 2\sqrt{17}$.
Pertama, akan dicari panjang $BE$ menggunakan teorema bendera Inggris.
$\begin{aligned} AE^2 + CE^2 & = BE^2 + DE^2 \\ 10^2 + (2\sqrt5)^2 & = BE^2 + (2\sqrt{17})^2 \\ 100 + 20 & = BE^2 + 68 \\ 120 & = BE^2+68 \\ BE^2 & = 52 \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $\triangle EFB$ merupakan segitiga siku-siku sehingga berlaku rumus Pythagoras.
$\begin{aligned} EF^2 & = BE^2-BF^2 \\ & = 52-6^2 = 16 \\ EF & = \sqrt{16} = 4 \end{aligned}$
Dengan demikian, luas segitiga $EFB$ adalah $\boxed{L = \dfrac{BF \times EF}{2} = \dfrac{6 \times 4}{2} = 12}$ satuan luas.
(Jawaban C)
Soal Nomor 7
Titik $P$ terletak di dalam bujur sangkar $ABCD$ sedemikian sehingga perbandingan jarak $P$ ke $A, B$, dan $C$ sesuai dengan gambar di bawah.
Besar sudut $APB$ adalah $\cdots \cdot$
A. $105^{\circ}$ C. $135^{\circ}$
B. $120^{\circ}$ D. $150^{\circ}$
Berdasarkan teorema bendera Inggris, panjang $DP$ dapat dicari sebagai berikut.
$\begin{aligned} AP^2+CP^2 & = BP^2+DP^2 \\ 1^2+3^2 & = 2^2+DP^2 \\ 10 & = 4+DP^2 \\ DP^2 & = 6 \\ DP & = \sqrt6 \end{aligned}$
Dengan pusat $A$, putar persegi $ABCD$ sejauh $90^{\circ}$ searah jarum jam. Persegi semula dan hasil rotasinya dapat dilihat pada gambar.
- Karena hasil rotasi, besar $\angle P’AB= \angle PAD$ sehingga
$\begin{aligned} \angle PAP’ & =\angle P’AB+\angle PAB \\ & =\angle PAD+\angle PAB =90^{\circ}. \end{aligned}$ - Jadi, $PAP’$ adalah segitiga siku-siku dengan $\angle APP’=45^{\circ}$ dan berdasarkan rumus Pythagoras, diperoleh $PP’=\sqrt2.$
- Berikutnya, perhatikan segitiga $P’BP.$ Karena $PP’ = \sqrt2,$ $BP = 2,$ dan $BP’ = \sqrt6$ sehingga berlaku rumus Pythagoras bahwa $(BP’)^2 = (PP’)^2 + BP^2.$ Akibatnya, $\triangle P’BP$ merupakan segitiga siku-siku (di $P$) dan $\angle P’PB = 90^\circ.$
- Dengan demikian,
$\begin{aligned} \angle APB & = \angle APP’ + \angle P’PB \\ & = 45^{\circ} + 90^{\circ} = 135^{\circ}. \end{aligned}$
Jadi, besar sudut $APB$ adalah $\boxed{135^{\circ}}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 8
Diketahui sebuah persegi panjang $ABCD$ dan titik $E$ di dalamnya, sedemikian sehingga $EA=30$, $EB=26$, dan $EC= 12,5$. Misalkan pula $P, Q, R$ secara berturut-turut adalah titik tengah dari $EA, EB$, dan $EC$. Jika $M$ adalah titik potong antara $CD$ dengan perpanjangan $QR$ dan $N$ adalah titik potong antara $AD$ dan perpanjangan $PQ$, maka nilai $EM^2+EN^2$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $505,50$ C. $549,25$
B. $525,25$ D. $549,50$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Pertama-tama, kita akan menggunakan teorema bendera Inggris untuk mencari panjang $ED$.
$\begin{aligned} EA^2 + EC^2 & = EB^2+ED^2 \\ 30^2 + (12,5)^2 & = 26^2+ED^2 \\ 900 + 156,25 & = 676 + ED^2 \\ 1056,25 & = 676 + ED^2 \\ ED^2 & = 380,25 \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $NQMD$ merupakan persegi panjang dengan $EQ = 13$ dan $ED^2 = 380,25.$
Dengan menerapkan teorema bendera Inggris lagi, diperoleh
$$\begin{aligned} EM^2+EN^2 & = EQ^2+ED^2 \\ & = 13^2 + 380,25 \\ & = 169 + 380,25 \\ & = 549,25. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{EM^2+EN^2 = 549,25}$
(Jawaban C)