Soal dan Pembahasan – Operasi Baris Elementer dan Eliminasi Gauss-Jordan

Berikut ini merupakan soal-soal yang telah disertai pembahasan terkait operasi baris elementer (OBE) dan eliminasi Gauss-Jordan yang merupakan salah satu submateri dari bab Sistem Persamaan Linear dan Matriks yang mengacu pada bidang aljabar linear elementer. Kebanyakan soal diambil dari buku “Dasar-Dasar Aljabar Linear” karya Howard Anton. Semoga dapat dimanfaatkan dengan sebaik-baiknya.

Submateri Sebelumnya: Soal dan Pembahasan – Pengantar Sistem Persamaan Linear (Bidang Aljabar Linear)

Today Quote

Life doesn’t require that we be the best, only that we try out best.

Bagian Pilihan Ganda 

Soal Nomor 1

Manakah dari matriks berukuran $3 \times 3$ berikut yang tidak berbentuk eselon baris?
A. $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0  \end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Suatu matriks dikatakan berbentuk eselon baris apabila memenuhi tiga kriteria berikut.

  1. Jika suatu baris tidak seluruhnya memuat entri taknol, maka angka taknol pertama dalam baris tersebut adalah angka $1,$ yang selanjutnya sebagai satu utama (leading one).
  2. Jika ada sembarang baris yang semua entrinya nol, maka baris ini diposisikan paling bawah.
  3. Jika sembarang dua baris yang berurutan tidak seluruhnya terdiri dari entri nol, maka satu utama pada baris yang lebih bawah terletak di sebelah kanan satu utama pada baris di atasnya.

Dengan mengacu pada tiga kriteria di atas, maka matriks yang tidak berbentuk eselon baris adalah $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0  \end{pmatrix}$ karena melanggar kriteria kedua. Perhatikan bahwa entri pada baris kedua semuanya nol, tetapi tidak diposisikan paling bawah.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2

Manakah dari matriks berukuran $3 \times 3$ berikut yang berbentuk eselon baris tereduksi?
A. $\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0  \end{pmatrix}$
E. $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Suatu matriks dikatakan berbentuk eselon baris tereduksi apabila memenuhi tiga kriteria berikut.



  1. Jika suatu baris tidak seluruhnya memuat entri taknol, maka angka taknol pertama dalam baris tersebut adalah angka $1,$ yang selanjutnya sebagai satu utama (leading one).
  2. Jika ada sembarang baris yang semua entrinya nol, maka baris ini diposisikan paling bawah.
  3. Jika sembarang dua baris yang berurutan tidak seluruhnya terdiri dari entri nol, maka satu utama pada baris yang lebih bawah terletak di sebelah kanan satu utama pada baris di atasnya.
  4. Setiap kolom yang berisi satu utama mempunyai entri nol di posisi lainnya.

Cek opsi A:
Matriks $\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ melanggar kriteria keempat sehingga tidak berbentuk eselon baris tereduksi, tetapi memenuhi kriteria untuk dikatakan sebagai matriks yang berbentuk eselon baris.
Cek opsi B:
Matriks $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ melanggar kriteria keempat sehingga tidak berbentuk eselon baris tereduksi, tetapi memenuhi kriteria untuk dikatakan sebagai matriks yang berbentuk eselon baris.
Cek opsi C:
Matriks $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ memenuhi keempat kriteria di atas sehingga termasuk matriks yang berbentuk eselon baris tereduksi.
Cek opsi D:
Matriks $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0  \end{pmatrix}$ melanggar kriteria pertama karena angka pertama yang muncul pada baris kedua adalah $2.$ Jadi, matriks ini tidak berbentuk eselon baris tereduksi, sekaligus juga bukan matriks yang berbentuk eselon baris.
Cek opsi E:
Matriks $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ melanggar kriteria ketiga sehingga tidak berbentuk eselon baris tereduksi dan juga tidak berbentuk eselon baris.
(Jawaban C)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks 

Soal Nomor 3

Diketahui matriks yang diperbesar dari suatu sistem persamaan linear adalah sebagai berikut.
$$\begin{pmatrix} 1 & -3 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}$$Penyelesaian dari sistem tersebut untuk variabel $x_1, x_2,$ dan $x_3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x_1 = -37,$ $x_2 = -8,$ dan $x_3 = 5$
B. $x_1 = 37,$ $x_2 = -8,$ dan $x_3 = 5$
C. $x_1 = -37,$ $x_2 = 8,$ dan $x_3 = 5$
D. $x_1 = 5,$ $x_2 = -8,$ dan $x_3 = 37$
E. $x_1 = 11,$ $x_2 = -8,$ dan $x_3 = 5$

Pembahasan

Sistem persamaan linear yang berpadanan dengan matriks yang diperbesar tersebut adalah sebagai berikut.
$$\begin{cases} x_1-3x_2+4x_3 & = 7 && (\cdots 1) \\ ~~~~~~~~~~~x_2 + 2x_3 & = 2 && (\cdots 2) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_3 & = 5 && (\cdots 3) \end{cases}$$Dengan menggunakan substitusi balik dari persamaan $(3)$ ke persamaan $(2)$ dan $(1),$ kita peroleh
$$\begin{aligned} x_2 + 2(5) = 2 & \Rightarrow x_2 = -8 \\ x_1-3(-8) + 4(5) = 7 & \Rightarrow x_1 = -37 \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian sistem tersebut adalah $x_1 = -37,$ $x_2 = -8,$ dan $x_3 = 5.$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4

Perhatikan matriks diperbesar yang berpadanan dengan sistem persamaan linear berikut.
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & \alpha & 6 & 11 \\ 1 & 0 & 2 & \beta & \alpha \end{pmatrix}$$Salah satu pasangan nilai $\alpha$ dan $\beta$ yang mungkin agar sistem persamaan linear yang dimaksud memiliki takberhingga banyaknya penyelesaian adalah $\cdots \cdot$
A. $\alpha = -3$ dan $\beta = 1$
B. $\alpha = 3$ dan $\beta = 1$
C. $\alpha = 1$ dan $\beta = -3$
D. $\alpha = 1$ dan $\beta = -1$
E. $\alpha = -1$ dan $\beta = 1$

Pembahasan

Reduksi matriks diperbesar tersebut dengan menggunakan operasi baris elementer.
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & \alpha & 6 & 11 \\ 1 & 0 & 2 & \beta & \alpha \end{array}\right) & \xrightarrow[b_4-b_1]{b_3-b_1} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & \alpha-2 & 5 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & \beta-1 & \alpha-1 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_3-5b_2} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & \alpha+3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \beta-1 & \alpha-1 \end{array}\right) \end{aligned}$$Perhatikan bahwa baris ketiga dan keempat dari matriks terakhir dapat menjadi baris dengan semua entri nol.




  1. Semua entri pada baris ketiga sama dengan nol jika $\alpha = -3$ (dan $\beta$ bebas nilainya).
  2. Semua entri pada baris keempat sama dengan nol jika $\alpha = \beta = 1.$

Kehadiran baris nol pada matriks yang direduksi memiliki arti bahwa sistem persamaan linear yang berpadanan dengannya memiliki takberhingga banyaknya penyelesaian. Jadi, salah satu nilai $\alpha$ dan $\beta$ yang mungkin agar sistem persamaan linear yang dimaksud memiliki takberhingga banyaknya penyelesaian (lihat opsi pilihan ganda) adalah $\alpha = -3$ dan $\beta = 1.$
(Jawaban A)

[collapse]
 

Baca: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks Versi HOTS dan Olimpiade 

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Cari suatu sistem persamaan linear yang tidak konsisten dengan syarat variabelnya lebih banyak dari persamaannya.

Pembahasan

Dalam kasus ini, kita akan membuat sistem persamaan linear dengan empat variabel dan tiga persamaan.
$$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 & = 3 && (\cdots 1) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_4 & = 5 && (\cdots 2) \\ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 & = 9 && (\cdots 3) \end{cases}$$Perhatikan bahwa konstanta pada persamaan $(3)$ menjadi penentu apakah sistem tersebut tidak memiliki penyelesaian atau takberhingga banyaknya penyelesaian. Karena kita menginginkan sistem yang tidak konsisten, artinya tidak memiliki penyelesaian, maka konstantanya kita tuliskan dengan bilangan real apa pun, kecuali $3 + 5 = 8.$ Dalam kasus di atas, konstantanya diambil $9.$

[collapse]

Soal Nomor 2

Cari dua bentuk eselon baris berbeda dari matriks $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}.$

Pembahasan

Operasi baris elementer dapat kita terapkan untuk membentuk matriks berbentuk eselon baris.
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & 3 \\ 2 & 7\end{array}\right) & \xrightarrow[]{b_2-2b_1} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array}\right) && (1) \\ & \xrightarrow[]{b_1-b_2} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right) && (2) \end{aligned}$$Catatan: Matriks eselon baris di atas adalah dua dari sekian banyaknya bentuk eselon baris lain yang mungkin dapat dibuat dengan menjalankan operasi baris elementer.
Untuk kasus ini, dua bentuk eselon baris dari matriks tersebut adalah $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$

[collapse]

Soal Nomor 3

Reduksi $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}$ menjadi bentuk eselon baris tereduksi dengan menggunakan operasi baris elementer tanpa melibatkan pecahan.

Pembahasan

Salah satu rangkaian operasi baris elementer agar kita dapat mereduksi matriks tersebut menjadi berbentuk eselon baris tereduksi tanpa melibatkan pecahan diberikan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right) & \xrightarrow[]{-(b_1-b_3)} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_3-3b_1} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 7 \\ 0 & -5 & -1 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{2b_2-b_3} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 15 \\ 0 & -5 & -1 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_3+5b_2} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 74 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{\frac{1}{74}b_3} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[b_1-2b_3]{b_2-15b_3} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_1-3b_2} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{aligned}$$Catatan: Akan ada banyak rangkaian operasi baris elementer yang dapat menjadi alternatif dalam kasus ini. Namun, setiap rangkaian operasi baris elementer tersebut selalu menghasilkan matriks eselon baris tereduksi yang sama, yaitu $\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right).$

[collapse]

Soal Nomor 4

Diketahui matriks yang diperbesar dari suatu sistem persamaan linear adalah sebagai berikut.
$$\begin{pmatrix} 1 & -6 & 0 & 0 & 3 & -2  \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 5 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$Tentukan penyelesaian dari sistem tersebut untuk variabel $x_1, x_2,$ $x_3, x_4,$ dan $x_5.$

Pembahasan

Sistem persamaan linear yang berpadanan dengan matriks yang diperbesar tersebut adalah sebagai berikut.
$$\begin{cases} x_1-6x_2~~~~~~~~~~~~~~~+3x_5 & = -2 && (\cdots 1) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~x_3~~~~~~~~~ + 4x_5 & = 7 && (\cdots 2) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_4~~ +5x_5 & = 8 && (\cdots 3) \end{cases}$$Kolom kedua dan kolom kelima yang berturut-turut mewakili koefisien dari variabel $x_2$ dan $x_5$ tidak memuat satu utama sehingga kedua variabel itu disebut sebagai variabel bebas dan nilainya akan dinyatakan dalam bentuk parameter.
Misalkan $x_2 = s$ dan $x_5 = t$ untuk $s, t \in \mathbb{R}.$ Dimulai dari persamaan $(3), (2),$ lalu $(1),$ kita peroleh
$$\begin{aligned} x_4 + 5t = 8 & \Rightarrow x_4 = 8-5t \\ x_3 + 4t = 7 & \Rightarrow x_3 = 7-4t \\ x_1-6s + 3t = -2 & \Rightarrow x_1 = 6s-3t-2 \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian sistem tersebut untuk $s, t \in \mathbb{R}$ adalah
$$\begin{cases} x_1 & = 6s-3t-2 \\ x_2 & = s \\ x_3 & = 7-4t \\ x_4 & = 8-5t \\ x_5 & = t \end{cases}$$ 

[collapse]

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Determinan Matriks 

Soal Nomor 5

Selesaikan sistem berikut untuk konstanta $a$ dan $b$ dengan menggunakan eliminasi Gauss.
$$\begin{cases} 2x + y & = a \\ 3x + 6y & = b \end{cases}$$

Pembahasan

Matriks diperbesar dari sistem tersebut adalah sebagai berikut.
$$\left(\begin{array}{rr|r} 2 & 1 & a \\ 3 & 6 & b \end{array}\right)$$Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita akan membuat matriks menjadi berbentuk eselon baris.
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{rr|r} 2 & 1 & a \\ 3 & 6 & b \end{array}\right) & \xrightarrow[]{b_1 \leftrightarrow b_2} \left(\begin{array}{rr|r} 3 & 6 & b \\ 2 & 1 & a \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{\frac13b_1} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & 2 & \frac13b \\ 2 & 1 & a \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_2-2b_1} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & 2 & \frac{b}{3} \\ 0 & -3 & a-\frac23b \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{-\frac13b_2} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & 2 & \frac{b}{3} \\ 0 & 1 & -\frac13a+\frac29b \end{array}\right) \end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, kita peroleh sistem baru yang lebih sederhana.
$$\begin{cases} x_1 + 2x_2 & = \dfrac{b}{3} && (\cdots 1) \\ x_2 & = -\dfrac13a + \dfrac29b && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusi $(2)$ pada $(1)$ menghasilkan $x_1 = \dfrac23a-\dfrac19b.$ Jadi, penyelesaian sistem tersebut adalah
$$\begin{cases} x_1 & = \dfrac23a-\dfrac19b \\ x_2 & = -\dfrac13a + \dfrac29b \end{cases}$$

[collapse]

Soal Nomor 6

Selesaikan sistem berikut untuk konstanta $a$ dan $b$ dengan menggunakan eliminasi Gauss.
$$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 & = a \\ 2x_1~~~~~~~+2x_3 & = b \\ ~~~~~~~3x_2 + 3x_3 & = c \end{cases}$$

Pembahasan

Matriks diperbesar dari sistem tersebut adalah sebagai berikut.
$$\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & a \\ 2 & 0 & 2 & b \\ 0 & 3 & 3 & c \end{array}\right)$$Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita akan membuat matriks menjadi berbentuk eselon baris.
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & 1 & a \\ 2 & 0 & 2 & b \\ 0 & 3 & 3 & c \end{array}\right) & \xrightarrow[]{b_2-2b_1} \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & 1 & a \\ 0 & -2 & 0 & b-2a \\ 0 & 3 & 3 & c \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{-\frac12b_2} \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & 1 & a \\ 0 & 1 & 0 & a-\frac12b \\ 0 & 3 & 3 & c \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_3-3b_2} \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & 1 & a \\ 0 & 1 & 0 & a-\frac12b \\ 0 & 0 & 3 & c-3a+\frac32b \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{\frac13b_3} \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & 1 & a \\ 0 & 1 & 0 & a-\frac12b \\ 0 & 0 & 1 & \frac13c-a+\frac12b \end{array}\right) \end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, kita peroleh sistem baru yang lebih sederhana.
$$\begin{cases} x_3 & = -a+\dfrac12b+\dfrac13c && (\cdots 1) \\ x_2 & = a-\dfrac12b && (\cdots 2) \\ x_1+x_2+x_3 & = a && (\cdots 3) \end{cases}$$Substitusi $(2)$ dan $(3)$ pada $(1)$ menghasilkan $x_1 = a-\dfrac13c.$ Jadi, penyelesaian sistem tersebut adalah
$$\begin{cases} x_1 & = a-\dfrac13c \\ x_2 & = a-\dfrac12b \\ x_3 & = -a+\dfrac12b+\dfrac13c \end{cases}$$

[collapse]

Soal Nomor 7

Selesaikan sistem berikut dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.
$$\begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 & = 8 \\ -x_1-2x_2 + 3x_3 & = 1 \\ 3x_1-7x_2 + 4x_3 & = 10 \end{cases}$$

Pembahasan

Matriks diperbesar dari sistem tersebut adalah sebagai berikut.
$$\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 8 \\ -1 & -2 & 3 & 1 \\ 3 & -7 & 4 & 10 \end{array}\right)$$Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita akan membuat matriks menjadi berbentuk eselon baris tereduksi.
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 8 \\ -1 & -2 & 3 & 1 \\ 3 & -7 & 4 & 10 \end{array}\right) & \xrightarrow[b_3-3b_1]{b_2 + b_1} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & -1 & 5 & 9 \\ 0 & -10 & -2 & -14 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{-b_2} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & 1 & -5 & -9 \\ 0 & -10 & -2 & -14 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_3 + 10b_2} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & 1 & -5 & -9 \\ 0 & 0 & -52 & -104 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{-\frac{1}{52}b_3} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & 1 & -5 & -9 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[b_1-2b_3]{b_2+5b_3} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_1-b_2} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, kita peroleh nilai $x_1 = 2, x_2 = 1,$ dan $x_3 = 3$ yang menjadi penyelesaian dari sistem.

[collapse]

Soal Nomor 8

Selesaikan sistem berikut dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.
$$\begin{cases} 5x_1-2x_2 + 6x_3 & = 0 \\ -2x_1+x_2+3x_3 & = 1 \end{cases}$$

Pembahasan

Matriks diperbesar dari sistem tersebut adalah sebagai berikut.
$$\left(\begin{array}{rrr|r} 5 & -2 & 6 & 0 \\ -2 & 1 & 3 & 1 \end{array}\right)$$Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita akan membuat matriks menjadi berbentuk eselon baris tereduksi.
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{rrr|r} 5 & -2 & 6 & 0 \\ -2 & 1 & 3 & 1 \end{array}\right) & \xrightarrow[]{3b_2} && \left(\begin{array}{rrr|r} 5 & -2 & 6 & 0 \\ -6 & 3 & 9 & 3 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{-(b_1 + b_2)} && \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & -15 & -3 \\ -6 & 3 & 9 & 3 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{\frac13b_3} && \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & -15 & -3 \\ -2 & 1 & 3 & 1 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_2 + 2b_1} && \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & -15 & -3 \\ 0 & -1 & -27 & -5 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_1-b_2} && \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 12 & 2 \\ 0 & -1 & -27 & -5\end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{-b_2} && \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 12 & 2 \\ 0 & 1 & 27 & 5 \end{array}\right) \end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, kita peroleh sistem baru yang lebih sederhana.
$$\begin{cases} x_1 ~~~~~~~~+ 12x_3 & = 2 \\ ~~~~~~~~x_2 + 27x_3 & = 5 \end{cases}$$Misalkan $x_3 = t$ untuk setiap $t \in \mathbb{R}$ sehingga $x_1 = 2-12t$ dan $x_2 = 5-27t.$ Jadi, penyelesaian dari sistem tersebut untuk $t \in \mathbb{R}$ adalah
$$\begin{cases} x_1 & = 2-12t \\ x_2 & = 5-27t \\ x_3 & = t \end{cases}$$

[collapse]

Soal Nomor 9

Tentukan masing-masing nilai $a$ sehingga sistem persamaan linear berikut memiliki tepat satu penyelesaian, tidak mempunyai penyelesaian, dan memiliki takberhingga banyaknya penyelesaian.
$$\begin{cases} x + 2y~~~~~~~~~~~~~~-3z & = 4 \\ 3x-y~~~~~~~~~~~~~~+5z & = 2 \\ 4x+y+(a^2-14)z & = a+2 \end{cases}$$

Pembahasan

Kita akan menggunakan eliminasi Gauss untuk menentukan nilai $a$ yang dimaksud.
Matriks diperbesar dari sistem tersebut adalah sebagai berikut.
$$\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 3 & -1 & 5 & 2 \\ 4 & 1 & a^2-14 & a+2 \end{array}\right)$$Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita akan membuat matriks menjadi berbentuk eselon baris.
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 3 & -1 & 5 & 2 \\ 4 & 1 & a^2-14 & a+2 \end{array}\right) & \xrightarrow[b_3-4b_1]{b_2-3b_1} \left(\begin{array}{rrc|c} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 0 & -7 & 14 & -10 \\ 0 & -7 & a^2-2 & a-14 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{-\frac17b_2} \left(\begin{array}{rrc|c} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 0 & 1 & -2 & \frac{10}{7} \\ 0 & -7 & a^2-2 & a-14\end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_3+7b_2} \left(\begin{array}{rrc|c} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 0 & 1 & -2 & \frac{10}{7} \\ 0 & 0 & a^2-16 & a-4 \end{array}\right) \end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, kita peroleh sistem baru yang lebih sederhana.
$$\begin{cases} x + 2y~~~~~~~~~~~~-3z & = 4 && (\cdots 1) \\ ~~~~~~~~~y~~~~~~~~~~~~-2z & = \dfrac{10}{7} \\ ~~~~~~~~~~~~~~(a^2-16)z & = a-4 && (\cdots 3) \end{cases}$$Perhatikan persamaan $(3)$ yang dapat ditulis kembali menjadi
$$(a+4)(a-4)z = a-4.$$Kita peroleh beberapa kesimpulan berikut.

  1. Jika $a = 4,$ maka setiap $z \in \mathbb{R}$ memenuhi persamaan ini sehingga sistem akan memiliki takberhingga banyaknya penyelesaian. Hal ini juga terindikasi dari kemunculan baris nol pada matriks eselon baris.
  2. Jika $a = -4,$ maka tidak ada $z$ yang memenuhi. Dengan kata lain, sistem tidak memiliki penyelesaian.
  3. Jika $a \neq \pm 4,$ maka ketiga persamaan tidak saling berkelipatan yang mengindikasikan bahwa sistem bakal memiliki tepat satu penyelesaian.

[collapse]

Soal Nomor 10

Tunjukkan bahwa jika $ad-bc \ne 0,$ maka bentuk eselon baris tereduksi dari $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ adalah $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$

Pembahasan

Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita akan menunjukkan bahwa matriks $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ dapat direduksi dengan catatan bahwa $ad-bc \ne 0.$
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{rr|r} a & b \\ c & d \end{array}\right) & \xrightarrow[]{\frac{1}{a}b_1} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & \frac{b}{a} \\ c & d \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_2-c \cdot b_1} \left(\begin{array}{rc|r} 1 & \frac{b}{a} \\ 0 & \frac{ad-bc}{a} \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{\frac{a}{ad-bc}b_2} \left(\begin{array}{rc|r} 1 & \frac{b}{a} \\ 0 & 1 \end{array}\right) && (*) \\ & \xrightarrow[]{b_1-\frac{b}{a} \cdot b_2} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \end{aligned}$$Perhatikan bahwa operasi baris elementer yang ditandai dengan $(*)$ dapat dilakukan dengan syarat $ad-bc \neq 0$ karena posisinya berada pada penyebut dalam bentuk pecahan.
Jadi, terbukti bahwa bentuk eselon baris tereduksi dari $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ adalah $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$

[collapse]

 

0 0 votes
Article Rating

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini jika ada kesalahan pengetikan sekecil apa pun, seperti kesalahan pengetikan, kode LaTeX yang tidak berjalan, atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Subscribe
Notify of
guest

0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x