Soal dan Pembahasan – Koset dan Subgrup Normal

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai koset dan subgrup normal yang merupakan submateri dari mata kuliah Struktur Aljabar. Semoga bermanfaat!

Definisi Koset

Jika $H$ subgrup dari $G, a \in G$, maka
1) $Ha = \{ha~|~h \in H\}$ disebut koset kanan $H$ dalam $G$
2) $aH = \{ah~|~h \in H\}$ disebut koset kiri $H$ dalam $G$

Definisi Subgrup Normal

Definisi 1: Jika $N$ subgrup dari $G$, maka $N$ disebut subgrup normal dari $G$ jika dan hanya jika $gN = Ng, \forall g \in G$.
Definisi 2: Jika $N$ subgrup dari $G$, maka $N$ disebut subgrup normal dari $G$ jika dan hanya jika untuk setiap $g \in G, n \in N$, berlaku $gng^{-1} \in N$.
Definisi 3: $N$ subgrup dari $G$ disebut subgrup normal dari $G$ jika dan hanya jika $gNg^{-1} \subseteq N, \forall g \in G$.

Soal Nomor 1
Diberikan $(G, +)$ merupakan grup dengan $G = \{\cdots, -2, -1, 0, 1, 2, \cdots\}$. Jika $(H, +)$ dengan $H$ himpunan bilangan bulat kelipatan $3$ adalah subgrup dari $G$, tentukan $H2, H3$, dan $-2H$

Penyelesaian

Diketahui $H = \{\cdots, -6, -3, 0, 3, 6, \cdots\}$
$$\begin{aligned} H2 & = \{ \cdots, (-6 + 2), (-3 + 2), (0 + 2), (3 + 2), (6 + 2), \cdots\} \\ & = \{ \cdots, -4, -1, 2, 5, 8, \cdots\} \end{aligned}$$
Selanjutnya,
$$\begin{aligned} H3 & = \{ \cdots, (-6 + 3), (-3 + 3), (0 + 3), (3 + 3), (6 + 3), \cdots\} \\ & = \{ \cdots, -3, 0, 3, 6, 9, \cdots\} = H \end{aligned}$$
Terakhir,
$$\begin{aligned} & -2H \\ & = \{\cdots, (-2 + (-6)), (-2 + (-3)), (-2 + 0), (-2 + 3), (-2 + 6), \cdots \} \\ & = \{\cdots, -8, -5, -2, 1, 4 \} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui $(G, \times)$ grup.
$G = \{1, -1, i, -i\}$ dengan $i = \sqrt{-1}$
$H = \{1, -1\}$ subgrup dari $G$
Tentukan koset kanan dan koset kiri dari $H$ dalam $G$

Penyelesaian

Koset-koset kanan dari $H$ dalam $G$
$$\begin{aligned} H1 & = \{1 \times 1, -1 \times 1\} = \{1, -1\} = H \\ H(-1) & = \{1 \times (-1), -1 \times (-1)\} = \{-1, 1\} = H \\ Hi & = \{1 \times i, -1 \times i\} = \{i, -i\} \\H(-i) & = \{1 \times (-i), -1 \times (-i)\} = \{-i, i\} \end{aligned}$$
Koset-koset kiri dari $H$ dalam $G$
$$\begin{aligned} 1H & = \{1 \times 1, 1 \times (-1)\} = \{-1, 1\} = H \\-1H & = \{-1 \times 1, -1 \times (-1)\} = \{-1, 1\} = H \\ iH & = \{i \times 1, i \times (-1)\} = \{i, -i\} \\ -iH & = \{-i \times 1, -i \times (-i)\} = \{-i, i\} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 3
Berapa banyak koset kanan berlainan dari $4\mathbb{Z}$ pada $\mathbb{Z}$ pada operasi penjumlahan?

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$\mathbb{Z} = \{\cdots, -2, -1, 0, 1, 2, \cdots\}$
$4\mathbb{Z} = \{\cdots, -8, -4, 0, 4, 8, \cdots\}$
Unsur $0, 1, 2, 3 \in \mathbb{Z}$, sehingga dapat ditulis
$4\mathbb{Z}+ 0 = \{\cdots, -8, -4, 0, 4, 8, \cdots\}$
$4\mathbb{Z}+1 = \{\cdots, -7, -3, 1, 5, 9,\cdots\}$
$4\mathbb{Z}+2 = \{\cdots, -6, -2, 2, 6, 10, \cdots\}$
$4\mathbb{Z}+3 = \{\cdots, -5, -1, 3, 7, 11, \cdots\}$
(Selanjutnya, akan berulang secara periodik)
Jadi, ada $4$ koset kanan berlainan dari $4\mathbb{Z}$ dalam $\mathbb{Z}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika $G = \langle a \rangle$ adalah grup atas penjumlahan bilangan real, $n(G) = 10$, dan $H$ adalah subgrup dari $G$ dengan generator $a^2$, tentukan semua koset kanan $H$ dalam $G$ serta indeksnya.

Penyelesaian

Karena $a$ adalah generator dari $G$ dan banyak anggota $G$ adalah 10, maka dapat ditulis
$G = \{a, a^2, a^3, \cdots, a^9, a^{10} = e\}$
Sedangkan,
$H = \{a^2, a^4, a^6, a^8, a^{10} = e\}$
Dengan menggunakan teorema $Hx = H$ jika dan hanya jika $x \in H$, maka diperoleh
$Ha^2 = Ha^4 = Ha^6 = Ha^8 = Ha^{10}$
Selanjutnya,
$Ha = \{a^3, a^5, a^7, a^9, a^1\}$
$Ha^3 = \{a^5, a^7, a^9, a^1, a^3\}$
$Ha^5 = \{a^7, a^9, a^1, a^3, a^5\}$
$Ha^7 = \{a^9, a^1, a^3, a^5, a^7\}$
$Ha^9 = \{a^1, a^3, a^5, a^7, a^9\}$
Diperoleh $Ha = Ha^3 = Ha^5 = Ha^7 = Ha^9$
Jadi, ada $2$ koset kanan berlainan dalam $G$. Berarti indeksnya adalah $2$. Atau,
$I_G(H) = \dfrac{n(G)}{n(H)} = \dfrac{10}{5} = 2$

[collapse]

Soal Nomor 5 (Soal ON MIPA-PT Bidang Matematika Seleksi Untan)
Banyaknya unsur dari $\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$ adalah $\cdots$
A. $1$       B. $2$       C. $4$        D. $8$       E. $16$

Penyelesaian

$\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$ adalah grup kuosien/grup faktor, yang berarti adalah himpunan semua koset kanan $2\mathbb{Z}$ dalam $\mathbb{Z}$. Perhatikan bahwa,
$\mathbb{Z} = \{\cdots, -2, -1, 0, 1, 2, \cdots\}$
$2\mathbb{Z} = \{\cdots, -4, -2, 0, 2, 4, \cdots\}$
sehingga koset kanannya adalah sebagai berikut.
$\cdots$
$2\mathbb{Z} + 0 = 2\mathbb{Z}$
$2\mathbb{Z} + 1 = \{\cdots, -3, -1, 1, 3, 5, \cdots\}$
$2\mathbb{Z} + 2 = 2\mathbb{Z}$
$2\mathbb{Z} + 3 = \{\cdots, -1, 1, 3, 5, 7, \cdots\}$
$\cdots$
Kita temukan bahwa hanya ada $2$ koset kanan berbeda, yaitu himpunan bilangan bulat genap dan himpunan bilangan bulat ganjil. Jadi, banyaknya unsur dari $\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$ adalah $2$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Misalkan $G$ adalah grup permutasi $S_3$, yakni
$\{(1), (1,2), (1,3), (2,3), (1,2,3), (1,3,2)\}$
Diberikan $H = \{(1), (1,2,3), (1,3,2)\}$ adalah subgrup dari $G$. Tunjukkan bahwa $H$ adalah subgrup normal dari $G$.

Penyelesaian Belum Tersedia

[collapse]

Soal Nomor 7
Misalkan $G = \{1,2,3,4,5,6\}$ dengan operasi perkalian bilangan bulat modulo $7$ merupakan grup. $H = \{1,2,4\}$ adalah subgrup dari $G$. Carilah semua koset kanan dan koset kiri $H$ dalam $G$. Apakah $H$ subgrup normal dari $G$?

Penyelesaian

Koset kanan $H$ dalam $G$ adalah
$\begin{cases} H1 = \{1, 2, 4\} \times_7 1 = \{1,2,4\} \\ H2 = \{1,2,4\} \times_7 2 = \{2,4,1\} \\ H3 = \{1,2,4\} \times_7 3 = \{3,6,5\} \\ H4 = \{1,2,4\} \times_7 4 = \{4,1,2\} \\ H5 = \{1,2,4\} \times_7 5 = \{5,3,6\} \\ H6 = \{1,2,4\} \times_7 6 = \{6,5,3\} \end{cases}$
Sedangkan koset kirinya adalah
$\begin{cases} 1H = 1 \times_7 \{1, 2, 4\} = \{1,2,4\} \\ 2H = 2 \times_7 \{1,2,4\} = \{2,4,1\} \\ 3H = 3 \times_7 \{1,2,4\} = \{3,6,5\} \\ 4H = 4 \times_7 \{1,2,4\} = \{4,1,2\} \\ 5H = 5 \times_7 \{1,2,4\} = \{5,3,6\} \\ 6H = 6 \times_7 \{1,2,4\} = \{6,5,3\} \end{cases}$
Dua uraian di atas menunjukkan bahwa $gH = Hg$ untuk setiap $g \in G$. Dengan kata lain, koset kanan dan koset kiri $H$ dalam $G$ sama. Oleh karena itu, berdasarkan definisi, $H$ disebut sebagai subgrup normal dari $G$. 
Catatan:
Berikut disajikan perhitungan lengkap (sebagai sampel) untuk penentuan koset di atas:
$\begin{aligned} \{1,2,4\} \times_7 2 & = \{1 \times_7 2, 2 \times_7 2, 4 \times_7 2\} \\ & = \{2,4,1\} \end{aligned}$
Sebagai informasi, simbol $\times_7$ menyatakan operasi perkalian bilangan bulat modulo $7$. 
$2 \times_7 4 = (2 \times 4)~\text{mod}~7 = 1$

[collapse]

Soal Nomor 8
Misalkan $\mathbb{Z}_6$ merupakan grup dengan operasi penjumlahan bilangan bulat modulo 6 dan $H = \{0,2,4\}$ adalah subgrup darinya. Tunjukkan bahwa $H$ subgrup normal dari $\mathbb{Z}_6$.

Penyelesaian

Untuk menunjukkan bahwa $H$ subgrup normal dari $\mathbb{Z}_6$, harus dibuktikan bahwa koset kanan dan koset kiri $H$ dalam $\mathbb{Z}_6$ sama. 
Perhatikan bahwa elemen $\mathbb{Z}_6$ adalah $0,1,2,3,4$, dan $5$. 
Koset kanan $H$ dalam $\mathbb{Z}_6$ adalah
$\begin{cases} H0 = \{0,2,4\} +_6 0 = \{0,2,4\} \\ H1 = \{0,2,4\} +_6 1= \{1,3,5\} \\ H2 = \{0,2,4\} +_6 2 = \{2,4,0\} \\ H3 = \{0,2,4\} +_6 3 = \{3,5,1\} \\ H4 = \{0,2,4\} +_6 4 = \{4,0,2\} \\ H5 = \{0,2,4\} +_6 5 = \{5,1,3\} \end{cases}$
Sedangkan koset kirinya adalah
$\begin{cases} 0H = 0 +_6 \{0,2,4\} = \{0,2,4\} \\ 1H = 1 +_6 \{0,2,4\} = \{1,3,5\} \\ 2H = 2 +_6 \{0,2,4\} = \{2,4,0\} \\ 3H = 3 +_6 \{0,2,4\} = \{3,5,1\} \\ 4H = 4 +_6 \{0,2,4\} = \{4,0,2\} \\ 5H = 5 +_6 \{0,2,4\} = \{5,1,3\} \end{cases}$
Dari dua uraian di atas, tampak bahwa berlaku $gH = Hg$ untuk setiap $g \in \mathbb{Z}_6$. Ini menunjukkan bahwa koset kanan dan koset kiri $H$ dalam $\mathbb{Z}_6$ adalah sama, sehingga terbukti bahwa $H$ subgrup normal dari $\mathbb{Z}_6$

[collapse]

Soal Nomor 9
Misalkan $T_B = \left\{\begin{bmatrix} a & 0 \\ b & c \end{bmatrix} | a, b, c \in \mathbb{R}, ac \neq 0\right\}$ adalah grup terhadap operasi perkalian matriks. Buktikan bahwa $\left\{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ x & 1 \end{bmatrix} | x \in \mathbb{R}\right\}$ merupakan subgrup normal dari $T_B$.

Penyelesaian

Ambil sembarang $t \in T_B$, dengan
$t = \begin{bmatrix} a & 0 \\ b & c \end{bmatrix}, a, b, c \in \mathbb{R}, ac \neq 0$
Selanjutnya, ambil sembarang $n \in N$, dengan
$n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ x & 1 \end{bmatrix}, x \in \mathbb{R}$
Akan ditunjukkan bahwa $tnt^{-1} \in N$ dengan $t^{-1} = \dfrac{1}{ac} \begin{bmatrix} c & 0 \\ -b & a \end{bmatrix}$ adalah invers dari matriks $t$. 
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} tnt^{-1} & = \begin{bmatrix} a & 0 \\ b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ x & 1 \end{bmatrix} \dfrac{1}{ac} \begin{bmatrix} c & 0 \\ -b & a \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} a & 0 \\ b + cx & c \end{bmatrix} \dfrac{1}{ac} \begin{bmatrix} c & 0 \\ -b & a \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ c^2x & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}$
Perhatikan bahwa $tnt^{-1}$ memenuhi bentuk dan sifat keanggotaan himpunan $N$ (pada baris $2$ kolom $1$: entri $c^2x$ merupakan bilangan real karena $x$ dan $c$ keduanya bilangan real). Ini berarti, $tnt^{-1} \in N$. 
Dengan demikian, $N$ terbukti merupakan subgrup normal dari $T_B$.

[collapse]

CategoriesStruktur AljabarTags, , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *