Soal dan Pembahasan – Koset dan Subgrup Normal

Definisi Koset

Jika H subgrup dari G, a \in G, maka
1) Ha = \{ha~|~h \in H\} disebut koset kanan H dalam G
2) aH = \{ah~|~h \in H\} disebut koset kiri H dalam G

Definisi Subgrup Normal

Definisi 1: Jika N subgrup dari G, maka N disebut subgrup normal dari G jika dan hanya jika gN = Ng, \forall g \in G.
Definisi 2: Jika N subgrup dari G, maka N disebut subgrup normal dari G jika dan hanya jika untuk setiap g \in G, n \in N, berlaku gng^{-1} \in N.
Definisi 3: N subgrup dari G disebut subgrup normal dari G jika dan hanya jika gNg^{-1} \subseteq N, \forall g \in G.

Soal Nomor 1
Diberikan (G, +) merupakan grup dengan G = \{\cdots, -2, -1, 0, 1, 2, \cdots\}. Jika (H, +) dengan H himpunan bilangan bulat kelipatan 3 adalah subgrup dari G, tentukan H2, H3, dan -2H

Penyelesaian

Diketahui H = \{\cdots, -6, -3, 0, 3, 6, \cdots\}
\begin{aligned} H2 & = \{ \cdots, (-6 + 2), (-3 + 2), (0 + 2), (3 + 2), (6 + 2), \cdots\} \\ & = \{ \cdots, -4, -1, 2, 5, 8, \cdots\} \end{aligned}
Selanjutnya,
\begin{aligned} H3 & = \{ \cdots, (-6 + 3), (-3 + 3), (0 + 3), (3 + 3), (6 + 3), \cdots\} \\ & = \{ \cdots, -3, 0, 3, 6, 9, \cdots\} = H \end{aligned}
Terakhir,
\begin{aligned} & -2H \\ & = \{\cdots, (-2 + (-6)), (-2 + (-3)), (-2 + 0), (-2 + 3), (-2 + 6), \cdots \} \\ & = \{\cdots, -8, -5, -2, 1, 4 \} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 2
Diketahui (G, \times) grup.
G = \{1, -1, i, -i\} dengan i = \sqrt{-1}
H = \{1, -1\} subgrup dari G
Tentukan koset kanan dan koset kiri dari H dalam G

Penyelesaian

Koset-koset kanan dari H dalam G
H1 = \{1 \times 1, -1 \times 1\} = \{1, -1\} = H
H(-1) = \{1 \times (-1), -1 \times (-1)\} = \{-1, 1\} = H
Hi = \{1 \times i, -1 \times i\} = \{i, -i\}
H(-i) = \{1 \times (-i), -1 \times (-i)\} = \{-i, i\}
Koset-koset kiri dari H dalam G
1H = \{1 \times 1, 1 \times (-1)\} = \{-1, 1\} = H
-1H = \{-1 \times 1, -1 \times (-1)\} = \{-1, 1\} = H
iH = \{i \times 1, i \times (-1)\} = \{i, -i\}
-iH= \{-i \times 1, -i \times (-i)\} = \{-i, i\}

[collapse]

Soal Nomor 3
Berapa banyak koset kanan berlainan dari 4\mathbb{Z} pada \mathbb{Z} pada operasi penjumlahan?

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
\mathbb{Z} = \{\cdots, -2, -1, 0, 1, 2, \cdots\}
4\mathbb{Z} = \{\cdots, -8, -4, 0, 4, 8, \cdots\}
Unsur 0, 1, 2, 3 \in \mathbb{Z}, sehingga dapat ditulis
4\mathbb{Z}+ 0 = \{\cdots, -8, -4, 0, 4, 8, \cdots\}
4\mathbb{Z}+1 = \{\cdots, -7, -3, 1, 5, 9,\cdots\}
4\mathbb{Z}+2 = \{\cdots, -6, -2, 2, 6, 10, \cdots\}
4\mathbb{Z}+3 = \{\cdots, -5, -1, 3, 7, 11, \cdots\}
(Selanjutnya, akan berulang secara periodik)
Jadi, ada 4 koset kanan berlainan dari 4\mathbb{Z} dalam \mathbb{Z}

[collapse]

Soal Nomor 4
Jika G = \langle a \rangle adalah grup atas penjumlahan bilangan real, n(G) = 10, dan H adalah subgrup dari G dengan generator a^2, tentukan semua koset kanan H dalam G serta indeksnya.

Penyelesaian

Karena a adalah generator dari G dan banyak anggota G adalah 10, maka dapat ditulis
G = \{a, a^2, a^3, \cdots, a^9, a^{10} = e\}
Sedangkan,
H = \{a^2, a^4, a^6, a^8, a^{10} = e\}
Dengan menggunakan teorema Hx = H jika dan hanya jika x \in H, maka diperoleh
Ha^2 = Ha^4 = Ha^6 = Ha^8 = Ha^{10}
Selanjutnya,
Ha = \{a^3, a^5, a^7, a^9, a^1\}
Ha^3 = \{a^5, a^7, a^9, a^1, a^3\}
Ha^5 = \{a^7, a^9, a^1, a^3, a^5\}
Ha^7 = \{a^9, a^1, a^3, a^5, a^7\}
Ha^9 = \{a^1, a^3, a^5, a^7, a^9\}
Diperoleh Ha = Ha^3 = Ha^5 = Ha^7 = Ha^9
Jadi, ada 2 koset kanan berlainan dalam G. Berarti indeksnya adalah 2. Atau,
I_G(H) = \dfrac{n(G)}{n(H)} = \dfrac{10}{5} = 2

[collapse]

Soal Nomor 5 (Soal ON-MIPA PT Bidang Matematika Seleksi Untan)
Banyaknya unsur dari \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} adalah \cdots
a. 1
b. 2
c. 4
d. 8
e. 16

Penyelesaian

\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} adalah grup kuosien/grup faktor, yang berarti adalah himpunan semua koset kanan 2\mathbb{Z} dalam \mathbb{Z}. Perhatikan bahwa,
\mathbb{Z} = \{\cdots, -2, -1, 0, 1, 2, \cdots\}
2\mathbb{Z} = \{\cdots, -4, -2, 0, 2, 4, \cdots\}
sehingga koset kanannya adalah sebagai berikut.
\cdots
2\mathbb{Z} + 0 = 2\mathbb{Z}
2\mathbb{Z} + 1 = \{\cdots, -3, -1, 1, 3, 5, \cdots\}
2\mathbb{Z} + 2 = 2\mathbb{Z}
2\mathbb{Z} + 3 = \{\cdots, -1, 1, 3, 5, 7, \cdots\}
\cdots
Kita temukan bahwa hanya ada 2 koset kanan berbeda, yaitu himpunan bilangan bulat genap dan himpunan bilangan bulat ganjil. Jadi, banyaknya unsur dari \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} adalah 2. (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Misalkan G adalah grup permutasi S_3, yakni
\{(1), (1,2), (1,3), (2,3), (1,2,3), (1,3,2)\}
Diberikan H = \{(1), (1,2,3), (1,3,2)\} adalah subgrup dari G. Tunjukkan bahwa H adalah subgrup normal dari G.

Penyelesaian Belum Tersedia

[collapse]

Soal Nomor 7
Misalkan G = \{1,2,3,4,5,6\} dengan operasi perkalian bilangan bulat modulo 7 merupakan grup. H = \{1,2,4\} adalah subgrup dari G. Carilah semua koset kanan dan koset kiri H dalam G. Apakah H subgrup normal dari G?

Penyelesaian

Koset kanan H dalam G adalah
\begin{cases} H1 = \{1, 2, 4\} \times_7 1 = \{1,2,4\} \\ H2 = \{1,2,4\} \times_7 2 = \{2,4,1\} \\ H3 = \{1,2,4\} \times_7 3 = \{3,6,5\} \\ H4 = \{1,2,4\} \times_7 4 = \{4,1,2\} \\ H5 = \{1,2,4\} \times_7 5 = \{5,3,6\} \\ H6 = \{1,2,4\} \times_7 6 = \{6,5,3\} \end{cases}
Sedangkan koset kirinya adalah
\begin{cases} 1H = 1 \times_7 \{1, 2, 4\} = \{1,2,4\} \\ 2H = 2 \times_7 \{1,2,4\} = \{2,4,1\} \\ 3H = 3 \times_7 \{1,2,4\} = \{3,6,5\} \\ 4H = 4 \times_7 \{1,2,4\} = \{4,1,2\} \\ 5H = 5 \times_7 \{1,2,4\} = \{5,3,6\} \\ 6H = 6 \times_7 \{1,2,4\} = \{6,5,3\} \end{cases}
Dua uraian di atas menunjukkan bahwa gH = Hg untuk setiap g \in G. Dengan kata lain, koset kanan dan koset kiri H dalam G sama. Oleh karena itu, berdasarkan definisi, H disebut sebagai subgrup normal dari G
Catatan:
Berikut disajikan perhitungan lengkap (sebagai sampel) untuk penentuan koset di atas:
\begin{aligned} \{1,2,4\} \times_7 2 & = \{1 \times_7 2, 2 \times_7 2, 4 \times_7 2\} \\ & = \{2,4,1\} \end{aligned}
Sebagai informasi, simbol \times_7 menyatakan operasi perkalian bilangan bulat modulo 7. 
2 \times_7 4 = (2 \times 4) \mod 7 = 1

[collapse]

Soal Nomor 8
Misalkan \mathbb{Z}_6 merupakan grup dengan operasi penjumlahan bilangan bulat modulo 6 dan H = \{0,2,4\} adalah subgrup darinya. Tunjukkan bahwa H subgrup normal dari \mathbb{Z}_6.

Penyelesaian

Untuk menunjukkan bahwa H subgrup normal dari \mathbb{Z}_6, harus dibuktikan bahwa koset kanan dan koset kiri H dalam \mathbb{Z}_6 sama. 
Perhatikan bahwa elemen \mathbb{Z}_6 adalah 0,1,2,3,4, dan 5
Koset kanan H dalam \mathbb{Z}_6 adalah
\begin{cases} H0 = \{0,2,4\} +_6 0 = \{0,2,4\} \\ H1 = \{0,2,4\} +_6 1= \{1,3,5\} \\ H2 = \{0,2,4\} +_6 2 = \{2,4,0\} \\ H3 = \{0,2,4\} +_6 3 = \{3,5,1\} \\ H4 = \{0,2,4\} +_6 4 = \{4,0,2\} \\ H5 = \{0,2,4\} +_6 5 = \{5,1,3\} \end{cases}
Sedangkan koset kirinya adalah
\begin{cases} 0H = 0 +_6 \{0,2,4\} = \{0,2,4\} \\ 1H = 1 +_6 \{0,2,4\} = \{1,3,5\} \\ 2H = 2 +_6 \{0,2,4\} = \{2,4,0\} \\ 3H = 3 +_6 \{0,2,4\} = \{3,5,1\} \\ 4H = 4 +_6 \{0,2,4\} = \{4,0,2\} \\ 5H = 5 +_6 \{0,2,4\} = \{5,1,3\} \end{cases}
Dari dua uraian di atas, tampak bahwa berlaku gH = Hg untuk setiap g \in \mathbb{Z}_6. Ini menunjukkan bahwa koset kanan dan koset kiri H dalam \mathbb{Z}_6 adalah sama, sehingga terbukti bahwa H subgrup normal dari \mathbb{Z}_6

[collapse]

Soal Nomor 9
Misalkan T_B = \left\{\begin{bmatrix} a & 0 \\ b & c \end{bmatrix} | a, b, c \in \mathbb{R}, ac \neq 0\right\} adalah grup terhadap operasi perkalian matriks. Buktikan bahwa \left\{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ x & 1 \end{bmatrix} | x \in \mathbb{R}\right\} merupakan subgrup normal dari T_B.

Penyelesaian

Ambil sembarang t \in T_B, dengan
t = \begin{bmatrix} a & 0 \\ b & c \end{bmatrix}, a, b, c \in \mathbb{R}, ac \neq 0
Selanjutnya, ambil sembarang n \in N, dengan
n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ x & 1 \end{bmatrix}, x \in \mathbb{R}
Akan ditunjukkan bahwa tnt^{-1} \in N dengan t^{-1} = \dfrac{1}{ac} \begin{bmatrix} c & 0 \\ -b & a \end{bmatrix} adalah invers dari matriks t
Perhatikan bahwa
\begin{aligned} tnt^{-1} & = \begin{bmatrix} a & 0 \\ b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ x & 1 \end{bmatrix} \dfrac{1}{ac} \begin{bmatrix} c & 0 \\ -b & a \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} a & 0 \\ b + cx & c \end{bmatrix} \dfrac{1}{ac} \begin{bmatrix} c & 0 \\ -b & a \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ c^2x & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}
Perhatikan bahwa tnt^{-1} memenuhi bentuk dan sifat keanggotaan himpunan N (pada baris 2 kolom 1: entri c^2x merupakan bilangan real karena x dan c keduanya bilangan real). Ini berarti, tnt^{-1} \in N
Dengan demikian, N terbukti merupakan subgrup normal dari T_B.

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini
KategoriStruktur AljabarTag, , , , ,

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *