Soal dan Pembahasan – Ulangan Umum Matematika Kelas XII Semester Ganjil TA 2018/2019 SMKN 3 Pontianak

     Berikut ini merupakan soal (disertai pembahasannya) ulangan umum matematika kelas XII semester ganjil tahun ajaran 2018/2019 SMKN 3 Pontianak yang diujikan tanggal 30 November 2018. Materi yang diujikan seluruhnya mencakup materi ujian nasional SMK.
Penulis mengarsipkannya sebagai bahan referensi untuk belajar. Semoga membantu dan bermanfaat! Silakan unduh soalnya dalam format docx di sini.

Today Quote

Bintang yang berkilauan tetap tak tampak oleh mata tanpa malam hari.

Soal Nomor 1
Bentuk sederhana $\dfrac{(5a^3b^{-2})^4}{(5a^{-4}b^{-5})^{-2}}$ adalah $\cdots$
A. $5^6a^2b^{-18}$              D. $5^6a^5b^{-18}$
B. $5^6a^4b^{-18}$              E. $5^6a^4b^{-20}$
C. $5^6a^2b^{18}$

Penyelesaian

$\begin{aligned} \dfrac{(5a^3b^{-2})^4}{(5a^{-4}b^{-5})^{-2}} & = (5a^3b^{-2})^4(5a^{-4}b^{-5})^{2} \\ & = 5^4a^{12}b^{-8} \cdot 5^2a^{-8}b^{-10} \\ & = 5^{4+2}a^{12+(-8)}b^{-8 + (-10)} \\ & = 5^6a^4b^{-18} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\dfrac{(5a^3b^{-2})^4}{(5a^{-4}b^{-5})^{-2}}$ adalah $\boxed{5^6a^4b^{-18}}$ (Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma

 Soal Nomor 2
Bentuk sederhana dari $^2 \log 256 + ^2 \log \left(\dfrac{1}{16}\right) – ^2 \log 64$ adalah $\cdots$
A. $-2$      B. $-\dfrac{1}{2}$       C. $\dfrac{1}{2}$        D. $2$         E. $4$

Penyelesaian

Dengan menggunakan sifat penjumlahan dan pengurangan logaritma:
$\boxed{\begin{aligned}  ^a \log b + ^a \log c & = ^a \log bc \\ ^a \log b – ^a \log c & = ^a \log \dfrac{b} {c} \end{aligned}}$
diperoleh
$\begin{aligned} & ^2 \log 256 + ^2 \log \left(\dfrac{1}{16}\right) – ^2 \log 64 \\ & = ^2 \log \left(256 \times \dfrac{1}{16} \div 64\right) \\ & = ^2 \log \left(\dfrac{1}{4}\right) \\ & = ^2 \log 2^{-2} = -2 \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $^2 \log 256 + ^2 \log \left(\dfrac{1}{16}\right) – ^2 \log 64$ adalah $\boxed{-2}$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika $x$ dan $y$ merupakan penyelesaian sistem persamaan $2x-y=7$ dan $x+3y=14$, maka nilai $x+2y$ adalah $\cdots$
A. $8$          B. $9$        C. $11$          D. $13$          E. $21$

Penyelesaian

Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x – y & = 7 \\ x + 3y & = 14 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 6x -3y & = 21 \\ x+3y & = 14 \end{aligned} \\ & \rule{2.5 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 7x & = 35 \\ x & = 5 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusikan (gantikan) $x = 5$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan pertama.
$\begin{aligned} 2x – y & = 7 \\ 2(5) – y & = 7   \\  10 – y & = 7 \\ y & = 3  \end{aligned}$
Diperoleh nilai $y = 3$, sehingga $\boxed{x+2y=5+2(3)=11}$ (Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Soal Nomor 4
Diketahui matriks $P = \begin{bmatrix} 4 + a & 2a + b & 5 \\ c & 2b + c & 8 \\ 3b + 1 & 6 & d \end{bmatrix}$, $Q = \begin{bmatrix} 6 & 3 & 2a + c \\ a + b & -1 & 4a \\ -2 & 6c & -2 \end{bmatrix}$.
Jika matriks $P=Q$, maka hasil dari $6(3a+2b)-(3c+6d)$ adalah $\cdots$
A. $30$              C. $32$             E. $34$
B. $31$              D. $33$        

Penyelesaian

Diketahui
$$\begin{bmatrix} 4 + a & 2a + b & 5 \\ c & 2b + c & 8 \\ 3b + 1 & 6 & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 3 & 2a + c \\ a + b & -1 & 4a \\ -2 & 6c & -2 \end{bmatrix}$$
Tinjau entri pada baris 1 kolom 1.
$4+a = 6 \Rightarrow a = 2$
Tinjau entri pada baris 1 kolom 2.
$\begin{aligned} 2a + b & = 3 \\ 2(2) + b & = 3 \\ 4 + b & = 3 \\ b & = -1 \end{aligned}$
Tinjau entri pada baris 1 kolom 3.
$\begin{aligned} 5 & = 2a+c \\ 2(2) + c & = 5 \\ 4 + c & = 5 \\ c & = 1 \end{aligned}$
Tinjau entri pada baris 3 kolom 3.
$d = -2$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} & 6(3a+2b) – (3c+6d) \\ & = 6(3(2)+(2(-1)) – (3(1)+6(-2)) \\ & = 6(6-2)-(3-12) \\ & = 24 – (-9) = 33 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $6(3a+2b) -(3c+6d)$ adalah $\boxed{33}$ (Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks

Soal Nomor 5
Diketahui matriks $\begin{aligned} & A = \begin{bmatrix} 2 & -6 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ -5 & 5 \end{bmatrix}, \\ & C = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -6 & 3 \end{bmatrix} \end{aligned}$. Hasil dari $A+3B-2C$ adalah $\cdots$
A. $\begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 4 & 12 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -4 & -1 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -4 & 12 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -4 & 12 \end{bmatrix}$
E. $\begin{bmatrix} -4 & 2 \\ -1 & 12 \end{bmatrix}$
Catatan: Pilihan jawaban dari soal ini telah direvisi dari naskah soal aslinya.

Penyelesaian

$$\begin{aligned} & A +3B-2C \\ & = \begin{bmatrix} 2 & -6 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ -5 & 5 \end{bmatrix} -2 \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -6 & 3 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 2 & -6 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 12 \\ -15 & 15 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ -12 & 6 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 2 + 3 – 6 & -6 + 12 – 4 \\ -1 + (-15) – (-12) & 3 + 15 – 6 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -4 & 12 \end{bmatrix} \end{aligned}$$
Jadi, hasil dari $A+3B-2C$ adalah $\boxed{\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -4 & 12 \end{bmatrix}}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui matriks $A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$. Invers matriks $A$ adalah $\cdots$
A. $\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}$
E. $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$

Penyelesaian

Diketahui $A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$
Determinan matriks ini adalah
$\det(A) = -1(1) – (1)(-2) = -1 + 2 = 1$
Perhatikan bahwa jika diberikan matriks $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, maka inversnya adalah
$A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$
Dengan demikian, dapat dituliskan
$A^{-1} = \dfrac{1}{1}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -(-2) & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$
Jadi, invers dari matriks $A$ adalah $\boxed{\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Luas sebuah tempat parkir adalah $420~\text{m}^2$. Tempat parkir yang diperlukan oleh sebuah sedan adalah $5~\text{m}^2$ dan luas rata-rata sebuah truk $15~\text{m}^2$. Tempat parkir tersebut dapat menampung tidak lebih dari $60$ kendaraan. Biaya parkir untuk sebuah sedan Rp3.000,00 dan untuk sebuah truk Rp5.000,00. Jika banyak sedan yang diparkir $x$ buah dan banyak truk $y$ buah, model matematika dari masalah tersebut adalah $\cdots$
A. $x+3y \leq 84, x + y \leq 60, x \geq 0, y \geq 0$
B. $x+3y \geq 84, x + y \leq 60, x \geq 0, y \geq 0$
C. $x+3y \leq 84, x + y \geq 60, x \geq 0, y \geq 0$
D. $x+3y \geq 84, x + y \geq 60, x \geq 0, y \geq 0$
E. $3x+y \leq 84, x + y \leq 60, x \geq 0, y \geq 0$

Penyelesaian

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan banyaknya sedan dan truk. Untuk itu, dapat dibuat sistem pertidaksamaan linear yang disusun berdasarkan tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  & \text{Roti Jenis I} & \text{Roti Jenis II} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Luas parkiran} & 5 & 15  & \leq 420 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \leq 60 \\ \hline \end{array}$$
$\begin{cases} 5x + 15y \leq 420 \\ x + y \leq 60 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
atau disederhanakan menjadi
$\begin{cases} x + 3y \leq 84 \\ x + y \leq 60 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 8
Daerah penyelesaian dari sistem persamaan linear
$2x+y \leq 6; x + 3y \geq 6; x \geq 0; y \geq 0, x, y \in \mathbb{R}$
adalah $\cdots$

A. I          B. II         C. III          D. IV          E. V

Penyelesaian

Titik potong garis $2x + y \leq 6$ terhadap sumbu koordinat dapat dinyatakan dalam tabel berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline  x & 0 & 3 \\ \hline y & 6 & 0 \\ \hline (x, y) & (0,6) & (3, 0) \\ \hline \end{array}$
Daerah I dan II adalah  daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ini karena bertanda $\leq$ (arsirannya ke bawah).
Titik potong garis $x+3y \geq 6$ terhadap sumbu koordinat dapat dinyatakan dalam tabel berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline  x & 0 & 6 \\ \hline y & 2 & 0  \\ \hline (x, y) & (0,2) & (6, 0) \\ \hline \end{array}$
Daerah III dan IV adalah  daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ini karena bertanda $\geq$ (arsirannya ke atas).
Perhatikan bahwa pertidaksamaan $x \geq 0, y \geq 0$ membatasi daerah penyelesaiannya hanya pada kuadran pertama.
Daerah irisannya adalah daerah III. Jadi, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear tersebut adalah daerah III. (Jawaban C) 

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Program Linear (Tingkat SMA/Sederajat)

 Soal Nomor 9
Untuk menambah penghasilan, seorang ibu rumah tangga setiap harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap kue jenis I modalnya Rp1.000,00 dengan keuntungan Rp800,00, sedangkan setiap kue jenis II modalnya Rp1.500,00 dengan keuntungan Rp900,00. Jika modal yang tersedia setiap harinya adalah Rp500.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue, maka keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu rumah tangga tersebut adalah $\cdots$
A. Rp300.000,00            D. Rp360.000,00
B. Rp320.000,00            E. Rp400.000,00
C. Rp340.000,00

Penyelesaian

Misalkan banyaknya kue jenis I dan II berturut-turut dinotasikan sebagai $x$ dan $y$. Dengan demikian, dapat dibentuk sistem pertidaksamaan linear berdasarkan tabel berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{K1} & \text{K2} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Kuantitas} &  1 & 1 & \leq 400 \\ \text{Biaya} & 1000 & 1500 & \leq 500.000 \\ \hline \end{array}$
$\begin{cases} 1.000x + 1.500y \leq 500.000 \\ x + y \leq 400 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
atau dapat disederhanakan menjadi
$\begin{cases} 2x + 3y \leq 1.000 \\ x + y \leq 400 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
yang merupakan kendala dari fungsi objektif $P = 800x + 900y$. Dalam hal ini, akan dicari nilai maksimum dari $P$ dengan uji titik pojok daerah penyelesaiannya.
Gambarkan grafik dari sistem pertidaksamaan linear di atas pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.




Titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah $B(400, 0), C(200, 200)$, dan $D\left(0, \dfrac{1000}{3}\right)$. Uji ketiga titik pojoknya pada fungsi objektif $P = 800x + 900y$ dengan menggunakan tabel seperti di bawah.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 800x+900y \\ \hline B(400,0) & 320.000  \\ color{green}{C(200, 200)} & \color{green}{340.000} \\ D\left(0, \dfrac{1000}{3}\right) & 300.000 \\ \hline \end{array}$$
Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu rumah tangga tersebut adalah Rp340.000,00 (Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 10
Persamaan kuadrat $x^2 + 6x + 8 = 0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Nilai dari $x_1^2 + x_2^2$ adalah $\cdots$
A. $10$             C. $18$             E. $35$
B. $14$            D. $20$          

Penyelesaian

Diberikan persamaan kuadrat $x^2+6x+8=0$. Ini berarti, $a = 1, b = 6$, dan $c = 8$.
Diketahui jumlah akarnya:
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{6}{1} = -6$
dan hasil kali akarnya:
$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c} {a} = \dfrac{8}{1} = 8$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} x_1^2 + x_2^2 & = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2 \\ & = (-6)^2 – 2(8) \\ & = 36 – 16 = 20 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $x_1^2+x_2^2$ adalah $\boxed{20}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat

 Soal Nomor 11
Persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik $(-1,1)$ dan memiliki titik balik $P(2, -8)$ adalah $\cdots$
A. $y = x^2 + 4x + 4$                
B. $y = x^2-4x-4$                  
C. $y = x^2 + 4x + 6$
D. $y = x^2 + 4x-4$
E. $y = x^2-4x + 6$

Penyelesaian

Fungsi kuadrat yang diketahui melalui $(x, y)$ dan titik baliknya $(x_p, y_p)$ adalah
$\boxed{y = a(x – x_p)^2 + y_p}$
Diketahui $x = -1, y = 1, x_p = 2, y_p = -8$. Dengan demikian, akan dicari nilai $a$ terlebih dahulu menggunakan rumus di atas.
$\begin{aligned} 1 & = (-1 – 2)^2 + (-8) \\ 1 & = 9a – 8 \\ 9 & = 9a \\ a & = 1 \end{aligned}$
Dengan menggunakan rumus di atas kembali, substitusikan $a = 1, x_p = 2$, dan $y_p = -8$.
$\begin{aligned} y & = 1(x – 2)^2 – 8 \\ & = x^2 – 4x + 4 – 8 \\ & = x^2 – 4x – 4 \end{aligned}$
Jadi, fungsi kuadratnya adalah $\boxed{y = x^2 – 4x – 4}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui barisan bilangan $16, 8, 4, 2, \cdots$. Rumus suku ke-$n$ dari barisan tersebut adalah $\cdots$
A. $2^n$                        D. $2^{5-5n}$
B. $2^{5-n}$                   E. $2^{5-2n}$
C. $2^{n-5}$

Penyelesaian

Barisan tersebut merupakan barisan geometri dengan $a = 16$ dan $r = \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}$.
Dengan menggunakan rumus suku ke-$n$ barisan geometri: $\text{U}_n = ar^{n-1}$, diperoleh
$\begin{aligned} \text{U}_n & = 16\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \\ & = 2^4 \cdot 2^{1-n} \\ & = 2^{4+1-n} = 2^{5-n} \end{aligned}$
Jadi, rumus suku ke-$n$ barisan tersebut adalah $\boxed{2^{5-n}}$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui barisan aritmetika dengan suku pertama $3$ dan suku ke-$5$ adalah $11$. Suku ke-$25$ dari barisan tersebut adalah $\cdots$
A. $73$            C. $68$            E. $51$
B. $70$            D. $61$        

Penyelesaian

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a + (n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_5 – \text{U}_1}{5 – 1} = \dfrac{11 – 3}{4} = 2$
Suku ke-25 barisan tersebut adalah
$\boxed{\text{U}_{25} = a + 24b = 3 + 24(2) = 51}$ (Jawaban E)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

Soal Nomor 14
Diketahui barisan geometri dengan suku pertama adalah $24$ dan suku ke-$3$ adalah $\dfrac{8}{3}$. Suku ke-$5$ barisan tersebut adalah $\cdots$
A. $\dfrac{8}{3}$    B. $\dfrac{8}{9}$      C. $\dfrac{8}{18}$    D. $\dfrac{8}{27}$     E. $\dfrac{8}{36}$

Penyelesaian

Diketahui $a = 24$ dan $\text{U}_3 = \dfrac{8}{3}$. Langkah pertama adalah menentukan rasio barisan geometri ini terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_3 & = \dfrac{8}{3} = 24r^{3-1} \\ \dfrac{8}{3} & = 24r^2 \\ r^2 & = \dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{1}{24}  \\ r^2 & = \dfrac{1}{9} \\ r & = \dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} \text{U}_5 & = ar^4 \\ & = 24\left(\dfrac{1}{3}\right)^4 \\ & = 24 \cdot \dfrac{1}{81} = \dfrac{8}{27} \end{aligned}$
Jadi, suku ke-6 barisan geometri itu adalah $\boxed{\dfrac{8}{27}}$ (Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 15
Keuntungan sebuah percetakan setiap bulannya bertambah menjadi dua kali lipat dari keuntungan bulan sebelumnya. Jika keuntungan bulan pertama Rp600.000,00, maka keuntungan percetakan tersebut pada bulan keenam adalah $\cdots$
A. Rp17.000.000,00            D. Rp20.200.000,00
B. Rp19.200.000,00            E. Rp20.450.000,00
C. Rp19.850.000,00

Penyelesaian

Kasus di atas adalah masalah kontekstual terkait barisan geometri dengan $a = 600.000$ dan $r = 2$. Dalam hal ini, akan dicari nilai dari $\text{U}_6$.
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_6 & = 600.000 \cdot 2^{6-1} \\ & = 600.000 \cdot 2^5 \\ & = 600.000 \cdot 32 = 19.200.000 \end{aligned}$
Jadi, keuntungan percetakan tersebut pada bulan keenam adalah Rp19.200.000,00 (Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 16
Jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah $9$, sedangkan rasionya adalah $\dfrac{2}{3}$. Suku pertama deret tersebut adalah $\cdots$
A. $3$        B. $6$       C. $8$          D. $9$        E. $12$

Penyelesaian

Diketahui $S_{\infty} = 9$ dan $r = \dfrac{2}{3}$. Dengan menggunakan formula jumlah deret geometri tak hingga:
$\boxed{S_{\infty} =\dfrac{a} {1-r}}$
diperoleh
$\begin{aligned} 9 & = \dfrac{a} {1-\dfrac{2}{3}} \\ 9 & = \dfrac{a} {\dfrac{1}{3}} \\ a & = 9 \times \dfrac{1}{3} = 3 \end{aligned}$
Jadi, suku pertama deret tersebut adalah $\boxed{3}$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 17
Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antarbulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp50.000,00, bulan kedua Rp55.000,00, bulan ketiga Rp60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah $\cdots$
A. Rp2.640.000,00             D. Rp1.320.000,00
B. Rp2.580.000,00             E. Rp1.315.000,00
C. Rp2.040.000,00

Penyelesaian

Karena selisih antarsuku tetap (konstan), maka kasus di atas tergolong masalah kontekstual yang melibatkan barisan aritmetika.
Diketahui $\text{U}_1 = a = 50.000$ dan $b = 5.000$.
Akan dicari nilai dari $\text{S}_{24}$ (2 tahun = 24 bulan).
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ \text{S}_{24} & = \dfrac{24}{2}(2 \times 50.000 + (24 – 1) \times 5.000) \\ & = 12(100.000 + 115.000) \\ & = 12 \times 215.000 = 2.580.000 \end{aligned}$
Jadi, besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah Rp2.580.000,00 (Jawaban B).

[collapse]

Soal Nomor 18
Afif menabung di bank sebesar Rp3.000.000,00 dan memperoleh bunga majemuk sebesar $1\%$ per bulan. Jika bank tidak membebankan biaya administrasi, maka simpanan Arif setelah $1$ tahun adalah $\cdots$
(Petunjuk: $1,10^{10} = 1,10462$; $1,10^{11} = 1,11567$; $1,10^{12} = 1,12683$)
A. Rp3.380.490,00           D. Rp3.660.140,00
B. Rp3.430.120,00           E. Rp3.880.220,00
C. Rp3.550.180,00

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Matematika Ekonomi (SMA)

Penyelesaian

Diketahui: $M_0 = 3.000.000, i = 1\% = 0,01$, dan $n = 12$ (karena 1 tahun = 12 bulan). Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} M & = M_0(1 + i)^n \\ & = 3.000.000(1 + 0,01)^{12} \\ & = 3.000.000(1,01)^{12} \\ & = 3.000.000 \times 1,12683 \\ & = 3.380.490 \end{aligned}$
Jadi, simpanan Arif setelah satu tahun sebanyak Rp3.380.490,00 (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19
Bayangan titik $B(4,8)$ direfleksikan terhadap sumbu $X$ kemudian dilanjutkan dengan dilatasi $\left[O, \dfrac{1}{2}\right]$ adalah $\cdots$
A. $(-2, 4)$                  D. $(-8, 4)$
B. $(2, -4)$                  E. $(-8, -4)$
C. $(8, -2)$

Penyelesaian

Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(kx, ky)$.
Konsep refleksi: Jika titik $(x, y)$ direfleksikan (dicerminkan) terhadap sumbu $X$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(x,-y)$.
Untuk itu, dapat dibuat skema panah dari proses refleksi terhadap sumbu $X$ terhadap titik $B$ berikut.
$B(4, 8) \xrightarrow{R_X} B'(4, -8)$
Selanjutnya, buatlah skema panah proses dilatasi terhadap titik $B$ seperti berikut.
$$B'(4, -8) \xrightarrow{D\left[O, \dfrac{1}{2}\right]} P'(\dfrac{1}{2} \times 4, \dfrac{1}{2} \times -8) = P^{\prime \prime}(2, -4)$$
Jadi, koordinat bayangan titik $B$ adalah $(2, -4)$ (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Segitiga $KLM$ dengan $K(6,4), L(-3, 1), M(2, -2)$ didilatasi dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala $4$. Koordinat bayangan $\triangle KLM$ adalah $\cdots$
A. $K(30, 7), L(-6, -5), M(14, -17)$
B. $K(30, 7), L(-6, -5), M(10, -12)$
C. $K(30, 7), L(-3, -7), M(14, -17)$
D. $K(7, 24), L(-5, -6), M(14, 8)$
E. $K(7, 24), L(-6, -5), M(7, 30)$

Penyelesaian

Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(a,b)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(k(x-a)+a, k(y-b)+b)$.
Bayangan titik $K(6, 4)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala 4 adalah

$K'(4(6+2)-2, 4(4-3)+3) = K'(30, 7)$
Bayangan titik $L(-3, 1)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala 4 adalah
$$L'(4(-3+2)-2, 4(1-3)+3) = L'(-6, -5)$$
Bayangan titik $M(2, -2)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala 4 adalah
$$M'(4(2+2)-2, 4(-2-3)+3) = M'(14, -17)$$
Jadi, koordinat bayangan $\triangle KLM$ adalah $\boxed{K(30, 7), L(-6, -5), M(14, -17)}$ (Jawaban A) 

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Transformasi Geometri (Tingkat SMA/Sederajat)

 Soal Nomor 21
Jika persamaan garis lurus $y = 2x+3$, maka persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi $T = (3, 2)$ adalah $\cdots$
A. $y = 3x$                        D. $y = 2x – 4$
B. $y = 2x + 6$                 E. $y = 2x – 1$
C. $y = 2x – 6$

Penyelesaian

Ambil satu titik yang dilalui garis itu, misalkan titik $(x,y)$. Koordinat bayangan titik ini setelah ditranslasikan oleh $T(3, 2)$ ditunjukkan oleh skema panah berikut.
$(x, y) \xrightarrow{T(3, 2)} (x+3, y+2)$
Dengan demikian, dapat ditulis $x’ = x + 3$ dan $y’ = y + 2$, atau

$\begin{cases} x = x’ – 3 \\ y = y’ – 2 \end{cases}$
Substitusikan kedua bentuk ini pada persamaan garis $y=2x+3$.
$\begin{aligned} y & = 2x + 3 \\ y’ – 2 & = 2(x’-3) + 3 \\ y’ & = 2x’ – 6 + 3 + 2 \\  y’ & = 2x’ – 1 \end{aligned}$
Jadi, bayangan garis $y = 2x+3$ setelah ditranslasikan oleh $T(3,2)$ adalah $\boxed{y=2x-1}$  (Jawaban E)   

[collapse]

Soal Nomor 22
Banyaknya bilangan yang dapat disusun dari angka-angka terdiri dari tiga angka yang dibentuk dari angka 1, 2, 3, 4, dan 5 dengan syarat dalam setiap bilangan tidak ada angka yang berulang adalah $\cdots$
A. $15$           C. $60$              E. $243$
B. $20$           D. $125$       

Penyelesaian

Karena posisi bilangan bila dibolak-balik (misalnya 123, 321, 132, dst) dianggap sebagai bilangan yang berbeda, maka ini merupakan kasus permutasi, yaitu permutasi 3 bilangan dari 5 bilangan, ditulis
$\begin{aligned} P^n_r & = \dfrac{n!}{(n-r)!} \\ P^5_3 & = \dfrac{5!}{(5-3)!} \\ & = \dfrac{5 \times 4 \times 3 \times \cancel{2!}}{\cancel{2!}} \\ & = 60 \end{aligned}$
Jadi, banyaknya bilangan yang dapat disusun dengan kondisi tersebut adalah $\boxed{60}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 23
Banyak susunan berbeda dari $5$ orang yang duduk mengelilingi suatu meja bundar apabila ada dua orang tertentu yang harus duduk berdampingan adalah $\cdots$
A. $12$             C. $48$                 E. $720$
B. $24$             D. $120$        

Penyelesaian

Kasus ini tergolong kasus permutasi siklik (melingkar). Misalkan $5$ orang itu dimisalkan A, B, C, D, dan E, dan dimisalkan juga A dan B harus duduk berdampingan. Ini berarti, permutasinya hanya melibatkan $4$ objek, yaitu AB, C, D, dan E dan perhatikan bahwa AB, BA, dihitung sebagai posisi duduk yang berbeda (ada $2!$ cara menyusunnya). Untuk itu,
$\begin{aligned} P_n & = (n-1)! \times 2! \\ P_4 & = (4 – 1)! \times 2 \\ & = 3! \times 2 = 12 \end{aligned}$
Jadi, banyak susunan berbeda posisi duduknya adalah $\boxed{12~\text{cara}}$. (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 24
KONI Kalbar mempunyai $12$ atlet bulu tangkis andalan, akan dikirim $7$ atlet bulu tangkis untuk Pertandingan Bulu Tangkis Jakarta Open $2018$. Banyaknya susunan yang berbeda dari atlet bulu tangkis yang akan dikirim adalah $\cdots$
A. $529$               D. $829$
B. $629$               E. $992$
C. $792$                

Penyelesaian

Ini merupakan kasus kombinasi, karena urutan atlet yang dikirim tidak diperhitungkan berbeda. Dalam hal ini, kombinasi $7$ dari $12$ objek, ditulis
$\begin{aligned} C^n_r & = \dfrac{n!}{(n-r)!r!} \\ C^{12}_7 & = \dfrac{12!}{(12-7)!7!} \\ & = \dfrac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times \cancel{7!}}{5! \times \cancel{7!}} \\ & = 792 \end{aligned}$
Jadi, banyak susunan berbeda dari atlet bulu tangkis yang akan dikirim adalah $\boxed{792}~\text{cara}$ (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 25
Sebuah kotak berisi $3$ bola merah, $5$ bola putih, dan $2$ bola biru. Dari dalam kotak diambil sebuah bola secara acak. Peluang terambilnya bola berwarna biru adalah $\cdots$
A. $\dfrac{1}{5}$    B. $\dfrac{3}{10}$     C. $\dfrac{2}{5}$    D. $\dfrac{3}{5}$     E. $\dfrac{4}{5}$

Penyelesaian

Misalkan $A =$ kejadian terambilnya bola berwarna biru. Diketahui $\text{n}(A) = 2$ (banyak bola biru dalam kotak ada 2) dan $\text{n}(S) = 10$ (banyak seluruh bola dalam kotak), sehingga
$P(A) = \dfrac{\text{n}(A)}{\text{n}(S)} = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$
Jadi, peluang terambilnya sebuah bola berwarna biru adalah $\boxed{\dfrac{1}{5}}$ (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 26
Cermati tabel distribusi frekuensi berikut.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Nilai} & \text{f} \\ \hline 7-12 & 5 \\ 13-18 & 6 \\ 19-24 & 10 \\ 25-30 & 2 \\ 31-36 & 5 \\ \hline \end{array}$
Modus data tersebut adalah $\cdots$
A. $19,50$             D. $20,50$
B. $19,75$             E. $22,25$
C. $20,25$

Penyelesaian

Perhatikan tabel berikut.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Nilai} & \text{f} \\ \hline 7 – 12 & 5 \\ 13-18 & 6 \\ \color{red} {19-24} & \color{red}{10} \\ 25-30 & 2 \\ 31-36 & 5 \\ \hline \end{array}$

Dari tabel distribusi di atas, diketahui kelas modusnya pada kelas dengan rentang $19-24$ karena frekuensinya tertinggi.
Tepi bawah kelas modus $L_0 = 19 – 0,5 = 18,5$
Lebar kelas $c = 6$
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya $d_1 = 10 – 6 = 4$
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas setelahnya $d_2 = 10 – 2 = 8$
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} \text{Mo} & = L_0 + c\left(\dfrac{d_1}{d_1+d_2}\right) \\ & = 18,5 + 6\left(\dfrac{4}{4+8}\right) \\ & = 18,5 + 2 \\ & = 20,5 \end{aligned}$
Jadi, modus dari data tersebut adalah $\boxed{20,50}$ (Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Statistika (Tingkat SMA/Sederajat)

Soal Nomor 27
Data ukuran panjang ikan gurame umur 2 bulan disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Panjang (mm)} & \text{Frekuensi} \\ \hline 30-35 & 5 \\ 36-41 & 9 \\ 42-47 & 8 \\ 48-53 & 12 \\ 54-59 & 6 \\ \hline \end{array}$
Median dari data tersebut adalah $\cdots$
A. $44,25$ mm              D. $46,00$ mm
B. $45,50$ mm              E. $46,50$ mm
C. $45,75$ mm

Penyelesaian

Lengkapi tabel di atas dengan menambahkan kolom frekuensi kumulatif.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Panjang (mm)} & \text{Frekuensi} & F_k \\ \hline 30-35 & 5 & 5 \\ 36-41 & 9 & 14 \\ \color{red}{42-47} & \color{red}{8} & \color{red}{22} \\ 48-53 & 12 & 34 \\ 54-59 & 6 & 40 \\ \hline \text{Jumlah} & 40 & – \\ \hline \end{array}$$
Kelas median terletak di kelas yang memuat datum ke-$\dfrac{n}{2} = \dfrac{40}{2} = 20$, yaitu pada kelas dengan rentang $42-47$.

Tepi bawah kelas median $L_0 = 42-0,5 = 41,5$
Lebar kelas $c = 6$
Frekuensi kumulatif sebelum kelas median $\sum F_k = 14$
Frekuensi kelas median $f_{m} = 8$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \text{Me} & = L_0 + c\left(\dfrac{\frac{n}{2} – \sum F_k}{f_{m}}\right) \\ & = 41,5 + 6\left(\dfrac{\frac{40}{2} – 14}{8}\right) \\ & = 41,5 + 6\left(\dfrac{6}{8}\right) \\ & = 41,5 + \dfrac{9}{2} \\ & = 41,5 + 4,5 =  46 \end{aligned}$
Jadi, median dari data pada tabel di atas adalah $\boxed{46,00~\text{mm}}$ (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 28
Upah dari sejumlah karyawan disajikan dalam tabel distribusi frekuensi di bawah ini.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Upah (Puluh Ribuan)} & \text{Frekuensi} \\ \hline 120-126 & 10 \\ 127-133 & 12 \\ 134-140 & 18 \\ 141-147 & 30 \\ 148-154 & 16 \\ 155-161 & 14 \\ \hline \end{array}$
Nilai persentil ke-$70$ data tersebut adalah $\cdots$
A. Rp1.270.000,00               D. Rp1.475.000,00
B. Rp1.340.000,00               E. Rp1.625.000,00
C. Rp1.405.000,00 

Penyelesaian

Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Upah (Puluh Ribuan)} & \text{Frekuensi} & F_k \\ \hline 120-126 & 10 & 10\\ 127-133 & 12 & 22\\  134-140 & 18 & 40 \\ \color{red}{141-147}& \color{red}{30} & \color{red}{70} \\ 148-154 & 16 & 86 \\ 155-161 & 14 & 100 \\ \hline \text{Jumlah} & 100 & – \\ \hline \end{array}$$
Kelas persentil ke-70 terletak di kelas yang memuat datum ke-$\dfrac{70}{100} \times n = \dfrac{70}{100} \times 100 = 70$, yaitu pada kelas dengan rentang $141-147$.
Tepi bawah kelas persentil ke-$70$ $L_0 = 141-0,5 = 140,5$
Lebar kelas $c = 7$
Frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-70 $\sum F_k = 40$
Frekuensi kelas persentil ke-$70$ $f_{p} = 30$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \text{P}_{70} & = L_0 + c\left(\dfrac{\frac{70n}{100} – \sum F_k}{f_{p}}\right) \\ & = 140,5 + 7\left(\dfrac{\frac{70\times 100}{100} – 40}{30}\right) \\ & = 140,5 + 7\left(\dfrac{30}{30}\right) \\ & = 140,5 + 7 \\ & =  147,5 \end{aligned}$
Jadi, persentil ke-$70$ dari data pada tabel di atas adalah Rp1.475.000,00 (Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 29
Rata-rata ulangan matematika di suatu kelas adalah $78,4$, sedangkan simpangan standarnya $1,5$. Jika Andi adalah salah satu siswa kelas tersebut dan nilai ulangan matematikanya $82$, maka angka baku nilai ulangan matematikanya adalah $\cdots$
A. $4,2$            C. $3,4$             E. $2,4$
B. $3,8$            D. $2,8$        

Penyelesaian

Diketahui $x = 82, \overline{x} = 78,4$, dan $s = 1,5$. Dengan menggunakan rumus angka baku, didapat
$\begin{aligned} z & = \dfrac{x – \overline{x}}{s} \\ & = \dfrac{82 – 78,4}{1,5} \\ & = \dfrac{3,6}{1,5} = 2,4 \end{aligned}$
Jadi, angka baku nilai ulangan matematikanya adalah $\boxed{2,4}$ (Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 30
Simpangan rata-rata dari hasil ulangan matematika dengan nilai $3, 5, 8, 4, 6, 10$ adalah $\cdots$
A. $1,00$           C. $2,00$          E. $6,00$
B. $1,60$           D. $2,67$       

Penyelesaian

Rata-rata dari 6 data tersebut adalah
$\overline{x} = \dfrac{3+5+8+4+6+10}{6} = 6$
Selanjutnya, carilah simpangan rata-rata dengan menggunakan rumus berikut.
$\boxed{S_R = \dfrac{\sum |x_i – \overline{x}|} {n} }$
di mana $x_i$ adalah masing-masing datum, $\overline{x}$ adalah rata-rata data, dan $n$ banyaknya data.
$$\begin{aligned} S_R & = \dfrac{|3-6| + |5-6| + |8-6| + |4-6| + |6-6|+|10-6|} {6} \\ & = \dfrac{3+1+2+2+0+4}{6} \\ & = \dfrac{12}{6} = 2 \end{aligned}$$
Jadi, simpangan rata-rata dari data yang diberikan itu adalah $\boxed{2,00}$ (Jawaban C)

[collapse]

 

Ayo Beri Rating Postingan Ini
CategoriesBarisan dan Deret, Eksponen dan Logaritma, Kombinatorika, Matematika Ekonomi, Pangkat, Program Linear, SPLDV, Statistika Matematika, Teori Peluang, Transformasi GeometriTags, , , , , , , , , , , , ,

2 Replies to “Soal dan Pembahasan – Ulangan Umum Matematika Kelas XII Semester Ganjil TA 2018/2019 SMKN 3 Pontianak”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *