Soal dan Pembahasan – Residu Fungsi Kompleks dan Pengintegralan dengan Residu


Soal Nomor 1
Tentukan residu pada semua titik singular (pole) dari fungsi
f(z) = \dfrac{4}{1+z^2}

Penyelesaian

Fungsi itu dapat ditulis menjadi
f(z) = \dfrac{4}{(z+i) (z-i)}
Diperoleh titik singular z_0 = -i dan z_0 = i yang masing-masing berorde satu alias kutub sederhana (simple pole).
Ambil
p(z) = 4 dan q(z) = 1 + z^2
Dengan menggunakan rumus
\boxed{\displaystyle \text{Res}_{z = z_0} f(z) = \text{Res} \limits_{z = z_0} \dfrac{p(z)} {q(z)} = \dfrac{p(z_0)} {q'(z_0)}}
diperoleh
\displaystyle \text{Res}_{z = -i} \dfrac{4}{z^2+i} = \dfrac{4}{[2z]_{z = -i}} = \dfrac{4}{-2i}= -2i
dan
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = i} \dfrac{4}{z^2+i} = \dfrac{4}{[2z]_{z = i}} = \dfrac{4}{2i}= 2i
Jadi, untuk titik singular z_0= i, residu fungsinya adalah 2i, sedangkan untuk titik singular z_0 = -i, residu fungsinya adalah -2i.

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan residu pada titik singular dari fungsi f(z) = \dfrac{\cos z} {z^4}

Penyelesaian

(Cara I)
Diketahui titik singular fungsi ini adalah z_0 = 0. Ubah bentuk fungsinya dalam deret Laurent, di mana ekspresi \cos z sebagai bagian deret Taylor dan \dfrac{1}{z^4} sebagai principal part deret Laurent, sehingga
\begin{aligned} \displaystyle \dfrac{\cos z} {z^4} & = \dfrac{1}{z^4} \times \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^n \times z^{2n}} {(2n)!} \\ & = \dfrac{1}{z^4} \times \left(1 - \dfrac{z^2}{2!} + \dfrac{z^4}{4!} - \dfrac{z^6}{6!} + \cdots\right) \\ & = \dfrac{1}{z^4} -\dfrac{1}{z^4.2!} + \dfrac{1}{4!} - \dfrac{z^2}{6!} + \cdots \end{aligned}
Residu fungsi pada titik singular z_0 = 0 adalah koefisien dari \dfrac{1}{z - z_0} = \dfrac{1}{z}. Tampak pada ekspresi terakhir, tidak ada bentuk \dfrac{1}{z} yang berarti koefisiennya 0. Jadi, residu fungsi ini untuk titik singular z_0 = 0 adalah 0.
(Cara II)
Anda dapat menggunakan rumus residu secara langsung untuk z_0 = 0, yaitu
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = z_0} f(z) = \dfrac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} \left[\dfrac{d^{n-1}} {dz^{n-1}} \left((z - z_0)^n \times f(z)\right)\right],
maka
\begin{aligned} \displaystyle \text{Res} \limits_{z = 0} \dfrac{\cos z} {z^4} & = \dfrac{1}{(4-1)!} \lim_{z \to 0} \left[\dfrac{d^{4-1}} {dz^{4-1}} \left(z^n \times \dfrac{\cos z} {z^4} \right)\right]\\ & = \dfrac{1}{3!} \lim_{z \to 0} \left(\dfrac{d^3}{dz^3} (\cos z)\right) \\ & = \dfrac{1}{6} \lim_{z \to 0} (\sin z) = 0 \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan residu pada titik singular dari fungsi f(z) = \dfrac{\sin 2z} {z^6}

Penyelesaian

Diketahui titik singular fungsi ini adalah z_0 = 0.
Kita dapat memanfaatkan penjabaran fungsinya menjadi deret Laurent untuk mencari residunya.
\begin{aligned}\dfrac{\sin 2z} {z^6} & = \displaystyle \dfrac{1}{z^6} \times \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n(2z)^{n+1}} {(2n+1)!} \\ & = \dfrac{1}{z^6} \times \left((2z) - \dfrac{(2z)^3} {3!} + \dfrac{(2z) ^5}{5!} - \cdots\right) \\ & = \dfrac{2}{z^5} - \dfrac{2^3}{z^3.3!} + \dfrac{2^5}{z. 5!} - \cdots \end{aligned}
Residunya adalah koefisien dari \dfrac{1}{z - z_0} = \dfrac{1}{z} (karena z_0 = 0), yaitu
\boxed{\dfrac{2^5}{5!} = \dfrac{4}{15}}

[collapse]

Soal Nomor 4
Carilah residu dari f(z) =\tan z

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
f(z) = \tan z = \dfrac{\sin z} {\cos z}
Titik singular fungsinya adalah nilai z yang membuat \cos z = 0, yaitu z_0 = \dfrac{\pi}{2}, sehingga dengan menggunakan rumus
\boxed{\displaystyle \text{Res} \limits_{z = z_0} f(z) = \text{Res} \limits_{z = z_0} \dfrac{p(z)} {q(z)} = \dfrac{p(z_0)} {q'(z_0)}}
diperoleh
\displaystyle \text{Res}_{z = \frac{\pi} {2}} \dfrac{\sin z} {\cos z} = \dfrac{\sin \dfrac{\pi} {2}} {-\sin \dfrac{\pi} {2}} = -1
Jadi, residu fungsinya adalah -1

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan residu dari fungsi f(z) = \sec z

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
f(z) = \sec z = \dfrac{1}{\cos z}
Titik singular/pole fungsinya adalah nilai z saat \cos z = 0, yaitu z_0 = \dfrac{\pi} {2}, sehingga
\displaystyle \text{Res}_{z = \frac{\pi} {2}} \dfrac{1}{\cos z} = \dfrac{1}{-\sin \dfrac{\pi} {2}} = -1
Jadi, residu fungsinya adalah -1.

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan residu dari fungsi f(z) = \dfrac{1}{1 - e^z}

Penyelesaian

Titik singular/pole fungsi ini adalah nilai z sehingga 1 - e^z = 0, yaitu z_0 = 0
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = 0} \dfrac{1}{1 - e^z} = \dfrac{1}{-e^0} = -1
Jadi, residu fungsinya adalah -1

[collapse]

Soal Nomor 7
Carilah residu dari fungsi f(z) = \dfrac{1}{(z^2-1)^2}

Penyelesaian

Fungsi ini dapat ditulis menjadi
f(z) = \dfrac{1}{(z-1)^2(z+1)^2}
Fungsi ini ternyata memiliki dua buah pole, yaitu z_0 = 1 (berorde dua) dan z_0 = -1 (berorde dua).
Residu pada titik singular z_0 = 1 adalah
\begin{aligned}& \displaystyle \text{Res} \limits_{z = 1} \dfrac{1}{(z-1)^2(z+1)^2} \\ & = \dfrac{1}{(2-1)!} \lim_{z \to 1} \left[\dfrac{d} {dz} \left((z-1)^2 \times \dfrac{1}{(z-1)^2(z+1)^2} \right)\right]\\ & = \lim_{z \to 1} \left(\dfrac{d}{dz} \left(\dfrac{1}{(z+1)^2}\right)\right) \\ & = \lim_{z \to 1} \left(\dfrac{-2}{(z+1)^3}\right) = -\dfrac{1}{4} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan residu dari f(z) = \dfrac{z^4}{z^2 - iz + 2}

Penyelesaian

Fungsi di atas dapat ditulis
f(z) = \dfrac{z^4}{(z-2i) (z+i)}
Diperoleh pole fungsinya, yaitu z_0 = 2i dan z_0 = -i (masing-masing berorde satu).
Residu pada titik singular/pole z_0 = 2i adalah
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = 2i} \dfrac{z^4}{z^2 - iz + 2} = \dfrac{(2i^4}{2(2i) - i} = \dfrac{16}{3}i
Residu pada titik singular/pole z_0 = -i adalah
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = -i} \dfrac{z^4}{z^2 - iz + 2} = \dfrac{(-i) ^4}{2(-i) - i} = -\dfrac{1}{3}i

[collapse]

Soal Nomor 9
Hitunglah \displaystyle \int \limits_{C} \tan \pi z~dz dengan C: |z| = 1

Penyelesaian

Kurva yang diberikan adalah kurva lingkaran berpusat di titik asal dan berjari-jari 1. Pertama, kita akan mencari pole dari integrannya, yaitu
\tan \pi z = \dfrac{\sin \pi z} {\cos \pi z}
Nilai z yang membuat \cos \pi z = 0 adalah z_0 = \pm \dfrac{1}{2}. Selain itu, z_0 = \pm \dfrac{3}{2} juga membuat \cos \pi z = 0, tetapi z_0 ini berada di luar kurva C, jadi tidak perlu ditinjau.
Langkah selanjutnya akan dicari residu pada pole z_0 = \dfrac{1}{2} pada fungsi tersebut, yaitu
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = \frac{1}{2}} \dfrac{\sin \pi z} {\cos \pi z} = \dfrac{\sin \dfrac{1}{2}\pi} {-\pi \sin \dfrac{1}{2}\pi} = -\dfrac{1}{\pi}
Berikutnya, akan dicari residu pada pole z_0 = -\dfrac{1}{2} pada fungsi tersebut, yaitu
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = -\frac{1}{2}} \dfrac{\sin \pi z} {\cos \pi z} = \dfrac{\sin -\dfrac{1}{2}\pi} {-\pi \sin -\dfrac{1}{2}\pi} = -\dfrac{1}{\pi}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \displaystyle \int \limits_{C} \tan \pi z~dz & = 2\pi i \times \sum \text{Res} \tan \pi z \\ & = 2 \pi i\left(-\dfrac{1}{\pi} - \dfrac{1}{\pi}\right) = -4i \end{aligned}
Jadi, hasil integralnya adalah -4i

[collapse]

Soal Nomor 10
Hitunglah \displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2 - 1}~dz dengan C: |z| = 2

Penyelesaian

Pole fungsinya adalah nilai z yang membuat 4z^2 - 1 = 0, yaitu z_0 = \pm \dfrac{1}{2} (keduanya berorde satu dan berada dalam kurva C).
Berikut akan dicari residu dari kedua pole itu satu per satu, yaitu
\displaystyle \text{Res}_{z = \frac{1}{2} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2 - 1} = \dfrac{\frac{1}{4} \sin \frac{1}{2}} {4} = \dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2}
dan
\displaystyle \text{Res}_{z = -\frac{1}{2} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2 - 1} = \dfrac{\frac{1}{4} \sin -\frac{1}{2}} {-4} = \dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2}
Dengan demikian,
\begin{aligned}\displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2 - 1}~dz & = 2\pi i \times \left(\dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2} \right) \\ & = \boxed{\dfrac{1}{4}\pi i \sin \dfrac{1}{2}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 11
Hitunglah \displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{e^z + z} {z^3 - z} dengan C: |z| = \dfrac{1}{2}\pi

Penyelesaian

Integrannya dapat ditulis menjadi
f(z) = \dfrac{e^z + z} {z(z-1)(z+1)}
Pole fungsi ini adalah z_0 = 0, z_0 = 1, dan z_0 = -1, ketiganya berorde satu dan berada dalam kurva C.
Berikut ini akan dicari residunya.
Residu untuk z_0 = 0 adalah
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = 0} \dfrac{e^z + z} {z^3 - z} = \dfrac{e^0 + 0}{3(0)^2 - 1} = -1
Residu untuk z_0 = 1 adalah
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = 1} \dfrac{e^z + z} {z^3 - z} = \dfrac{e^1 + 1}{3(1)^2 - 1} = \dfrac{e + 1}{2}
Residu untuk z_0 = -1 adalah
\displaystyle \text{Res} \limits_{z = -1} \dfrac{e^z - z} {z^3 - z} = \dfrac{e^{-1} - 1}{3(-1)^2 - 1} = \dfrac{e^{-1} - 1}{2}
Dengan demikian,
\begin{aligned} \displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{e^z + z} {z^3 - z} & = \dfrac{1}{2}\pi \\ & = 2\pi i \times \left(-1 + \dfrac{e + 1}{2} + \dfrac{e^{-1} - 1}{2}\right) \\ & = \boxed{\pi i(-2 + e + e^{-1})} \end{aligned}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *