Soal dan Pembahasan – Residu Fungsi Kompleks dan Pengintegralan dengan Residu

Berikut ini merupakan soal & pembahasan mengenai residu fungsi kompleks dan integrasi dengan residu yang semuanya dipelajari pada kajian analisis kompleks.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – ON MIPA-PT Matematika Bidang Analisis Kompleks

Quote by Fiersa Besari

Mungkin kita terlalu sibuk menamai hingga lupa memaknai. Rasa bukan matematika yang melibatkan logika.

Soal Nomor 1
Tentukan residu pada semua titik singular (pole) dari fungsi $f(z) = \dfrac{4}{1+z^2}$.

Penyelesaian

Fungsi itu dapat ditulis menjadi
$f(z) = \dfrac{4}{(z+i) (z-i)}$
Diperoleh titik singular $z_0 = -i$ dan $z_0 = i$ yang masing-masing berorde satu alias kutub sederhana (simple pole).
Ambil
$p(z) = 4$ dan $q(z) = 1 + z^2$
Dengan menggunakan rumus
$\boxed{\displaystyle \underset{z=z_0}{\text{Res}} f(z) = \underset{z=z_0}{\text{Res}} \dfrac{p(z)} {q(z)} = \dfrac{p(z_0)} {q'(z_0)}} $
diperoleh
$\displaystyle \underset{z=-i}{\text{Res}} \dfrac{4}{z^2+i} = \dfrac{4}{[2z]_{z = -i}} = \dfrac{4}{-2i}= -2i$
dan
$\displaystyle \underset{z=i}{\text{Res}} \dfrac{4}{z^2+i} = \dfrac{4}{[2z]_{z = i}} = \dfrac{4}{2i}= 2i$
Jadi, untuk titik singular $z_0= i$, residu fungsinya adalah $2i$, sedangkan untuk titik singular $z_0 = -i$, residu fungsinya adalah $-2i$.

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Analisis Kompleks Tingkat Dasar Bagian 1

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Analisis Kompleks Tingkat Dasar Bagian 2

Soal Nomor 2
Tentukan residu pada titik singular dari fungsi $f(z) = \dfrac{\cos z} {z^4}$.

Penyelesaian

(Cara I)
Diketahui titik singular fungsi ini adalah $z_0 = 0$. Ubah bentuk fungsinya dalam deret Laurent, di mana ekspresi $\cos z$ sebagai bagian deret Taylor dan $\dfrac{1}{z^4}$ sebagai principal part deret Laurent, sehingga
$\begin{aligned} \displaystyle \dfrac{\cos z} {z^4} & = \dfrac{1}{z^4} \times \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^n \times z^{2n}} {(2n)!} \\ & = \dfrac{1}{z^4} \times \left(1 -\dfrac{z^2}{2!} + \dfrac{z^4}{4!} – \dfrac{z^6}{6!} + \cdots\right) \\ & = \dfrac{1}{z^4} -\dfrac{1}{z^4.2!} + \dfrac{1}{4!} – \dfrac{z^2}{6!} + \cdots \end{aligned}$
Residu fungsi pada titik singular $z_0 = 0$ adalah koefisien dari $\dfrac{1}{z – z_0} = \dfrac{1}{z} $. Tampak pada ekspresi terakhir, tidak ada bentuk $\dfrac{1}{z} $ yang berarti koefisiennya $0$. Jadi, residu fungsi ini untuk titik singular $z_0 = 0$ adalah $0$.
(Cara II)
Kita dapat menggunakan rumus residu secara langsung untuk $z_0 = 0$, yaitu
$$\displaystyle \underset{z=z_0}{\text{Res}} f(z) = \dfrac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} \left[\dfrac{\text{d}^{n-1}} {\text{d}z^{n-1}} \left((z – z_0)^n \times f(z)\right)\right]$$sehingga
$$\begin{aligned} \displaystyle \underset{z=z_0}{\text{Res}} \dfrac{\cos z} {z^4} & = \dfrac{1}{(4-1)!} \lim_{z \to 0} \left[\dfrac{\text{d}^{4-1}} {\text{d}z^{4-1}} \left(z^n \times \dfrac{\cos z} {z^4} \right)\right]\\ & = \dfrac{1}{3!} \lim_{z \to 0} \left(\dfrac{\text{d}^3}{\text{d}z^3} (\cos z)\right) \\ & = \dfrac{1}{6} \lim_{z \to 0} (\sin z) = 0 \end{aligned}$$Jadi, residu pada titik singular dari fungsi tersebut adalah $\boxed{0}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Tentukan residu pada titik singular dari fungsi $f(z) = \dfrac{\sin 2z} {z^6}$.

Penyelesaian

Diketahui titik singular fungsi ini adalah $z_0 = 0$.
Kita dapat memanfaatkan penjabaran fungsinya menjadi deret Laurent untuk mencari residunya.
$$\begin{aligned}\dfrac{\sin 2z} {z^6} & = \displaystyle \dfrac{1}{z^6} \times \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n(2z)^{2n+1}} {(2n+1)!} \\ & = \dfrac{1}{z^6} \times \left((2z) -\dfrac{(2z)^3} {3!} + \dfrac{(2z) ^5}{5!} -\cdots\right) \\ & = \dfrac{2}{z^5} -\dfrac{2^3}{z^3 \cdot 3!} + \dfrac{2^5}{z \cdot 5!}-\cdots \end{aligned}$$Residunya adalah koefisien dari $\dfrac{1}{z -z_0} = \dfrac{1}{z}$ (karena $z_0 = 0$), yaitu $\boxed{\dfrac{2^5}{5!} = \dfrac{4}{15}} $

[collapse]

Soal Nomor 4
Carilah residu dari $f(z) =\tan z$.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$f(z) = \tan z = \dfrac{\sin z} {\cos z}$
Titik singular fungsinya adalah nilai $z$ yang membuat $\cos z = 0$, yaitu $z_0 = \dfrac{\pi}{2}$, sehingga dengan menggunakan rumus
$\boxed{\displaystyle \underset{z=z_0}{\text{Res}} f(z) =\underset{z=z_0}{\text{Res}} \dfrac{p(z)} {q(z)} = \dfrac{p(z_0)} {q'(z_0)}}$
diperoleh
$\displaystyle  \underset{z=\frac{\pi}{2}}{\text{Res}} \dfrac{\sin z} {\cos z} = \dfrac{\sin \dfrac{\pi} {2}} {-\sin \dfrac{\pi} {2}} = -1$
Jadi, residu fungsinya adalah $\boxed{-1}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Analisis Kurva Kompleks dan Integral Kontur

Soal Nomor 5
Tentukan residu dari fungsi $f(z) = \sec z$.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa
$f(z) = \sec z = \dfrac{1}{\cos z}$
Titik singular/pole fungsinya adalah nilai $z$ saat $\cos z = 0$, yaitu $z_0 = \dfrac{\pi} {2}$, sehingga
$\displaystyle  \underset{z=\frac{\pi}{2}}{\text{Res}} \dfrac{1}{\cos z} = \dfrac{1}{-\sin \dfrac{\pi} {2}} = -1$
Jadi, residu fungsinya adalah $\boxed{-1}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan residu dari fungsi $f(z) = \dfrac{1}{1 -e^z}$.

Penyelesaian

Titik singular/pole fungsi ini adalah nilai $z$ sehingga $1 -e^z = 0$, yaitu $z_0 = 0$
$\displaystyle \underset{z=0}{\text{Res}}\dfrac{1}{1 -e^z} = \dfrac{1}{-e^0} = -1$
Jadi, residu fungsinya adalah $\boxed{-1}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Carilah residu dari fungsi $f(z) = \dfrac{1}{(z^2-1)^2}$.

Penyelesaian

Fungsi ini dapat ditulis menjadi
$f(z) = \dfrac{1}{(z-1)^2(z+1)^2}$
Fungsi ini ternyata memiliki dua buah pole, yaitu $z_0 = 1$ (berorde dua) dan $z_0 = -1$ (berorde dua).
Residu pada titik singular $z_0 = 1$ adalah
$$\begin{aligned}& \displaystyle  \underset{z=1}{\text{Res}} \dfrac{1}{(z-1)^2(z+1)^2} \\ & = \dfrac{1}{(2-1)!} \lim_{z \to 1} \left[\dfrac{\text{d}} {\text{d}z} \left((z-1)^2 \times \dfrac{1}{(z-1)^2(z+1)^2} \right)\right]\\ & = \lim_{z \to 1} \left(\dfrac{\text{d}}{\text{d}z} \left(\dfrac{1}{(z+1)^2}\right)\right) \\ & = \lim_{z \to 1} \left(\dfrac{-2}{(z+1)^3}\right) = -\dfrac{1}{4} \end{aligned}$$Jadi, residu dari fungsi tersebut adalah $\boxed{-\dfrac14}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Kompleks, Limit, dan Turunannya

Soal Nomor 8
Tentukan residu dari $f(z) = \dfrac{z^4}{z^2 -iz + 2}$.

Penyelesaian

Fungsi di atas dapat ditulis
$f(z) = \dfrac{z^4}{(z-2i) (z+i)} $
Diperoleh pole fungsinya, yaitu $z_0 = 2i$ dan $z_0 = -i$ (masing-masing berorde satu).
Residu pada titik singular/pole $z_0 = 2i$ adalah
$\displaystyle  \underset{z=2i}{\text{Res}} \dfrac{z^4}{z^2 -iz + 2} = \dfrac{(2i)^4}{2(2i) -i} = \dfrac{16}{3}i$
Residu pada titik singular/pole $z_0 = -i$ adalah
$\displaystyle  \underset{z=-i}{\text{Res}} \dfrac{z^4}{z^2 -iz + 2} = \dfrac{(-i) ^4}{2(-i) -i} = -\dfrac{1}{3}i$

[collapse]

Soal Nomor 9
Hitunglah $\displaystyle \int \limits_{C} \tan \pi z~\text{d}z$ dengan $C: |z| = 1$.

Penyelesaian

Kurva yang diberikan adalah kurva lingkaran berpusat di titik asal dan berjari-jari $1$. Pertama, kita akan mencari pole dari integrannya, yaitu
$\tan \pi z = \dfrac{\sin \pi z} {\cos \pi z}$
Nilai $z$ yang membuat $\cos \pi z = 0$ adalah $z_0 = \pm \dfrac{1}{2}$. Selain itu, $z_0 = \pm \dfrac{3}{2}$ juga membuat $\cos \pi z = 0$, tetapi $z_0$ ini berada di luar kurva $C$ sehingga tidak perlu ditinjau.
Langkah selanjutnya akan dicari residu pada pole $z_0 = \dfrac{1}{2}$ pada fungsi tersebut, yaitu
$\displaystyle  \underset{z=\frac{1}{2}}{\text{Res}} \dfrac{\sin \pi z} {\cos \pi z} = \dfrac{\sin \dfrac{1}{2}\pi} {-\pi \sin \dfrac{1}{2}\pi} = -\dfrac{1}{\pi}$
Berikutnya, akan dicari residu pada pole $z_0 = -\dfrac{1}{2}$ pada fungsi tersebut, yaitu
$\displaystyle  \underset{z= -\frac{1}{2}}{\text{Res}} \dfrac{\sin \pi z} {\cos \pi z} = \dfrac{\sin -\dfrac{1}{2}\pi} {-\pi \sin -\dfrac{1}{2}\pi} = -\dfrac{1}{\pi}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \displaystyle \int \limits_{C} \tan \pi z~\text{d}z & = 2\pi i \times \sum \text{Res} \tan \pi z \\ & = 2 \pi i\left(-\dfrac{1}{\pi} -\dfrac{1}{\pi}\right) = -4i \end{aligned}$
Jadi, hasil integralnya adalah $\boxed{-4i}$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Deret Laurent dalam Analisis Kompleks

Soal Nomor 10
Hitunglah $\displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2 -1}~\text{d}z$ dengan $C: |z| = 2$.

Penyelesaian

Pole fungsinya adalah nilai $z$ yang membuat $4z^2 -1 = 0$, yaitu $z_0 = \pm \dfrac{1}{2}$ (keduanya berorde satu dan berada dalam kurva $C$).
Berikut akan dicari residu dari kedua pole itu satu per satu, yaitu
$\displaystyle  \underset{z=\frac{1}{2}}{\text{Res}} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2- 1} = \dfrac{\frac{1}{4} \sin \frac{1}{2}} {4} = \dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2}$
dan
$\displaystyle \underset{z=-\frac{1}{2}}{\text{Res}} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2- 1} = \dfrac{\frac{1}{4} \sin -\frac{1}{2}} {-4} = \dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} & \displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{z^2 \sin z} {4z^2- 1}~\text{d}z \\ & = 2\pi i \times \left(\dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{16} \sin \dfrac{1}{2} \right) \\ & = \boxed{\dfrac{1}{4}\pi i \sin \dfrac{1}{2}} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 11
Hitunglah $\displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{e^z + z} {z^3 -z} \text{d}z$ dengan $C: |z| = \dfrac{1}{2}\pi$.

Penyelesaian

Integrannya dapat ditulis menjadi
$f(z) = \dfrac{e^z + z} {z(z-1)(z+1)}$
Pole fungsi ini adalah $z_0 = 0, z_0 = 1$, dan $z_0 = -1$, ketiganya berorde satu dan berada dalam kurva $C$.
Berikut ini akan dicari residunya.
Residu untuk $z_0 = 0$ adalah
$\displaystyle  \underset{z=0}{\text{Res}} \dfrac{e^z + z} {z^3 -z} = \dfrac{e^0 + 0}{3(0)^2 -1} = -1$
Residu untuk $z_0 = 1$ adalah
$\displaystyle  \underset{z=1}{\text{Res}}  \dfrac{e^z + z} {z^3- z} = \dfrac{e^1 + 1}{3(1)^2 -1} = \dfrac{e + 1}{2}$
Residu untuk $z_0 = -1$ adalah
$\displaystyle  \underset{z=-1}{\text{Res}}  \dfrac{e^z -z} {z^3 -z} = \dfrac{e^{-1} -1}{3(-1)^2 -1} = \dfrac{e^{-1} -1}{2}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \displaystyle \int \limits_{C} \dfrac{e^z + z} {z^3 -z} & = 2\pi i \times \left(-1 + \dfrac{e + 1}{2} + \dfrac{e^{-1} -1}{2}\right) \\ & = \boxed{\pi i(-2 + e + e^{-1})} \end{aligned} $$

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Fungsi Analitik dan Harmonik dalam Sistem Bilangan Kompleks

 

CategoriesAnalisis KompleksTags, , , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *