Tujuh Bentuk Tak Tentu dalam Matematika

       Suatu istilah yang menjadi ciri khas dalam matematika, memberi keunikan dan warna tersendiri, tetapi telah banyak menyesatkan orang-orang. Itulah peran bentuk tak tentu. Istilah “bentuk tak tentu“, atau mungkin ada yang menyebutnya “bentuk tidak tentu“, pertama kali ditemui pada saat mempelajari materi tentang limit fungsi (matematika wajib kelas XI).

Baca: Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Aljabar 

        Bentuk tak tentu (indeterminate forms) adalah ekspresi matematika yang tidak menghasilkan jawaban yang tunggal pada hasil operasinya. Dengan kata lain, ada lebih dari satu jawaban yang mungkin padahal hasil operasi (penjumlahan, pengurangan, perkalian pembagian, perpangkatan) dalam matematika harus tunggal. Bedakan dengan “tak terdefinisi” (undefined) yang artinya tidak memiliki nilai (tidak ada hasilnya). Dalam matematika sendiri, ada tujuh bentuk tak tentu (sering dikenal dengan istilah “The Seven Deadly Sins“), dan bentuk yang paling terkenal adalah $\dfrac{0}{0}$ (nol per nol).

Baca: Kesesatan Matematis dan Contohnya

        Sebelumnya dikatakan bahwa bentuk tak tentu menyesatkan banyak orang. Tidak perlu jauh-jauh, banyak orang yang mengklaim bahwa hasil dari $\dfrac{0}{0}$ adalah $0$ karena adanya anggapan bahwa nol dibagi apapun jawabannya adalah nol. Ada juga yang mengatakan bahwa $\dfrac00 = 1$ karena adanya anggapan bahwa jika pembilang dan penyebut bernilai sama, maka hasilnya sama dengan $1.$ Tentu saja hal ini menimbulkan polemik sehingga dihindari saat mengajar siswa di tingkat sekolah dasar. Mereka belum cukup siap untuk dijelaskan terkait hal tersebut.

Today Quote

Memperoleh pengetahuan merupakan langkah pertama menuju kebijaksanaan, tetapi membagikannya merupakan langkah pertama menuju kemanusiaan.

         Postingan ini secara khusus akan mengulas tentang tujuh bentuk tak tentu beserta alasan mengapa ketujuh bentuk tersebut dianggap tak tentu. Tujuh bentuk tak tentu tersebut adalah $\dfrac00$, $0^0$, $0 \cdot \infty$, $\infty-\infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$,$1^\infty$, dan $\infty^0.$ Disarankan kepada pembaca untuk mempelajari materi tentang limit fungsi terlebih dahulu sebelumnya agar lebih mudah memahami alasan/pembuktian bahwa ketujuh bentuk tersebut tergolong tak tentu (indeterminate).

1. Bentuk Tak Tentu $\bf{\dfrac00}$

$\dfrac00$ atau $0 \div 0$ merupakan bentuk tak tentu yang paling lazim dikenal orang. Hasil dari nol per nol bisa beragam jika kita menggunakan konsep operasi perkalian sebagai kebalikan dari operasi pembagian.
Sebagai contoh, $\dfrac{8}{\color{red}{2}} = \color{blue}{4}$ adalah pernyataan yang benar karena $\color{red}{2} \times \color{blue}{4} = 8.$ Di sini, kita bisa lihat bahwa kita hanya memainkan posisinya.
Contoh lain, $\dfrac{18}{\color{red}{3}} = \color{blue}{6}$ adalah pernyataan yang benar karena $\color{red}{3} \times \color{blue}{6} = 18.$
Jika $\dfrac00 = x,$ maka berapakah nilai $x$? Dengan menggunakan prinsip yang sama, kita peroleh $0 \times x = 0.$
Nol dikali berapa sehingga hasilnya nol? Semua bilangan! $1$ boleh, $2$ boleh, semuanya boleh. Akibatnya, $\dfrac00$ memiliki banyak hasil (jawaban) sehingga disebut bentuk tak tentu.

2. Bentuk Tak Tentu $\bf{0^0}$

Sebagian besar orang mungkin mengatakan bahwa $0^0 = 1,$ tetapi itu tidaklah sepenuhnya benar. $0^0$ merupakan bentuk tak tentu yang ditemukan pada fungsi eksponen. Bukti bahwa $0^0$ bentuk tak tentu adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} 0^0 & = 0^{a-a} && (\text{Untuk}~a \in \mathbb{R} \neq 0) \\ & = 0^a \div 0^a && (\text{Sifat Pangkat}) \\ & = 0 \div 0 \end{aligned}$$Bentuk terakhir sama dengan bentuk tak tentu pertama tadi, yaitu $\dfrac00.$

3. Bentuk Tak Tentu $\bf{0 \cdot \infty}$

      Wah, kok bisa ya? Bukannya $0$ dikali apapun pasti hasilnya $0$? Nah, ini adalah suatu anomali (penyimpangan) karena $0 \cdot \infty$ (nol kali tak hingga) sebenarnya merupakan satu dari tujuh bentuk tak tentu. Untuk membuktikannya, bisa menggunakan konsep limit.
Pertama, kita tahu bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 0} x = 0$ dan $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{a}{x} = \infty$ untuk setiap $a \in \mathbb{R}^+.$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \left(\lim_{x \to 0} x\right)\left(\lim_{x \to 0} \dfrac{a}{x}\right) & = 0 \cdot \infty \\ \lim_{x \to 0} \left(\cancel{x} \cdot \dfrac{a}{\cancel{x}}\right) & = 0 \cdot \infty \\ \lim_{x \to 0} a & = 0 \cdot \infty \\ a & = 0 \cdot \infty \end{aligned}$$Jadi, $0 \cdot \infty$ bisa bernilai bilangan positif apapun. Dengan demikian, kita golongkan ekspresi tersebut sebagai bentuk tak tentu.

4. Bentuk Tak Tentu $\bf{\infty-\infty}$

       $\infty$ (baca: tak hingga) memang “meresahkan” dalam matematika. $\infty$ sebenarnya bukan bilangan, tetapi merupakan suatu konsep yang menyatakan sesuatu yang nilainya sangat besar tak terkira (bukan “paling besar”). Meskipun begitu, $\infty$ dapat dioperasikan layaknya suatu bilangan karena kita menganggapnya sebagai nilai limit dari $x$ untuk $x$ menuju $\infty$, atau secara matematis, ditulis $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x.$

       Ada beberapa sifat (keunikan) dalam operasi yang melibatkan $\infty.$ Satu di antaranya adalah $\infty$ ditambah atau dikurang bilangan apapun, hasilnya tetap $\infty.$ Sebagai contoh, $\infty + 3 = \infty$ dan $\infty-1.000.000 = \infty.$ Sifat inilah yang membuat $\infty-\infty$ menjadi bernilai tak tentu karena kita tidak tahu seberapa besar nilai $\infty$ pertama dengan nilai $\infty$ kedua. Simbolnya sama, tetapi mereka bisa saja berbeda. Akibatnya, hasil pengurangannya juga tidak jelas, bisa berapapun. Lain halnya kalau kita berbicara variabel, misalnya $x-x.$ Karena $x$ mewakil suatu bilangan tunggal, maka jelas $x-x = 0.$ 

5. Bentuk Tak Tentu $\bf{\dfrac{\infty}{\infty}}$

       Bentuk tak tentu kelima adalah $\dfrac{\infty}{\infty}.$ Sekali lagi, $\infty$ mewakili sesuatu yang nilainya sangat besar tak terkira. Ingat, kita tidak berani mengatakan bahwa $\infty$ merupakan suatu bilangan karena ia melanggar sifat-sifat bilangan. $\infty$ pada pembilang dan $\infty$ pada penyebut bisa saja berbeda nilainya sehingga hasil pembagiannya menjadi tidak jelas.

     Apabila kita menggunakan konsep limit, bentuk $\dfrac{\infty}{\infty}$dapat tuliskan sebagai
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{x} & = 1 \\  \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x}{x} & = 2 \\  \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{99x} & = \dfrac{1}{99} \\  \lim_{x \to \infty} \dfrac{ax}{x} & = a && (\text{Untuk}~a \in \mathbb{R} \neq 0) \end{aligned}$$dan seterusnya. Ini menunjukkan bahwa hasil pembagian tak hingga dengan tak hingga tidak tunggal. Konsep ini sudah cukup untuk menyatakan bahwa  $\dfrac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu.

6. Bentuk Tak Tentu $\bf{1^{\infty}}$

       Orang-orang mengklaim “Satu pangkat berapapun, ya jelas sama dengan satu!” Hal ini tidak berlaku untuk $1^{\infty}.$ Meskipun secara logika kita berpikir bahwa $1$ dikali $1$ dikali $1$ sebanyak-banyaknya tetap menghasilkan jawaban $1,$ tetapi ada satu alasan kuat yang menyanggah pemikiran tersebut. Sebelumnya, perlu ditegaskan bahwa selama kita membicarakan $\infty$ dan melakukan operasi yang melibatkan $\infty,$ maka yang kita operasikan sebenarnya adalah nilai limit suatu bilangan menuju tak hingga itu sendiri.

          Makna sebenarnya dari $1^{\infty}$ dalam bentuk limit adalah $\displaystyle \lim_{a \to 1, x \to \infty} a^x.$ Apabila kita tinjau nilai limit kiri dan limit kanan untuk $a$, dalam artian kita mendekati $1$ dari arah kiri (lebih kecil) dan arah kanan (lebih besar), maka kita akan peroleh
$$\begin{aligned}  \displaystyle \lim_{a \to 1^-, x \to \infty} a^x & = 0 \\ \displaystyle \lim_{a \to 1^+, x \to \infty} a^x & = \infty \end{aligned}$$Bingung? Begini contohnya. Misalkan $a = 0,99$ (mendekati $1$ dari arah kiri).  Dengan demikian, bila $0,99$ kita pangkatkan terus menerus sebesar mungkin, maka nilainya justru mengecil menuju $0.$ Lain halnya ketika dimisalkan $a = 1,01$ (mendekati $1$ dari arah kanan). Dengan demikian, bila $1,01$ kita pangkatkan terus menerus sebesar mungkin, maka nilainya justru membesar menuju $\infty.$  Ini menunjukkan bahwa kita akan dibuat bingung (jangan sampai pusing, ya!) untuk menentukan nilainya ketika $a = 1$ (tepat satu).

7. Bentuk Tak Tentu $\bf{\infty^0}$

        $\infty^0$ bukan hasilnya $1$, loh. Jangan salah kaprah. $\infty^0$ merupakan bentuk tak tentu terakhir. Prinsip membuktikannya mirip seperti $1^{\infty}.$ Makna sebenarnya dari $\infty^0$ dalam bentuk limit adalah $\displaystyle \lim_{a \to 0, x \to \infty} x^a.$ Apabila kita tinjau nilai limit kiri dan limit kanan untuk $a$, dalam artian kita mendekati $0$ dari arah kiri (lebih kecil) dan arah kanan (lebih besar), maka kita akan peroleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{a \to 0^-, x \to \infty} x^a & = 0 \\  \lim_{a \to 0^+, x \to \infty} x^a & = \infty \\ \end{aligned}$$Bingung lagi? Begini contohnya . Misalkan $a = -1$ (mendekati $0$ dari arah kiri).  Dengan demikian, $\infty^{-1} = \dfrac{1}{\infty} = 0.$ Lain halnya ketika dimisalkan $a = 1$ (mendekati $0$ dari arah kanan). Dengan demikian, $\infty^{1} =  \infty.$ Sama kasusnya seperti nomor 6 tadi, kan? Lagi-lagi kita dibuat bingung untuk menentukan nilainya ketika $a = 0$ (tepat nol).

Baca: Soal dan Pembahasan – Limit Tak Hingga 

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *