Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Limit Tak Hingga

       Berikut ini merupakan soal tentang limit tak hingga. Soal-soal tersebut diambil dari berbagai sumber referensi, termasuk dari soal Ujian Nasional, soal SBMPTN, dan soal tingkat olimpiade. Pembaca diharapkan sudah menguasai teori limit fungsi aljabar dan trigonometri. Setiap soal telah disertai pembahasan super lengkap yang disajikan secara rapi menggunakan LaTeX.

Baca : Soal dan Pembahasan- Limit Fungsi Aljabar

Baca : Soal dan Pembahasan- Limit Fungsi Trigonometri

Beberapa teorema berikut sering kali digunakan untuk menyelesaikan persoalan terkait limit tak hingga.

Teorema Limit Tak Hingga

Keterhubungan Tak Hingga dan Nol
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$ untuk $n \geq 1$
Ketakterhinggaan Fungsi Rasional Berbentuk Polinomial
Jika $f(x)$ dan $g(x)$ adalah fungsi polinomial, maka

$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \begin{cases} 0, &~\text{jika derajat}~f(x) < g(x) \\ \dfrac{\text{Koef. derajat}~f(x)}{\text{Koef. derajat}~g(x)}, &~\text{jika derajat}~f(x) = g(x) \\ \infty, &~\text{jika derajat}~f(x) > g(x) \end{cases} \end{aligned}$$
Ketakterhinggaan Selisih Bentuk Linear dalam Tanda Akar
$$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax+b}- \sqrt{cx + d}) = \begin{cases} \infty, &~\text{jika}~a > c \\ 0, &~\text{jika}~a = c \\-\infty, &~\text{jika}~a < c \end{cases}$$
Ketakterhinggaan Selisih Bentuk Kuadrat dalam Tanda Akar 
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}) \\ & = \begin{cases} \infty,~\text{jika}~a > p \\ \dfrac{b-q} {2\sqrt{a}},~\text{jika}~ a = p \\-\infty,~\text{jika}~a < p \end{cases} \end{aligned}$
Ketakterhinggaan Selisih Bentuk Kubik dalam Tanda Akar 
$$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}) = \dfrac{b-p}{3\sqrt[3]{a^2}}$$

Today Quote

Berdoalah sebelum belajar, sebab semua ilmu di dunia ini asalnya dari Tuhan. 

Soal Nomor 1
Tentukan nilai dari 
a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (4x + 2)$
b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (-x + 4)$
c) $\displaystyle \lim_{x \to \infty}-(3x^2 + 9)$

Pembahasan

Jawaban a) 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (4x + 2) = 4(\infty) + 2 = \infty + 2 = \infty$
Jawaban b) 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (-x + 4) =-\infty + 4 =-\infty$
Jawaban c) 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty}-(3x^2 + 9) & =-(3(\infty)^2 + 9) \\ & =-(\infty + 9) =-\infty \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2-5x+4}{2x^4- 4x^2 + 9}$

Pembahasan

Pendekatan formal:
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2-5x+4}{2x^4-4x^2 + 9} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{2x^3}{x^4}+\dfrac{3x^2}{x^4}-\dfrac{5x} {x^4}+\dfrac{4}{x^4}}{\dfrac{2x^4}{x^4}- \dfrac{4x^2}{x^4} + \dfrac{9} {x^4}} \\ & = \dfrac{0-0-0+0}{2-0+0} = 0 \end{aligned}$
Pendekatan lain:
Perhatikan bahwa bagian pembilang dan penyebut fungsinya merupakan fungsi polinom. Karena derajat pembilang = $3$ < derajat penyebut = $4$, maka nilai limitnya adalah $\boxed{0}$.

[collapse]

Soal Nomor 3
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2+7}{x^2+3x+4}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\infty$          B. $0$          C. $-\infty$           D. $2$          E. $\frac{1}{2}$

Pembahasan

Pendekatan formal:
Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x^3$. 
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2+7}{x^2+3x+4} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{2x^3}{x^3} + \dfrac{3x^2}{x^3}+\dfrac{7}{x^3}} {\dfrac{x^2}{x^3}+\dfrac{3x} {x^3}+\dfrac{4}{x^3}} = \infty \end{aligned}$$Pendekatan lain:
Perhatikan bahwa bagian pembilang dan penyebut fungsinya merupakan fungsi polinom. Karena derajat pembilang = $3$ > derajat penyebut = $2$, maka nilai limitnya adalah $\boxed{\infty}$. 
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^3+3x^2+7}{x^2+3x+4} = \infty}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3-x+\dfrac{x^2-2x} {x+5}\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-4$        B. $-3$        C. $-2$         D. $0$        E. $\infty$

Pembahasan

$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3-x+\dfrac{x^2-2x} {x+5}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{(3-x)(x+5)} {x+5}+\dfrac{x^2-2x} {x+5}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(3x + 15-\cancel{x^2}-5x)+(\cancel{x^2}-2x)}{x+5} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-4x + 15}{x + 5} = \dfrac{-4}{1} =-4 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3-x+\dfrac{x^2-2x} {x+5}\right) =-4}$
(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 5
Tentukan nilai dari limit berikut. 
a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^3-2x-10}{ 4x-2x^2-5x^3}$
b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^5-2x^4+x^3-3x^2+2x-7}{7-2x+3x^2-x^3+2x^4}$

Pembahasan

Jawaban a) 
Diketahui bahwa variabel derajat tertinggi pembilang dan penyebutnya sama, yaitu $x^3$. Pada pembilang, koefisien $x^3$ adalah $3$, sedangkan koefisien $x^3$ pada penyebut adalah $-5$. Jadi, 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^3-2x-10}{ 4x-2x^2-5x^3} =-\dfrac{3}{5}$
Jawaban b) 
Diketahui variabel berderajat tertinggi pada pembilang adalah $x^5$, sedangkan variabel berderajat tertinggi pada penyebut adalah $x^4$. Karena $5 > 4$, maka 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^5-2x^4+x^3-3x^2+2x-7}{7-2x+3x^2-x^3+2x^4} = \infty$

[collapse]

Soal Nomor 6
Tentukan nilai dari limit berikut. 
a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^3}{(x-1)(2x^2+x+1)}$
b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(3x-2)^3}{(4x+2)^3}$

Pembahasan

Uraikan dan tinjau hanya pada variabel berpangkat tertinggi. 
Jawaban a) 
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^3}{(x-1)(2x^2+x+1)} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-8x^3 + \cdots} {2x^3 + \cdots} \\ & = \dfrac{-8}{2} =-4 \end{aligned}$$
Jadi, nilai dari
$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(1-2x)^3}{(x-1)(2x^2+x+1)} =-4}$
Jawaban b) 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(3x-2)^3}{(4x+2)^3} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{27x^3 + \cdots} {64x^3 + \cdots} = \dfrac{27}{64}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika $f(x) = x + \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-2x}}$, maka $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)} {x} = \cdots \cdot$
A. $-2$       B. $0$         C. $1$      D. $2$       E. $\infty$

Pembahasan

Diketahui bahwa
$\dfrac{f(x)} {x} = \dfrac{x + \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2-2x}}} {x} = 1 + \dfrac{x} {\sqrt{x^2-2x}}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)} {x} & = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{x} {\sqrt{x^2-2x}}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{\dfrac{x} {x}} {\sqrt{\dfrac{x^2-2x} {x^2}}}\right) \\ & = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{1+0}} = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)} {x}$ adalah $\boxed{2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{\theta \to-\infty} \dfrac{\pi \theta^5}{\theta^5- 5\theta^4}$
(Catatan: Notasi $\pi$ dibaca: pi, sedangkan notasi $\theta$ dibaca: theta)

Pembahasan

$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{\theta \to-\infty} \dfrac{\pi \theta^5}{\theta^5-5\theta^4} & = \lim_{\theta \to-\infty} \dfrac{\cancel{\theta^4}(\pi \theta)}{\cancel{\theta^4}(\theta-5)} \\ & = \lim_{\theta \to-\infty} \dfrac{\pi \theta} {\theta-5} \\ & = \lim_{\theta \to-\infty} \left(\dfrac{\pi(\theta-5)} {\theta-5} + \dfrac{5\pi} {\theta-5}\right) \\ & = \lim_{\theta \to-\infty} \left(\pi + \dfrac{5\pi} {\theta-5}\right) \\ & = \pi-0 = \pi \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{\theta \to-\infty} \dfrac{\pi \theta^5}{\theta^5-5\theta^4} = \pi}$
Catatan: Tinjau bentuk $\dfrac{5\pi} {\theta-5}$. Apabila nilai $\theta$ semakin kecil menuju negatif tak hingga, maka penyebutnya juga akan semakin kecil, dan nilai pecahannya akan semakin mendekati $0$.

[collapse]

Soal Nomor 9
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}-\sqrt{x^4+2x^3-x^2})$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$       B. $\frac{1}{2}$       C. $1$       D. $\frac{3}{2}$      E. $\frac{5}{2}$

Pembahasan

Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}-\sqrt{x^4+2x^3-x^2}) \\ & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}-\sqrt{x^4+2x^3-x^2}) \\ &  \times \dfrac{\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} {\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^4+2x^3+4x^2)-(x^4+2x^3-x^2)} {\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{5x^2}{\sqrt{x^4+2x^3+4x^2}+\sqrt{x^4+2x^3-x^2}} \\ & \text{Bagi setiap suku dengan}~x^2 \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{5x^2}{x^2}} {\sqrt{\dfrac{x^4}{x^4}+\dfrac{2x^3}{x^4}+\dfrac{4x^2}{x^4}}+\sqrt{\dfrac{x^4}{x^4}+\dfrac{2x^3}{x^4}-\dfrac{x^2}{x^4}}} \\ & = \dfrac{5}{\sqrt{1+0+0} + \sqrt{1+0-0}} = \dfrac{5}{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{\dfrac{5}{2}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+5x+5}-\sqrt{9x^2-7x-4})$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$         B. $\dfrac{1}{3}$          C. $1$           D. $2$          E. $3$

Pembahasan

Gunakan rumus
$$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}) = \dfrac{b-p} {2\sqrt{a}} }$$Untuk kasus ini, diketahui bahwa
$a = 9, b = 5, p =-7$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+5x+5}-\sqrt{9x^2-7x-4}) \\ & = \dfrac{5-(-7)} {2\sqrt{9}} = \dfrac{12}{6} = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{2}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (3x+1-\sqrt{9x^2+4x-7})$ adalah $\cdots \cdot$
A. $9$       B. $6$        C. $3$          D. $\dfrac{1}{3}$         E. $\dfrac{1}{9}$

Pembahasan

Perhatikan bahwa 
$3x+1 = \sqrt{(3x+1)^2} = \sqrt{9x^2+6x+1}$
diberlakukan karena $x$ menuju tak hingga (nilainya dipastikan positif). 
Untuk itu, dengan menggunakan rumus 
$$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}) = \dfrac{b-p} {2\sqrt{a}} }$$(Diketahui: $a = 9, b = 6, p = 4$)
diperoleh
$$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (3x+1)-\sqrt{9x^2+4x-7}) = \dfrac{6-4}{2\sqrt{9}} = \dfrac{1}{3}$$Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{\dfrac{1}{3}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 12
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x+2}-x+2)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$                         C. $2,5$                     E. $1$
B. $3,5$                      D. $1,5$        

Pembahasan

Perhatikan bahwa bentuk $-x+2$ dapat ditulis menjadi
$-(x-2) =-\sqrt{(x-2)^2} =-\sqrt{x^2-4x+4}$
Dengan demikian, diperoleh
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x+2}-(\sqrt{x^2-4x+4})$
Gunakan rumus 
$$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q}) = \dfrac{b-p} {2\sqrt{a}} }$$untuk $a = 1, b = 3, p =-4$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x+2}-(\sqrt{x^2-4x+4}) \\ & = \dfrac{3-(-4)} {2\sqrt{1}} = \dfrac{7}{2} = 3,5 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{3,5}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{8x^2+1}} {x^2+4}$.

Pembahasan

Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x^2$. 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{8x^2+1}} {x^2+4} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{8x^2}{x^4}+\dfrac{1}{x^4}}}{\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{4}{x^2}} \\ & = \dfrac{\sqrt{0 + 0}} {1 + 0} = 0 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{8x^2+1}} {x^2+4} = 0}$

[collapse]

Soal Nomor 14
Tentukan nilai dari:
a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3})$
b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x-7}-\sqrt{x+3})$
c) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{2x-3})$

Pembahasan

Ingat bahwa
$$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax+b}- \sqrt{cx + d}) = \begin{cases} \infty, &~\text{jika}~a > c \\ 0, &~\text{jika}~a = c \\-\infty, &~\text{jika}~a < c \end{cases}}$$Jawaban a) 
Diketahui: $a = 1$ dan $c = 1$, sehingga $a = c$. Berarti, 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}) = 0$
Jawaban b) 
Diketahui: $a = 2$ dan $c = 1$, sehingga $a > c$. Berarti, 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x-7}-\sqrt{x+3}) = \infty$
Jawaban c) 
Diketahui: $a = 1$ dan $c = 2$, sehingga $a < c$. Berarti, 
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{2x-3}) =-\infty$

[collapse]

Soal Nomor 15
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x-\sqrt{x}}- \sqrt{x + \sqrt{x}})$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0,5$                   C. $-1$                E. tak ada
B. $1$                      D. $0$       

Pembahasan

Dengan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x-\sqrt{x}}-\sqrt{x + \sqrt{x}}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x-\sqrt{x}}-\sqrt{x + \sqrt{x}}) \times \dfrac{\sqrt{x-\sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}}{\sqrt{x- \sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x-\sqrt{x})-(x+\sqrt{x})} {\sqrt{x-\sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \\ & =\lim_{x \to \infty} \dfrac{-2\sqrt{x}} {\sqrt{x-\sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \end{aligned}$$Bagi setiap sukunya dengan $\sqrt{x}$. 
$\displaystyle \begin{aligned} & \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{-2\sqrt{x}} {\sqrt{x}}}{\dfrac{\sqrt{x-\sqrt{x}}} {\sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{x + \sqrt{x}}} {\sqrt{x}}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-2}{\sqrt{1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}} + \sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}} \\ & = \dfrac{-2}{\sqrt{1-0} + \sqrt{1+0}} \\ & = \dfrac{-2}{1+1} =-1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x-\sqrt{x}}-\sqrt{x + \sqrt{x}}) =-1}$ 
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 16
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} ( \sqrt{(2x-1)(x+2)}- (x\sqrt{2}+1))$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3\sqrt{2}-4$
B. $\dfrac{3}{4}\sqrt{2}-1$
C. $\dfrac{3}{4}-\sqrt{2}$
D. $3-2\sqrt{2}$
E. $\sqrt{2}-1$

Pembahasan

$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} ( \sqrt{(2x-1)(x+2)}-(x\sqrt{2}+1)) \\ & = \lim_{x \to \infty} ((\sqrt{2x^2+3x-2}- \sqrt{2x^2})-1) \\ & = \dfrac{3-0}{2\sqrt{2}}-1 \\ & = \dfrac{3}{2\sqrt{2}}-1 \\ & = \dfrac{3}{4}\sqrt{2}-1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} ( \sqrt{(2x-1)(x+2)}- (x\sqrt{2}+1)) = \dfrac{3}{4}\sqrt{2}-1}$$(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 17
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1}-x)$

Pembahasan

Kalikan dengan bentuk sekawannya, 
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1}-x) \\ & = \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1}-x) \times \dfrac{\sqrt{x^2+1} + x} {\sqrt{x^2+1} + x} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x(x^2+1-x^2)} {\sqrt{x^2+1}+x} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}+x} \end{aligned}$
Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x$. 
$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}+x}  & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x+1}{x}}{\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x^2}}+\dfrac{x} {x} } \\ & = \dfrac{1 + 0}{\sqrt{1+0} + 1} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1}-x) = \dfrac{1}{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 18
Tentukan nilai dari
a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{(x+5)(4x+7)}-\sqrt{(x+3)(4x+7)})$
b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (x- \sqrt{x^2-10x })$

Pembahasan

Jawaban a) 
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{(x+5)(4x+7)}-\sqrt{(x+3)(4x+7)}) \\ & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + 27x + 35}- \sqrt{4x^2+19x+21}) \\ & = \dfrac{27-19}{2\sqrt{4}} = \dfrac{8}{4} = 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{(x+5)(4x+7)}- \sqrt{(x+3)(4x+7)}) = 2}$$Jawaban b) 
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} (x-\sqrt{x^2-10x }) & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2}-\sqrt{x^2-10x}) \\ & = \dfrac{0-(-10)} {2\sqrt{1}} = \dfrac{10}{2} = 5 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (x-\sqrt{x^2-10x }) = 5}$

[collapse]

Soal Nomor 19
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} [\sqrt{(x+a) (x+b)}-x]$

Pembahasan

$\begin{aligned}  & \displaystyle \lim_{x \to \infty} [\sqrt{(x+a) (x+b)}-x] \\ & = \lim_{x \to \infty} [\sqrt{x^2 + (a+b)x + ab}-\sqrt{x^2}] \\ & = \dfrac{(a+b)-0}{2\sqrt{1}} \\ & = \dfrac{a+b} {2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} [\sqrt{(x+a) (x+b)}- x] = \dfrac{a+b} {2}$

[collapse]

Soal Nomor 20
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}-3x} {\sqrt{x^2+2x}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt{15}$                     D. $3$
B. $3(\sqrt{2}-1)$          E. $4,5$
C. $3(\sqrt{2}+1)$

Pembahasan

Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x$. 
$\begin{aligned}&  \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}-3x} {\sqrt{x^2+2x}}\\  & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{x}\sqrt{18x^2-x+1}- \dfrac{3x} {x}} {\dfrac{1}{x} \sqrt{x^2+2x}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}} {x^2}- \dfrac{3x} {x}} {\dfrac{\sqrt{x^2+2x}} {x^2}} \\ & = \dfrac{\sqrt{18-0+0}- 3}{\sqrt{1+0}} \\ & = \dfrac{\sqrt{18}-3}{1} = 3\sqrt{2}-3 = 3(\sqrt{2}- 1) \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{18x^2-x+1}-3x} {\sqrt{x^2+2x}} = 3(\sqrt{2}-1)}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 21
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x})$

Pembahasan

$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}- \sqrt{x^2+x}) \\ & = \lim_{x \to \infty} (2\sqrt{x^2+2x}- \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \lim_{x \to \infty} ((\sqrt{x^2 + 2x}-\sqrt{x^2 + 1}) + (\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2 + x})) \\ & = \dfrac{2-0}{2\sqrt{1}} + \dfrac{2-1}{2\sqrt{1}} \\ & = \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \end{aligned}$$

[collapse]

Soal Nomor 22
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3x^2-2x-1}} {x+2.000}$

Pembahasan

Bagi setiap suku dengan variabel berpangkat tertinggi, yaitu $x$. 
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3x^2-2x-1}} {x+2.000} \\  & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{x} \sqrt{3x^2-2x-1}} {\dfrac{1}{x}\left(x+2.000\right)} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{3x^2-2x-1}{x^2}}} {1 + \dfrac{2.000}{x}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3-\dfrac{2}{x}- \dfrac{1}{x^2}}} {1 + \dfrac{2.000}{x}} \\ & = \dfrac{\sqrt{3-0-0}} {1 + 0} = \sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{3x^2-2x-1}} {x+2.000}$ adalah $\boxed{\sqrt{3}}$

[collapse]

Soal Nomor 23
Tentukan hasil dari $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6})$

Pembahasan

Alternatif I: Pendekatan Intuitif
$$\begin{aligned} \displaystyle & \displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6}) \\ = & \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[7] {\left (x+\dfrac17\right)^7+O(x^5)}-\sqrt[7]{\left(x-\dfrac17 \right)^7+O(x^5)}\right) \\ = & \lim_{x\to\infty} \left(\sqrt[7]{\left(x+\dfrac17\right)^7}-\sqrt[7]{\left(x-\dfrac17\right)^7}\right) \\ = &\lim_{x\to\infty}\left(\left(x+\dfrac17\right)- \left(x-\dfrac17\right)\right) \\ = & \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac17 + \dfrac17\right) \\ = &\boxed {\dfrac27} \end{aligned}$$Catatan: Notasi $O(x^5)$ menyatakan polinomial berderajat $5$ yang didapat dari penguraian bentuk $\left(x+\dfrac{1}{7}\right)^7$. Karena $x$ menuju tak hingga, bentuk $\left(x+\dfrac{1}{7}\right)^7$ akan lebih cepat bertambah besar, sehingga $O(x^5)$ dapat diabaikan.
Alternatif II: Dalil L’Hospital (Turunan)
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6})\\ = & \lim_{x\to\infty} \left(\sqrt[7]{x^7\left(x + \dfrac1x\right)}-\sqrt[7]{x^7\left(x-\dfrac1x\right)}\right) \\ = & \lim_{x\to\infty} x\left(\sqrt[7]{1 + \dfrac1x}-\sqrt[7]{1-\dfrac1x}\right) \\ & \text{Misalkan}~x = \dfrac{1}{t} \\ = & \lim_{t \to 0} {{\sqrt[7]{1+t}-\sqrt[7]{1-t}}\over t} \\ \stackrel{\text{L’H}}{=} & \lim_{t \to 0} \left(\dfrac{1}{7}(1 + t)^{-\frac{6}{7}}(1)- \dfrac{1}{7}(1-t)^{-\frac{6}{7}}(-1)\right) \\ = &  \dfrac{1}{7}(1 + 0)^{-\frac{6}{7}} + \dfrac{1}{7}(1- 0)^{-\frac{6}{7}} \\ = & \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7}\\ = & \boxed{\dfrac27} \end{aligned}$
Jadi, hasil dari
 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(\sqrt[7]{x^7+x^6}-\sqrt[7]{x^7-x^6})$ adalah $\boxed{\dfrac{2}{7}}$

[collapse]

Soal Nomor 24
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin^2 \theta} {\theta^2-5}$

Pembahasan

$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin^2 \theta} {\theta^2-5} \\ & = \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin \theta} {\theta + \sqrt{5}} \times \dfrac{\sin \theta} {\theta-\sqrt{5}} \\ & = \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin \theta} {\theta} \times \dfrac{1}{1 + \dfrac{\sqrt{5}} {\theta}} \times \dfrac{\sin \theta} {\theta} \times \dfrac{1}{1-\dfrac{\sqrt{5}} {\theta}} \\ & = (0 \times 1 \times 0 \times 1) = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{\theta \to \infty} \dfrac{\sin^2 \theta} {\theta^2-5} = 0}$

[collapse]

Soal Nomor 25
Tentukan nilai dari 
a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \tan \dfrac{1}{x}$
b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} \cot \dfrac{1}{x}$ 
c) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\csc \frac{1}{x}} {x} $

Pembahasan

Jawaban a) 
Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$ yang ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi
$\displaystyle \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{y} \tan y = 1$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} x \tan \dfrac{1}{x} = 1}$
Jawaban b) 
Ingat bahwa: $\boxed{\cot x = \dfrac{1}{\tan x}}$ 
Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi
$\displaystyle \lim_{y \to 0} y \cot y = \lim_{y \to 0} \dfrac{y} {\tan y} = 1$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \cot \dfrac{1}{x} = 1}$
Jawaban c) 
Ingat bahwa: $\boxed{\csc x = \dfrac{1}{\sin x}}$
Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$ yang ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{x}$
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga bentuk limitnya dapat ditulis menjadi
$\displaystyle \lim_{y \to 0} \dfrac{\csc y} {\frac{1}{y}} = \lim_{y \to 0} \dfrac{y} {\sin y} = 1$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\csc \frac{1}{x}} {x} = 1}$  

[collapse]

Soal Nomor 26
Tentukan nilai dari
a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \tan \dfrac{5}{x} \csc \dfrac{2}{x}$
b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \cot 3x^{-1} \sin x^{-1}$
c) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2x}} {\csc \dfrac{3}{x}}$

Pembahasan

Jawaban a) 
Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \tan \dfrac{5}{x} \csc \dfrac{2}{x} & = \lim_{y \to 0} \tan 5y \csc 2y \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\tan 5y} {\sin 2y} = \dfrac{5}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \tan \dfrac{5}{x} \csc \dfrac{2}{x} = \dfrac{5}{2}$
Jawaban b) 
Misalkan $y = x^{-1}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \cot 3x^{-1} \sin x^{-1} & = \lim_{y \to 0} \cot 3y \sin y \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin y} {\tan 3y} = \dfrac{1}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \cot 3x^{-1} \sin x^{-1} = \dfrac{1}{3}}$
Jawaban c) 
Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2x}} {\csc \dfrac{3}{x}} & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2}y} {\csc 3y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y} {\tan \dfrac{1}{2}y} \\ & = \dfrac{3}{\dfrac{1}{2}} = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{2x}} {\csc \dfrac{3}{x}} = 6}$

[collapse]

Soal Nomor 27
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{y \to \infty} \sqrt{6y} \cos \dfrac{3}{\sqrt{y}} \sin \dfrac{5}{\sqrt{y}}$

Pembahasan

Misalkan $x = \dfrac{1}{\sqrt{y}}$, ekuivalen dengan $\sqrt{y} = \dfrac{1}{x}$. 
Jika $y \to \infty$, maka $x \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{y \to \infty} \sqrt{6y} \cos \dfrac{3}{\sqrt{y}} \sin \dfrac{5}{\sqrt{y}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{6}} {x} \cos 3x \sin 5x \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 5x} {x} \cdot \sqrt{6} \cdot \cos 3x \\ & = 5 \cdot \sqrt{6} \cos 0 \\ & = 5\sqrt{6} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{y \to \infty} \sqrt{6y} \cos \dfrac{3}{\sqrt{y}} \sin \dfrac{5}{\sqrt{y}} = 5\sqrt{6}}$

[collapse]

Soal Nomor 28
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1-\cos \dfrac{4}{x}} {\dfrac{1}{x} \cdot \tan \dfrac{3}{x}}$

Pembahasan

Misalkan $y= \dfrac{1}{x}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned}  \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1-\cos \dfrac{4}{x}} {\dfrac{1}{x} \cdot \tan \dfrac{3}{x}} & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\cos 4y} {y \cdot \tan 3y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1-(1-2 \sin^2 2y)} {y \cdot \tan 3y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2 \sin 2y \sin 2y} {y \cdot \tan 3y} \\ & = 2 \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 2y} {y} \cdot \dfrac{\sin 2y} {\tan 3y} \\ & = 2 \cdot 2 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1-\cos \dfrac{4}{x}} {\dfrac{1}{x} \cdot \tan \dfrac{3}{x}} = \dfrac{8}{3}}$

[collapse]

Soal Nomor 29
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x^2\left(1-\cos \dfrac{6}{x} \right)$

Pembahasan

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. 
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x^2\left(1-\cos \dfrac{6}{x} \right) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2}{y^2}(1-\cos 6y) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2}{y^2}(1- \cos 6y) \times \dfrac{1+\cos 6y} {1+\cos 6y} \\ & = 2 \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\cos^2 6y} {y^2(1 + \cos 6y)} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 6y} {y} \cdot \dfrac{\sin 6y} {y} \cdot \dfrac{1}{1+\cos 6y} \\ & = 6 \cdot 6 \cdot \dfrac{1}{1+ \cos 0} \\ & = 18 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x^2\left(1-\cos \dfrac{6}{x} \right) = 18}$

[collapse]

Soal Nomor 30
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(2 + \cos \dfrac{4}{x}\right)$

Pembahasan

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(2 + \cos \dfrac{4}{x}\right) & = \lim_{y \to 0} (2 + \cos 4y) \\ & = 2 + \cos 0 = 3 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(2 + \cos \dfrac{4}{x}\right) = 3}$

[collapse]

Soal Nomor 31
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3x + \sin \dfrac{1}{x} \right)$

Pembahasan

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3x + \sin \dfrac{1}{x} \right) & = \lim_{y \to 0} \left(\dfrac{3}{y} + \sin y \right) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{3}{y} + \lim_{y \to 0} \sin y \\ & = \infty + 0 = \infty \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(3x + \sin \dfrac{1}{x} \right) = \infty}$

[collapse]

Soal Nomor 32
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\tan \dfrac{1}{x}-x\right)$

Pembahasan

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\tan \dfrac{1}{x}-x\right) & = \lim_{y \to 0} \left(\tan y-\dfrac{1}{y} \right) \\ & = \tan 0- \infty =-\infty \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\tan \dfrac{1}{x}- x\right) =-\infty}$

[collapse]

Soal Nomor 33
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sin \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{4 \pi} {3}\right)$

Pembahasan

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$. Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga ditulis 
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \sin \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{4 \pi} {3}\right) & = \lim_{y \to 0} \sin \left(y- \dfrac{4 \pi} {3}\right) \\ & = \sin \left(0-\dfrac{4 \pi} {3}\right) \\ & =-\sin 240^{\circ} = \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sin \left(\dfrac{1}{x}- \dfrac{4 \pi} {3}\right) = \dfrac{1}{2}\sqrt{3}}$

[collapse]

Soal Nomor 34
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sin \left(\dfrac{1}{x}- \dfrac{6 \pi} {7}\right)-5x\right)$

Pembahasan

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$.
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$, sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} & \left(\sin \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{6 \pi} {7}\right)-5x\right) \\ & = \lim_{y \to 0} \left(\sin \left(y-\dfrac{6 \pi}{7}\right)-\dfrac{5}{y}\right) \\ & = \lim_{y \to 0} \sin \left(y-\dfrac{6 \pi}{7}\right)- \lim_{y \to 0} \dfrac{5}{y} \\ & =-\sin \dfrac{6 \pi}{7}-\infty =-\infty \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sin \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{6 \pi} {7}\right)-5x\right) =-\infty}$

[collapse]

Soal Nomor 35 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 165)
Nilai dari $\displaystyle \lim_{y \to \infty} y \cdot \sin \dfrac{3}{y} \cdot \cos \dfrac{5}{y}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$      B. $1$      C. $2$       D. $3$      E. $4$

Pembahasan

Misalkan $x= \dfrac{1}{y}$. 
Jika $y \to \infty$, maka $x \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{y \to \infty} y \cdot \sin \dfrac{3}{y} \cdot \cos \dfrac{5}{y} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \cdot \sin 3x \cdot \cos 5x \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x} {x} \cdot \cos 5x \\ & = 3 \cdot \cos 0 = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{y \to \infty} y \cdot \sin \dfrac{3}{y} \cdot \cos \dfrac{5}{y}$ adalah $\boxed{3}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 36 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 166)
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}} {\left(1-\cos \dfrac{2}{x} \right) \cdot x^2 \cdot \sin \dfrac{1}{x}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$       B. $\dfrac{2}{3}$      C. $1$       D. $\dfrac{3}{2}$       E. $3$

Pembahasan

Misalkan $y= \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}} {\left(1-\cos \dfrac{2}{x} \right) \cdot x^2 \cdot \sin \dfrac{1}{x}} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y} {(1-\cos 2y) \cdot \left(\dfrac{1}{y}\right)^2 \cdot \sin y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y \cdot y^2}{(1-(1-2 \sin^2 y)) \cdot \sin y} \\ & = \dfrac12 \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y} {\sin y} \cdot \dfrac{y}{\sin y} \cdot \dfrac{y}{\sin y} \\ & = \dfrac12 \times 3 \times 1 \times 1 = \dfrac32 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}} {\left(1-\cos \dfrac{2}{x} \right) \cdot x^2 \cdot \sin \dfrac{1}{x}} = \dfrac32}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 37 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 167)
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) = \cdots \cdot$
A. $1$       B. $\dfrac{1}{2}$       C. $\dfrac{1}{3}$       D. $\dfrac{1}{4}$     E. $\dfrac{1}{5}$

Pembahasan

Misalkan $y= \dfrac{1}{\sqrt{x}}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y^2}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} x \left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{y^2} (1-\cos y) \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\cos y} {y^2} \times \dfrac{1+\cos y} {1 + \cos y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\cos^2 y} {y^2(1 + \cos y)} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin y} {y} \cdot \dfrac{\sin y} {y} \cdot \dfrac{1}{1 + \cos y} \\ & = 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{1 + \cos 0} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) = \dfrac{1}{2}}$
(Jawaban B) 
Catatan:
Identitas trigonometri yang digunakan adalah
$$\boxed{\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \iff 1- \cos^2 x = \sin^2 x}$$

[collapse]

Soal Nomor 38 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 168) 
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x \cdot \tan \dfrac{1}{x} \cdot \sec \dfrac{2}{x} = \cdots \cdot$
A. $0$      B. $1$       C. $2$       D. $3$      E. $4$

Pembahasan

Misalkan $y= \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \lim_{x \to \infty} 2x \cdot \tan \dfrac{1}{x} \cdot \sec \dfrac{2}{x} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2}{y} \cdot \tan y \cdot \sec 2y \\ & = 2 \lim_{y \to 0} \dfrac{\tan y} {y} \cdot \sec 2y \\ & = 2 \cdot 1 \cdot \sec 0 \\ & = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\lim_{x \to \infty} 2x \cdot \tan \dfrac{1}{x} \cdot \sec \dfrac{2}{x} = 2}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 39 (Soal SBMPTN Tahun 2017 Saintek Kode 129) 
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 \tan \left(\dfrac{1}{x} \right)-x \sin \left(\dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x}} {x \cos \left(\dfrac{2}{x} \right)} = \cdots \cdot$
A. $2$       B. $1$        C. $0$         D. $-1$          E. $-2$

Pembahasan

Misalkan $y = \dfrac{1}{x}$, ekuivalen dengan $x = \dfrac{1}{y}$. 
Jika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 \tan \left(\dfrac{1}{x} \right)-x \sin \left(\dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x}} {x \cos \left(\dfrac{2}{x} \right)} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2\left(\dfrac{1}{y} \right)^2 \tan y- \dfrac{1}{y} \sin y + y} {\dfrac{1}{y} \cos 2y}\color{red} { \times \dfrac{y}{y}} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2\left(\dfrac{1}{y} \right) \tan y-\sin y + y^2} {\cos 2y} \\ & = \lim_{y \to 0} \dfrac{2 \cdot \dfrac{\tan y}{y}- \sin y + y^2} {\cos 2y} \\ & = \dfrac{2 \cdot 1- \sin 0 + 0^2}{\cos 0} \\ & = \dfrac{2-0}{1} = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 \tan \left(\dfrac{1}{x} \right)-x \sin \left(\dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x}} {x \cos \left(\dfrac{2}{x} \right)} = 2}$

[collapse]

Soal Nomor 40
Hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x\left(\sqrt{9+\dfrac{10}{x}}-3\right) = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{10}{3}$                D. $\dfrac{5}{3}\sqrt{2}$
B. $-\dfrac{10}{3}$             E. $-\dfrac{5}{3}\sqrt{2}$
C. $\dfrac{5}{3}$ 

Pembahasan

Dengan menggunakan metode pengalian akar sekawan, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x\left(\sqrt{9+\dfrac{10}{x}}- 3\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} 2x\left(\sqrt{9+\dfrac{10}{x}}-3\right) \times \dfrac{\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} + 3}{\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} + 3} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x \cdot \left(9+ \dfrac{10}{{x}}-3^2\right)}{\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} + 3} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2 \cdot 10}{\sqrt{9+\dfrac{10}{x}} + 3} \\ & = \dfrac{20}{\sqrt{9+0} + 3} = \dfrac{10}{3} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} 2x\left(\sqrt{9+\dfrac{10}{x}}-3\right) = \dfrac{10}{3}}$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 41
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x-2)\sqrt{(x+2) + \sqrt{4x}}}{x\sqrt{2x}-2\sqrt{x} + 2\sqrt{2}} = \cdots \cdot$

Pembahasan

Perhatikan bahwa bentuk
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x-2)\sqrt{(x+2) + \sqrt{4x}}}{x\sqrt{2x}- 2\sqrt{x} + 2\sqrt{2}}$
dapat dinyatakan sebagai
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(\dfrac{(x-2)\sqrt{(x+2) + \sqrt{4x}}}{x\sqrt{2x}-2\sqrt{x} + 2\sqrt{2}}\right)^2}$
Dengan demikian, diperoleh
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{(x^2-4x + 4)(x + 2 + \sqrt{4x})}{(\sqrt{2}x^{\frac32}-2x^{\frac12} + 2\sqrt{2})^2}}$
Tinjau hanya pada variabel berpangkat tertingginya.
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{x^3 + \cdots}{2x^3 + \cdots}}$
Bagi setiap suku dengan $x^3$,
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{\dfrac{\dfrac{x^3}{x^3} + \cdots}{\dfrac{2x^3}{x^3} + \cdots}}$
Gunakan sifat limit tak hingga untuk memperoleh
$\sqrt{\dfrac{1 + 0}{2 + 0}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x-2)\sqrt{(x+2) + \sqrt{4x}}}{x\sqrt{2x}-2\sqrt{x} + 2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}}$

[collapse]

Soal Tambahan

Soal Nomor 42
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3^{x+1} + 2^x-3}{3^{x+2}-2^{x-1} + 4} = \cdots \cdot$
A. $1$          B. $\dfrac12$        C. $\dfrac13$        D. $\dfrac14$        E. $\dfrac16$

Pembahasan

$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3^{x+1} + 2^x-3}{3^{x+2}-2^{x-1} + 4} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3^{x+1} + 2^x-3}{3^{x+2}-2^{x-1} + 4} \times \dfrac{\frac{1}{3^{x+2}}} {\frac{1}{3^{x+2}}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac13 + \frac{2^x} {3^{x+2}}-\dfrac{3}{3^{x+2}}} {1-\frac{2^{x-1}}{3^{x+2}} + \dfrac{4}{3^{x+2}}} \\ & = \dfrac{\frac13 + 0-0}{1-0 + 0} = \dfrac13 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3^{x+1} + 2^x-3}{3^{x+2}-2^{x-1} + 4} = \dfrac13}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 43
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{5(x-1)+2\sqrt{4x^2-23x-6}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                       C. $-1$                E. $\infty$
B. $0$                       D. $-2$         

Pembahasan

Dengan menggunakan salah satu sifat akar:
$\boxed{\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt b}$
dan sejumlah sifat limit dasar, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{5(x-1)+2\sqrt{4x^2-23x-6}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \sqrt{[(4x + 1)+(x- 6)] + 2\sqrt{(4x+1)(x-6)}} \\ & = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x+1} + \sqrt{x-6}) \\ & = \infty \end{aligned}$$Penjelasan pada langkah terakhir: Karena $x$ nilainya menuju tak hingga, maka $\sqrt{4x+1}$ akan membesar nilainya, begitu juga dengan $\sqrt{x-6}$, sehingga bila dijumlahkan keduanya, hasilnya akan tak hingga
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 44
Hasil dari $$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^2}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right) = \cdots \cdot$$
A. $\infty$        B. $2$         C. $1$         D. $\dfrac12$        E. $\dfrac14$

Pembahasan

Sederhanakan rumus fungsinya terlebih dahulu dengan memanfaatkan rumus pemfaktoran $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ dan konsep teleskopik.
$$\begin{aligned} & \left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^2}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right) \\ & = \left(1-\dfrac12\right)\left(1+\dfrac12\right) \left(1-\dfrac13\right)\left(1+\dfrac13\right) \\ & \left(1-\dfrac14\right)\left(1+\dfrac14\right) \cdots \left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1+\dfrac{1}{n}\right) \\ & = \dfrac12 \cdot \cancel{\dfrac32 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac43 \cdot \dfrac34 \cdot \dfrac54 \cdots \dfrac{n-1}{n}} \cdot \dfrac{n+1}{n} \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac{n+1}{n} = \dfrac{n+1}{2n} \end{aligned}$$Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{n+1}{2n} & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}}{\dfrac{2n}{n}} \\ & = \dfrac{1+0}{2} = \dfrac12 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari
$\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\\ & \left(1-\dfrac{1}{4^2}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right) = \dfrac12 \end{aligned}}$

(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 45 (Soal SBMPTN Tahun 2017)
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt[3]{8^x+3^x}- \sqrt{4^x-2^x}\right) = \cdots \cdot$
A. $-2$                    C. $-\dfrac12$                  E. $\dfrac14$
B. $-1$       
             D. $\dfrac12$        

Pembahasan

Faktorkan $2^x$ keluar dari akar,
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt[3]{8^x+3^x}- \sqrt{4^x-2^x}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt[3]{8^x\left(1 + \left(\dfrac38\right)^x\right)}- \sqrt{4^x\left(1- \left(\dfrac12\right)^x\right)}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(2^x \sqrt[3]{1 + \left(\dfrac38\right)^x}- 2^x \sqrt{1- \left(\dfrac12\right)^x}\right) \end{aligned}$$Selanjutnya, dengan menggunakan Aproksimasi (Pendekatan) Binomial, diperoleh

$$\begin{aligned} & \lim_{x \to \infty} \left(2^x \left(1 + \dfrac13\left(\dfrac38\right)^x\right)-2^x \left(1-\dfrac12\left(\dfrac12\right)^x\right)\right) \\ & = \lim_{x \to \infty} \left(\cancel{2^x} + \dfrac13\left(\dfrac68\right)^x-\cancel{2^x} + \dfrac12\right) \\ & = \dfrac13(0) + \dfrac12 = \dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt[3]{8^x+3^x}- \sqrt{4^x-2^x}\right) = \dfrac12}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 46
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^2-3) \cos x}{x^3+1} = \cdots \cdot$
A. $-1$                    D. tidak ada
B. $0$                       E. $\infty$
C. $1$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$-\dfrac{x^2-3}{x^3+1}\le \dfrac{(x^2-3)\cos x}{x^3+1}\le \dfrac{x^2-3}{x^3+1}$
karena $-1 \le \cos x \leq 1$.
Perhatikan juga bahwa
$\begin{aligned} \lim_{x\to \infty}\left(-\dfrac{x^2-3}{x^3+1}\right) & =\lim _{x\to \infty}\left(-\dfrac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{3}{x^3}}{1+\dfrac{1}{x^3}}\right) \\ & =-\dfrac{0}{1}=0 \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{x^2-3}{x^3+1}\right) & =\lim _{x\to \infty}\left(\dfrac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{3}{x^3}}{1+\dfrac{1}{x^3}}\right) \\ & =\dfrac{0}{1}=0 \end{aligned}$
Dengan menggunakan Teorema Apit, diperoleh
$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^2-3) \cos x}{x^3+1}=0}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 47
Hitunglah nilai dari limit berikut.
a. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{5^n-10^n}{3^{2n}}$
b. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{4+2^{2n}}{3^n-2}$
c. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{(-3)^n}{2^n+1}$
d. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{3^{n+1}+5^{n+1}+7^{n+1}}{3^n + 5^n + 7^n}$

Pembahasan

Jawaban a)
Bagi setiap suku dengan $3^{2n}$, lalu gunakan sifat limit tak hingga.
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{5^n-10^n}{3^{2n}} & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{5^n}{3^{2n}}-\dfrac{10^n}{3^{2n}}}{\dfrac{3^{2n}}{3^{2n}}} \\ & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\left(\dfrac59\right)^n-\left(\dfrac{10}{9}\right)^n}{1} \\ & = \dfrac{0-\infty}{1} =-\infty \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{5^n-10^n}{3^{2n}}=-\infty}$
Jawaban b)
Bagi setiap suku dengan $2^{2n}$, lalu gunakan sifat limit tak hingga.
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{4+2^{2n}}{3^n-2} & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{4}{2^{2n}}+\dfrac{2^{2n}}{2^{2n}}}{\dfrac{3^n}{2^{2n}}-\dfrac{2}{2^{2n}}} \\ & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\cancelto{0}{\dfrac{4}{4^n}} + \color{red}{1}}{\cancelto{0}{\left(\dfrac34\right)^n}-\cancelto{0}{\dfrac{2}{2^{2n}}}} \\ & = \infty \end{aligned}$
Catatan: Penyebut pada bentuk pecahan terakhir bernilai $0$, sehingga nilai limitnya tak hingga, tetapi kita tidak boleh serta merta menuliskan $\dfrac{0+1}{0-0} = \infty$, karena bila demikian, hasilnya justru “tak terdefinisi”, bukan “tak hingga”.

Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{4+2^{2n}}{3^n-2} = \infty}$
Jawaban c)
Bagi setiap suku dengan $(-3)^n$, lalu gunakan sifat limit tak hingga.
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{(-3)^n}{2^n+1} & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{(-3)^n}{(-3)^n}}{\dfrac{2^n}{(-3)^n}+\dfrac{1}{(-3)^n}} \\ & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\left(-\dfrac23\right)^n + \dfrac{1}{(-3)^n}} \\ & = \pm \infty \end{aligned}$
Limit di atas tidak ada (does not exist), karena untuk $n = 2k$ (genap) dan $n = 2k+1$ (ganjil), nilai limitnya berbeda.
Jawaban d)
Bagi setiap suku dengan $7^{n+1}$, lalu gunakan sifat limit tak hingga.
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{3^{n+1}+5^{n+1}+7^{n+1}}{3^n + 5^n + 7^n} \\ & = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{3^{n+1}}{7^{n+1}}+\dfrac{5^{n+1}}{7^{n+1}}+\dfrac{7^{n+1}}{7^{n+1}}}{\dfrac{3^n}{7^{n+1}} + \dfrac{5^n}{7^{n+1}} + \dfrac{7^n}{7^{n+1}}} \\ & = \dfrac{0+0+1}{0+0+\dfrac17} = 7 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{3^{n+1}+5^{n+1}+7^{n+1}}{3^n + 5^n + 7^n} = 7}$

[collapse]

Soal Nomor 48
Nilai dari $$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{9x^2+12x-1}-\sqrt{9x^2-24x+10}}{\sqrt[3]{x^3+8x^2+x}-\sqrt[3]{x^3-x^2+2x}} = \cdots \cdot$$
A. $\dfrac14$          B. $\dfrac12$           C. $1$          D. $2$          E. $3$

Pembahasan

Gunakan sifat limit tak hingga khusus.
$$\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q})= \dfrac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & \lim_{x \to \infty} (\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{ax^3+px^2+qx+r}) = \dfrac{b-p}{3\sqrt[3]{a^2}} \end{aligned}}$$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{9x^2+12x-1}-\sqrt{9x^2-24x+10}}{\sqrt[3]{x^3+8x^2+x}-\sqrt[3]{x^3-x^2+2x}}\\ & = \dfrac{\dfrac{12-(-24)}{2\sqrt9}}{\dfrac{8-(-1)}{3\sqrt[3]{1^2}}} = \dfrac{\dfrac{36}{6}}{\dfrac{9}{3}} = \dfrac{6}{3} = 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{9x^2+12x-1}-\sqrt{9x^2-24x+10}}{\sqrt[3]{x^3+8x^2+x}-\sqrt[3]{x^3-x^2+2x}} = 2}$$(Jawaban D)

[collapse]