Soal Olimpiade Sains Indonesia (OSI) POSI Bidang Matematika Tingkat SMA/Sederajat Tahun 2021

       Berikut ini merupakan soal Olimpiade Sains Indonesia (OSI) Pelatihan Olimpiade Sains Indonesia (POSI) Bidang Matematika Tingkat SMA/Sederajat Tahun 2021 yang diselenggarakan dalam rangka memperingati Hari Pendidikan Nasional Tahun 2021. Perlombaan ini diselenggarakan pada tanggal 30 Mei 2021 dan dikerjakan secara daring berbentuk CBT melalui laman situs POSI. Bentuk soal adalah pilihan ganda sebanyak 30 butir. Soal dapat diunduh dalam file berformat PDF melalui tautan berikut: Download (PDF).

Soal Nomor 1
Jumlah semua bilangan asli $x \leq 100$ sehingga $\text{KPK}(16, x) = 16x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1250$                     D. $2501$
B. $2499$                     E. $5000$
C. $2500$

Soal Nomor 2
Misalkan $(a_n)$ merupakan barisan dengan $a_1=1$ dan $a_{n+1} = \sqrt{a_n^2-2a_n+3} + 1$ untuk $n \geq 1.$ Nilai dari $a_{513}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $27$                       D. $33$
B. $29$                       E. $35$
C. $30$

Soal Nomor 3
Dinotasikan $a_n$ sebagai sisa hasil bagi $(n+1)^3$ oleh $n^3.$ Sisa pembagian dari $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{2013}$ oleh $1000$ adalah $\cdots \cdot$
A. $673$                         D. $693$
B. $679$                         E. $697$
C. $683$

Soal Nomor 4
Misalkan $(a_n), (b_n), (c_n)$ merupakan barisan aritmetika. Diberikan $a_1+b_1+c_1=0$ dan $a_2+b_2+c_2=1.$ Nilai dari $a_{2020}+b_{2020}+c_{2020}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2012$                     D. $2019$
B. $2017$                     E. $2020$
C. $2018$

Soal Nomor 5
Bilangan real $x, y > 1$ mengakibatkan $\log x, 2 \log y, \log 2$ sebagi barisan geometri. Jika $x+y=90,$ maka $xy = \cdots \cdot$
A. $709$                         D. $720$
B. $715$                         E. $729$
C. $719$

Soal Nomor 6
Misalkan $a, b, c$ bilangan real sehingga
$$\begin{array}{c|c|c} \dfrac{5}{a} = b+c & \dfrac{10}{b} = c + a & \dfrac{13}{c} = a+b. \end{array}$$Jika $a+b+c=\dfrac{m}{n}$ dengan $\text{FPB}(m,n)=1,$ maka nilai $m+n=\cdots \cdot$
A. $49$                        D. $54$
B. $50$                        E. $55$
C. $51$

Soal Nomor 7
Didefinisikan barisan $(a_n)$ dengan $a_0=1,$ $a_1=1,$ dan $a_i = 2a_{i-1}-a_{i-2}+2$ untuk setiap $i \ge 2.$ Nilai dari $a_{1000} = \cdots \cdot$
A. $810.000$
B. $999.999$
C. $1.000.000$
D. $1.250.000$
E. $2.400.000$

Soal Nomor 8
Misalkan $a, b$ adalah bilangan bulat positif sehingga $$(2a+b)(2b+a) = 4.752.$$Nilai dari $ab$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $513$                         D. $521$
B. $519$                         E. $527$
C. $520$

Soal Nomor 9
Banyaknya pasangan terurut bilangan asli $(m, n)$ yang memenuhi $$\text{KPK}(m,n) + \text{FPB}(m,n) = m+n+30$$adalah $\cdots \cdot$
A. $10$                      C. $15$                  E. $21$
B. $12$                      D. $16$

Soal Nomor 10
Banyaknya barisan bilangan bulat positif $$1 = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{10} = 10^5$$dengan syarat untuk setiap $m = 0,1,2, \cdots, 9$ mengakibatkan bilangan $\dfrac{x_m+1}{x_m}$ merupakan bilangan prima adalah $\cdots \cdot$
A. $123$                           D. $234$
B. $199$                           E. $252$
C. $212$

Soal Nomor 11
Banyaknya kuadrupel terurut bilangan asli $(a, b, c, d)$ sehingga $a! \cdot b! \cdot c! \cdot d! = 24!$ adalah $\cdots \cdot$
A. $20$                       C. $27$                     E. $31$
B. $25$                       D. $28$

Soal Nomor 12
Misalkan $A, B, C, \cdots, Z$ merupakan $26$ bilangan real taknol. Jika $T = 2,$ maka nilai terkecil yang mungkin dari $\lfloor A^2+B^2+C^2+\cdots+Z^2 \rfloor$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $3$                     E. $9$
B. $2$                     D. $4$

Soal Nomor 13
Jika $$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2x^2} + \dfrac{1}{4x^3} + \dfrac{1}{8x^4} + \dfrac{1}{16x^5} + \cdots = \dfrac{1}{64}$$dan nilai $x$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{m}{n}$ dengan $\text{FPB}(m,n)=1,$ maka nilai $m+n$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $113$                       D. $131$
B. $121$                       E. $311$
C. $130$

Soal Nomor 14
Misalkan $a,b$ adalah bilangan real yang memenuhi
$$\begin{cases} a^4+a^2b^2 + b^4 & = 900 && (\cdots 1) \\ a^2+ab+b^2 & = 45 && (\cdots 2) \end{cases}$$Nilai $2ab = \cdots \cdot$
A. $19$                     C. $25$                    E. $36$
B. $23$                    D. $27$

Soal Nomor 15
Barisan $(a_n)$ memenuhi $a_0 = 201,$ $a_1=2011,$ dan $a_n = 2a_{n-1} + a_{n-2}$ untuk setiap $n \ge 2.$ Misalkan $S = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{a_{i-1}}{a_i^2-a_{i-1}^2}.$ Nilai $\dfrac{1}{s}$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $3147$                       D. $3623$
B. $3512$                       E. $4172$
C. $3620$

Soal Nomor 16
Misalkan $S_1$ dan $S_2$ adalah dua lingkaran yang berpotongan di $A$ dan $B.$ Misalkan $C$ dan $D$ berturut-turut merupakan titik pada $S_1$ dan $S_2$ sehingga $CD$ merupakan garis singgung kedua lingkaran dan $A$ terletak lebih dekat ke $CD$ daripada $B$. Jika $\angle BCA = 52^\circ$ dan $\angle BDA = 32^\circ,$ maka $\angle CBD = \cdots$ (dalam derajat).
A. $26$                     C. $48$                   E. $56$
B. $37$                     D. $52$

Soal Nomor 17
Banyaknya pasangan terurut bilangan asli $(x, y)$ dengan $y \le x \le 100$ sehingga $x^2-y^2$ dan $x^3-y^3$ relatif prima adalah $\cdots \cdot$
A. $33$                   C. $57$                  E. $100$
B. $50$                   D. $99$

Soal Nomor 18
Diketahui bilangan asli $x, y, z \le 100$ memenuhi
$$\begin{cases} 1.099x + 901y + 1.110z & = 59.800 && (\cdots 1) \\ 190x + 991y + 101z & = 44.556 && (\cdots 2) \end{cases}$$Nilai dari $10.000x + 100y + z$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $31.416$
B. $33.146$
C. $34.316$
D. $36.413$
E. $43.316$

Soal Nomor 19
Jumlah kuadrat dari panjang garis-garis berat $\triangle ABC$ adalah $140,$ sedangkan luas $\triangle ABC$ adalah $20.$ Nilai dari $30(\cot A + \cot B + \cot C)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $35$                         D. $120$
B. $70$                         E. $240$
C. $90$

Soal Nomor 20
Diberikan lingkaran $\omega$ dengan titik pusat $O$ dan jari-jari $r.$ Tali busur $BC$ pada $\omega$ memiliki panjang $r$ dan garis singgung pada $\omega$ melalui $B$ dan $C$, serta berpotongan di $A.$ Sinar $AO$ memotong $\omega$ di $D$ melalui $O.$ Misalkan $X$ adalah lingkaran dengan pusat di $A$ dan jari-jari $AB.$ Sinar $OA$ memotong $X$ di $E$ melalui $A.$ Besar $\angle DBE$ sama dengan $\cdots$ (dalam derajat).
A. $120$                       D. $150$
B. $135$                       E. $153$
C. $141$

Soal Nomor 21
Diberikan segitiga lancip $ABC.$ Misalkan terdapat setengah lingkaran $L$ dengan diameter $EF$ yang menyinggung $AB$ dan $AC$ berturut-turut di $X$ dan $Y.$ Jika $BE = 1,$ $EF = 24,$ dan $CF = 3,$ maka keliling $\triangle ABC$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $75$                       C. $84$                   E. $96$
B. $81$                       D. $90$

Soal Nomor 22
Misalkan $S$ menyatakan himpunan semua faktor positif dari $2018^2.$ Suatu bilangan diambil secara acak dari $S.$ Peluang bilangan terambil habis dibagi $2018$ adalah $\dfrac{m}{n}$ dengan $\text{FPB}(m,n) = 1.$ Nilai $m+n$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $11$                     C. $15$                      E. $19$
B. $13$                     D. $16$

Soal Nomor 23
Sembilan kursi disusun sebaris untuk diduduki oleh $6$ orang mahasiswa dan tiga orang profesor: Alfa, Beta, dan Gamma. Tiga profesor ini datang sebelum mahasiswa dan memutuskan untuk duduk sedemikian sehingga setiap profesor akan duduk di antara dua orang mahasiswa. Banyak cara ketiga profesor memilih tempat duduk adalah $\cdots \cdot$
A. $30$                     C. $37$                   E. $72$
B. $31$                    D. $60$

Soal Nomor 24
Banyak kuadrupel bilangan ganjil positif $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ yang memenuhi persamaan $x_1+x_2+x_3+x_4=98$ adalah $N.$ Jumlah digit-digit $N$ adalah $\cdots \cdot$
A. $11$                     C. $19$                    E. $25$
B. $16$                     D. $23$

Soal Nomor 25
Bilangan-bilangan $1, 2, 3, \cdots, 49$ disusun menjadi suatu matriks berukuran $7 \times 7,$ kemudian semua elemen pada masing-masing baris dan kolom dijumlahkan (ada 14 jumlahan). Diketahui bahwa $5$ dari $14$ jumlahan tersebut merupakan bilangan ganjil. Misalkan $A$ menyatakan hasil penjumlahan semua bilangan ganjil dan $B$ menyatakan hasil penjumlahan semua bilangan genap. Banyaknya susunan yang mungkin sehingga $A=B$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                       C. $2$                     E. $4$
B. $1$                      D. $3$

Soal Nomor 26
Diketahui bahwa ada $8$ soal yang akan digunakan untuk ujian. Setiap peserta ujian diberikan $3$ dari $8$ soal tersebut. Tidak ada dua peserta yang menerima lebih dari satu soal yang sama. Banyaknya maksimum peserta ujian tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $4$                     C. $12$                    E. $24$
B. $8$                    D. $16$

Soal Nomor 27
Banyaknya bilangan asli $m$ sehingga $m^2+4$ dan $m^4+2m^2+3$ merupakan bilangan kubik adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                       C. $2$                     E. $4$
B. $1$                      D. $3$

Soal Nomor 28
Banyaknya pasangan bilangan bulat positif $(a,b)$ yang memenuhi $4^a+4a^2+4=b^2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $2$                     E. $4$
B. $1$                      D. $3$

Soal Nomor 29
Diketahui $x_1$ dan $x_2$ merupakan dua bilangan bulat berbeda, sekaligus akar-akar dari persamaan kuadrat $x^2+mx+n+1=0.$ Jika $m$ dan $m^2+n^2$ keduanya merupakan bilangan prima dan nilai terbesar yang mungkin dari $x_1^{2020}+x_2^{2020}$ dapat dinyatakan ke dalam bentuk $p^q,$ maka nilai $p+q=\cdots \cdot$
A. $2018$                        D. $2021$
B. $2019$                        E. $2022$
C. $2020$

Soal Nomor 30
Banyaknya bilangan 5-digit yang setiap digitnya muncul lebih dari sekali adalah $\cdots \cdot$
(Sebagai contoh: $25225,$ $33333,$ $70007,$ $11888$)
A. $625$                       D. $829$
B. $720$                       E. $918$
C. $819$