Soal Babak Final Olimpiade Guru Matematika (OGM) KPM Read1 Institute Tingkat SMA/Sederajat Tahun 2021

Diketahui $f(x) = ax+b$ sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} f(2)-f(1) & = 3 \\ (2a+b)-(a+b) & = 3 \\ a & = 3. \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} f(10)-f(5) & = (10a + b)-(5a+b) \\ & = 5a = 5(3) = 15. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{f(10)-f(5)=15}$

Sebelumnya, identitas trigonometri berikut akan dipakai.
$$\boxed{\begin{aligned} \sin^2 A + \cos^2 A & = 1 && (\text{Identitas Pythagoras}) \\ \sin 2A & = 2 \sin A \cos A && (\text{Identitas Sudut Ganda}) \end{aligned}}$$Diketahui $\sin A-\cos A = \dfrac14.$ Kuadratkan kedua ruasnya sehingga didapat
$$\begin{aligned} (\sin A-\cos A)^2 & = \left(\dfrac14\right)^2 \\ (\sin^2 A + \cos^2 A)-2 \sin A \cos A & = \dfrac{1}{16} \\ 1-2\sin A \cos A & = \dfrac{1}{16} \\ 1-\sin 2A & = \dfrac{1}{16} \\ \sin 2A & = \dfrac{15}{16} \\ 16 \sin 2A & = 15. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{16 \sin 2A = 15}$

Misalkan banyak siswa laki-laki dan siswa perempuan di kelas itu berturut-turut adalah $7x$ dan $9x.$ Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{7x-2}{9x-2} & = \dfrac34 \\ 4(7x-2) & = 3(9x-2) \\ 28x-8 & = 27x-6 \\ x & = 2 \end{aligned}$$Banyak siswa laki-laki adalah $7(2) = 14$ orang, sedangkan banyak siswa perempuan adalah $9(2) = 18$ orang. Banyak siswa secara keseluruhan di kelas tersebut adalah $\boxed{14+18=32}$ orang.

Dapat diperiksa bahwa $a = 3$ dan $b = 1$ memenuhi persamaan $5^a + 3^b = 128.$ Dengan demikian,
$$\begin{aligned} 7^a + 2^c & = 375 \\ \Rightarrow 7^3 + 2^c & = 375 \\ 343 + 2^c & = 275 \\ 2^c & = 32 \\ c & = 5 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a+b+c=3+1+5=9}$

Diketahui $a = 20$ dan $b = 4.$
Karena $\text{S}_n$ adalah jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika tersebut, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ & = \dfrac{n}{2}(2(20) + (n-1) \cdot 4) \\ & = \dfrac{n}{2}(36 + 4n) \\ & = 18n + 2n^2 \\ & = 2n(9 + n) \end{aligned}$$Ekspresi terakhir menunjukkan bahwa agar $\text{S}_n$ merupakan bilangan kuadrat, setiap faktornya harus berpangkat bilangan genap. Dengan kata lain, $2n$ harus sama dengan $(9+n).$
$$2n = 9+n \Rightarrow n = 9$$Jadi, nilai $n$ terkecil yang memenuhi adalah $\boxed{9}$

Diketahui bahwa
$\begin{aligned} AB & = 12 \\ AD & = 18 \\ DE & = 6 \\ EF & = 18 \end{aligned}$
Pertama, kita akan mencari panjang $DG$ supaya dapat menentukan luas segitiga siku-siku kecil $DEG.$
Perhatikan bahwa $\triangle DEG$ dan $\triangle AEB$ sebangun karena ketiga sudut yang bersesuaian sama besar sehingga berlaku
$$\begin{aligned} \dfrac{DE}{DG} & = \dfrac{AE}{AB} \\ \dfrac{6}{DG} & = \dfrac{24}{12} \\ DG & = 3 \end{aligned}$$Selanjutnya, disapat
$$\begin{aligned} L_{\triangle DEG} & = \dfrac12 \cdot DE \cdot DG = \dfrac12 \cdot 6 \cdot 3 = 9 \\ L_{\triangle DFC} & = \dfrac12 \cdot DF \cdot DC = \dfrac12 \cdot 24 \cdot 12 = 144 \end{aligned}$$Luas daerah $CFEG$ sama dengan selisih luas dua segitiga tersebut, yaitu $\boxed{144-9=135}$

Letakkan satu titik di luar lingkaran. Panjang kedua garis singgung lingkaran yang ditarik dari titik tersebut adalah sama.
Perhatikan gambar berikut.
Dari gambar di atas, diketahui bahwa $a+d = 8$ dan $b + c = 18$ sehingga jumlah panjang kedua kaki trapesium adalah
$$\begin{aligned} (a+b)+(c+d) & = (a+d)+(b+c) \\ & = 8 + 18 = 26. \end{aligned}$$Ini menunjukkan bahwa panjang kaki trapesium adalah $13.$ Dengan kata lain, $KM = 13.$ Tarik garis $KL$ sedemikian sehingga tegak lurus dengan sisi alas trapesium. Karena trapesium tersebut sama kaki, maka $LM = (18-8) \div 2 = 5.$
$\triangle KLM$ siku-siku sehingga berlaku rumus Pythagoras.
$$\begin{aligned} KL & = \sqrt{KM^2-LM^2} \\ & = \sqrt{13^2-5^2} \\ & = \sqrt{169-25} \\ & = 12 \end{aligned}$$Jadi, panjang $KL$ yang mewakili panjang diameter lingkaran itu adalah $\boxed{12}$

Diketahui $z = 4.$
Dari persamaan pertama, kita peroleh
$$\begin{aligned} (x+y+z)^2 & = 0 \\ x+y+z & = 0 \\ \Rightarrow x+y+4 & = 0 \\ y & = -4-x \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $y < x < z = 4.$ Agar $x-y$ bernilai sebesar mungkin, nilai $x$ harus dibuat maksimum, sedangkan nilai $y$ harus dibuat minimum. Jadi, nilai $x = 3$ sehingga berakibat $y = -4-3 = -7.$
Oleh karena itu, hasil terbesar yang dapat diperoleh dari $x-y$ adalah $\boxed{3-(-7)=10}$

Perlu diketahui:
Rataan geometris (rataan ukur) dari dua bilangan real positif $a$ dan $b$ adalah $\sqrt{ab}.$
Rataan aritmetika (rataan hitung) dari dua bilangan real positif $a$ dan $b$ adalah $\dfrac{a+b}{2}.$
Kita peroleh dua persamaan berikut.
$$\begin{cases} \sqrt{ab} & = a+12 && (\cdots 1) \\ \dfrac{a+b}{2} & = b-24 && (\cdots 2) \end{cases}$$Dari persamaan $(2)$ di atas, didapat
$$\begin{aligned} a+b & = 2(b-24) \\ a+b & = 2b-48 \\ b & = a+48 \end{aligned}$$Substitusikan pada persamaan $(1).$
$$\begin{aligned} \sqrt{ab} & = a+12 \\ \Rightarrow \sqrt{a(a+48)} & = a+12 \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ a(a+48) & = (a+12)^2 \\ \cancel{a^2}+48a & = \cancel{a^2}+24a+144 \\ 24a & = 144 \\ a & = 6 \end{aligned}$$Karena $a = 6,$ didapat nilai $b = 6+48 = 54.$ Jadi, nilai $\boxed{a+b=6+54=60}$

Diketahui $\dfrac{^2 \log (x+2)}{x-1} > 0.$
Akan dicari penyelesaian pertidaksamaan di atas.
Kasus 1: $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$
Kalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan $(x-1)$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} ^2 \log (x+2) & > 0 \\ x+2 & > 2^0 \\ x+2 & > 1 \\ x & > -1. \end{aligned}$$Iriskan dengan syarat $x > 1.$
Diperoleh penyelesaian kasus ini adalah $x > 1.$
Kasus 2: $x-1 < 0 \Rightarrow x < 1$
Kalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan $(x-1)$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} ^2 \log (x+2) & < 0 \\ x+2 & < 2^0 \\ x+2 & < 1 \\ x & < -1. \end{aligned}$$Iriskan dengan syarat $x < 1.$
Diperoleh penyelesaian kasus ini adalah $x < -1.$
Syarat numerus harus positif, yaitu $x+2 > 0 \Rightarrow x > -2.$
Dengan demikian, penyelesaian pertidaksamaan di atas dapat dicermati pada garis bilangan berikut.
Jadi, penyelesaiannya dalam rentang/interval $(-2, -1) \cup (1, \infty)$ sehingga nilai $k = -2,$ $l = -1,$ dan $m = 1.$ Diperoleh $\boxed{-k+p+m=-(-2)+(-1)+1=2}$

Misalkan $k, m$ adalah bilangan bulat yang memenuhi
$$\begin{cases} N & = 5k + 3 \\ N & = 7m + 5 \end{cases}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} 5k+3 & = 7m+5 \\ 5k & = 7m+2 \\ k & = \dfrac{7m+2}{5} \end{aligned}$$Periksa nilai $m$ terkecil yang membuat $k$ menjadi bilangan bulat. Diperoleh nilai $m = 4$ sehingga $N = 7(4)+5 = 33$ (nilai terkecil $N$ yang mungkin).
Oleh karena itu, sisa $N = 33$ ketika dibagi $35$ adalah $\boxed{33}$

Gunakan konsep perbandingan berbalik nilai.
$$\begin{aligned} 10~\text{orang} & \implies 24~\text{hari} \\ (10+x)\text{orang} & \implies 16\text{hari} \end{aligned}$$Diperoleh perbandingan berikut untuk mencari nilai $x.$
$$\begin{aligned} \dfrac{10}{10+x} & = \dfrac{16}{24} \\ \dfrac{10}{10+x} & = \dfrac{2}{3} \\ 3(10) & = 2(10+x) \\ 30 & = 20+2x \\ x & = 5 \end{aligned}$$Selanjutnya dibuat skema berikut.
$$\begin{aligned} 10~\text{orang} & \implies 24~\text{hari} \\ 5~\text{orang} & \implies y~\text{hari} \end{aligned}$$Kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{10}{5} & = \dfrac{y}{24} \\ 2 & = \dfrac{y}{24} \\ y & = 48 \end{aligned}$$Jadi, pembangunan akan selesai dalam waktu $\boxed{48}$ hari.

Jadikan ruas kanan sama dengan nol, faktorkan, kemudian terapkan sifat-sifat pangkat dan logaritma.
$$\begin{aligned} 16 (\log x)^2 + 9(\log 16)^2 & = 24 \log x \log 16 \\ 16 (\log x)^2 + 9(\log 16)^2- 24 \log x \log 16 & = 0 \\ (4 \log x- 3 \log 16)^2 & = 0 \\ 4 \log x-3 \log 16 & = 0 \\ 4 \log x & = 3 \log 16 \\ \cancel{\log} x^4 & = \cancel{\log} 16^3 \\ x^4 & = 16^3 \\ x & = 16^{\frac34} = (2^4)^{\frac34} = 8 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{8}$

Kasus ini merupakan kasus kombinasi karena pemilihan cucu Pak Hidayat yang pergi memancing tidak memandang urutan.
Syarat pemilihan adalah harus ada minimal $2$ orang cucu laki-laki sehingga harus dianalisis beberapa kasus.
Kasus 1: 2 L dan 2 P
Banyak cara memilih $2$ dari $6$ orang cucu laki-laki dan memilih $2$ dari $4$ orang cucu perempuan adalah
$$\begin{aligned} N_1 & = 6C2 \times 4C2 \\ & = \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} \times \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} \\ & = 15 \times 6 = \color{blue}{90}. \end{aligned}$$Kasus 2: 3 L dan 1 P
Banyak cara memilih $3$ dari $6$ orang cucu laki-laki dan memilih $2$ dari $1$ orang cucu perempuan adalah
$$\begin{aligned} N_2 & = 6C3 \times 4C1 \\ & = \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} \times \dfrac{4!}{3! \cdot 1!} \\ & = 20 \times 4 = \color{blue}{80}. \end{aligned}$$Kasus 3: 4 L
Banyak cara memilih $4$ dari $6$ orang cucu laki-laki adalah
$$\begin{aligned} N_3 & = 6C4 \\ & = \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} = \color{blue}{15}. \end{aligned}$$Jadi, secara keseluruhan ada $\boxed{90+80+15 = 185}$ cara Pak Hidayat memilih cucu-cucunya.

Gradien dari persamaan garis berbentuk $y = mx + c$ adalah $m.$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \bigstar (p-2)x + 6y + 1 & = 0 \\ 6y & = (-p+2)x-1 \\ y & = \color{blue}{\dfrac{-p+2}{6}}x-\dfrac16 \\ \bigstar 2x + (p-3)y + 10 & = 0 \\ (p-3)y & = -2x-10 \\ y & = \color{blue}{\dfrac{-2}{p-3}}x-\dfrac{10}{p-3} \end{aligned}$$Diperoleh gradien garis masing-masing adalah $m_1 = \dfrac{-p+2}{6}$ dan $m_2 = \dfrac{-2}{p-3}.$
Dua garis yang sejajar pasti memiliki gradien yang sama. Jadi, kita tulis
$$\begin{aligned} m_1 & = m_2 \\ \dfrac{-p+2}{6} & = \dfrac{-2}{p-3} \\ (-p+2)(p-3) & = 6(-2) \\ -p^2+5p-6 & = -12 \\ p^2-5p-6 & = 0 \\ (p-6)(p+1) & = 0 \\ p = 6~\text{atau}~p & = -1 \end{aligned}$$Jumlah semua nilai $p$ yang memenuhi adalah $\boxed{6 + (-1) = 5}$

Diketahui $2f(x^2) + f(61-9x) = x^3.$
Ambil $x = 5$ sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} 2f(5^2) + f(61-9(5)) & = 5^3 \\ 2f(25) + f(16) & = 125 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Ambil $x = 4$ sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} 2f(4^2) + f(61-9(4)) & = 4^3 \\ 2f(16) + f(25) & = 64 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Kita peroleh sistem persamaan linear dua variabel. Gunakan metode eliminasi untuk mencari nilai $f(25).$
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2f(25) + f(16) & = 125  \\ 2f(16) + f(25) & = 64 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 4f(25) + 2f(16) & = 250  \\ 2f(16) + f(25) & = 64 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 3f(25) & = 186 \\ f(25) & = 62 \end{aligned} \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{f(25 = 62}$

Kasus ini merupakan kasus permutasi karena posisi anak dan ranjang yang ditukar akan menunjukkan perbedaan susunan.
Diketahui ada $5$ ranjang bagian atas dan $5$ ranjang bagian bawah.
Pertama, atur dulu $3$ orang anak yang hanya mau tidur di ranjang bagian atas. Anak pertama dapat memilih $5$ ranjang, anak kedua sekarang hanya dapat memilih $4$ ranjang tersisa, dan anak ketiga hanya dapat memilih $3$ ranjang tersisa. Banyak cara menyusun posisi adalah $5 \times 4 \times 3 = 60.$
Atur $2$ orang anak yang hanya mau tidur di ranjang bagian bawah. Anak pertama dapat memilih $5$ ranjang dan anak kedua sekarang hanya dapat memilih $4$ ranjang tersisa. Banyak cara menyusun posisi adalah $5 \times 4 = 20.$
Sekarang tersisa $5$ orang anak yang bebas tidur di ranjang bagian atas maupun bawah. Ranjang tersisa sekarang ada $5.$ Jadi, banyak cara menyusun posisi adalah $5! = 120.$
Dengan demikian, total cara menyusun posisi tidur $10$ orang anak tersebut adalah $\boxed{60 \cdot 20 \cdot 120 = 144.000}$

Misalkan $BC = x$ sehingga $DE = 16-x.$ Semua satuan diasumsikan dalam meter. Tarik ruas garis $AD$ dan $AC.$ Selanjutnya, tarik ruas garis dari $A$ ke sisi $DC$ sehingga terbentuk sudut siku-siku. Perhatikan gambar.

Kita akan peroleh dua pasang segitiga yang kongruen. Luas segi lima tersebut merupakan gabungan luas dari empat segitiga tersebut.
$$\begin{aligned} L_{ABCDE} & = 2 \cdot \left(\dfrac12 \cdot 16x + \dfrac12 \cdot 16(16-x)\right) \\ & = 16x + 16(16-x) \\ & = 256~\text{m}^2 \end{aligned}$$Karena biaya pembangunan tempat belajar tersebut sebesar Rp2.000.000,00/meter persegi, maka total uang yang harus disediakan Pak Nala adalah 256 x Rp2.000.000,00 = Rp512.000.000,00.

Untuk setiap bilangan bulat positif $a,b$ berlaku
$$\boxed{\text{FPB}(a, b) \cdot \text{KPK}(a, b) = ab}$$Misalkan $\text{FPB}(a, b) = m$ dan $\text{KPK}(a,b)=n$ sehingga dari persamaan yang diberikan, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{m}{3} + \dfrac{n}{2} & = \dfrac{mn}{6} \\ 2m + 3n & = mn \\ mn-2m-3n & = 0 \\ (m-3)(n-2) & = 6. \end{aligned}$$Faktor positif dari $6$ adalah $1, 2, 3,$ dan $6.$ Oleh karena itu, nilai $m$ dan $n$ dapat kita tentukan.
$$\begin{array}{cccc} \hline m-3 & n-2 & m & n \\ \hline 1 & 6 & 4 & 8 \\ 2 & 3 & 5 & 5 \\ 3 & 2 & 6 & 4 \\ 6 & 1 & 9 & 3 \\ \hline \end{array}$$Perhatikan bahwa FPB dari dua pasang bilangan bulat pasti nilainya lebih kecil atau sama dengan KPK-nya. Jadi, kita tulis $m \leq n$ sehingga banyak solusinya tersisa $2$, yaitu $(4, 8)$ dan $(5,5).$

1. Untuk $m = 4$ dan $n = 8,$ diperoleh $(a, b) = (4, 8), (8, 4).$
2. Untuk $m = 5$ dan $n = 5,$ diperoleh $(a, b) = (5, 5).$

Jadi, ada $3$ pasangan terurut bilangan bulat $(a, b)$ yang memenuhi persamaan tersebut.