Soal Babak Final Olimpiade Guru Matematika (OGM) KPM Read1 Institute Tingkat SMA/Sederajat Tahun 2021

Berikut ini merupakan soal babak final Olimpiade Guru Matematika Tingkat SMA/Sederajat Tahun 2021 (OGM 6) yang diselenggarakan oleh Klinik Pendidikan MIPA (KPM) Read1 Institute. Soal berbentuk isian singkat sebanyak 25 butir yang perlu dikerjakan peserta dalam waktu 90 menit.

Soal juga dapat diunduh dalam file berformat PDF melalui tautan berikut: Download (PDF). Catatan: Terdapat beberapa perubahan redaksi kalimat dan opsi jawaban pada soal tertentu, tetapi tidak mengubah inti soal tersebut.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Babak Final OGM KPM Read1 Institute Tingkat SMP Tahun 2021

Quote by Victor Scheffer

Although Nature needs thousands or millions of years to create a new species, man needs only a few dozen years to destroy one.

Soal Nomor 1
Diketahui fungsi $f(x) = ax + b$ untuk $a, b$ bilangan real. Jika $f(2)-f(1)=3,$ maka nilai dari $f(10)-f(5)$ adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Diketahui $f(x) = ax+b$ sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} f(2)-f(1) & = 3 \\ (2a+b)-(a+b) & = 3 \\ a & = 3. \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} f(10)-f(5) & = (10a + b)-(5a+b) \\ & = 5a = 5(3) = 15. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{f(10)-f(5)=15}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Misalkan $\sin A-\cos A = \dfrac14.$ Tentukan nilai dari $16 \sin 2A.$

Pembahasan

Sebelumnya, identitas trigonometri berikut akan dipakai.
$$\boxed{\begin{aligned} \sin^2 A + \cos^2 A & = 1 && (\text{Identitas Pythagoras}) \\ \sin 2A & = 2 \sin A \cos A && (\text{Identitas Sudut Ganda}) \end{aligned}}$$Diketahui $\sin A-\cos A = \dfrac14.$ Kuadratkan kedua ruasnya sehingga didapat
$$\begin{aligned} (\sin A-\cos A)^2 & = \left(\dfrac14\right)^2 \\ (\sin^2 A + \cos^2 A)-2 \sin A \cos A & = \dfrac{1}{16} \\ 1-2\sin A \cos A & = \dfrac{1}{16} \\ 1-\sin 2A & = \dfrac{1}{16} \\ \sin 2A & = \dfrac{15}{16} \\ 16 \sin 2A & = 15. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{16 \sin 2A = 15}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Perbandingan banyak siswa laki-laki dan perempuan di kelas A adalah $7 : 9.$ Ketika $2$ orang siswa laki-laki dan $2$ orang siswa perempuan tidak dihitung, perbandingannya berubah menjadi $3 : 4.$ Berapa banyak siswa di kelas tersebut?

Pembahasan

Misalkan banyak siswa laki-laki dan siswa perempuan di kelas itu berturut-turut adalah $7x$ dan $9x.$ Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{7x-2}{9x-2} & = \dfrac34 \\ 4(7x-2) & = 3(9x-2) \\ 28x-8 & = 27x-6 \\ x & = 2 \end{aligned}$$Banyak siswa laki-laki adalah $7(2) = 14$ orang, sedangkan banyak siswa perempuan adalah $9(2) = 18$ orang. Banyak siswa secara keseluruhan di kelas tersebut adalah $\boxed{14+18=32}$ orang.

[collapse]

Soal Nomor 4
Misalkan $a, b,$ dan $c$ adalah bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan $$\begin{cases} 5^a + 3^b & = 128 \\ 7^a + 2^c & = 375 \end{cases}$$Nilai dari $a+b+c=\cdots \cdot$

Pembahasan

Dapat diperiksa bahwa $a = 3$ dan $b = 1$ memenuhi persamaan $5^a + 3^b = 128.$ Dengan demikian,
$$\begin{aligned} 7^a + 2^c & = 375 \\ \Rightarrow 7^3 + 2^c & = 375 \\ 343 + 2^c & = 275 \\ 2^c & = 32 \\ c & = 5 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a+b+c=3+1+5=9}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Suatu barisan aritmetika memiliki suku pertama $20$ dan beda $4.$ Diketahui $\text{S}_n$ adalah jumlah $n$ suku pertama. Berapa nilai $n$ terkecil sehingga $\text{S}_n$ merupakan bilangan kuadrat?

Pembahasan

Diketahui $a = 20$ dan $b = 4.$
Karena $\text{S}_n$ adalah jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika tersebut, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ & = \dfrac{n}{2}(2(20) + (n-1) \cdot 4) \\ & = \dfrac{n}{2}(36 + 4n) \\ & = 18n + 2n^2 \\ & = 2n(9 + n) \end{aligned}$$Ekspresi terakhir menunjukkan bahwa agar $\text{S}_n$ merupakan bilangan kuadrat, setiap faktornya harus berpangkat bilangan genap. Dengan kata lain, $2n$ harus sama dengan $(9+n).$
$$2n = 9+n \Rightarrow n = 9$$Jadi, nilai $n$ terkecil yang memenuhi adalah $\boxed{9}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Pada gambar di bawah, $ABCD$ adalah persegi panjang dengan panjang sisi $AB = 12$ dan $AD = 18.$
Titik $E$ dan $F$ terletak pada perpanjangan ruas garis $AD$ sehingga $DE = 6$ dan $EF = AD.$ Berapakah luas daerah $CFEG$?

Pembahasan

Diketahui bahwa
$\begin{aligned} AB & = 12 \\ AD & = 18 \\ DE & = 6 \\ EF & = 18 \end{aligned}$
Pertama, kita akan mencari panjang $DG$ supaya dapat menentukan luas segitiga siku-siku kecil $DEG.$
Perhatikan bahwa $\triangle DEG$ dan $\triangle AEB$ sebangun karena ketiga sudut yang bersesuaian sama besar sehingga berlaku
$$\begin{aligned} \dfrac{DE}{DG} & = \dfrac{AE}{AB} \\ \dfrac{6}{DG} & = \dfrac{24}{12} \\ DG & = 3 \end{aligned}$$Selanjutnya, disapat
$$\begin{aligned} L_{\triangle DEG} & = \dfrac12 \cdot DE \cdot DG = \dfrac12 \cdot 6 \cdot 3 = 9 \\ L_{\triangle DFC} & = \dfrac12 \cdot DF \cdot DC = \dfrac12 \cdot 24 \cdot 12 = 144 \end{aligned}$$Luas daerah $CFEG$ sama dengan selisih luas dua segitiga tersebut, yaitu $\boxed{144-9=135}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Sebuah lingkaran berada di dalam sebuah trapesium sama kaki yang sisi sejajarnya memiliki panjang $8$ dan $18.$ Lingkaran tersebut tepat menyinggung keempat sisi trapesium.
Berapakah panjang diameter lingkaran tersebut?

Pembahasan

Letakkan satu titik di luar lingkaran. Panjang kedua garis singgung lingkaran yang ditarik dari titik tersebut adalah sama.
Perhatikan gambar berikut.
Dari gambar di atas, diketahui bahwa $a+d = 8$ dan $b + c = 18$ sehingga jumlah panjang kedua kaki trapesium adalah
$$\begin{aligned} (a+b)+(c+d) & = (a+d)+(b+c) \\ & = 8 + 18 = 26. \end{aligned}$$Ini menunjukkan bahwa panjang kaki trapesium adalah $13.$ Dengan kata lain, $KM = 13.$ Tarik garis $KL$ sedemikian sehingga tegak lurus dengan sisi alas trapesium. Karena trapesium tersebut sama kaki, maka $LM = (18-8) \div 2 = 5.$
$\triangle KLM$ siku-siku sehingga berlaku rumus Pythagoras.
$$\begin{aligned} KL & = \sqrt{KM^2-LM^2} \\ & = \sqrt{13^2-5^2} \\ & = \sqrt{169-25} \\ & = 12 \end{aligned}$$Jadi, panjang $KL$ yang mewakili panjang diameter lingkaran itu adalah $\boxed{12}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Diberikan sistem untuk $x, y, z$ bilangan bulat berikut.
$$\begin{cases} (x+y+z)^2 = 0 \\ z = 4 \\ y < x < z \end{cases}$$Berapakah hasil terbesar yang dapat diperoleh dari $x-y$?

Pembahasan

Diketahui $z = 4.$
Dari persamaan pertama, kita peroleh
$$\begin{aligned} (x+y+z)^2 & = 0 \\ x+y+z & = 0 \\ \Rightarrow x+y+4 & = 0 \\ y & = -4-x \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $y < x < z = 4.$ Agar $x-y$ bernilai sebesar mungkin, nilai $x$ harus dibuat maksimum, sedangkan nilai $y$ harus dibuat minimum. Jadi, nilai $x = 3$ sehingga berakibat $y = -4-3 = -7.$
Oleh karena itu, hasil terbesar yang dapat diperoleh dari $x-y$ adalah $\boxed{3-(-7)=10}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Terdapat dua bilangan bulat $a$ dan $b.$ Rataan geometris dari $a$ dan $b$ adalah $12$ lebihnya dari $a.$ Rataan aritmetika dari $a$ dan $b$ adalah $24$ kurangnya dari $b.$ Berapakah nilai dari $a+b$?

Pembahasan

Perlu diketahui:
Rataan geometris (rataan ukur) dari dua bilangan real positif $a$ dan $b$ adalah $\sqrt{ab}.$
Rataan aritmetika (rataan hitung) dari dua bilangan real positif $a$ dan $b$ adalah $\dfrac{a+b}{2}.$
Kita peroleh dua persamaan berikut.
$$\begin{cases} \sqrt{ab} & = a+12 && (\cdots 1) \\ \dfrac{a+b}{2} & = b-24 && (\cdots 2) \end{cases}$$Dari persamaan $(2)$ di atas, didapat
$$\begin{aligned} a+b & = 2(b-24) \\ a+b & = 2b-48 \\ b & = a+48 \end{aligned}$$Substitusikan pada persamaan $(1).$
$$\begin{aligned} \sqrt{ab} & = a+12 \\ \Rightarrow \sqrt{a(a+48)} & = a+12 \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ a(a+48) & = (a+12)^2 \\ \cancel{a^2}+48a & = \cancel{a^2}+24a+144 \\ 24a & = 144 \\ a & = 6 \end{aligned}$$Karena $a = 6,$ didapat nilai $b = 6+48 = 54.$ Jadi, nilai $\boxed{a+b=6+54=60}$

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui $\dfrac{^2 \log (x+2)}{x-1} > 0.$ Jika $x$ bernilai benar pada rentang $(k, p) \cap (m, \infty),$ maka berapa nilai dari $-k + p + m$?

Pembahasan

Diketahui $\dfrac{^2 \log (x+2)}{x-1} > 0.$
Akan dicari penyelesaian pertidaksamaan di atas.
Kasus 1: $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$
Kalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan $(x-1)$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} ^2 \log (x+2) & > 0 \\ x+2 & > 2^0 \\ x+2 & > 1 \\ x & > -1. \end{aligned}$$Iriskan dengan syarat $x > 1.$
Diperoleh penyelesaian kasus ini adalah $x > 1.$
Kasus 2: $x-1 < 0 \Rightarrow x < 1$
Kalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan $(x-1)$ sehingga didapat
$$\begin{aligned} ^2 \log (x+2) & < 0 \\ x+2 & < 2^0 \\ x+2 & < 1 \\ x & < -1. \end{aligned}$$Iriskan dengan syarat $x < 1.$
Diperoleh penyelesaian kasus ini adalah $x < -1.$
Syarat numerus harus positif, yaitu $x+2 > 0 \Rightarrow x > -2.$
Dengan demikian, penyelesaian pertidaksamaan di atas dapat dicermati pada garis bilangan berikut.
Jadi, penyelesaiannya dalam rentang/interval $(-2, -1) \cup (1, \infty)$ sehingga nilai $k = -2,$ $l = -1,$ dan $m = 1.$ Diperoleh $\boxed{-k+p+m=-(-2)+(-1)+1=2}$

[collapse]

Soal Nomor 11
Suatu bilangan bulat positif $N$ memberikan sisa $3$ ketika dibagi $5$ dan memberikan sisa $5$ ketika dibagi $7.$ Berapakah sisanya jika $N$ dibagi $35$?

Pembahasan

Misalkan $k, m$ adalah bilangan bulat yang memenuhi
$$\begin{cases} N & = 5k + 3 \\ N & = 7m + 5 \end{cases}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} 5k+3 & = 7m+5 \\ 5k & = 7m+2 \\ k & = \dfrac{7m+2}{5} \end{aligned}$$Periksa nilai $m$ terkecil yang membuat $k$ menjadi bilangan bulat. Diperoleh nilai $m = 4$ sehingga $N = 7(4)+5 = 33$ (nilai terkecil $N$ yang mungkin).
Oleh karena itu, sisa $N = 33$ ketika dibagi $35$ adalah $\boxed{33}$

[collapse]

Soal Nomor 12
Sepuluh pemuda karang taruna dapat menyelesaikan pembangunan jembatan dalam waktu $24$ hari. Jika terdapat $x$ pemuda lainnya yang ingin membantu, maka pembangunan jembatan pun akan selesai dalam waktu $16$ hari. Berapa hari pembangunan jembatan akan selesai jika dari awal pembangunan hanya dikerjakan oleh $x$ pemuda?

Pembahasan

Gunakan konsep perbandingan berbalik nilai.
$$\begin{aligned} 10~\text{orang} & \implies 24~\text{hari} \\ (10+x)\text{orang} & \implies 16\text{hari} \end{aligned}$$Diperoleh perbandingan berikut untuk mencari nilai $x.$
$$\begin{aligned} \dfrac{10}{10+x} & = \dfrac{16}{24} \\ \dfrac{10}{10+x} & = \dfrac{2}{3} \\ 3(10) & = 2(10+x) \\ 30 & = 20+2x \\ x & = 5 \end{aligned}$$Selanjutnya dibuat skema berikut.
$$\begin{aligned} 10~\text{orang} & \implies 24~\text{hari} \\ 5~\text{orang} & \implies y~\text{hari} \end{aligned}$$Kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{10}{5} & = \dfrac{y}{24} \\ 2 & = \dfrac{y}{24} \\ y & = 48 \end{aligned}$$Jadi, pembangunan akan selesai dalam waktu $\boxed{48}$ hari.

[collapse]

Soal Nomor 13
Pada lingkaran dengan pusat $O,$ terdapat tali busur $AB$ dan $CD$ yang saling tegak lurus. Titik $M$ terletak pada busur $BD$ sehingga $\angle AMD = 56^\circ.$
Besar $\angle BMC = \cdots^\circ.$

Soal Nomor 14
Berapakah nilai $x$ yang memenuhi persamaan berikut ini?
$$16(\log x)^2 + 9(\log 16)^2 = 24 \log x \log 16$$

Pembahasan

Jadikan ruas kanan sama dengan nol, faktorkan, kemudian terapkan sifat-sifat pangkat dan logaritma.
$$\begin{aligned} 16 (\log x)^2 + 9(\log 16)^2 & = 24 \log x \log 16 \\ 16 (\log x)^2 + 9(\log 16)^2- 24 \log x \log 16 & = 0 \\ (4 \log x- 3 \log 16)^2 & = 0 \\ 4 \log x-3 \log 16 & = 0 \\ 4 \log x & = 3 \log 16 \\ \cancel{\log} x^4 & = \cancel{\log} 16^3 \\ x^4 & = 16^3 \\ x & = 16^{\frac34} = (2^4)^{\frac34} = 8 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{8}$

[collapse]

Soal Nomor 15
Pak Hidayat memiliki $10$ orang cucu, yaitu $6$ orang laki-laki dan $4$ orang perempuan. Pak Hidayat ingin mengajak $4$ orang cucunya pergi memancing. Jika setidaknya harus ada $2$ orang cucu laki-laki yang ikut dan pemilihan dilakukan secara acak, ada berapa cara Pak Hidayat memilih cucu-cucunya?

Pembahasan

Kasus ini merupakan kasus kombinasi karena pemilihan cucu Pak Hidayat yang pergi memancing tidak memandang urutan.
Syarat pemilihan adalah harus ada minimal $2$ orang cucu laki-laki sehingga harus dianalisis beberapa kasus.
Kasus 1: 2 L dan 2 P
Banyak cara memilih $2$ dari $6$ orang cucu laki-laki dan memilih $2$ dari $4$ orang cucu perempuan adalah
$$\begin{aligned} N_1 & = 6C2 \times 4C2 \\ & = \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} \times \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} \\ & = 15 \times 6 = \color{blue}{90}. \end{aligned}$$Kasus 2: 3 L dan 1 P
Banyak cara memilih $3$ dari $6$ orang cucu laki-laki dan memilih $2$ dari $1$ orang cucu perempuan adalah
$$\begin{aligned} N_2 & = 6C3 \times 4C1 \\ & = \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} \times \dfrac{4!}{3! \cdot 1!} \\ & = 20 \times 4 = \color{blue}{80}. \end{aligned}$$Kasus 3: 4 L
Banyak cara memilih $4$ dari $6$ orang cucu laki-laki adalah
$$\begin{aligned} N_3 & = 6C4 \\ & = \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} = \color{blue}{15}. \end{aligned}$$Jadi, secara keseluruhan ada $\boxed{90+80+15 = 185}$ cara Pak Hidayat memilih cucu-cucunya.

[collapse]

Soal Nomor 16
Diketahui garis dengan persamaan $(p-2)x + 6y + 1 = 0$ sejajar dengan garis $2x + (p-3)y + 10 = 0.$ Jumlah semua nilai $p$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$

Pembahasan

Gradien dari persamaan garis berbentuk $y = mx + c$ adalah $m.$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \bigstar (p-2)x + 6y + 1 & = 0 \\ 6y & = (-p+2)x-1 \\ y & = \color{blue}{\dfrac{-p+2}{6}}x-\dfrac16 \\ \bigstar 2x + (p-3)y + 10 & = 0 \\ (p-3)y & = -2x-10 \\ y & = \color{blue}{\dfrac{-2}{p-3}}x-\dfrac{10}{p-3} \end{aligned}$$Diperoleh gradien garis masing-masing adalah $m_1 = \dfrac{-p+2}{6}$ dan $m_2 = \dfrac{-2}{p-3}.$
Dua garis yang sejajar pasti memiliki gradien yang sama. Jadi, kita tulis
$$\begin{aligned} m_1 & = m_2 \\ \dfrac{-p+2}{6} & = \dfrac{-2}{p-3} \\ (-p+2)(p-3) & = 6(-2) \\ -p^2+5p-6 & = -12 \\ p^2-5p-6 & = 0 \\ (p-6)(p+1) & = 0 \\ p = 6~\text{atau}~p & = -1 \end{aligned}$$Jumlah semua nilai $p$ yang memenuhi adalah $\boxed{6 + (-1) = 5}$

[collapse]

Soal Nomor 17
Suatu keranjang berisi $7$ buah mangga dan $5$ buah jeruk. Sebanyak $3$ buah mangga dan $2$ buah jeruk di antaranya belum matang. Misalkan $p$ adalah peluang seseorang mengambil dua buah secara acak dan memperoleh kedua buahnya mangga atau keduanya buah yang matang. Jika $p$ dapat dituliskan sebagai $\dfrac{a}{b}$ dengan $a$ dan $b$ relatif prima, maka nilai $a + b = \cdots \cdot$

Soal Nomor 18
Misalkan $f(x)$ adalah suatu fungsi pada himpunan bilangan real yang memenuhi persamaan $$2f(x^2) + f(61-9x) = x^3.$$Berapakah nilai $f(25)$?

Pembahasan

Diketahui $2f(x^2) + f(61-9x) = x^3.$
Ambil $x = 5$ sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} 2f(5^2) + f(61-9(5)) & = 5^3 \\ 2f(25) + f(16) & = 125 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Ambil $x = 4$ sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} 2f(4^2) + f(61-9(4)) & = 4^3 \\ 2f(16) + f(25) & = 64 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Kita peroleh sistem persamaan linear dua variabel. Gunakan metode eliminasi untuk mencari nilai $f(25).$
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2f(25) + f(16) & = 125  \\ 2f(16) + f(25) & = 64 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 4f(25) + 2f(16) & = 250  \\ 2f(16) + f(25) & = 64 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 3f(25) & = 186 \\ f(25) & = 62 \end{aligned} \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{f(25 = 62}$

[collapse]

Soal Nomor 19
Sebanyak $10$ orang anak akan tidur di kamar yang terdiri dari $5$ ranjang bertingkat dua. Sebanyak $3$ orang anak hanya mau tidur di ranjang bagian atas dan $2$ orang anak hanya mau tidur di ranjang bagian bawah. Ada berapa banyak cara untuk menyusun posisi tidur mereka di ranjang tersebut?

Pembahasan

Kasus ini merupakan kasus permutasi karena posisi anak dan ranjang yang ditukar akan menunjukkan perbedaan susunan.
Diketahui ada $5$ ranjang bagian atas dan $5$ ranjang bagian bawah.
Pertama, atur dulu $3$ orang anak yang hanya mau tidur di ranjang bagian atas. Anak pertama dapat memilih $5$ ranjang, anak kedua sekarang hanya dapat memilih $4$ ranjang tersisa, dan anak ketiga hanya dapat memilih $3$ ranjang tersisa. Banyak cara menyusun posisi adalah $5 \times 4 \times 3 = 60.$
Atur $2$ orang anak yang hanya mau tidur di ranjang bagian bawah. Anak pertama dapat memilih $5$ ranjang dan anak kedua sekarang hanya dapat memilih $4$ ranjang tersisa. Banyak cara menyusun posisi adalah $5 \times 4 = 20.$
Sekarang tersisa $5$ orang anak yang bebas tidur di ranjang bagian atas maupun bawah. Ranjang tersisa sekarang ada $5.$ Jadi, banyak cara menyusun posisi adalah $5! = 120.$
Dengan demikian, total cara menyusun posisi tidur $10$ orang anak tersebut adalah $\boxed{60 \cdot 20 \cdot 120 = 144.000}$

[collapse]
 

Soal Nomor 20
Pak Nala memiliki sebidang tanah yang akan diwakafkan untuk dijadikan sebagai tempat belajar bagi anak-anak yang kurang mampu, tetapi berprestasi. Tanah tersebut berbentuk segi lima seperti tampak pada gambar berikut.
Diketahui $AB=AE$ $=DC=BC$ $+DE=16~\text{m}$ dan $\angle B =\angle E = 90^\circ.$ Pak Nala tidak hanya mewakafkan tanah, melainkan juga menanggung semua biaya pembangunannya. Jika biaya pembangunan tempat belajar tersebut sebesar Rp2.000.000,00/meter persegi, maka berapa rupiah uang yang harus Pak Nala sediakan?

Pembahasan

Misalkan $BC = x$ sehingga $DE = 16-x.$ Semua satuan diasumsikan dalam meter. Tarik ruas garis $AD$ dan $AC.$ Selanjutnya, tarik ruas garis dari $A$ ke sisi $DC$ sehingga terbentuk sudut siku-siku. Perhatikan gambar.

Kita akan peroleh dua pasang segitiga yang kongruen. Luas segi lima tersebut merupakan gabungan luas dari empat segitiga tersebut.
$$\begin{aligned} L_{ABCDE} & = 2 \cdot \left(\dfrac12 \cdot 16x + \dfrac12 \cdot 16(16-x)\right) \\ & = 16x + 16(16-x) \\ & = 256~\text{m}^2 \end{aligned}$$Karena biaya pembangunan tempat belajar tersebut sebesar Rp2.000.000,00/meter persegi, maka total uang yang harus disediakan Pak Nala adalah 256 x Rp2.000.000,00 = Rp512.000.000,00.

[collapse]

Soal Nomor 21
Misalkan $(S_n)$ dan $(T_n)$ merupakan barisan aritmetika dengan $n$ adalah bilangan asli. Jumlah masing-masing barisan ini adalah $S_n$ dan $T_n.$ Jika diketahui $T_2 = 15$ dan $\dfrac{S_n}{T_n} = \dfrac{5n+1}{3n+21},$ maka nilai $S_{10}$ adalah $\cdots \cdot$

Soal Nomor 22
Nala sangat menghormati jasa guru-gurunya. Sebagai bentuk syukur dan ucapan terima kasih, ia hendak memberikan hadiah kepada $4$ orang gurunya masing-masing berupa $1$ unit laptop. Ketika berada di toko, penjual menawarkan $6$ jenis laptop dengan harga yang berbeda-beda. Harga dari $6$ jenis laptop tersebut ternyata membentuk suatu barisan aritmetika. Setelah dihitung, uang yang disiapkan Nala tepat $\dfrac23$ bagian dari total harga keenam jenis laptop tersebut. Ada berapa cara Nala dapat memilih laptop untuk guru-gurunya?

Soal Nomor 23
Sebuah kubus dengan panjang rusuk $1$ m dipotong oleh dua bidang yang melewati diagonal permukaan atas menjadi tiga bagian sehingga tiga bagian tersebut memiliki volume yang sama seperti tampak pada gambar.
Satu bidang memotong $KS$ di titik $M.$ Jika panjang $MS$ dapat ditulis dalam bentuk $\dfrac{\sqrt{x}-y}{z}$ dengan $x, y, z$ bilangan asli, maka berapa nilai dari $x^2-y-z^2$?

Soal Nomor 24
Ada berapa banyak pasangan terurut bilangan bulat $(a, b)$ yang memenuhi syarat $\dfrac{\text{FPB}(a, b)}{3} + \dfrac{\text{KPK}(a, b)}{2} = \dfrac{ab}{6}$?

Pembahasan

Untuk setiap bilangan bulat positif $a,b$ berlaku
$$\boxed{\text{FPB}(a, b) \cdot \text{KPK}(a, b) = ab}$$Misalkan $\text{FPB}(a, b) = m$ dan $\text{KPK}(a,b)=n$ sehingga dari persamaan yang diberikan, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{m}{3} + \dfrac{n}{2} & = \dfrac{mn}{6} \\ 2m + 3n & = mn \\ mn-2m-3n & = 0 \\ (m-3)(n-2) & = 6. \end{aligned}$$Faktor positif dari $6$ adalah $1, 2, 3,$ dan $6.$ Oleh karena itu, nilai $m$ dan $n$ dapat kita tentukan.
$$\begin{array}{cccc} \hline m-3 & n-2 & m & n \\ \hline 1 & 6 & 4 & 8 \\ 2 & 3 & 5 & 5 \\ 3 & 2 & 6 & 4 \\ 6 & 1 & 9 & 3 \\ \hline \end{array}$$Perhatikan bahwa FPB dari dua pasang bilangan bulat pasti nilainya lebih kecil atau sama dengan KPK-nya. Jadi, kita tulis $m \leq n$ sehingga banyak solusinya tersisa $2$, yaitu $(4, 8)$ dan $(5,5).$

  1. Untuk $m = 4$ dan $n = 8,$ diperoleh $(a, b) = (4, 8), (8, 4).$
  2. Untuk $m = 5$ dan $n = 5,$ diperoleh $(a, b) = (5, 5).$

Jadi, ada $3$ pasangan terurut bilangan bulat $(a, b)$ yang memenuhi persamaan tersebut.

[collapse]

Soal Nomor 25
Diketahui segitiga $ABC$ dengan $\angle ABC = 50^\circ$ dan $\angle ACB = 20^\circ.$ Titik $D$ di dalam segitiga sehingga $\angle DBC = 20^\circ$ dan $\angle DCB = 10^\circ.$ Berapakah besar $\angle ADC$?