Materi, Soal, dan Pembahasan – Luas Segitiga dan Segi-n pada Bidang Koordinat Kartesius

Jawaban a)
Diketahui koordinat titik sudut segitiga adalah $(0, 0), (1, 2)$, dan $(7, 1)$.
$$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 7 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|0 + 1 + 0 -(0 + 14 + 0) \right| \\ & = \dfrac12(13) = 6,5 \end{aligned}$$Jadi, luas segitiga itu adalah $\boxed{6,5}$ satuan luas.
Jawaban b)
Diketahui koordinat titik sudut segitiga adalah $(5, -3), (5, 2)$, dan $(0, 7)$.
$$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} 5 & 5 & 0 & 5 \\ -3 & 2 & 7 & -3 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|10 + 35 + 0 -(-15 + 0 + 35) \right| \\ & = \dfrac12(25) = 12,5 \end{aligned}$$Jadi, luas segitiga itu adalah $\boxed{12,5}$ satuan luas.
Jawaban c)
Diketahui koordinat titik sudut segitiga adalah $(-6, 3), (-1, 3)$, dan $(2, 1)$.
$$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} -6 & -1 & 2 & -6 \\ 3 & 3 & 1 & 3 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|-18 + (-1) + 6 -(-3 + 6 + (-6)) \right| \\ & = \dfrac12(10) = 5 \end{aligned}$$Jadi, luas segitiga itu adalah $\boxed{5}$ satuan luas.
Jawaban d)
Diketahui koordinat titik sudut segitiga adalah $(2, 3), (0, 1)$, dan $(a, b)$.
$$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} 2 & 0 & a & 2 \\ 3 & 1 & b & 3 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|2 + 0 + 3a -(0 + a + 2b) \right| \\ & = \dfrac12|2a + 2b + 2| = |a + b + 1| \end{aligned}$$Jadi, luas segitiga itu adalah $\boxed{|a+b+1|}$ satuan luas.

Jawaban a)
Diketahui koordinat titik sudut segi empat adalah $(0, 0), (4, 1), (5, 3)$, dan $(3, 4)$.
$$\begin{aligned} L_{\text{segi empat}} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} 0 & 4 & 5 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|0 + 12 + 20 + 0-(0+5+9+0) \right| \\ & = \dfrac12(18) = 9 \end{aligned}$$Jadi, luas segi empat itu adalah $\boxed{9}$ satuan luas.
Jawaban b)
Diketahui koordinat titik sudut segi empat adalah $(1, 3), (3, 7), (0, 14)$, dan $(-2, 10)$.
$$\begin{aligned} L_{\text{segi empat}} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 & -2 & 1 \\ 3 & 7 & 14 & 10 & 3 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|7+42+0+(-6)-(9+0+(-28)+10)\right| \\ & = \dfrac12(52) = 26 \end{aligned}$$Jadi, luas segi empat itu adalah $\boxed{26}$ satuan luas.

Misalkan titik sudut segitiga itu adalah $(2, 1)$, $(3, 2)$, dan $(x, -2x)$. Akan dicari nilai $x$. Karena luas segitiganya $5$ satuan luas, maka kita dapat tuliskan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} 2 & 3 & x & 2 \\ 1 & 2 & -2x & 1 \end{vmatrix} \\ 5 & = \dfrac12 \left|4+(-6x)+x-(3+2x+(-4x)) \right| \\ 10 & = |-3x + 1| \end{aligned}$$Kemungkinan pertama:
$$\begin{aligned} -3x + 1 & = 10 \\ -3x & = 9 \\ x & = -3 \end{aligned}$$sehingga $y = -2(-3) = 6$.
Kemungkinan kedua:
$$\begin{aligned} -3x + 1 & = -10 \\ -3x & = -11 \\ x & = \dfrac{11}{3} \end{aligned}$$sehingga $y = -2\left(\dfrac{11}{3}\right) = -\dfrac{22}{3}.$
Jadi, ada dua kemungkinan koordinat titik sudut ketiga, yaitu $(-3, 6)$ atau $\left(\dfrac{11}{3}, -\dfrac{22}{3}\right).$

Diketahui $A(2t, t+1)$, $C(10+t, 0)$, dan $O(0, 0)$ dengan $t > 0$.
Karena luas segitiga $AOC$ adalah $26$ satuan luas, maka kita dapat tuliskan
$$\begin{aligned} L_{\triangle AOC} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} 2t & 10+t & 0 & 2t \\ t+1 & 0 & 0 & t+1 \end{vmatrix} \\ 26 & = \dfrac12 \left|0+0+0-((t+1)(10+t)+0+0) \right| \\ 52 & = (t+1)(10+t) \end{aligned}$$Tanda mutlak dapat dihilangkan karena $t > 0$.
Sekarang, akan diselesaikan persamaan kuadrat tersebut.
$$\begin{aligned} (t+1)(10+t) & = 52 \\ t^2+11t+10 & = 52 \\ t^2+11t-42 & = 0 \\ (t + 14)(t-3) & = 0 \\ t = -14~\text{atau}~t & = 3 \end{aligned}$$Karena $t > 0$, maka haruslah $\boxed{t = 3}$

Misalkan koordinat titik $C$ adalah $(m, n).$ Karena luas $\triangle ABC = \dfrac32$, maka kita tuliskan
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{\cancel{2}} \begin{vmatrix} 2 & 3 & m & 2 \\ -3 & -2 & n & -3 \end{vmatrix} & = \dfrac{3}{\cancel{2}} \\ \left|(-4 + 3n-3m)-(-9-2m+2n)\right| & = 3 \\ \left|5-m+n\right| & = 3 \\ 5-m+n = 3~&\text{atau}~5-m+n = -3 \\ m = n + 2~&\text{atau}~  m = n+8 \end{aligned}$$Diketahui titik pusat $\triangle ABC$ terletak pada garis $y = 3x + 8$, sehingga dapat dimisalkan titik pusatnya berkoordinat $(x, 3x + 8).$ Oleh karena itu, kita peroleh dua kasus penyelesaian berikut.
Kasus 1: Untuk $m = n + 2.$
$$\begin{aligned} \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}, \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right) & = (x, 3x + 8) \\ \left(\dfrac{2 + 3 + m}{3}, \dfrac{-3 + (-2) + n}{3}\right) & = (x, 3x + 8) \\ \left(\dfrac{5 + m}{3}, \dfrac{-5 + n}{3}\right) & = (x, 3x + 8) \\ \text{Substitusi}~m & = n+2 \\ \left(\dfrac{5 + \color{blue}{(n + 2)}}{3}, \dfrac{-5 + n}{3}\right) & = (x, 3x + 8) \\ \left(\dfrac{7 + n}{3}, \dfrac{-5 + n}{3}\right) & = (x, 3x + 8) \end{aligned}$$Dengan demikian, kita memperoleh SPLDV berikut.
$$\begin{cases} \dfrac{7+n}{3} = x & \Rightarrow 7 + n = 3x && (\cdots 1) \\ \dfrac{-5+n}{3} = 3x + 8 & \Rightarrow -5+n = 9x + 24 && (\cdots 2) \end{cases}$$Kalikan $3$ pada kedua ruas di persamaan pertama, lalu substitusikan pada persamaan kedua.
$$\begin{aligned} -5 + n & = (21 + 3n) + 24 \\ -2n & =50 \\ n & = -25 \end{aligned}$$Akibatnya, $m =  (-25) + 2 = -23.$ Jadi, koordinat titik $C$ adalah $\boxed{(-23, -25)}$
Kasus 2: Untuk $m = n + 8.$
$$\begin{aligned} \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}, \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right) & = (x, 3x + 8) \\ \left(\dfrac{2 + 3 + m}{3}, \dfrac{-3 + (-2) + n}{3}\right) & = (x, 3x + 8) \\ \left(\dfrac{5 + m}{3}, \dfrac{-5 + n}{3}\right) & = (x, 3x + 8) \\ \text{Substitusi}~m & = n + 8 \\ \left(\dfrac{5 + \color{blue}{(n + 8)}}{3}, \dfrac{-5 + n}{3}\right) & = (x, 3x + 8) \\ \left(\dfrac{13 + n}{3}, \dfrac{-5 + n}{3}\right) & = (x, 3x + 8) \end{aligned}$$Dengan demikian, kita memperoleh SPLDV berikut.
$$\begin{cases} \dfrac{13+n}{3} = x & \Rightarrow 13 + n = 3x && (\cdots 1) \\ \dfrac{-5+n}{3} = 3x + 8 & \Rightarrow -5+n = 9x + 24 && (\cdots 2) \end{cases}$$Kalikan $3$ pada kedua ruas di persamaan pertama, lalu substitusikan pada persamaan kedua.
$$\begin{aligned} -5 + n & = (39 + 3n) + 24 \\ -2n & =68 \\ n & = -34 \end{aligned}$$Akibatnya, $m = (-34) + 8 = -26.$ Jadi, koordinat titik $C$ adalah $\boxed{(-26, -34)}$ 

Diketahui $A(4, 3)$, $B(5, -2)$, dan $P(x, y)$. Karena jarak $P$ ke $A$ sama dengan jarak $P$ ke $B$, kita peroleh
$$\begin{aligned} |PA| & = |PB| \\ \sqrt{(x-3)^2 + (y-4)^2} & = \sqrt{(x-5)^2 + (y + 2)^2} \\ (x-3)^2 + (y-4)^2 & = (x-5)^2 + (y + 2)^2 \\ (x-3)^2-(x-5)^2 + (y-4)^2-(y+2)^2 & = 0 \\ (2x-8)(2) + (2y-2)(-6) & = 0 \\ (x-4)(1) + (y-1)(-3) & = 0 && (\text{dibagi}~4) \\ x-4-3y+3 & = 0 \\ x & = 3y+1 \end{aligned}$$Diketahui luas segitiga $PAB$ adalah $10$, sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} \left[PAB\right] & = 10 \\ \dfrac12\begin{vmatrix} 3 & 5 & x & 3 \\ 4 & -2 & y & 4 \end{vmatrix} & = 10 \\ |(-6 + 5y + 4x)-(20-2x+3y)| & = 20 \\ |-26 + 2y + 6x| & = 20 \\ |-13 + y + 3x| & = 10 && (\text{dibagi}~2) \\ -13+y+3x = 10~&\text{atau}~-13+y+3x= -10 \\ y = 23-3x~&\text{atau}~y = 3-3x \end{aligned}$$Substitusikan $x = 3y + 1$ pada kedua persamaan di atas.
Kasus 1: $y = 23-3x$
$$\begin{aligned} y & = 23-3\color{blue}{x} \\ y & = 23-3(3y+1) \\ y & = 23-9y-3 \\ 10y & = 20 \\ y & = 2 \end{aligned}$$Akibatnya, $x = 3(2) + 1 = 7.$ Jadi, koordinat titik $P$ adalah $\boxed{(7, 2)}$
Kasus 2: $y = 3-3x$
$$\begin{aligned} y & = 3-3\color{blue}{x} \\ y & = 3-3(3y+1) \\ y & = 3-9y-3 \\ 10y & = 0 \\ y & = 0 \end{aligned}$$Akibatnya, $x = 3(0) + 1 = 1.$ Jadi, koordinat titik $P$ adalah $\boxed{(1, 0)}$

Terapkan rumus luas segitiga pada persamaan $\dfrac{\left[BCD\right]}{\left[ABC\right]} = \dfrac12.$
$$\begin{aligned} \dfrac{\frac12 \begin{vmatrix} -3 & 4 & x & -3 \\ 5 & -2 & 3x & 5 \end{vmatrix}}{\frac12 \begin{vmatrix} 6 & -3 & 4 & 6 \\ 3 & 5 & -2 & 3 \end{vmatrix}} & = \dfrac12 \\ \dfrac{|(6+12x+5x)-(20-2x-9x)|}{|(30+6+12)-(-9+20-12)|} & = \dfrac12 \\ \dfrac{|28x-14|}{49} & = \dfrac12 \\ |56x-28| & = 49 \\ 56 x-28 = 49~&\text{atau}~56x-28 = -49 \\ 56x = 77~&\text{atau}~56x = -21 \\ x = \dfrac{11}{8}~&\text{atau}~x = -\dfrac38 \end{aligned}$$Karena diketahui $x > 0$, maka terbukti bahwa nilai $x$ yang memenuhi adalah $x = \dfrac{11}{8}.$

Titik potong ketiga rusuk segitiga tersebut akan menjadi titik sudut segitiga yang koordinatnya perlu kita cari untuk membuktikan luas segitiga itu sama dengan $\dfrac{(c_1-c_2)^2}{2|m_1-m_2|}$.
Substitusikan $x = 0$ pada dua persamaan rusuk yang lain, diperoleh
$$\begin{aligned} y & = m_1x + c_1 \Rightarrow y = m_1(0) + c_1 = c_1 \\ y & = m_2x + c_2 \Rightarrow y = m_2(0) + c_2 = c_2 \end{aligned}$$Diperoleh dua titik sudut, yaitu $(0, c_1)$ dan $(0, c_2)$.
Berikutnya, akan dicari titik sudut ketiga yang merupakan titik potong garis $y = m_1x + c_1$ dan $y = m_2x + c_2$.
Eliminasi $y$ pada kedua persamaan ini untuk memperoleh
$$\begin{aligned} 0 & = (m_1-m_2)x + (c_1-c_2) \\ x & = \dfrac{c_2-c_1}{m_1-m_2} \end{aligned}$$Substitusikan kembali pada salah satu persamaan.
$$\begin{aligned} y & = m_1\color{red}{x} + c_1 \\ & = m_1 \cdot \dfrac{c_2-c_1}{m_1-m_2} + c_1 \\ & = \dfrac{m_1c_2-m_1c_1}{m_1-m_2} + \dfrac{m_1c_1-m_2c_1}{m_1-m_2} \\ & = \dfrac{m_1c_2-m_2c_1}{m_1-m_2} \end{aligned}$$Jadi, titik sudut ketiga berkoordinat $\left(\dfrac{c_2-c_1}{m_1-m_2}, \dfrac{m_1c_2-m_2c_1}{m_1-m_2}\right).$
Dengan demikian, luas segitiga itu dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} 0 & 0 & \dfrac{c_2-c_1}{m_1-m_2} & 0 \\ c_1 & c_2 & \dfrac{m_1c_2-m_2c_1}{m_1-m_2} & c_1 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|c_1 \cdot \dfrac{c_2-c_1}{m_1-m_2}-c_2 \cdot \dfrac{c_2-c_1}{m_1-m_2} \right| \\ & = \dfrac12 \left|(c_1-c_2) \cdot \dfrac{c_2-c_1}{m_1-m_2}\right| \\ & = \dfrac{(c_1-c_2)^2}{2|m_1m_2|} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa luas segitiga itu sama dengan $\dfrac{(c_1-c_2)^2}{2|m_1-m_2|}$.

Misalkan terdapat segitiga sembarang $ABC$. Misalkan juga koordinat titik sudut segitiga itu adalah $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, dan $(x_3, y_3)$.
Dengan demikian, koordinat titik tengahnya adalah $D\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$, $E\left(\dfrac{x_1+x_3}{2}, \dfrac{y_1+y_3}{2}\right)$, dan $F\left(\dfrac{x_2+x_3}{2}, \dfrac{y_2+y_3}{2}\right)$.
Luas segitiga $ABC$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_1 \end{vmatrix} \\ & = \color{blue}{\dfrac12|x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1-x_2y_1-x_3y_2-x_1y_3|} \end{aligned}$$Akan dibuktikan bahwa $L_{\triangle ABC} = 4L_{\triangle DEF}$.
Luas segitiga $DEF$ sendiri dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle DEF} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} \dfrac{x_1+x_2}{2} & \dfrac{x_1+x_3}{2} & \dfrac{x_2+x_3}{2} & \dfrac{x_1+x_2}{2} \\ \dfrac{y_1+y_2}{2} & \dfrac{y_1+y_3}{2} & \dfrac{y_2+y_3}{2} & \dfrac{y_1+y_2}{2} \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|\dfrac{(x_1+x_2)(y_1+y_3)}{4} + \dfrac{(x_1+x_3)(y_2+y_3)}{4} + \dfrac{(x_2+x_3)(y_1+y_2)}{4}-\dfrac{(y_1+y_2)(x_1+x_3)}{4}-\dfrac{(y_1+y_3)(x_2+x_3)}{4}-\dfrac{(y_2+y_3)(x_1+x_2)}{4} \right| \\ & = \dfrac12(4) |(x_1y_1 + x_1y_3 + x_2y_1 + x_2y_3) + (x_1y_2 + x_1y_3 + x_3y_2 + x_3y_3) + (x_2y_1 + x_2y_2 + x_3y_1 + x_3y_2)-\\ & (x_1y_1+x_3y_1 + x_1y_2 + x_3y_2)-(x_2y_1 + x_3y_1 + x_2y_3 + x_3y_3)-(x_1y_2 + x_2y_2 + x_1y_3 + x_2y_3)| \\ & = 4 \cdot \dfrac12 |x_1y_3 + x_2y_1 + x_3y_2-x_1y_2-x_3y_1-x_2y_3| \\ & = 4 \cdot \color{blue}{\dfrac12|x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1-x_2y_1-x_3y_2-x_1y_3|} \\ & = 4L_{\triangle ABC} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa luas segitiga sama dengan $4$ kali luas segitiga yang dibentuk dari titik tengah setiap rusuknya.

Pertama, akan dicari titik potong tiap dua garis yang selanjutnya akan menjadi titik sudut segitiga.
Garis $7x-2y+10 = 0$ dan $7x + 2y-10 = 0$ berpotongan di $A(0, 5)$.
Garis $7x-2y+10 = 0$ dan $y + 2 = 0$ berpotongan di $B(-2, -2)$.
Garis $7x+2y-10 = 0$ dan $y + 2 = 0$ berpotongan di $C(2, -2)$.
Sekarang, akan dibuktikan bahwa ada dua sisi dari segitiga $ABC$ yang sama panjang.
$$\begin{aligned} |AB| & = \sqrt{(0 + 2)^2 + (5 + 2)^2} \\ & = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53} \\ |AC| & = \sqrt{(0 -2)^2 + (5 + 2)^2} \\ & = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53} \\ |BC| & = 2-(-2) = 4 \end{aligned}$$Karena $|AB| = |AC|$, maka terbukti bahwa segitiga $ABC$ sama kaki.
Luas segitiga $ABC$ dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} 0 & -2 & -2 & 0 \\ 5 & 2 & -2 & 5 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|0+4-10-(-10-4+0) \right| \\ & = \dfrac12(8) = 4 \end{aligned}$$Jadi, luas segitiga tersebut adalah $\boxed{4}$ satuan luas.

Karena $B(-3, 5)$, $C(4, -2)$, dan $P(x, y)$, maka luas segitiga $PBC$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle PBC} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} -3 & 4 & x & -3 \\ 5 & -2 & y & 5 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|6 + 4y + 5x-(20-2x-3y) \right| \\ & = \dfrac12 |7x + 7y-14| = \dfrac72 |x+y-2| \end{aligned}$$Karena $A(6, 3)$, $B(-3, 5)$, dan $C(4, -2)$, maka luas segitiga $ABC$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} 6 & -3 & 4 & 6 \\ 3 & 5 & -2 & 3 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|30 + 6 + 12-(-9 + 20-12) \right| \\ & = \dfrac12(49) = \dfrac{49}{2}\end{aligned}$$Jadi, perbandingan luas $\triangle PBC$ terhadap luas $\triangle ABC$ adalah $ \dfrac72 |x+y-2| : \dfrac{49}{2} = |x+y-2| : 7$.
(Terbukti)