Materi, Soal, dan Pembahasan – Luas Segitiga dan Segi-n pada Bidang Koordinat Kartesius

Untuk menghitung luas segitiga, secara umum kita menggunakan formula berikut.
$$\text{Luas Segitiga} = \dfrac12 \times \text{Alas} \times \text{Tinggi}$$Formula ini dapat langsung dipakai jika sisi alas tegak lurus dengan sisi tinggi segitiga siku-sikunya. Di sini, kita akan mempelajari penentuan luas segitiga jika diketahui koordinat titik sudutnya pada bidang Kartesius.

Menentukan Luas Segitiga Jika Diketahui Koordinat Ketiga Titik Sudutnya
Perhatikan gambar berikut.
Luas segitiga sembarang $ABC$ dengan titik sudut $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, dan $C(x_3, y_3)$ dapat ditentukan seperti berikut.

$$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = L_{DACE} + L_{ECBF}-L_{DABF} \\ & = \dfrac12\left[(y_1 + y_3)(x_3-x_1) + (y_2+y_3)(x_2-x_3)-(y_1+y_2)(x_2-x_1)\right] \\ & = \dfrac12 \left[x_3y_1-x_1y_1+x_3y_3-x_1y_3+x_2y_2-x_3y_2+x_2y_3-x_3y_3-x_2y_1+x_1y_1-x_2y_2+x_1y_2\right] \\ & = \dfrac12\left[x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1-x_2y_1-x_3y_2-x_1y_3\right] \end{aligned}$$Jadi, luas $\triangle ABC$ sama dengan $$\boxed{\dfrac12\left|x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1-x_2y_1-x_3y_2-x_1y_3\right|}$$Catatan:
Ingat bahwa luas trapesium ditentukan oleh $L = \dfrac{(a+b)t}{2}$.
Karena luas tidak pernah negatif, maka diperlukan tanda mutlak $| \cdots |$.
Bentuk di atas mungkin bakal sulit untuk diingat. Untuk mengatasinya, bisa menggunakan skema perkalian diagonal berikut.

Menentukan Luas Segiempat Jika Diketahui Koordinat Ketiga Titik Sudutnya
Analog seperti cara di atas. Luas segiempat dengan titik-titik sudut $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$, dan $(x_4, y_4)$ adalah sebagai berikut.
Berikut ini merupakan beberapa soal dan pembahasan terkait penentuan luas segitiga dan segi-n beserta modifikasinya. Semoga bermanfaat.

Quote by Dalai Lama

There are only two days in the year that nothing can be done. One is called yesterday and the other is called tomorrow, so today is the right day to love, believe, do and mostly live.

Soal Nomor 1
Carilah luas segitiga dengan koordinat titik-titik sudut berikut.
a. $(0, 0), (1, 2)$, dan $(7, 1)$
b. $(5, -3), (5, 2)$, dan $(0, 7)$
c. $(-6, 3), (-1, 3)$, dan $(2, 1)$
d. $(2, 3), (0, 1)$, dan $(a, b)$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui koordinat titik sudut segitiga adalah $(0, 0), (1, 2)$, dan $(7, 1)$.
$$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 7 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|0 + 1 + 0 -(0 + 14 + 0) \right| \\ & = \dfrac12(13) = 6,5 \end{aligned}$$Jadi, luas segitiga itu adalah $\boxed{6,5}$ satuan luas.
Jawaban b)
Diketahui koordinat titik sudut segitiga adalah $(5, -3), (5, 2)$, dan $(0, 7)$.
$$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} 5 & 5 & 0 & 5 \\ -3 & 2 & 7 & -3 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|10 + 35 + 0 -(-15 + 0 + 35) \right| \\ & = \dfrac12(25) = 12,5 \end{aligned}$$Jadi, luas segitiga itu adalah $\boxed{12,5}$ satuan luas.
Jawaban c)
Diketahui koordinat titik sudut segitiga adalah $(-6, 3), (-1, 3)$, dan $(2, 1)$.
$$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} -6 & -1 & 2 & -6 \\ 3 & 3 & 1 & 3 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|-18 + (-1) + 6 -(-3 + 6 + (-6)) \right| \\ & = \dfrac12(10) = 5 \end{aligned}$$Jadi, luas segitiga itu adalah $\boxed{5}$ satuan luas.
Jawaban d)
Diketahui koordinat titik sudut segitiga adalah $(2, 3), (0, 1)$, dan $(a, b)$.
$$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} 2 & 0 & a & 2 \\ 3 & 1 & b & 3 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|2 + 0 + 3a -(0 + a + 2b) \right| \\ & = \dfrac12|2a + 2b + 2| = |a + b + 1| \end{aligned}$$Jadi, luas segitiga itu adalah $\boxed{|a+b+1|}$ satuan luas.

[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah luas segiempat yang dibentuk oleh titik-titik sudut berikut.
a. $(0, 0), (4, 1), (5, 3)$, dan $(3, 4)$
b. $(1, 3), (3, 7), (0, 14)$, dan $(-2, 10)$

Pembahasan

Jawaban a)
Diketahui koordinat titik sudut segiempat adalah $(0, 0), (4, 1), (5, 3)$, dan $(3, 4)$.
$$\begin{aligned} L_{\text{segiempat}} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} 0 & 4 & 5 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|0 + 12 + 20 + 0-(0+5+9+0) \right| \\ & = \dfrac12(18) = 9 \end{aligned}$$Jadi, luas segiempat itu adalah $\boxed{9}$ satuan luas.
Jawaban b)
Diketahui koordinat titik sudut segiempat adalah $(1, 3), (3, 7), (0, 14)$, dan $(-2, 10)$.
$$\begin{aligned} L_{\text{segiempat}} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 & -2 & 1 \\ 3 & 7 & 14 & 10 & 3 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|7+42+0+(-6)-(9+0+(-28)+10)\right| \\ & = \dfrac12(52) = 26 \end{aligned}$$Jadi, luas segiempat itu adalah $\boxed{26}$ satuan luas.

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui luas sebuah segitiga adalah $5$ satuan luas. Dua titik sudut segitiga itu adalah $(2, 1)$ dan $(3, 2)$. Jika titik sudut ketiga terletak pada garis $y = -2x$, tentukan koordinat titik sudut ketiga tersebut.

Pembahasan

Misalkan titik sudut segitiga itu adalah $(2, 1)$, $(3, 2)$, dan $(x, -2x)$. Akan dicari nilai $x$. Karena luas segitiganya $5$ satuan luas, maka kita dapat tuliskan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} 2 & 3 & x & 2 \\ 1 & 2 & -2x & 1 \end{vmatrix} \\ 5 & = \dfrac12 \left|4+(-6x)+x-(3+2x+(-4x)) \right| \\ 10 & = |-3x + 1| \end{aligned}$$Kemungkinan pertama:
$$\begin{aligned} -3x + 1 & = 10 \\ -3x & = 9 \\ x & = -3 \end{aligned}$$sehingga $y = -2(-3) = 6$.
Kemungkinan kedua:
$$\begin{aligned} -3x + 1 & = -10 \\ -3x & = -11 \\ x & = \dfrac{11}{3} \end{aligned}$$sehingga $y = -2\left(\dfrac{11}{3}\right) = -\dfrac{22}{3}.$
Jadi, ada dua kemungkinan koordinat titik sudut ketiga, yaitu $(-3, 6)$ atau $\left(\dfrac{11}{3}, -\dfrac{22}{3}\right).$

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui $A(2t, t+1)$, $B(4t, t+5)$, dan $C(10+t, 0)$, serta $O(0, 0)$ untuk $t > 0$. Tentukan nilai $t$ agar luas $\triangle AOC$ sama dengan $26$ satuan luas.

Pembahasan

Diketahui $A(2t, t+1)$, $C(10+t, 0)$, dan $O(0, 0)$ dengan $t > 0$.
Karena luas segitiga $AOC$ adalah $26$ satuan luas, maka kita dapat tuliskan
$$\begin{aligned} L_{\triangle AOC} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} 2t & 10+t & 0 & 2t \\ t+1 & 0 & 0 & t+1 \end{vmatrix} \\ 26 & = \dfrac12 \left|0+0+0-((t+1)(10+t)+0+0) \right| \\ 52 & = (t+1)(10+t) \end{aligned}$$Tanda mutlak dapat dihilangkan karena $t > 0$.
Sekarang, akan diselesaikan persamaan kuadrat tersebut.
$$\begin{aligned} (t+1)(10+t) & = 52 \\ t^2+11t+10 & = 52 \\ t^2+11t-42 & = 0 \\ (t + 14)(t-3) & = 0 \\ t = -14~\text{atau}~t & = 3 \end{aligned}$$Karena $t > 0$, maka haruslah $\boxed{t = 3}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui persamaan-persamaan rusuk sebuah segitiga adalah $x = 0$, $y = m_1x + c_1$, dan $y = m_2x + c_2$. Buktikan bahwa luas segitiga itu sama dengan $\dfrac{(c_1-c_2)^2}{2|m_1-m_2|}$.

Pembahasan

Titik potong ketiga rusuk segitiga tersebut akan menjadi titik sudut segitiga yang koordinatnya perlu kita cari untuk membuktikan luas segitiga itu sama dengan $\dfrac{(c_1-c_2)^2}{2|m_1-m_2|}$.
Substitusikan $x = 0$ pada dua persamaan rusuk yang lain, diperoleh
$$\begin{aligned} y & = m_1x + c_1 \Rightarrow y = m_1(0) + c_1 = c_1 \\ y & = m_2x + c_2 \Rightarrow y = m_2(0) + c_2 = c_2 \end{aligned}$$Diperoleh dua titik sudut, yaitu $(0, c_1)$ dan $(0, c_2)$.
Berikutnya, akan dicari titik sudut ketiga yang merupakan titik potong garis $y = m_1x + c_1$ dan $y = m_2x + c_2$.
Eliminasi $y$ pada kedua persamaan ini untuk memperoleh
$$\begin{aligned} 0 & = (m_1-m_2)x + (c_1-c_2) \\ x & = \dfrac{c_2-c_1}{m_1-m_2} \end{aligned}$$Substitusikan kembali pada salah satu persamaan.
$$\begin{aligned} y & = m_1\color{red}{x} + c_1 \\ & = m_1 \cdot \dfrac{c_2-c_1}{m_1-m_2} + c_1 \\ & = \dfrac{m_1c_2-m_1c_1}{m_1-m_2} + \dfrac{m_1c_1-m_2c_1}{m_1-m_2} \\ & = \dfrac{m_1c_2-m_2c_1}{m_1-m_2} \end{aligned}$$Jadi, titik sudut ketiga berkoordinat $\left(\dfrac{c_2-c_1}{m_1-m_2}, \dfrac{m_1c_2-m_2c_1}{m_1-m_2}\right).$
Dengan demikian, luas segitiga itu dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} 0 & 0 & \dfrac{c_2-c_1}{m_1-m_2} & 0 \\ c_1 & c_2 & \dfrac{m_1c_2-m_2c_1}{m_1-m_2} & c_1 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|c_1 \cdot \dfrac{c_2-c_1}{m_1-m_2}-c_2 \cdot \dfrac{c_2-c_1}{m_1-m_2} \right| \\ & = \dfrac12 \left|(c_1-c_2) \cdot \dfrac{c_2-c_1}{m_1-m_2}\right| \\ & = \dfrac{(c_1-c_2)^2}{2|m_1m_2|} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa luas segitiga itu sama dengan $\dfrac{(c_1-c_2)^2}{2|m_1-m_2|}$.

[collapse]

Soal Nomor 6
Buktikan bahwa luas segitiga sama dengan $4$ kali luas segitiga yang dibentuk dari titik tengah setiap rusuknya.

Pembahasan

Misalkan terdapat segitiga sembarang $ABC$. Misalkan juga koordinat titik sudut segitiga itu adalah $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, dan $(x_3, y_3)$.
Dengan demikian, koordinat titik tengahnya adalah $D\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$, $E\left(\dfrac{x_1+x_3}{2}, \dfrac{y_1+y_3}{2}\right)$, dan $F\left(\dfrac{x_2+x_3}{2}, \dfrac{y_2+y_3}{2}\right)$.
Luas segitiga $ABC$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_1 \end{vmatrix} \\ & = \color{blue}{\dfrac12|x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1-x_2y_1-x_3y_2-x_1y_3|} \end{aligned}$$Akan dibuktikan bahwa $L_{\triangle ABC} = 4L_{\triangle DEF}$.
Luas segitiga $DEF$ sendiri dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle DEF} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} \dfrac{x_1+x_2}{2} & \dfrac{x_1+x_3}{2} & \dfrac{x_2+x_3}{2} & \dfrac{x_1+x_2}{2} \\ \dfrac{y_1+y_2}{2} & \dfrac{y_1+y_3}{2} & \dfrac{y_2+y_3}{2} & \dfrac{y_1+y_2}{2} \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|\dfrac{(x_1+x_2)(y_1+y_3)}{4} + \dfrac{(x_1+x_3)(y_2+y_3)}{4} + \dfrac{(x_2+x_3)(y_1+y_2)}{4}-\dfrac{(y_1+y_2)(x_1+x_3)}{4}-\dfrac{(y_1+y_3)(x_2+x_3)}{4}-\dfrac{(y_2+y_3)(x_1+x_2)}{4} \right| \\ & = \dfrac12(4) |(x_1y_1 + x_1y_3 + x_2y_1 + x_2y_3) + (x_1y_2 + x_1y_3 + x_3y_2 + x_3y_3) + (x_2y_1 + x_2y_2 + x_3y_1 + x_3y_2)-\\ & (x_1y_1+x_3y_1 + x_1y_2 + x_3y_2)-(x_2y_1 + x_3y_1 + x_2y_3 + x_3y_3)-(x_1y_2 + x_2y_2 + x_1y_3 + x_2y_3)| \\ & = 4 \cdot \dfrac12 |x_1y_3 + x_2y_1 + x_3y_2-x_1y_2-x_3y_1-x_2y_3| \\ & = 4 \cdot \color{blue}{\dfrac12|x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1-x_2y_1-x_3y_2-x_1y_3|} \\ & = 4L_{\triangle ABC} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa luas segitiga sama dengan $4$ kali luas segitiga yang dibentuk dari titik tengah setiap rusuknya.

[collapse]

Soal Nomor 7
Tunjukkan bahwa garis-garis $7x-2y+10=0$, $7x+2y-10=0$, dan $y+2=0$ membentuk sebuah segitiga sama kaki dan hitung luas segitiga tersebut.

Pembahasan

Pertama, akan dicari titik potong tiap dua garis yang selanjutnya akan menjadi titik sudut segitiga.
Garis $7x-2y+10 = 0$ dan $7x + 2y-10 = 0$ berpotongan di $A(0, 5)$.
Garis $7x-2y+10 = 0$ dan $y + 2 = 0$ berpotongan di $B(-2, -2)$.
Garis $7x+2y-10 = 0$ dan $y + 2 = 0$ berpotongan di $C(2, -2)$.
Sekarang, akan dibuktikan bahwa ada dua sisi dari segitiga $ABC$ yang sama panjang.
$$\begin{aligned} |AB| & = \sqrt{(0 + 2)^2 + (5 + 2)^2} \\ & = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53} \\ |AC| & = \sqrt{(0 -2)^2 + (5 + 2)^2} \\ & = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53} \\ |BC| & = 2-(-2) = 4 \end{aligned}$$Karena $|AB| = |AC|$, maka terbukti bahwa segitiga $ABC$ sama kaki.
Luas segitiga $ABC$ dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} 0 & -2 & -2 & 0 \\ 5 & 2 & -2 & 5 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|0+4-10-(-10-4+0) \right| \\ & = \dfrac12(8) = 4 \end{aligned}$$Jadi, luas segitiga tersebut adalah $\boxed{4}$ satuan luas.

[collapse]

Soal Nomor 8
Titik $A$ membagi garis yang dibentuk oleh titik $P(-5, 1)$ dan $Q(3, 5)$ dengan rasio $k : 1$. Carilah nilai $k$ jika diketahui luas $\triangle ABC$ dengan $B(1, 5)$ dan $C(7, -2)$ sama dengan $2$ satuan luas.

Pembahasan Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 9
Diberikan $A(6, 3)$, $B(-3, 5)$, $C(4, -2)$, dan $P(x, y)$. Tunjukkan bahwa perbandingan luas $\triangle PBC$ terhadap luas $\triangle ABC$ adalah $|x +y-2| : 7$.

Pembahasan

Karena $B(-3, 5)$, $C(4, -2)$, dan $P(x, y)$, maka luas segitiga $PBC$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle PBC} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} -3 & 4 & x & -3 \\ 5 & -2 & y & 5 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|6 + 4y + 5x-(20-2x-3y) \right| \\ & = \dfrac12 |7x + 7y-14| = \dfrac72 |x+y-2| \end{aligned}$$Karena $A(6, 3)$, $B(-3, 5)$, dan $C(4, -2)$, maka luas segitiga $ABC$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = \dfrac12 \begin{vmatrix} 6 & -3 & 4 & 6 \\ 3 & 5 & -2 & 3 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac12 \left|30 + 6 + 12-(-9 + 20-12) \right| \\ & = \dfrac12(49) = \dfrac{49}{2}\end{aligned}$$Jadi, perbandingan luas $\triangle PBC$ terhadap luas $\triangle ABC$ adalah $ \dfrac72 |x+y-2| : \dfrac{49}{2} = |x+y-2| : 7$.
(Terbukti) 

[collapse]

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *