Soal dan Pembahasan – Integral Lipat Dua


Soal Nomor 1
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis x + y = 2 dan 2y = x + 4

Penyelesaian

Garis x + y = 2 ekuivalen dengan x = 2 - y, sedangkan garis 2y = x + 4 ekuivalen dengan x = 2y - 4. Titik potong kedua garis ini adalah (0, 2) Grafiknya adalah sebagai berikut.

Luas daerah yang dimaksud adalah
A = \displaystyle \int_D \int dA = \int_{0}^{2} \int_{x = 2y - 4}^{x = 2 - y} dx~dy
A = \displaystyle \int_{0}^{2} [(2-y) - (2y-4)]~dy = \int_{0}^{2} (6 - 3y)~dy
A = \left[6y - \dfrac{3}{2}y^2 \right]_{0}^{2} = (12 - 6) - 0 = 6
Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah 6 satuan luas.

[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah integral berikut dengan mengubahnya terlebih dahulu dalam sistem koordinat kutub.
\displaystyle \int_{D} \int 2xy~dA
dengan D adalah luas daerah pada kuadran pertama di antara lingkaran berjari-jari 2 dan lingkaran berjari-jari 5 yang berpusat di titik asal.

Penyelesaian


Daerah D yang dimaksud adalah daerah yang diarsir warna merah pada gambar di atas.
Langkah pertama adalah kita mencari dulu batas atas dan batas bawah integral. Karena luas yang dicari berada di antara lingkaran berjari-jari 2 dan 5 satuan, maka kita peroleh pertidaksamaan 2 \leq r \leq 5. Selain itu, kita juga mencari luas daerah hanya pada kuadran pertamanya, jadi didapat pertidaksamaan 0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}
Ingat konversi: x = r \cos \theta dan y = r \sin \theta serta dA = r ~dr~d\theta (dalam koordinat polar), sehingga kita rumuskan
\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{2}^{5} 2(r \cos \theta)(r \sin \theta)r~dr~d\theta
= \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{2}^{5} r^3 \sin 2\theta~dr~d\theta
= \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[\dfrac{1}{4}r^4 \sin 2\theta\right]_{2}^{5}~d\theta
= \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{609}{4} \sin 2\theta~d\theta
= \left[-\dfrac{609}{8} \cos 2\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}
= \dfrac{609}{4}

[collapse]

Soal Nomor 3
Rumuskan integral untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva polar r = 3 + 2 \sin \theta yang berada di luar lingkaran r = 2

Penyelesaian


Luas daerah yang dimaksud adalah daerah yang diarsir warna kuning pada gambar di atas. Langkah pertama adalah mencari titik potong kedua grafik yang diberikan. Untuk mencarinya, buatlah persamaan berikut.
3 + 2 \sin \theta = 2
\sin \theta = -\dfrac{1}{2}
Diperoleh \theta = \dfrac{7\pi}{6} atau \theta = \dfrac{11\pi}{6}
Perlu dicatat bahwa -\dfrac{\pi}{6} ekuivalen dengan \dfrac{11\pi}{6} . Ini sangat penting karena kita membutuhkan nilai \theta yang menutupi daerah yang diarsir saat bergerak dari batas bawah ke batas atas. Bila kita menggunakan \dfrac{11\pi}{6}, maka kita justru akan mencari luas pada proyeksi sebaliknya (menuju sumbu Y negatif). Jadi, kita peroleh batas pertidaksamaan
\dfrac{-\pi}{6} \leq \theta \leq \dfrac{7\pi}{6}
2 \leq r \leq 3 + 2 \sin \theta
Jadi, luas daerah D adalah
 \displaystyle \int_{\frac{-\pi}{6}}^{\frac{7\pi}{6}} \int_{2}^{3 + 2 \sin \theta} r~dr~d\theta

[collapse]

 

Ayo Beri Rating Postingan Ini