Soal dan Pembahasan – Sistem Koordinat Kartesius (Tingkat SMP/Sederajat)

Sistem koordinat Kartesius merupakan salah satu materi dasar dalam kajian bidang geometri yang dipelajari pertama kali saat siswa menginjak kelas 6 SD. Selanjutnya, di kelas 8 SMP, siswa kembali mempelajari materi ini secara lebih mendalam. Sebagai bentuk latihan, berikut ini disajikan soal dan pembahasan mengenai sistem koordinat Kartesius setingkat SMP/Sederajat. 

Quote by Dolly Parton

If you don’t like the road you’re walking, start paving another one.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Diketahui titik $A(-3, 4)$. Pernyataan yang tepat mengenai posisi titik $A$ pada bidang Kartesius adalah $\cdots \cdot$

  1. $3$ satuan di atas sumbu-$X$ dan $4$ satuan di kiri sumbu-$Y$
  2. $4$ satuan di atas sumbu-$X$ dan $3$ satuan di kiri sumbu-$Y$
  3. $3$ satuan di bawah sumbu-$X$ dan $4$ satuan di kanan sumbu-$Y$
  4. $4$ satuan di bawah sumbu-$X$ dan $3$ satuan di kanan sumbu-$Y$

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut.
Tampak bahwa titik $A$ terletak $4$ satuan di atas sumbu-$X$ dan $3$ satuan di kiri sumbu-$Y$.
(Jawaban C)

[collapse]

Perhatikan gambar berikut untuk menjawab soal nomor 2 – 5.

Soal Nomor 2
Titik $A$ dan $E$ berturut-turut berkoordinat $\cdots \cdot$
A. $(0, 2)$ dan $(2, -4)$
B. $(2, 0)$ dan $(4, -2)$
C. $(0, 2)$ dan $(-4, 2)$
D. $(2, 0)$ dan $(-4, 2)$

Pembahasan

Penulisan koordinat titik adalah $(x, y)$ di mana $x$ adalah absis dan $y$ adalah ordinat. Dari gambar, tampak bahwa koordinat $A$ adalah $(0, 2)$ dan koordinat $E$ adalah $(2, -4)$.
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Titik Tengah Ruas Garis dan Jarak Dua Titik

Soal Nomor 3
Titik yang letaknya berada di kuadran IV adalah $\cdots \cdot$
A. $A$                         C. $C$
B. $B$                         D. $E$

Pembahasan

Pada bidang Kartesius, kuadran IV terletak di daerah pada posisi kanan bawah dari pusat koordinat. Di kuadran IV, absis (nilai $x$) bertanda positif, sedangkan ordinat (nilai $y$) bertanda negatif. Dari gambar, titik $A$ tidak terletak di kuadran mana pun, titik $B$ di kuadran I, titik $C$ di kuadran II, titik $D$ di kuadran III, dan titik $E$ di kuadran IV.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Titik yang berjarak $3$ satuan di atas sumbu-$X$ dan berjarak $5$ satuan di kanan sumbu-$Y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $A$                        C. $C$
B. $B$                        D. $D$

Pembahasan

Titik $A$ terletak $2$ satuan di atas sumbu-$X$ dan tepat di sumbu-$Y$.
Titik $B$ terletak $3$ satuan di atas sumbu-$X$ dan $5$ satuan di kanan sumbu-$Y$.
Titik $C$ terletak $3$ satuan di atas sumbu-$X$ dan $3$ satuan di kiri sumbu-$Y$.
Titik $D$ terletak $2$ satuan di bawah sumbu-$X$ dan $1$ satuan di kiri sumbu-$Y$.
Titik $E$ terletak $4$ satuan di bawah sumbu-$X$ dan $2$ satuan di kanan sumbu-$Y$.
Jadi, titik yang dimaksud adalah $B(5, 3)$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Titik manakah yang terletak pada sumbu koordinat?
A. Titik $A$                        C. Titik $D$
B. Titik $C$                        D. Titik $E$

Pembahasan

Dari gambar, tampak bahwa titik $A(0, 2)$ terletak di sumbu koordinat, atau lebih tepatnya terletak di sumbu-$Y$.
(Jawaban A)

[collapse]

Perhatikan gambar berikut untuk menjawab soal nomor

Soal Nomor 6
Perhatikan tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{No.} & \text{Titik} & \text{Koordinat Terhadap Acuan}~B \\ \hline 1 & A & (0, 0) \\ 2 & C & (2, -2) \\ 3 & D & (-4, -8) \\ 4 & E & (9, 0) \\ \hline \end{array}$$Pernyataan yang benar dari tabel di atas adalah pada nomor $\cdots \cdot$
A. $1$ dan $3$
B. $1$ dan $4$
C. $2$ dan $3$
D. $3$ dan $4$

Pembahasan

Pandang $B$ sebagai titik acuan. Dari titik $B(2, 3)$, bergerak $2$ satuan ke kiri, lalu $3$ satuan ke bawah untuk ke titik $A$. Koordinat acuan terhadap $B$ untuk titik $A$ adalah $(-2, -3)$.
Dari titik $B(2, 3)$, bergerak $2$ satuan ke kanan, lalu $2$ satuan ke bawah untuk ke titik $C$. Koordinat acuan terhadap $B$ untuk titik $C$ adalah $(2, -2)$.
Dari titik $B(2, 3)$, bergerak $4$ satuan ke kiri, lalu $8$ satuan ke bawah untuk ke titik $C$. Koordinat acuan terhadap $B$ untuk titik $C$ adalah $(-4, -8)$.
Dari titik $B(2, 3)$, bergerak $9$ satuan ke bawah untuk ke titik $E$. Koordinat acuan terhadap $B$ untuk titik $E$ adalah $(0, -9)$.
Jadi, pernyataan yang benar dari tabel di atas adalah pada nomor $2$ dan $3$.
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Lingkaran (Tingkat SD)

Soal Nomor 7
Perhatikan gambar berikut.Sebuah pesawat semula berada di titik $A$. Pesawat itu bergerak $3$ satuan ke selatan, lalu belok ke arah barat sejauh $4$ satuan, dan belok ke arah utara sejauh $2$ satuan. Koordinat pesawat tersebut saat ini adalah $\cdots \cdot$
A. $(-3, -1)$                          C. $(-3, 1)$
B. $(3, -1)$                             D. $(5, -1)$

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut.

Dari titik $A(1, 2)$, bergerak $3$ satuan ke selatan menuju titik $(1, -1)$, kemudian belok ke arah barat sejauh $4$ satuan menjadi $(-3, -1)$. Terakhir belok ke arah utara sejauh $2$ satuan menjadi $(-3, 1)$.

Jadi, koordinat pesawat tersebut saat ini adalah $\boxed{(-3, 1)}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui koordinat $P(4,4)$, $Q(-2,4)$, $R(4,-4)$, dan $S(4, -2)$. Pasangan titik berikut yang bila dihubungkan menggunakan garis lurus membentuk garis yang sejajar dengan sumbu-$X$ adalah $\cdots \cdot$
A. $P$ dan $S$
B. $P$ dan $R$
C. $P$ dan $Q$
D. $R$ dan $S$

Pembahasan

Garis yang menghubungkan dua titik dengan ordinat yang sama pasti sejajar dengan sumbu-$X$.
Perhatikan gambar.
Tampak bahwa titik $P(4,4)$ dan $Q(-2, 4)$ memiliki ordinat yang sama, sehingga pasangan titik yang dimaksud adalah $P$ dan $Q$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui titik $K(-5,3)$, $L(2, 3)$, $M(-3, -1)$, $N(-3, 5)$, dan $O(2, -2)$. Setiap dua titik dihubungkan menggunakan garis lurus. Pasangan garis yang saling berpotongan adalah $\cdots \cdot$
A. $KN$ dan $LM$
B. $KM$ dan $LN$
C. $MN$ dan $LO$
D. $KL$ dan $MN$

Pembahasan

Gambarkan kelima titik tersebut pada bidang Kartesius seperti berikut.
Tampak bahwa garis $KL$ dan $MN$ akan berpotongan di titik $(-3, 3)$, sedangkan tiga pasangan garis lainnya tidak. 
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Lingkaran (Tingkat SMP)

Soal Nomor 10
Diketahui titik $K(4, 3)$ dan $L(-5, 3)$. Jika dibuat garis yang melalui kedua titik tersebut, maka kedudukan garis tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. berimpit dengan sumbu-$Y$
B. tegak lurus terhadap sumbu-$X$
C. sejajar dengan sumbu-$Y$
d. sejajar dengan sumbu-$X$

Pembahasan

Garis yang menghubungkan dua titik dengan ordinat yang sama pasti sejajar dengan sumbu-$X$.
Perhatikan gambar.
Tampak bahwa titik $K(4, 3)$ dan $Q(-5, 3)$ memiliki ordinat yang sama, sehingga kedudukan garis yang melalui dua titik ini adalah sejajar dengan sumbu-$X$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui titik $A(-1, 4)$, $B(-3, -1)$, dan $C(-1, -2)$. Jika $ABCD$ merupakan layang-layang, maka koordinat titik $D$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(1, -1)$                        C. $(2, -1)$
B. $(1, 1)$                         D. $(2, 1)$

Pembahasan

Gambarkan tiga titik tersebut pada bidang Kartesius.
Agar terbentuk layang-layang, titik $D$ seharusnya terletak di sekitar kuadran IV. Ordinatnya seharusnya sama dengan ordinat $B$, yaitu $y = -1$. Karena jarak absis $B$ dan $C$ adalah $-1-(-3) = 2$, maka jarak absis $C$ dan $D$ juga harus $2$, sehingga $x = -1 + 2 = 1$.
Jadi, koordinat titik $D$ adalah $\boxed{(1, -1)}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
$PQRS$ merupakan bangun trapesium siku-siku. Koordinat titik $P$, $Q$, dan $R$ berturut-turut adalah $(-3, 2)$, $(5, 2)$, dan $(2, -2)$. Titik $S$ terletak pada koordinat $\cdots \cdot$
A. $(-2, 3)$                         C. $(2, 3)$
B. $(2, -3)$                         D. $(-3, -2)$

Pembahasan

Gambarkan tiga titik tersebut pada bidang Kartesius.
Agar terbentuk trapesium siku-siku, titik $S$ seharusnya terletak di sekitar kuadran III dan sudutnya harus siku-siku. Agar hal itu terjadi, maka titik $S$ harus terletak di $(-3, -2)$ seperti yang diilustrasikan pada gambar di atas.
Jadi, koordinat titik $S$ adalah $\boxed{(-3, -2)}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui titik $P(-2, 3)$, $Q(2, 3)$, $R(0, -3)$, dan $S(-4, -3)$. Jika $PQRS$ dihubungkan, maka terbentuk segiempat yang luasnya adalah $\cdots$ satuan luas.
A. $20$                        C. $24$
B. $22$                        D. $26$

Pembahasan

Gambarkan keempat titik tersebut pada bidang Kartesius dan hubungkan dengan menggunakan garis lurus.
Kita peroleh sebuah segiempat berupa jajar genjang. Panjang alas diwakili oleh panjang $SR$, yaitu $a = 4$. Tingginya diwakili oleh panjang $OR$, yaitu $t = 6$.
Jadi, luas jajar genjang $PQRS$ adalah $\boxed{a \times t = 4 \times 6 = 24}$ satuan luas.
(Jawaban C)

[collapse]

Bagian Uraian 

Soal Nomor 1
Diketahui koordinat titik $A(5, 2)$, $B(-2, 4)$, $C(-3, -3)$, dan $D(1, -2)$.

  1. Gambarlah keempat titik tersebut pada bidang Kartesius.
  2. Gambarlah $4$ buah titik ($P, Q, R, S$) yang berjarak sama terhadap titik $A$.

Pembahasan

Jawaban a)
Jawaban b)
Di gambar berikut, titik $P, Q, R, S$ berjarak $2$ satuan dari titik $A$. Koordinatnya berturut-turut adalah $(7, 2)$, $(5, 0)$, $(3, 2)$, dan $(5, 4)$.
 

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Garis Singgung Lingkaran (Tingkat SMP)

Soal Nomor 2
Diketahui titik $A, B$, dan $C$ pada bidang Kartesius seperti gambar berikut.

  1. Tentukan koordinat titik $D$ agar terbentuk persegi panjang $ABCD$.
  2. Tentukan keliling persegi panjang $ABCD$.
  3. Tentukan luas persegi panjang $ABCD$.
  4. Tentukan panjang diagonal $BD$.

Pembahasan

Dari gambar, diketahui koordinat titik $A$ adalah $(-3, 3)$, $B(3, 3)$, dan $C(3, -1)$.
Jawaban a)
Agar terbentuk persegi panjang $ABCD$, maka $D$ harus terletak di sekitar kuadran III, tepatnya di titik $(-3, -1)$, seperti yang tampak pada gambar berikut.
Jawaban b)
Keliling bangun datar adalah jumlah panjang setiap sisi-sisinya. Oleh karena itu,
$$\begin{aligned} \text{k}_{ABCD} & = AB + BC + CD + AD \\ & = 6 + 4 + 6 + 4 \\ & = 20 \end{aligned}$$Jadi, keliling persegi panjang $ABCD$ adalah $\boxed{20}$ satuan panjang.
Jawaban c)
Luas persegi panjang sama dengan panjang dikali lebarnya. Oleh karena itu,
$$\begin{aligned} \text{L}_{ABCD} & = AB \times BC \\ & = 6 \times 4 \\ & = 24 \end{aligned}$$Jadi, keliling persegi panjang $ABCD$ adalah $\boxed{24}$ satuan luas.
Jawaban d)
Untuk menentukan panjang diagonal $BD$, gunakan rumus Pythagoras di segitiga siku-siku $BCD$.
$$\begin{aligned} BD & = \sqrt{BC^2 + CD^2} \\ & = \sqrt{4^2 + 6^2} \\ & = \sqrt{16 + 36} \\ & = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13} \end{aligned}$$Jadi, panjang diagonal $BD$ adalah $\boxed{2\sqrt{13}}$ satuan panjang.

[collapse]

Tinggalkan Balasan

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *