Soal Latihan dan Pembahasan – Deret (Series) ~ Analisis Real 2


Catatan penting untuk penulisan notasi sigma tanpa batas bawah dan atas:
\sum n = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n

Soal Nomor 1
Dengan menggunakan pecahan parsial (partial fractions), tunjukkan bahwa
a) \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} = 1
b) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \dfrac{1}{4}
c) \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{(a+n)(a+n+1)} = \dfrac{1}{a} > 0~\text{jika}~ a > 0

Penyelesaian

(Jawaban a) Tinjau rumus barisannya.
\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{a}{n+1} + \dfrac{b}{n+2} = \dfrac{(a + b)n + (2a + b)}{(n+1)(n+2)}
Dengan meninjau posisi pembilang, diperoleh a + b = 0 dan 2a + b = 1. Gunakan metode penyelesaian SPLDV sehingga didapat a = 1 dan b = -1. Jadi, bentuk notasi sigma di atas dapat ditulis menjadi
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+2}\right)
= \left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right) + \cdots = 1
Terbukti bahwa \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} = 1
(Jawaban b) Tinjau rumus barisannya,
\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \dfrac{a}{n} + \dfrac{b}{n+1} + \dfrac{c}{n+2} \\ = \dfrac{a(n+1)(n+2)+b(n)(n+2)+c(n)(n+1)}{(n)(n+1)(n+2)} \\ = \dfrac{(a+b+c)n^2 + (3a+2b+c)n + 2a}{(n)(n+1)(n+2)}
Dengan meninjau posisi pembilangnya, diperoleh a+b+c=0, 3a+2b+c=0, dan 2a=1. Selesaikan a,b,c sehingga diperoleh a = \dfrac{1}{2}, b = -1, c = \dfrac{1}{2}. Jadi,
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{\dfrac{1}{2}}{n} - \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{\dfrac{1}{2}}{n+2}\right)\\ = \dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{2}{n+1} + \dfrac{1}{n+2}\right) \\ = \dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \left[\left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\right) + \left(-\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2}\right)\right] \\ = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{4} (terbukti)
(Jawaban c) Tinjau rumus barisannya.
\dfrac{1}{(a+n)(a+n+1)} = \dfrac{x}{a+n} + \dfrac{y}{a+n+1} \\ =  \dfrac{(x+y)a + (x+y)n + x}{(a+n)(a+n+1)}
Dengan meninjau posisi pembilang, diperoleh x + y = 0 dan x = 1. Akibatnya y = -1. Berarti, \dfrac{1}{(a+n)(a+n+1)} = \dfrac{1}{a+n} - \dfrac{1}{a+n+1}
Bentuk notasi sigmanya adalah
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{1}{a+n} - \dfrac{1}{a+n+1}\right) \\ = \left(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{a+1}\right) +  \left(\dfrac{1}{a+1} - \dfrac{1}{a+2}\right)+  \left(\dfrac{1}{a+2} - \dfrac{1}{a+3}\right) + \cdots = \dfrac{1}{a}
dengan syarat a > 0. Jadi, terbukti bahwa
\boxed{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{(a+n)(a+n+1)} = \dfrac{1}{a} > 0~\text{jika}~ a > 0}

[collapse]

Lanjutkan membaca “Soal Latihan dan Pembahasan – Deret (Series) ~ Analisis Real 2”

Ayo Beri Rating Postingan Ini