Tag: Aljabar

Diketahui $$\{\begin{array}{llll}x+y& =a& & (\cdots 1)\\ x-y& =b& & (\cdots 2)\end{array}$$Bila kedua persamaan dijumlahkan dan dikurangkan, berturut-turut kita peroleh
$$\{\begin{array}{ll}2x& =a+b\\ 2y& =a-b\end{array}$$Kalikan sesuai ruasnya dan kita peroleh
$$\begin{array}{rl}(2x)(2y)& =(a+b)(a-b)\\ 2xy& ={\displaystyle \frac{(a+b)(a-b)}{2}}\\ 2xy& ={\displaystyle \frac{a^2-b^2}{2}}\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle 2xy={\displaystyle \frac{a^2-b^2}{2}}}}$
(Jawaban A)

MATEMATIKA terdiri dari $10$ huruf dan $A$ muncul sebanyak $3$ kali. Karena $2020÷10=202$, maka akan ada $202$ kata MATEMATIKA dalam susunan barisan tersebut. Ini artinya, banyak huruf $A$ ada $\boxed{{\displaystyle 3\times 202=606}}$
(Jawaban E)

Misalkan $a=3x$, $b=2x$, dan $c=x$ untuk suatu $x$ bilangan positif. Dengan demikian, didapat
$$\begin{array}{rl}abc& =4(a+b+c)\\ (3x)(2x)(x)& =4(3x+2x+x)\\ (6x^2)\cancel{(x)}& =4(6)\cancel{(x)}\\ 6x^2& =4(6)\\ x^2& =4\\ x& =2\end{array}$$Catatan: $x\ne -2$ karena konstanta perbandingan tidak mungkin negatif.
Jadi, nilai $\boxed{{\displaystyle 2x=2(2)=4}}$
(Jawaban C)

Pertama, kita cari dulu rata-rata dari $10,30$, dan $50$. Mudah diamati bahwa rata-rata tiga bilangan tersebut adalah $30$.
Selanjutnya, misalkan $x$ adalah bilangan yang akan kita cari, sehingga $20,40$, dan $x$ memiliki rata-rata $30-5=25$.
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{20+40+x}{3}}& =25\\ 60+x& =75\\ x& =15\end{array}$$Jadi, nilai rata-rata dari $10,30$, dan $50$ adalah lima lebihnya dari nilai rata-rata $20,40$, dan $\boxed{{\displaystyle 15}}$
(Jawaban A)

Karena $5$ bilangan bulat positif itu memiliki rata-rata $56$ dengan rentang $4$, maka dapat kita tuliskan
$$54,56,56,56,58$$Cek Kemungkinan Opsi A.
Bila mediannya $54$, maka kita dapat susun dengan format seperti berikut.
$$54,54,54,c,d$$Meskipun kita buat $c=d=58$ (setinggi mungkin), rata-ratanya tidak sampai $56$. Jadi, median $54$ tidak mungkin terjadi.
Cek Kemungkinan Opsi B dan C.
Karena ada $5$ bilangan (ganjil) dan semua bilangannya bulat, maka median ditentukan oleh bilangan ketiga setelah diurutkan. Jadi, tidak mungkin mediannya bukan bilangan bulat.
Cek Kemungkinan Opsi D.
Bila mediannya $57$, maka kita dapat susun dengan format seperti berikut.
$$54,54,57,57,58$$Jadi, ada kemungkinan bahwa mediannya bernilai $57$.
Cek Kemungkinan Opsi E.
Bila mediannya $58$, maka kita dapat susun dengan format seperti berikut.
$$a,b,58,58,58$$Hal ini membuat $a,b$ paling kecil bernilai $54$, sehingga rata-rata $56$ tidak dapat tercapai.
Jadi, median yang mungkin dari $5$ bilangan bulat positif tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 57}}$
(Jawaban D)

Gunakan sifat-sifat eksponen.
$$\begin{array}{rl}(a^{-1}+b^{-1}{)}^{-1}& ={({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}})}^{-1}\\ & ={\left({\displaystyle \frac{a+b}{ab}}\right)}^{-1}\\ & ={\displaystyle \frac{ab}{a+b}}\end{array}$$Jadi, bentuk sederhana dari $$\boxed{{\displaystyle (a^{-1}+b^{-1}{)}^{-1}={\displaystyle \frac{ab}{a+b}}}}$$(Jawaban A)

Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}{r}^2-2rs+s^2& =4\\ (r-s{)}^2& =4\\ \text{Pangkatkan}& 3\text{pada kedua ruas}\\ (r-s{)}^{2\times 3}& =4^3\\ (r-s{)}^6& =64\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle (r-s{)}^6=64}}$
(Jawaban E)

Beberapa aturan berikut akan dipakai untuk menyelesaikan soal ini.

1. Jumlah besar ketiga sudut pada setiap segitiga adalah ${180}^{\circ }$.
2. Jumlah besar dua sudut yang berhadapan pada segi empat tali busur lingkaran adalah ${180}^{\circ }$.
   

Pada segitiga $AEB$, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }BEA+\mathrm{\angle }EAB+\mathrm{\angle }EBA& ={180}^{\circ }\\ \mathrm{\angle }BEA+{54}^{\circ }+{35}^{\circ }& ={180}^{\circ }\\ \mathrm{\angle }BEA+{89}^{\circ }& ={180}^{\circ }\\ \mathrm{\angle }BEA& ={91}^{\circ }\end{array}$$Sekarang, pada segi empat tali busur $AEDF$, berlaku
$$\begin{array}{rl}x+\mathrm{\angle }BEA& ={180}^{\circ }\\ x+{91}^{\circ }& ={180}^{\circ }\\ x& ={89}^{\circ }\end{array}$$Selanjutnya, pada segitiga $AFC$, berlaku juga
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }AFC+\mathrm{\angle }FAC+\mathrm{\angle }FCA& ={180}^{\circ }\\ {89}^{\circ }+{54}^{\circ }+y& ={180}^{\circ }\\ {143}^{\circ }+y& ={180}^{\circ }\\ y& ={37}^{\circ }\end{array}$$Jadi, nilai $x$ dan $y$ berturut-turut adalah $\boxed{{\displaystyle {89}^{\circ },{37}^{\circ }}}$
(Jawaban E)

Berdasarkan sifat-sifat akar, didapat
$$\begin{array}{rl}\sqrt{75}+\sqrt{12}& =\sqrt{25\times 3}+\sqrt{4\times 3}\\ & =5\sqrt{3}+2\sqrt{3}\\ & =7\sqrt{3}\end{array}$$Jadi, jumlah dari bentuk akar tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle 7\sqrt{3}}}$
(Jawaban D)

Didefinisikan $a\oplus b=a(b-a)+1$. Ingat, operasi dalam kurung harus diselesaikan terlebih dahulu.
$$\begin{array}{rl}2\oplus (1\oplus (-2))& =2\oplus (1(-2-1)+1)\\ & =2\oplus (-2)\\ & =2(-2-2)+1\\ & =2(-4)+1=-7\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle 2\oplus (1\oplus (-2))=-7}}$
(Jawaban B)

Dengan melakukan perhitungan, kita peroleh $7.327=41\times 175+152$.
Agar $152$ menjadi $175$, maka perlu ditambah $23$.
Jadi, bilangan terkecil yang harus ditambah ke bilangan $7.327$ agar habis dibagi $175$ adalah $\boxed{{\displaystyle 23}}$
(Jawaban B)

Mencari bilangan yang habis dibagi $r$ sama saja artinya mencari bilangan yang habis dibagi $6$, sekaligus $8$. Bisa diperiksa bahwa $\text{KPK}(6,8)=24$ adalah bilangan bulat positif paling kecil yang mungkin sebagai nilai $r$. Ini berarti bilangan kelipatan $24$ adalah jawabannya, yaitu $48$ dan $72$.
(Jawaban C)

Jumlah akar dan hasil kali akar dari persamaan kuadrat $x^2+bx+c=0$ berturut-turut adalah
$$\begin{array}{rl}r+s& =-{\displaystyle \frac{b}{1}}=-b\\ rs& ={\displaystyle \frac{c}{1}}=c\end{array}$$Cek Pernyataan (1).
Bila $b<0$, maka $r+s$ pasti bernilai positif, tetapi informasi ini tak cukup untuk menentukan apakah $rs<0$.
Cek pernyataan (2).
Bila $c<0$, maka $rs=c<0$, sehingga pernyataan ini cukup untuk menjawab pertanyaan.
Dapat disimpulkan bahwa pernyataan (2) cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (1) saja tidak cukup.
(Jawaban B)

Cek Pernyataan (1).
Bila $AC=BA$, maka $x=y$. Dengan demikian, karena jumlah semua besar sudut pada segitiga adalah ${180}^{\circ }$, maka berlaku
$$\begin{array}{rl}x+y+z& =180\\ (y+y+z)& =180\\ 2y+z& =180\end{array}$$Karena nilai $z$ masih bergantung pada $y$, maka pertanyaan belum bisa terjawab jika menggunakan pernyataan (1).
Cek Pernyataan (2).
Diketahui $x=78$, sehingga
$$\begin{array}{rl}78+y+z& =180\\ y+z& =102\end{array}$$Karena nilai $z$ masih bergantung pada $y$, maka pertanyaan belum bisa terjawab jika menggunakan pernyataan (2).
Gunakan Kedua Pernyataan.
Kita akan peroleh SPLDV
$$\{\begin{array}{ll}2y+z& =180\\ y+z& =102\end{array}$$Selesaikan dan akan diperoleh nilai $z=24$.
Jadi, kedua pernyataan bersama-sama cukup untuk menjawab pertanyaan.
(Jawaban C)

Cek Pernyataan (1).
Diketahui $3x+1$ bilangan prima.
Perhatikan bahwa $x=2$ membuat $3x+1=3(2)+1=7$ prima, tetapi $x=4$ membuat $3x+1=3(4)+1=13$ prima, padahal $4$ bukan bilangan prima. Jadi, pernyataan (1) belum cukup untuk menjawab pertanyaan.
Cek Pernyataan (2).
Diketahui $5x+1$ bilangan prima.
Perhatikan bahwa $x=2$ membuat $5x+1=5(2)+1=11$ prima, tetapi $x=6$ membuat $5x+1=5(6)+1=31$ prima, padahal $6$ bukan bilangan prima. Jadi, pernyataan (2) belum cukup untuk menjawab pertanyaan.
Gunakan Kedua Pernyataan.
Diketahui $3x+1$ dan $5x+1$ prima. Periksa bahwa untuk $x=2$ (prima), kedua ekspresi tersebut prima ($7$ dan $11$).
Namun untuk $x=12$ (bukan prima), kedua ekspresi tersebut ternyata juga prima ($37$ dan $61$).
Dapat disimpulkan bahwa kedua pernyataan tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
(Jawaban E)

Cek Pernyataan (1).
Karena $U=T=B=K$, maka
$$P=\sqrt{U\sqrt{U\sqrt{U\sqrt{U\sqrt{U\sqrt{U\sqrt{U\sqrt{U\cdots }}}}}}}}$$namun nilai eksaknya tidak dapat ditentukan karena $U$ tidak diketahui berapa nilainya. Jadi, pernyataan (1) belum cukup untuk menjawab pertanyaan.
Cek Pernyataan (2).
Karena $U=2$, maka
$$P=\sqrt{2\sqrt{T\sqrt{B\sqrt{K\sqrt{2\sqrt{T\sqrt{B\sqrt{K\cdots }}}}}}}}$$namun nilai eksak $P$ juga tak dapat ditentukan selama $T,B,K$ belum diketahui nilainya.
Gunakan Kedua Pernyataan
Ini berarti $U=T=B=K=2$, sehingga
$$P=\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\cdots }}}}}}}}$$Bentuk di atas sama dengan $2$ (Baca: Akar Tak Berhingga Ramanujan). Jadi, nilai $P$ dapat ditentukan.
Dapat disimpulkan bahwa kedua pernyataan bersama-sama cukup untuk menjawab pertanyaan.
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa $42=2\times 3\times 7$. Faktor prima dari $42$ adalah $2,3$, dan $7$ dengan jumlahannya $2+3+7=12.$
Kuadrat dari $12$ adalah ${12}^2=144.$ Jadi, kita peroleh kuantitas $P=144.$
Dari tabel, diketahui bahwa $Q=166.$ Ini menunjukkan bahwa $\boxed{{\displaystyle Q>P}}$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}{a}^2-3a-4& =0\\ (a-4)(a+1)& =0\end{array}$$Diperoleh $a=4$ atau $a=-1$, tetapi karena $a$ dikatakan sebagai bilangan real terbesar yang menjadi akar penyelesaian persamaan itu, maka kita ambil $a=4$.
Ini berakibat $P=4+8=12$ dan $Q=4(4)=16$. Jadi, $Q>P$.
(Jawaban B)

Banyaknya diagonal pada bangun poligon (segi-$n$) adalah $k={\displaystyle \frac{1}{2}}(n)(n-3).$
Untuk poligon dengan $10$ titik sudut (atau disebut segi-$10$), banyak diagonalnya adalah $k={\displaystyle \frac{1}{2}}(10)(7)=35$. Ini berarti, nilai kuantitas $A=35$.
Dari tabel, diketahui bahwa $B=40$ sehingga $B>A$.
(Jawaban B)

Pertama, akan dicari bentuk sederhana dari $A$.
Misalkan $$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}}=X,$$maka dengan menguadratkan kedua ruas dan melakukan operasi aljabar, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}}& =X^2\\ 2+X& =X^2\\ X^2-X-2& =0\\ (X-2)(X+1)& =0\end{array}$$Didapat $X=2$ atau $X=-1$. Karena nilai akar kuadrat tidak mungkin negatif, maka diambil $X=2$. Jadi, nilai kuantitas $A=2$.
Berikutnya, akan dicari bentuk sederhana dari $B$.
Misalkan $$2+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{2+\cdots }}}}=Y,$$maka dengan menggunakan permisalan tersebut dan melakukan operasi aljabar, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}2+{\displaystyle \frac{1}{Y}}& =Y\\ \text{Kuadratkan}& \text{kedua ruas}\\ 2Y+1& =Y^2\\ Y^2-2Y-1& =0\end{array}$$Dengan menggunakan rumus ABC, Didapat $Y=1\pm \sqrt{2}$. Karena bentuk pecahannya cenderung bernilai positif, maka $Y=1+\sqrt{2}\approx 2,4$. Jadi, nilai kuantitas $B=1+\sqrt{2}$.
Dapat disimpulkan bahwa $B>A$.
(Jawaban B)