Ketika mempelajari materi mengenai barisan dan deret, kita sering kali menghadapi permasalahan yang berkaitan dengan deret suatu bilangan. Kita diminta untuk menentukan hasil penjumlahannya dari sederetan bilangan yang memiliki pola tertentu. Deret yang dimunculkan dapat ditentukan hasilnya dengan menerapkan rumus khusus tertentu yang dikonstruksi secara matematis untuk mempercepat perhitungan.
Tes Potensi Akademik (TPA) tipe numerik juga sering memunculkan soal perhitungan penjumlahan sederetan bilangan yang memiliki pola tertentu. Dalam TPA, peserta diberikan waktu yang cukup singkat untuk menyelesaikan banyak soal. Ini artinya, peserta tes harus dengan tanggap menyelesaikan persoalan seperti ini dengan cara cepat, bukan manual (menghitung satu per satu), karena tentunya akan menghabiskan banyak waktu.
Contoh sederhananya, kita diminta untuk menghitung hasil penjumlahan bilangan dari $1$ sampai $50$. Barangkali kamu sudah pernah mendengar kisah klasik dari Gauss? Dulu saat masa sekolah, Gauss dan teman sekelasnya dihukum oleh guru matematikanya karena ribut di kelas. Gurunya menghukum mereka dengan cara menyuruh mereka menghitung hasil penjumlahan bilangan dari $1$ sampai $50$. Normalnya orang akan menghitung secara manual: $1$ ditambah $2$ sama dengan $3$, lalu $3$ ditambah $3$ sama dengan $6$, dan seterusnya, tetapi tentu saja ini bisa memakan waktu yang lama, apalagi sampai $50$. Betapa terkejutnya guru matematikanya ketika mengetahui bahwa Gauss dapat menjawab pertanyaan itu dalam waktu kurang dari semenit. Pengerjaan yang dilakukan Gauss dapat dibilang sungguh kreatif.
Quote by Carl Friedrich Gauss
Penjumlahan yang dimaksud dapat ditulis seperti berikut:
$$1+2+3+4+\cdots+47+48+49+50$$Daripada menghitung manual satu per satu dari kiri, Gauss memasangkan dua bilangan yang jumlahnya selalu tetap, yaitu
$$(1+50)+ (2+49) + (3+48)+(4+47) +\cdots + (25+26)$$dan perhitungan ini menghasilkan
$$\begin{aligned} & \underbrace{51+51+51+51+\cdots+51}_{\text{sebanyak}~25} \\ & = 25 \times 51 = 1.275 \end{aligned}$$Ya, jawabannya $1.275$. Coba saja gunakan kalkulator jika tidak percaya.
Dari cerita singkat ini, rumus deret khusus dikembangkan secara pesat sampai sekarang, bahkan semakin kompleks dan rumit. Penggunaan rumus deret khusus yang terbilang sering (dengan cara latihan soal yang banyak) lama-lama membuat kita dapat menghafal secara mental dan ini sangat diperlukan untuk menyelesaikan permasalahan yang menerapkan rumus ini. Pembuktian rumusnya dapat dilakukan dengan induksi matematika yang dapat dibaca pada tautan berikut.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Induksi Matematika pada Deret dan Ketaksamaan
Adapun rumus deret khusus yang sering dipakai adalah sebagai berikut.
Rumus Deret Khusus
Deret aritmetika adalah penjumlahan suku-suku pada barisan aritmetika, yaitu barisan bilangan yang memiliki selisih yang sama pada suku-suku yang berdekatan.
$$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n}{2}(a + \text{U}_n) \\ & = \dfrac{n}{2}(2a + (n-1)b \end{aligned}$$dengan keterangan
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \text{Jumlah}~n~\text{suku pertama} \\ a & = \text{Suku pertama} \\ \text{U}_n & = \text{Suku ke-}n \\ b & = \text{Beda antarsuku} \end{aligned}$
Deret Geometri
Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku pada barisan geometri, yaitu barisan bilangan yang memiliki rasio (perbandingan) yang sama pada suku-suku yang berdekatan.
$$\text{S}_n = \dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$$dengan keterangan
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \text{Jumlah}~n~\text{suku pertama} \\ a & = \text{Suku pertama} \\ r & = \text{Rasio} \end{aligned}$
Deret Bilangan Asli
$$1+2+3+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$$Deret Bilangan Genap
$$2+4+6+\cdots+2n = n^2+n$$Deret Bilangan Ganjil
$$1+3+5+\cdots+(2n-1) = n^2$$Deret Bilangan Asli Kuadrat
$$1^2+2^2 +3^2 +\cdots+n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$Deret Bilangan Genap Kuadrat
$$2^2+4^2+6^2 +\cdots+(2n)^2 = \dfrac{n(2n+1)(2n+2)}{3}$$Deret Bilangan Ganjil Kuadrat
$$1^2+3^2+5^2 +\cdots+(2n-1)^2 = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$$Deret Bilangan Asli Kuadrat Silang Tanda
$$1^2-2^2+3^2 -4^2+\cdots+(-1)^{n+1}n^2 = (-1)^{n+1} \times \dfrac{n(n+1)}{2}$$Deret Bilangan Segitiga
$$1 + 3 + 6 + 10 + \cdots + \dfrac12n(n+1) = \dfrac16n(n+1)(n+2).$$Deret Perkalian Dua Bilangan Berurutan
$$1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \cdots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$$Deret Perkalian Tiga Bilangan Berurutan (Deret Bilangan Balok)
$$1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4+ 3 \times 4 \times 5 + \cdots + n(n+1)(n+2) = \dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$$Deret Pecahan dengan Penyebut Perkalian Bilangan Berurutan
$$\dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \cdots + \dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{n}{n+1}$$Deret Bilangan Asli Kubik
$$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$$Deret Bilangan Genap Kubik
$$2^3+4^3+6^3+\cdots+(2n)^3 =2n^2(n+1)^2$$Deret Bilangan Ganjil Kubik
$$ 1^3+3^3+5^3+ \cdots+(2n-1)^3 = n^2(2n^2-1)$$Deret Bilangan Asli Kuartik (Pangkat Empat)
$$1^4+2^4+3^4+\cdots+n^4 = \dfrac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}$$Deret Bilangan Asli Kuintik (Pangkat Lima)
$$1^5+2^5+3^5+\cdots+n^5 = \dfrac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}$$Deret Formasi Turunan
$$1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}= \dfrac{1-(n+1)x^2+nx^{n+1}}{(1-x)^2}$$dengan syarat $x \neq 1$.
Apabila terdapat rumus deret khusus lainnya yang tidak termuat di sini, silakan dapat disampaikan melalui kolom komentar agar dapat diperbarui. Nah, sebagai tambahan untuk belajar, berikut disertakan sejumlah soal beserta pembahasannya mengenai penggunaan rumus-rumus di atas. Soal berikut setipe dengan soal yang sering dikeluarkan dalam soal TPA.
Soal Nomor 1
Hasil dari $1^2+2^2+3^2+\cdots+20^2 = \cdots \cdot$
A. $2.970$ C. $2.940$
B. $2.950$ D. $2.870$
Gunakan rumus deret bilangan asli kuadrat.
$$\boxed{1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$Untuk $n = 20$, diperoleh
$$\begin{aligned} 1^2+2^2+3^2+\cdots+20^2 & = \dfrac{\color{red}{20}(\color{red}{20}+1)(2(\color{red}{20})+1)}{6} \\ & = \dfrac{\cancelto{10}{20}(\cancelto{7}{21})(41)}{\cancel{6}} \\ & = 10(7)(41) = 2.870 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{1^2+2^2+3^2+\cdots+20^2 = 2.870}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 2
Hasil dari $12^2+14^2+16^2+\cdots+30^2 =\cdots \cdot$
A. $4.265$ C. $4.295$
B. $4.275$ D. $4.740$
Gunakan rumus deret bilangan genap kuadrat
$$2^2+4^2+6^2+\cdots+(2n)^2 = \dfrac{n(2n+1)(2n+2)}{3}$$Untuk $n = 15$, diperoleh
$$\begin{aligned} 2^2+4^2+6^2+\cdots+30^2 & = \dfrac{\color{red}{15}(2(\color{red}{15})+1)(2(\color{red}{15})+2)}{3} \\ & = \dfrac{\cancelto{5}{15}(31)(32)}{\cancel{3}} \\ & = 5(31)(32) = 4.960 \end{aligned}$$Sekarang, kita perlu menentukan hasil dari $2^2+4^2+6^2+8^2+10^2$.
Karena hanya melibatkan $5$ suku, perhitungannya masih dapat dikatakan efisien bila dilakukan secara manual:
$\underbrace{(4+16)}_{20}+\underbrace{(36+64)}_{100}+100 = 220$
Dengan demikian,
$\boxed{\begin{aligned} & 12^2+14^2+16^2+\cdots+30^2 \\ & = 4960-220 = 4.740 \end{aligned}}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 3
Hasil dari $1^3+2^3+3^3+\cdots+20^3 = \cdots \cdot$
A. $41.578$ C. $41.875$
B. $41.857$ D. $44.100$
Gunakan rumus deret bilangan asli kubik.
$$\boxed{1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2}$$Untuk $n = 20$, diperoleh
$\begin{aligned} & 1^3+2^3+3^3+\cdots+20^3 \\ & = \left(\dfrac{\cancelto{10}{\color{red}{20}}(\color{red}{20}+1)}{\cancel{2}}\right)^2 \\ & = (10(21))^2 = (210)^2 = 44.100 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{1^3+2^3+3^3+\cdots+20^3 = 44.100}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 4
Hasil dari $6^3+7^3+8^3+\cdots+24^3 = \cdots \cdot$
A. $89.578$ C. $89.775$
B. $89.587$ D. $89.987$
Gunakan rumus deret bilangan asli kubik.
$$\boxed{1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2}$$Untuk $n = 24$, diperoleh
$\begin{aligned} & 1^3+2^3+3^3+\cdots+24^3 \\ & = \left(\dfrac{\cancelto{12}{\color{red}{24}}(\color{red}{24}+1)}{\cancel{2}}\right)^2 \\ & = (12(25))^2 = (300)^2 = 90000 \end{aligned}$
Sekarang, kita perlu menentukan hasil dari $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3$.
Karena hanya melibatkan $5$ suku, perhitungannya masih dapat dikatakan efisien bila dilakukan secara manual, yaitu
$1+8+27+64+125 = 225.$
Dengan demikian,
$\boxed{\begin{aligned} & 6^3+7^3+8^3+\cdots+24^3 \\ & = 90.000-225 = 89.775 \end{aligned}}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 5
Hasil dari $2^3+4^3+6^3+\cdots+20^3 = \cdots \cdot$
A. $24.200$ C. $24.220$
B. $24.205$ D. $24.230$
Gunakan rumus deret bilangan genap kubik.
$$\boxed{2^3+4^3+6^3+\cdots+(2n)^3=2n^2(n+1)^2}$$Untuk $n = 10$, diperoleh
$$\begin{aligned} 2^3+4^3+6^3+\cdots+20^3 & = 2(10)^2(10+1)^2 \\ & = 2(100)(121) \\ & = 24.200 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{2^3+4^3+6^3+\cdots+20^3= 24.200}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 6
Hasil dari $(1 \times 2)+(2 \times 3) + (3 \times 4) +$ $\cdots + (24 \times 25)$ $= \cdots \cdot$
A. $5.200$ C. $5.920$
B. $5.240$ D. $5.930$
Gunakan rumus deret bilangan perkalian berurutan
$$\boxed{\begin{aligned} 1 \times 2 + 2 \times 3 & + 3 \times 4 + \cdots + n(n+1) \\ & = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} \end{aligned}}$$Untuk $n = 24$, diperoleh
$$\begin{aligned} & (1 \times 2)+(2 \times 3) + (3 \times 4) + \cdots + (24 \times 25) \\ & = \dfrac{\cancelto{8}{\color{red}{24}}(\color{red}{24}+1)(\color{red}{24}+2)}{\cancel{3}} = 8(25)(26) = 5.200 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{\begin{aligned} (1 \times 2)+(2 \times 3) & + (3 \times 4) + \cdots \\ & + (24 \times 25) = 5.200 \end{aligned}}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 7
Hasil dari $(5 \times 6)+(6 \times 7)+(7 \times 8)+$ $\cdots +(29 \times 30)$ $= \cdots \cdot$
A. $8.970$ C. $8.950$
B. $8.955$ D. $8.870$
Gunakan rumus deret bilangan perkalian berurutan
$$\boxed{\begin{aligned} 1 \times 2 + 2 \times 3 + & 3 \times 4 + \cdots + n(n+1) \\ & = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} \end{aligned}}$$Untuk $n = 29$, diperoleh
$$\begin{aligned} & (1 \times 2)+(2 \times 3) + (3 \times 4) + \cdots + (29 \times 30) \\ & = \dfrac{\color{red}{29}(\color{red}{29}+1)(\color{red}{29}+2)}{3} = \dfrac{29(\cancelto{10}{30})(31)}{\cancel{3}} \\ & = 29(10)(31) = 8.990 \end{aligned}$$Sekarang, kita perlu menentukan hasil dari $1 \times 2+2 \times 3+3 \times 4 +4 \times 5$.
Karena hanya melibatkan $4$ suku, perhitungannya masih dapat dikatakan efisien bila dilakukan secara manual, yaitu
$2+6+12+20 = 40.$
Dengan demikian, hasil dari $\boxed{\begin{aligned} & (5 \times 6)+(6 \times 7) +(7 \times 8)+\cdots \\ & +(29 \times 30)=8990-40=8.950 \end{aligned}}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 8
Hasil dari $\dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \dfrac{1}{4 \times 5}$ $+ \cdots + \dfrac{1}{19 \times 20}$ $= \cdots \cdot$
A. $\dfrac{7}{20}$ C. $\dfrac{11}{20}$
B. $\dfrac{9}{20}$ D. $\dfrac{13}{20}$
Perhatikan bahwa $\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}.$
Dengan demikian, dapat kita tuliskan
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \dfrac{1}{4 \times 5} + \cdots + \dfrac{1}{19 \times 20} \\ & = \dfrac{1}{2 \times (2+1)} + \dfrac{1}{3 \times (3+1)} + \dfrac{1}{4 \times (4+1)} + \cdots + \dfrac{1}{19 \times (19+1)} \\ & = \left(\dfrac12 -\cancel{\dfrac13}\right) + \left(\cancel{\dfrac13}-\cancel{\dfrac14}\right) + \left(\cancel{\dfrac14}-\cancel{\dfrac15}\right) + \cdots + \left(\cancel{\dfrac{1}{19}}-\dfrac{1}{20}\right) \\ & = \dfrac12-\dfrac{1}{20} = \dfrac{10}{20}-\dfrac{1}{20} = \dfrac{9}{20} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari perhitungan tersebut adalah $\boxed{\dfrac{9}{20}}$
(Jawaban B)