Uji kesamaan varians dari dua populasi merupakan salah satu uji hipotesis yang digunakan untuk mengetahui apakah suatu populasi memiliki varians dengan nilai sama dengan, lebih dari, atau kurang dari varians populasi lain. Uji ini juga disebut sebagai uji homogenitas (test of homogeneity) karena tujuannya adalah untuk melihat kesamaan varians antarpopulasi. Jika variansnya sama secara statistik, kita menyebutnya dengan istilah homogen. Lebih lanjut, ada juga istilah yang mirip dengan homogenitas, yaitu homoskedastisitas (homoscedasticity). Homogenitas melihat kesamaan varians antarvariabel, sedangkan homoskedastisitas lebih spesifik, yaitu melihat kesamaan varians antara variabel bebas (prediktor) dan variabel respons. Homoskedastisitas akan dibahas lebih lanjut pada analisis regresi linear.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Selisih Rata-Rata Dua Populasi Bebas
Uji kesamaan varians dari dua populasi dapat dilakukan dengan menggunakan uji-$F$ dengan asumsi bahwa sampel acak diambil dari dua populasi yang berdistribusi normal dan bebas (independent). Notasi $F$ diambil dari nama distribusi yang berkorespondensi dengannya, yaitu distribusi-$F$ (huruf F berasal dari nama statistikawan Inggris, Ronald Fisher [1890–1962]). Jika populasi yang terlibat lebih dari dua, Anda dapat menggunakan uji homogenitas yang lain, yaitu uji Bartlett (Bartlett’s test), diambil dari nama penemunya, Maurice Stevenson Bartlett (1910–2002).
Rumusan hipotesis dibagi menjadi dua macam, yaitu hipotesis untuk uji dua arah dan uji satu arah. Parameter populasi yang akan diuji adalah varians populasi $\sigma_1^2$ dan $\sigma_2^2.$
$$\text{Uji dua arah} \begin{cases} H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2. \\ H_1: \sigma_1^2 \ne \sigma_2^2. \end{cases}$$ $$\text{Uji satu arah (kiri)} \begin{cases} H_0: \sigma_1^2 \ge \sigma_2^2. \\ H_1: \sigma_1^2 < \sigma_2^2. \end{cases}$$ $$\text{Uji satu arah (kanan)} \begin{cases} H_0: \sigma_1^2 \le \sigma_2^2. \\ H_1: \sigma_1^2 > \sigma_2^2. \end{cases}$$
Statistik uji yang digunakan dalam uji-$F$ adalah
$$f_{\text{hitung}} = \dfrac{s_1^2}{s_2^2}$$dengan $s_1$ dan $s_2$ berturut-turut adalah simpangan baku sampel yang berasal dari populasi pertama dan kedua.
Untuk memutuskan apakah hipotesis yang diajukan ditolak atau tidak, nilai kritis harus ditentukan terlebih dahulu. Untuk uji dua arah, nilai kritisnya adalah $f_{1-\alpha/2;~\text{dk}_1,~\text{dk}_2}$ dan $f_{\alpha/2;~\text{dk}_1,~\text{dk}_2}.$
Lebih lanjut, untuk uji satu arah, jika $H_1: \sigma_1^2 < \sigma_2^2,$ maka nilai kritisnya adalah $f_{1-\alpha;~\text{dk}_1,~\text{dk}_2}.$ Sebaliknya, jika $H_1 :\sigma_1^2 > \sigma_2^2,$ maka nilai kritisnya adalah $f_{\alpha;~\text{dk}_1,~\text{dk}_2}.$ Dalam hal ini, $\text{dk}_1$ dan $\text{dk}_2$ berturut-turut merupakan derajat kebebasan dari populasi pertama dan kedua dengan
$$\text{dk}_1 = n_1-1~\text{dan}~\text{dk}_2 = n_2-1.$$ Nila-$f$ pada taraf signifikansi dan derajat kebebasan tersebut dapat ditentukan dengan melihat tabel-$F.$ Namun, tabel-$F$ umumnya sangat terbatas pada taraf signifikansi dan derajat kebebasannya sehingga ada beberapa nilai-$f$ yang tidak termuat di tabel. Oleh karena itu, Anda disarankan untuk menggunakan aplikasi komputer yang dapat dipakai untuk menentukan nilai-$f,$ misalnya Excel dan R.
Pengambilan keputusan: Dalam uji dua arah, $H_0$ ditolak jika
$$f_{\text{hitung}} < f_{1-\alpha/2;~\text{dk}_1,~\text{dk}_2}~\text{atau}~f_{\text{hitung}} > f_{\alpha/2; ~\text{dk}_1,~\text{dk}_2}.$$Dalam uji satu arah, $H_0$ ditolak jika
$$\begin{cases} f_{\text{hitung}} < f_{1-\alpha; ~\text{dk}_1,~\text{dk}_2} && \text{jika}~H_1: \sigma_1^2 < \sigma_2^2 \\ f_{\text{hitung}} >f_{\alpha; ~\text{dk}_1,~\text{dk}_2} && \text{jika}~H_1: \sigma_1^2 > \sigma_2^2. \end{cases}$$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Selisih Rata-Rata Dua Populasi Berpasangan
Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Salah satu sumber yang digunakan di antaranya adalah buku “Probability & Statistics for Engineers & Scientists” yang ditulis oleh Ronald E. Walpole dkk. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Uji Hipotesis} & \text{Hypothesis Testing} \\ 2. & \text{Varians} & \text{Variance} \\ 3. & \text{Simpangan Baku} & \text{Standard Deviation} \\ 4. & \text{Uji-}F & F\text{-Test} \\ 5. & \text{Distribusi-}F & F\text{-Distribution} \\ 6. & \text{Nilai Kritis} & \text{Critical Value} \\ 7. & \text{Daerah Kritis} & \text{Critical Region} \\ 8. & \text{Hipotesis Nol} & \text{Null Hypothesis} \\ 9. & \text{Hipotesis Alternatif} & \text{Alternative Hypothesis} \\ 10. & \text{Statistik Uji} & \text{Test Statistic} \\ 11. & \text{Taraf Signifikansi} & \text{Significance Value} \\ 12. & \text{Uji Satu Arah} & \text{One-Tailed Test} \\ 13. & \text{Uji Dua Arah} & \text{Two-Tailed Test} \\ 14. & \text{Derajat Kebebasan} & \text{Degree of Freedom} \\ 15. & \text{Uji Homogenitas} & \text{Test of Homogeneity} \\ 16. & \text{Homoskedastisitas} & \text{Homoscedasticity} \\ \hline \end{array}$$
Quote by Oprah Winfrey
Catatan: Hasil perhitungan yang dilakukan dalam setiap soal bisa jadi sedikit berbeda karena masalah pembulatan. Anda seharusnya tidak dianggap salah jika terjadi kasus seperti itu.
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Seorang guru fisika melakukan penelitian dengan menggunakan dua metode pembelajaran berbeda pada materi relativitas. Sebanyak $20$ siswa dibagi menjadi dua kelompok sama rata, yaitu kelompok $A$ dan $B.$ Kedua kelompok tersebut menerima metode pembelajaran berbeda. Setelah tes akhir dilakukan, diperoleh varians nilai yang didapat dari kelompok $A$ dan $B$ berturut-turut adalah $s_A^2 = 24,\!7$ dan $s_B^2 = 39,\!2.$ Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal. Dengan taraf signifikansi $5\%,$ apakah nilai tes akhir yang didapat atas implementasi kedua metode pembelajaran tersebut memiliki varians yang sama?
Misalkan $X_A$ dan $X_B$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan nilai tes akhir dari kelompok $A$ dan $B.$ Ini merupakan kasus uji kesamaan varians dari dua populasi. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$F.$
Diketahui $\alpha = 5\% = 0,\!05$ serta ukuran sampel kelompok $A$ dan $B$ adalah $n_A = n_B = 10$ dan varians sampel kelompok $A$ dan $B$ berturut-turut adalah $s_A^2 = 24,\!7$ dan $s_B^2 = 39,\!2.$
Rumusan hipotesis:
Misalkan $\sigma_A^2$ dan $\sigma_B^2$ berturut-turut adalah varians populasi dari kelompok siswa yang menerima metode pembelajaran pertama dan kedua. Parameter populasi yang akan diuji adalah $\sigma_A^2$ dan $\sigma_B^2.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \sigma_A^2 = \sigma_B^2 . \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \sigma_A^2 \ne \sigma_B^2. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$f_{\text{hitung}} = \dfrac{s_A^2}{s_B^2} = \dfrac{24,\!7}{39,\!2} \approx 0,\!63.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Diketahui nilai-$F$ dengan $\alpha_1 = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $$\text{dk}_A = \text{dk}_B = 10-1=9$$adalah $f_{0,025;~9,~9} \approx 4,\!026.$ Lebih lanjut, nilai-$F$ dengan $\alpha_2 = 1-\alpha/2 = 0,\!975$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $f_{0,975;~9,~9} = \dfrac{1}{f_{0,975;~9,~9}} \approx 0,\!248.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $f < 0,\!248$ atau $f > 4,\!026.$
Keputusan:
Karena $$0,\!248 < f_{\text{hitung}} = 0,\!63 < 4,\!026,$$disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, nilai tes akhir yang didapat atas implementasi kedua metode pembelajaran tersebut memiliki varians yang sama.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Varians Satu Populasi
Soal Nomor 2
Suatu percobaan dilakukan untuk mengetahui baterai jenis apa yang memiliki daya tahan lebih lama. Ada dua jenis baterai yang diuji, yaitu baterai $A$ dan baterai $B,$ berturut-turut sebanyak $13$ batang dan $11$ batang. Dalam percobaan tersebut, diperoleh simpangan baku dari daya tahan baterai $A$ adalah $4$ hari, sedangkan simpangan baku dari daya tahan baterai $B$ adalah $6$ hari. Misalkan $\sigma_A^2$ dan $\sigma_B^2$ berturut-turut adalah varians populasi dari daya tahan baterai $A$ dan $B.$ Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal. Dengan taraf signifikansi $10\%,$ ujilah hipotesis bahwa $\sigma_A^2 < \sigma_B^2$ melawan alternatif bahwa $\sigma_A^2 \ge \sigma_B^2.$
Misalkan $X_A$ dan $X_B$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan daya tahan baterai jenis $A$ dan $B.$ Ini merupakan kasus uji kesamaan varians dari dua populasi. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$F.$
Diketahui $\alpha = 10\% = 0,\!1$ serta ukuran sampel kelompok $A$ dan $B$ berturut-turut adalah $n_A = 13$ dan $n_B = 11.$ Kemudian, varians sampel kelompok $A$ dan $B$ berturut-turut adalah $s_A^2 = 4^2 = 16$ dan $s_B^2 = 6^2 = 36.$
Rumusan hipotesis:
Misalkan $\sigma_A^2$ dan $\sigma_B^2$ berturut-turut adalah varians populasi dari daya tahan baterai $A$ dan $B.$ Parameter populasi yang akan diuji adalah $\sigma_A^2$ dan $\sigma_B^2.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \sigma_A^2 < \sigma_B^2 . \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \sigma_A^2 \ge \sigma_B^2. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$f_{\text{hitung}} = \dfrac{s_A^2}{s_B^2} = \dfrac{16}{36} \approx 0,\!44.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji satu arah (kiri). Dengan menggunakan tabel-$F,$ nilai-$f$ dengan $\alpha’ = 1-\alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_A = 13-1=12$ dan $\text{dk}_B =11-1=10$ adalah $f_{0,05;~12,~10} \approx 2,\!913.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $f < 2,\!913.$
Keputusan:
Karena $$f_{\text{hitung}} = 0,\!44 < 2,\!913 = f_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, varians populasi dari daya tahan baterai $A$ lebih kecil daripada varians populasi dari daya tahan baterai $B.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Rata-Rata Satu Populasi
Soal Nomor 3
Suatu penelitian dilakukan untuk membandingkan lamanya waktu yang dibutuhkan pegawai laki-laki dan pegawai perempuan di suatu pabrik dalam menata suatu produk. Pengalaman lampau mengindikasikan bahwa lamanya waktu tersebut berdistribusi hampir normal, tetapi varians dari lamanya waktu untuk pegawai perempuan kurang dari pegawai laki-laki. Sampel acak dari lamanya waktu untuk $11$ pegawai laki-laki dan $14$ pegawai perempuan diambil sehingga diperoleh data berikut.
$$\begin{array}{cc} \textbf{Laki-Laki} & \textbf{Perempuan} \\ \hline n_1 = 11 & n_2 = 14 \\ s_1 = 6,\!1 & s_2 = 5,\!3 \\ \end{array}$$Misalkan $\sigma_1^2$ dan $\sigma_2^2$ berturut-turut adalah varians populasi dari lamanya waktu untuk pegawai laki-laki dan pegawai perempuan. Ujilah hipotesis bahwa $\sigma_1^2 \le \sigma_2^2$ melawan alternatif bahwa $\sigma_1^2 > \sigma_2^2$ dengan taraf signifikansi $5\%.$
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan lamanya waktu untuk pegawai laki-laki dan pegawai perempuan. Ini merupakan kasus uji kesamaan varians dari dua populasi. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$F.$
Diketahui $\alpha = 5\% = 0,\!05$ serta ukuran sampelnya adalah $n_1 = 11$ dan $n_2 = 14.$ Kemudian, varians sampelnya adalah $s_1^2 = 6,\!1^2$ dan $s_2^2 = 5,\!3^2.$
Rumusan hipotesis:
Misalkan $\sigma_1^2$ dan $\sigma_2^2$ berturut-turut adalah varians populasi dari lamanya waktu untuk pegawai laki-laki dan pegawai perempuan. Parameter populasi yang akan diuji adalah $\sigma_A^2$ dan $\sigma_B^2.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \sigma_1^2 \le \sigma_2^2 . \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \sigma_1^2 > \sigma_2^2. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$f_{\text{hitung}} = \dfrac{s_1^2}{s_2^2} = \dfrac{6,\!1^2}{5,\!3^2} \approx 1,\!33.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji satu arah (kanan). Dengan menggunakan tabel-$F,$ nilai-$f$ dengan $\alpha = 0,\!05$ dan derajat kebebasan
$$\text{dk}_1 = n_1-1=11-1=10$$dan $$\text{dk}_2 = n_2-1=14-1=13$$adalah $f_{0,05;~10,~13} \approx 2,\!67.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $f > 2,\!671.$
Keputusan:
Karena $$f_{\text{hitung}} = 1,\!33 < 2,\!671 = f_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, varians populasi untuk lamanya waktu yang dibutuhkan pegawai laki-laki dalam menata produk tersebut tidak secara signifikan lebih besar dari varians populasi untuk lamanya waktu yang dibutuhkan pegawai perempuan.
Soal Nomor 4
Efektivitas dua jenis alat untuk mengukur kadar sulfur monoksida (SO) di atmosfer sedang dibandingkan pada suatu eksperimen terhadap polusi udara. Peneliti ingin mengetahui apakah dua jenis alat tersebut menghasilkan ukuran kadar zat sulfur monoksida dengan simpangan baku yang sama atau tidak. Hasil pengukuran dengan menggunakan alat tersebut diberikan sebagai berikut.
$$\begin{array}{c|ccccccccc} \textbf{Jenis A} & 0,\!86 & 0,\!82 & 0,\!75 & 0,\!61 & 0,\!89 & 0,\!64 & 0,\!81 & 0,\!68 & 0,\!65 \\ \hline \textbf{Jenis B} & 0,\!87 & 0,\!74 & 0,\!63 & 0,\!55 & 0,\!76 & 0,\!70 & 0,\!69 & 0,\!57 & 0,\!53 \\ \end{array}$$Misalkan $\sigma_A$ dan $\sigma_B$ berturut-turut adalah simpangan baku populasi dari ukuran kadar sulfur monoksida di atmosfer dengan menggunakan alat jenis $A$ dan $B.$ Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal. Dengan taraf signifikansi $5\%,$ ujilah hipotesis bahwa $\sigma_A = \sigma_B$ melawan alternatif bahwa $\sigma_A \ne \sigma_B.$
Misalkan $X_A$ dan $X_B$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan ukuran kadar zat sulfur monoksida di atmosfer dengan menggunakan alat jenis $A$ dan $B.$ Ini merupakan kasus uji kesamaan simpangan baku dari dua populasi. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$F.$
Diketahui $\alpha = 5\% = 0,\!05$ serta ukuran sampelnya adalah $n_A = n_B = 9.$ Kemudian, simpangan baku sampelnya dapat ditentukan seperti biasa, yaitu $s_A \approx 0,\!104$ dan $s_B \approx 0,\!111.$
Rumusan hipotesis:
Misalkan $\sigma_A$ dan $\sigma_B$ berturut-turut adalah simpangan baku populasi dari ukuran kadar sulfur monoksida di atmosfer dengan menggunakan alat jenis $A$ dan $B.$ Parameter populasi yang akan diuji adalah $\sigma_A$ dan $\sigma_B.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \sigma_A = \sigma_B. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \sigma_A \ne \sigma_B. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$f_{\text{hitung}} = \dfrac{s_A^2}{s_B^2} = \dfrac{(0,\!104)^2}{(0,\!111)^2} \approx 0,\!88.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Diketahui nilai-$F$ dengan $\alpha_1 = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $$\text{dk}_A = \text{dk}_B = 9-1=8$$ adalah $f_{0,025;~8,~8} \approx 4,\!43.$ Lebih lanjut, nilai-$F$ dengan $\alpha_2 = 1-\alpha/2 = 0,\!975$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $f_{0,975;~8,~8} = \dfrac{1}{f_{0,025;~8,~8}} = \approx 0,\!226.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $f < 0,\!226$ atau $f > 4,\!43.$
Keputusan:
Karena $$0,\!226 < f_{\text{hitung}} = 0,\!88 < 4,\!43,$$disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, ukuran kadar sulfur monoksida di atmosfer yang didapat dengan menggunakan alat jenis $A$ dan $B$ memiliki simpangan baku yang sama.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Selisih Rata-Rata Dua Populasi Bebas
Soal Nomor 5
Suatu perusahaan alat berat menyatakan bahwa lamanya waktu hidup komponen $A$ (dalam bulan) lebih pendek dibandingkan lamanya waktu komponen $B.$ Seorang ahli mencatat waktu hidup $10$ komponen $A$ dan $9$ komponen $B$ sebagai berikut.
$$\begin{array}{c|cccccccccc} \textbf{Komponen A} & 10,\!6 & 5,\!3 & 10,\!7 & 8,\!5 & 11,\!8 & 15,\!5 & 13 & 7 & 5,\!9 & 7 \\ \hline \textbf{Komponen B} & 15,\!5 & 10,\!4 & 18,\!4 & 19,\!6 & 20,\!9 & 10,\!3 & 18,\!2 & 18,\!1 & 11,\!2 \\ \end{array}$$Asumsikan data berasal dari sebaran normal. Dengan taraf signifikansi $5\%,$ apakah varians dari waktu hidup komponen $A$ dan $B$ berbeda secara signifikan?
Misalkan $X_A$ dan $X_B$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan waktu hidup komponen $A$ dan $B$ (dalam bulan). Ini merupakan kasus uji kesamaan varians dari dua populasi. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$F.$
Diketahui $\alpha = 5\% = 0,\!05$ serta ukuran sampelnya adalah $n_A = 10$ dan $n_B = 9.$ Kemudian, simpangan baku sampelnya dapat ditentukan seperti biasa, yaitu $s_A \approx 3,\!338$ dan $s_B \approx 4,\!167.$
Rumusan hipotesis:
Misalkan $\sigma^2_A$ dan $\sigma^2_B$ berturut-turut adalah varians populasi dari waktu hidup komponen $A$ dan $B.$ Parameter populasi yang akan diuji adalah $\sigma^2_A$ dan $\sigma^2_B.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \sigma^2_A = \sigma^2_B. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \sigma^2_A \ne \sigma^2_B. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$f_{\text{hitung}} = \dfrac{s_A^2}{s_B^2} = \dfrac{(3,\!338)^2}{(4,\!167)^2} \approx 0,\!642.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Diketahui nilai-$F$ dengan $\alpha_1 = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_A = 10-1=9$ dan $\text{dk}_B = 9-1=8$ adalah $f_{0,025;~9,~8} \approx 4,\!357.$ Lebih lanjut, nilai-$F$ dengan $\alpha_2 = 1-\alpha/2 = 0,\!975$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $$f_{0,975;~9,~8} = \dfrac{1}{f_{0,025;~8,~9}} \approx 0,\!244.$$Dengan demikian, daerah kritis terletak di $f < 0,\!244$ atau $f > 4,\!357.$
Keputusan:
Karena $$0,\!244 < f_{\text{hitung}} = 0,\!642 < 4,\!357,$$disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, varians dari waktu hidup komponen $A$ dan $B$ tidak berbeda secara signifikan.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Varians Satu Populasi
Soal Nomor 6
Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui banyaknya ketidakhadiran (absensi) selama setahun pada pegawai yang menjadi anggota serikat pekerja dan yang bukan anggota serikat pekerja. Yang menjadi perhatian dalam penelitian tersebut adalah terkait sama tidaknya varians dari dua populasi tersebut. Oleh karena itu, sampel acak sebanyak $16$ pegawai yang menjadi anggota serikat pekerja dan $10$ pegawai yang bukan anggota serikat pekerja dipilih. Banyak ketidakhadirannya berturut-turut memiliki simpangan baku $3$ hari dan $2,\!5$ hari. Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal. Dengan taraf signifikansi $2\%,$ dapatkah peneliti menyimpulkan bahwa terdapat perbedaan varians antara dua populasi tersebut?
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak diskret yang berturut-turut menyatakan banyaknya ketidakhadiran pegawai yang menjadi anggota serikat pekerja dan yang bukan anggota serikat pekerja. Ini merupakan kasus uji kesamaan simpangan baku dari dua populasi. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$F.$ Diketahui $\alpha = 2\% = 0,\!02$ serta ukuran sampelnya adalah $n_1 = 16$ dan $n_2 = 10.$ Kemudian, simpangan bakunya adalah $s_1 = 3$ hari dan $s_2 = 2,\!5$ hari.
Rumusan hipotesis:
Misalkan $\sigma^2_1$ dan $\sigma^2_2$ berturut-turut adalah varians populasi dari banyaknya ketidakhadiran pegawai yang menjadi anggota serikat pekerja dan yang bukan anggota serikat pekerja. Parameter populasi yang akan diuji adalah $\sigma^2_1$ dan $\sigma^2_2.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \sigma^2_1 = \sigma^2_2. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \sigma^2_1 \ne \sigma^2_2. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$f_{\text{hitung}} = \dfrac{s_1^2}{s_2^2} = \dfrac{3^2}{(2,\!5)^2} = 1,\!44.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Diketahui nilai-$F$ dengan $\alpha_1 = \alpha/2 = 0,\!01$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_1= 16-1=15$ dan $\text{dk}_2 = 10-1=9$ adalah $f_{0,01;~15,~9} \approx 4,\!962.$ Lebih lanjut, nilai-$F$ dengan $\alpha_2 = 1-\alpha/2 = 0,\!99$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $f_{0,99;~15,~9} = \dfrac{1}{F_{0,01;~9,~15}} \approx 0,\!257.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $f < 0,\!257$ atau $f > 4,\!96.$
Keputusan:
Karena $$0,\!257 < f_{\text{hitung}} = 1,\!44 < 4,\!96,$$disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, tidak terdapat perbedaan varians pada data banyaknya ketidakhadiran (absensi) selama setahun pada pegawai yang menjadi anggota serikat pekerja dan yang bukan anggota serikat pekerja.
Soal Nomor 7
Pekerja rig minyak lepas pantai biasanya bekerja rata-rata $12$ jam secara rotasi bergiliran. Misalnya, separuh kru dapat bekerja dari tengah hari hingga tengah malam (gilir kerja [shift] $1$), sementara separuh lainnya bekerja dari tengah malam hingga tengah hari (gilir kerja $2$). Perusahaan menyediakan semua makanan secara gratis dan kualitas makanan terjamin serta variasi makanannya tinggi. Ketika gilir kerja selesai, para pekerja dapat beristirahat atau meluangkan waktu untuk pergi menonton film, bermain gim video, atau berolahraga di gym on-board. Banyak pekerja rig minyak yang bekerja selama dua minggu di laut dan kemudian kembali ke rumah selama dua minggu juga, dengan semua biaya perjalanannya dibayar oleh perusahaan. Dua gilir kerja tersebut sedang dibandingkan untuk penilaian keefektifan kerja kru. Durasi pekerja gilir kerja $1$ diamati dalam $10$ hari, sedangkan durasi pekerja gilir kerja $2$ diamati dalam $8$ hari masing-masing secara acak. Berikut ini merupakan hasil pengamatan dari dua gilir kerja tersebut (dalam jam).
$$\begin{array}{c|cccccccccc} \textbf{Gilir Kerja 1} & 11,\!88 & 11,\!62 & 11,\!68 & 13,\!00 & 12,\!76 & 11,\!87 & 12,\!13 & 12,\!64 & 12,\!27 & 11,\!89 \\ \hline \textbf{Gilir Kerja 2} & 12,\!28 & 10,\!76 & 12,\!13 & 12,\!93 & 11,\!87 & 11,\!70 & 11,\!63 & 11,\!69 \\ \end{array}$$Dengan taraf signifikansi $5\%,$ apakah varians dari durasi gilir kerja $1$ dan gilir kerja $2$ dari data tersebut sama?
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan durasi gilir kerja $1$ dan gilir kerja $2$ (dalam jam). Ini merupakan kasus uji kesamaan varians dari dua populasi. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$F.$
Diketahui $\alpha = 5\% = 0,\!05$ serta ukuran sampelnya adalah $n_1 = 10$ dan $n_2 = 8.$ Kemudian, simpangan baku sampelnya dapat ditentukan seperti biasa, yaitu $s_1 \approx 0,\!479$ dan $s_2 \approx 0,\!622.$
Rumusan hipotesis:
Misalkan $\sigma^2_1$ dan $\sigma^2_2$ berturut-turut adalah varians populasi dari durasi gilir kerja $1$ dan gilir kerja $2.$ Parameter populasi yang akan diuji adalah $\sigma^2_1$ dan $\sigma^2_2.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \sigma^2_1 = \sigma^2_2. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \sigma^2_1 \ne \sigma^2_2. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$f_{\text{hitung}} = \dfrac{s_1^2}{s_2^2} = \dfrac{(0,\!479)^2}{(0,\!622)^2} \approx 0,\!593.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Diketahui nilai-$F$ dengan $\alpha_1 = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $\text{dk}_A = 10-1=9$ dan $\text{dk}_B = 8-1=7$ adalah $f_{0,025;~9,~7} \approx 4,\!823.$ Lebih lanjut, nilai-$F$ dengan $\alpha_2 = 1-\alpha/2 = 0,\!975$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $$f_{0,975;~9,~7} = \dfrac{1}{f_{0,025;~7,~9}} \approx 0,\!238.$$Dengan demikian, daerah kritis terletak di $f < 0,\!238$ atau $f > 4,\!823.$
Keputusan:
Karena $$0,\!238 < f_{\text{hitung}} = 0,\!593 < 4,\!823,$$disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, bukti sudah cukup untuk mengatakan bahwa varians dari durasi gilir kerja $1$ dan gilir kerja $2$ dari data tersebut sama.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Analisis Varians (ANAVA) Satu Jalur