Selama ini, mungkin kita hanya mengenal fungsi satu variabel yang berbentuk . Sebagai contoh,
Jika dilihat dari bisa tidaknya dua variabel dipisahkan, semua fungsi di atas disebut sebagai fungsi eksplisit. Bagaimana dengan lawannya, fungsi implisit?
Fungsi implisit (implicit function) adalah fungsi yang memuat lebih dari satu variabel, berjenis variabel bebas dan variabel terikat yang berada dalam satu ruas sehingga tidak bisa dipisahkan pada ruas yang berbeda.
Contohnya sebagai berikut.
Secara umum, fungsi untuk suatu bilangan real disebut sebagai persamaan fungsi implisit.
Untuk menurunkan fungsi implisit, aturan turunan fungsi dasar (fungsi yang hanya terdiri dari satu variabel) tetap berlaku, tetapi pada fungsi implisit, notasi turunan yang dipakai bukan tanda aksen lagi, melainkan notasi Leibniz, seperti
Ada beberapa hal yang perlu dipahami dalam proses menurunkan fungsi implisit, khususnya yang terdiri dari variabel.
- Jika suku hanya mengandung variabel , maka turunannya terhadap berbentuk
- Jika suku hanya mengandung variabel , maka turunannya terhadap variabel berbentuk
- Jika suku mengandung variabel dan sekaligus, misalnya maka turunannya terhadap variabel berbentuk
Misalnya, jelas memiliki turunan pertama Namun, coba perhatikan persamaan fungsi berikut.
Persamaan di atas mendefinisikan sebagai fungsi implisit dari , tetapi dengan dilakukannya manipulasi bentuk aljabar, dapat dinyatakan sebagai fungsi eksplisit dari
Turunannya dapat dicari dengan menggunakan aturan hasil bagi sehingga diperoleh
Meskipun demikian, tidak semua persamaan fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi eksplisit, contohnya
Adanya fungsi semacam ini mengakibatkan munculnya aturan untuk menentukan turunannya. Aturan tersebut dikenal dengan aturan turunan fungsi implisit. Jika terdapat persamaan fungsi implisit yang dapat diubah menjadi fungsi eksplisit, maka hasil turunannya pasti sama, baik menggunakan aturan dasar turunan maupun aturan turunan fungsi implisit.
Berikut contoh menurunkan fungsi secara implisit.
Misalkan diketahui persamaan
Untuk menurunkan fungsi implisit ini terhadap variabel , kita hanya perlu mendiferensialkan setiap sukunya.
Jika diturunkan terhadap , ekspresi aljabar yang memuat tidak boleh dipandang sebagai suatu konstanta. Karena merupakan fungsi implisit dari , maka turunannya dapat dicari dengan menggunakan aturan rantai.
Misalkan sehingga
Secara teknis untuk mencari turunan pada suku yang memuat , kita anggap saja turunan suku tersebut terhadap dengan penambahan ekspresi .
Jadi, kita akan peroleh turunannya secara keseluruhan, yakni
Nah, untuk memantapkan pemahaman mengenai materi ini, mari simak beberapa soal dan pembahasan berikut ini. Semoga bermanfaat.
Today Quote
Bekerja keraslah secara diam-diam dan biarkan kesuksesanmu yang membuat kegaduhan.
Soal Nomor 1
Tentukan dari persamaan fungsi implisit berikut.
Pembahasan
Diferensialkan setiap suku terhadap
Jadi, diperoleh
[collapse]
Soal Nomor 2
Tentukan dari persamaan fungsi implisit berikut.
Pembahasan
Diferensialkan setiap suku terhadap
Jadi, diperoleh
[collapse]
Soal Nomor 3
Tentukan dari persamaan fungsi implisit berikut.
Pembahasan
Diferensialkan setiap suku terhadap
Jadi, diperoleh
[collapse]
Soal Nomor 4
Tunjukkan bahwa fungsi memiliki turunan yang sama terhadap bila dalam bentuk fungsi eksplisit maupun fungsi implisit.
Pembahasan
Perhatikan bahwa ekuivalen dengan . Sekarang, dinyatakan sebagai fungsi eksplisit dari dan akan kita cari turunannya menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan
Kita peroleh
Sekarang kita akan menurunkan secara implisit fungsi
Diferensialkan setiap suku terhadap
Sekarang kita peroleh turunan implisitnya, tetapi perhatikan bahwa ruas kanannya masih memuat variabel Oleh karena itu, kita perlu lakukan substitusi
Jadi, terbukti bahwa fungsi memiliki turunan yang sama terhadap bila dalam bentuk fungsi eksplisit maupun fungsi implisit.
[collapse]
Soal Nomor 5
Tunjukkan bahwa fungsi memiliki turunan yang sama terhadap bila dalam bentuk fungsi eksplisit maupun fungsi implisit.
Pembahasan
Perhatikan bahwa fungsi di atas dapat ditulis sebagai
Berikutnya, dinyatakan sebagai fungsi eksplisit dari dan akan kita cari turunannya menggunakan aturan basil bagi.
Misalkan
Kita peroleh
Kita akan menurunkan secara implisit fungsi
Diferensialkan setiap suku terhadap
Kita peroleh turunan implisitnya, tetapi perhatikan bahwa ruas kanannya masih memuat variabel . Oleh karena itu, kita perlu lakukan substitusi
Jadi, terbukti bahwa fungsi memiliki turunan yang sama terhadap jika dalam bentuk fungsi eksplisit maupun fungsi implisit.
[collapse]
Soal Nomor 6
Turunan pertama fungsi implisit terhadap adalah
Pembahasan
Misalkan sehingga berdasarkan aturan rantai dan aturan turunan fungsi implisit, diperoleh
Jadi, turunan pertama fungsi implisit itu adalah
[collapse]
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan (Diferensial)
Soal Nomor 7
Turunan implisit dari fungsi eksplisit adalah
Pembahasan
Fungsi di atas dapat ditulis dalam bentuk implisit sebagai berikut.
Masing-masing suku didiferensialkan terhadap variabel sehingga kita peroleh
Jadi, turunan pertamanya adalah
[collapse]
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Garis Singgung Menggunakan Turunan
Soal Nomor 8
Tentukan dari
Pembahasan
Masing-masing suku didiferensialkan terhadap variabel . Gunakan aturan hasil kali untuk menghitung turunan suku pertama dan aturan rantai untuk suku kedua.
Jadi, hasil dari
[collapse]
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Soal Nomor 9
Turunan pertama dalam bentuk dari fungsi implisit adalah
Pembahasan
Diketahui Kita akan mencari turunan untuk suku terhadap terlebih dahulu agar penulisan nantinya tidak terlalu panjang.
Dengan demikian, turunan pertama fungsi implisit tersebut secara keseluruhan adalah
Jadi, turunan pertama dalam bentuk dari fungsi implisit adalah
[collapse]
Soal Nomor 10
Turunan pertama dalam bentuk dari fungsi implisit adalah
Pembahasan
Diketahui
Dengan menggunakan aturan turunan fungsi implisit terhadap variabel , kita peroleh
Jadi, turunan pertama dalam bentuk dari fungsi implisit adalah
[collapse]
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Trigonometri
Soal Nomor 11
Turunan pertama fungsi implisit terhadap variabel adalah
Pembahasan
Fungsi dinyatakan dalam bentuk pecahan sehingga kita dapat menggunakan aturan hasil bagi untuk menentukan turunannya.
Misalkan
Dengan demikian, kita peroleh
Jadi, turunan pertama fungsi implisit terhadap variabel adalah
[collapse]
Soal Nomor 12
Tentukan dari fungsi implisit berikut.
Pembahasan
Diferensialkan setiap suku terhadap
Jadi, diperoleh
[collapse]
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Aljabar
Soal Nomor 13
Tentukan dari fungsi implisit berikut.
Pembahasan
Diferensialkan setiap suku terhadap
Jadi, diperoleh
[collapse]
Baca Juga: Pembuktian Turunan Fungsi Trigonometri Dasar
Soal Nomor 14
Tentukan dari fungsi implisit berikut.
Pembahasan
Sederhanakan terlebih dahulu dengan cara menguraikan bentuk kubiknya (ruas kiri).
Diferensialkan setiap suku terhadap
Jadi, diperoleh
[collapse]
Soal Nomor 15
Tentukan dari fungsi implisit berikut.
Pembahasan
Pertama, kita dapat tuliskan persamaan di atas dalam bentuk
Selanjutnya, diferensialkan terhadap variabel
Jadi, diperoleh
[collapse]
Soal Nomor 16
Nyatakan turunan fungsi implisit dari dalam bentuk
Pembahasan
Diketahui
Masing-masing suku didiferensialkan terhadap variabel sehingga kita peroleh
Jadi, diperoleh
[collapse]
Soal Nomor 17
Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik
Pembahasan
Persamaan semula dapat disederhanakan dengan cara dibagi pada kedua ruasnya menjadi dengan syarat
Diferensialkan setiap suku terhadap variabel
Gradien garis singgung diperoleh saat substitusi dan pada bentuk di atas, yaitu
Persamaan garis singgung yang melalui titik dan bergradien dinyatakan oleh
Jadi, persamaan garis singgung kurva di titik adalah Berikut gambar grafik kurva dan garis singgungnya (menggunakan aplikasi GeoGebra).

[collapse]
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Menggunakan Limit
Soal Nomor 18
Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik
Pembahasan
Diferensialkan setiap suku persamaan tersebut terhadap variabel
Gradien garis singgung diperoleh saat substitusi dan pada bentuk di atas, yaitu
Persamaan garis singgung yang melalui titik dan bergradien dinyatakan oleh
Jadi, persamaan garis singgung kurva di titik adalah Berikut gambar grafik kurva dan garis singgungnya (menggunakan aplikasi GeoGebra).

[collapse]
Soal Nomor 19
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik
Pembahasan
Diketahui
Diferensialkan setiap suku terhadap variabel
Karena titik singgungnya di substitusikan dan pada di atas untuk memperoleh gradien garis.
Persamaan garis yang melalui titik dan bergradien adalah
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
[collapse]
Soal Nomor 20
Tentukan persamaan garis singgung elips di titik
Pembahasan
Diketahui
Diferensialkan setiap suku terhadap variabel
Karena titik singgungnya di , substitusikan dan pada di atas untuk memperoleh gradien garis.
Persamaan garis yang melalui titik dan bergradien adalah
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
[collapse]
Soal Nomor 21
Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik
Pembahasan
Diferensialkan setiap suku persamaan tersebut terhadap variabel
Gradien garis singgung diperoleh saat substitusi dan pada bentuk di atas, yaitu
Persamaan garis singgung yang melalui titik dan bergradien dinyatakan oleh
Jadi, persamaan garis singgung kurva di titik adalah Berikut gambar grafik kurva dan garis singgungnya (menggunakan aplikasi GeoGebra).

[collapse]