Selama ini, mungkin kita hanya mengenal fungsi satu variabel yang berbentuk $f(x) = y$. Sebagai contoh,
$$\begin{aligned} f(x) & = x+3 && (\text{Fung}\text{si Linear}) \\ f(x) & = x^2+4x+3 && (\text{Fung}\text{si Kuadrat}) \\ f(x) & = x^3-x+1 && (\text{Fung}\text{si Kubik}) \\ f(x) & = |4x|-|x+4| && (\text{Fung}\text{si Mutlak}) \\ f(x) & = \dfrac{4x+3}{3x-6},~x \neq 2 && (\text{Fung}\text{si Rasional}) \\ f(x) & = \sin x + \cos x + \tan x && (\text{Fung}\text{si Trigono}\text{metri}) \\ f(x) & = 3^{x^2 + 5x + 6} && (\text{Fung}\text{si Eksponensial}) \\ f(x) & = \log (x^2-4) + \log (x^2+4) && (\text{Fung}\text{si Loga}\text{ritma}) \end{aligned}$$Jika dilihat dari bisa tidaknya dua variabel dipisahkan, semua fungsi di atas disebut sebagai fungsi eksplisit. Bagaimana dengan lawannya, fungsi implisit?
Fungsi implisit (implicit function) adalah fungsi yang memuat lebih dari satu variabel, berjenis variabel bebas dan variabel terikat yang berada dalam satu ruas sehingga tidak bisa dipisahkan pada ruas yang berbeda.
Contohnya sebagai berikut.
$$\begin{aligned} x^2y + xy^2 & = 3 \\ (x+y)^3-(x-y)^4 & = xy \\ \sin (xy)-\cos (xy) + y & = 0 \\ \dfrac{x^4y^3}{x^4 + y^3} & = x^2+3y+5 \end{aligned}$$Secara umum, fungsi $f(x, y) = c$ untuk suatu bilangan real $c$ disebut sebagai persamaan fungsi implisit.
Untuk menurunkan fungsi implisit, aturan turunan fungsi dasar (fungsi yang hanya terdiri dari satu variabel) tetap berlaku, tetapi pada fungsi implisit, notasi turunan yang dipakai bukan tanda aksen lagi, melainkan notasi Leibniz, seperti $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}.$
Ada beberapa hal yang perlu dipahami dalam proses menurunkan fungsi implisit, khususnya yang terdiri dari $2$ variabel.
- Jika suku hanya mengandung variabel $x$, maka turunannya terhadap $x$ berbentuk $x~\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}.$
- Jika suku hanya mengandung variabel $x$, maka turunannya terhadap variabel $x$ berbentuk $y~\dfrac{\text{d}}{\text{d}y}~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}.$
- Jika suku mengandung variabel $x$ dan $y$ sekaligus, misalnya $xy,$ maka turunannya terhadap variabel $x$ berbentuk $xy~\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}+ xy~\dfrac{\text{d}}{\text{d}y}~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}.$
Misalnya, $y = 4x^3+2x$ jelas memiliki turunan pertama $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 12x^2+2.$ Namun, coba perhatikan persamaan fungsi berikut.
$$4x^2y-x^3y = x^2-1$$Persamaan di atas mendefinisikan $y$ sebagai fungsi implisit dari $x$, tetapi dengan dilakukannya manipulasi bentuk aljabar, $y$ dapat dinyatakan sebagai fungsi eksplisit dari $x.$
$$\begin{aligned} (4x^2-x^3)y & = x^2-1 \\ y & = \dfrac{x^2-1}{4x^2-x^3} \end{aligned}$$Turunannya dapat dicari dengan menggunakan aturan hasil bagi sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{(2x)(4x^2-x^3)-(x^2-1)(4x^2-x^3)}{(4x^2-x^3)^2} \\ & = \dfrac{8x^3-2x^4-(4x^4-x^5-4x^2+x^3)}{(4x^2-x^3)^2} \\ & = \dfrac{x^5-6x^4+7x^3+4x^2}{(4x^2-x^3)^2}. \end{aligned}$$Meskipun demikian, tidak semua persamaan fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi eksplisit, contohnya
$$y^4-2y = 4x^2-1.$$Adanya fungsi semacam ini mengakibatkan munculnya aturan untuk menentukan turunannya. Aturan tersebut dikenal dengan aturan turunan fungsi implisit. Jika terdapat persamaan fungsi implisit yang dapat diubah menjadi fungsi eksplisit, maka hasil turunannya pasti sama, baik menggunakan aturan dasar turunan maupun aturan turunan fungsi implisit.
Berikut contoh menurunkan fungsi secara implisit.
Misalkan diketahui persamaan
$$2y^3-y = 4x^2.$$Untuk menurunkan fungsi implisit ini terhadap variabel $x$, kita hanya perlu mendiferensialkan setiap sukunya.
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(2y^3)-\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(y) & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(4x^2) \end{aligned}$$Jika diturunkan terhadap $x$, ekspresi aljabar yang memuat $y$ tidak boleh dipandang sebagai suatu konstanta. Karena $y$ merupakan fungsi implisit dari $x$, maka turunannya dapat dicari dengan menggunakan aturan rantai.
Misalkan $u = 2y^3-y$ sehingga
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}u}{\text{d}x} & = \dfrac{\text{d}u}{\text{d}y} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \\ & = (6y^2-1)~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \end{aligned}$$Secara teknis untuk mencari turunan pada suku yang memuat $y$, kita anggap saja turunan suku tersebut terhadap $y$ dengan penambahan ekspresi $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$.
Jadi, kita akan peroleh turunannya secara keseluruhan, yakni
$$\begin{aligned} 6y^2~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 8x \\ (6y^2+1)~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 8x \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{8x}{6y^2+1} \end{aligned}$$Nah, untuk memantapkan pemahaman mengenai materi ini, mari simak beberapa soal dan pembahasan berikut ini. Semoga bermanfaat.
Today Quote
Soal Nomor 1
Tentukan $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ dari persamaan fungsi implisit $y$ berikut.
$$ax^2 + by^2 = 1, b \neq 0$$
Diferensialkan setiap suku terhadap $x.$
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (ax^2)+\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (by^2) & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (1) \\ 2ax+\left(0 + 2by~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right) & = 0 \\ 2by~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = -2ax \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{-2ax}{2by} \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = -\dfrac{ax}{by} \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = -\dfrac{ax}{by}}.$
Soal Nomor 2
Tentukan $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ dari persamaan fungsi implisit $y$ berikut.
$$\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$$
Diferensialkan setiap suku terhadap $x.$
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (\sqrt{x})+\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (\sqrt{y}) & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (a) \\ \dfrac{1}{2\sqrt{x}} +\left(0 + \dfrac{1}{2\sqrt{y}}~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right) & = 0 \\ \dfrac{1}{2\sqrt{y}}~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = -\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = -\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \cdot 2\sqrt{y} \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = -\sqrt{\dfrac{y}{x}} \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = -\sqrt{\dfrac{y}{x}}}.$
Soal Nomor 3
Tentukan $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ dari persamaan fungsi implisit $y$ berikut.
$$\sin x + \sin y = \pi$$
Diferensialkan setiap suku terhadap $x.$
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (\sin x)+\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (\sin y) & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (\pi) \\ \cos x +\left(0 + \cos y~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right) & = 0 \\ \cos y~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = -\cos x \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = -\dfrac{\cos x}{\cos y} \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = -\dfrac{\cos x}{\cos y}}.$
Soal Nomor 4
Tunjukkan bahwa fungsi $3xy-4 = x$ memiliki turunan yang sama terhadap $x$ bila dalam bentuk fungsi eksplisit maupun fungsi implisit.
Perhatikan bahwa $3xy-4 = x$ ekuivalen dengan $y = \dfrac{x+4}{3x}$. Sekarang, $y$ dinyatakan sebagai fungsi eksplisit dari $x$ dan akan kita cari turunannya menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan
$$\begin{aligned} u & = x + 4 \Rightarrow u’ = 1. \\ v & = 3x \Rightarrow v’ = 3. \end{aligned}$$Kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{1(3x)-(x+4)(3)}{(3x)^2} \\ & = \dfrac{3x-3x-12}{9x^2} \\ & = \dfrac{-12}{9x^2} = \color{blue}{-\dfrac{4}{3x^2}}. \end{aligned}$$Sekarang kita akan menurunkan secara implisit fungsi $3xy-4 = x.$
Diferensialkan setiap suku terhadap $x.$
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (3xy)-\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(4) & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (x) \\ \left(3y + 3x~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)-0 & = 1 \\ 3x~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 1-3y \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{1-3\color{red}{y}}{3x} \end{aligned}$$Sekarang kita peroleh turunan implisitnya, tetapi perhatikan bahwa ruas kanannya masih memuat variabel $y.$ Oleh karena itu, kita perlu lakukan substitusi $y = \dfrac{x+4}{3x}.$
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{1-3\left(\dfrac{x+4}{3x}\right)}{3x} \\ & = \dfrac{\dfrac{3x}{3x}-\dfrac{3x+12}{3x}}{3x} \\ & = \dfrac{-12}{9x^2} = \color{blue}{-\dfrac{4}{3x^2}} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa fungsi $3xy-4 = x$ memiliki turunan yang sama terhadap $x$ bila dalam bentuk fungsi eksplisit maupun fungsi implisit.
Soal Nomor 5
Tunjukkan bahwa fungsi $x^2y-6xy+9y = 4$ memiliki turunan yang sama terhadap $x$ bila dalam bentuk fungsi eksplisit maupun fungsi implisit.
Perhatikan bahwa fungsi di atas dapat ditulis sebagai
$$\begin{aligned} (x^2-6x+9)y & = 4 \\ (x-3)^2y & = 4 \\ y & = \dfrac{4}{(x-3)^2}. \end{aligned}$$Berikutnya, $y$ dinyatakan sebagai fungsi eksplisit dari $x$ dan akan kita cari turunannya menggunakan aturan basil bagi.
Misalkan
$$\begin{aligned} u & = 4 \Rightarrow u’ = 0. \\ v & = (x-3)^2 \Rightarrow v’ = 2(x-3) = 2x-6. \end{aligned}$$Kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{0(x-3)^2-4(2x-6)}{\left((x-3)^2)\right)^2} \\ & = \color{blue}{\dfrac{-8x+24}{(x-3)^4}}. \end{aligned}$$Kita akan menurunkan secara implisit fungsi $x^2y-6xy+9y=4.$
Diferensialkan setiap suku terhadap $x.$
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (x^2y)-\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(6xy) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (9y) & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (4) \\ \left(2xy + x^2~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)-6\left(y+x~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right) + 9~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 0 \\ (x^2-6x+9)~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = -2xy+6y \\ (x-3)^2\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = (-2x+6)y \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{(-2x+6)y}{(x-3)^2} \end{aligned}$$Kita peroleh turunan implisitnya, tetapi perhatikan bahwa ruas kanannya masih memuat variabel $y$. Oleh karena itu, kita perlu lakukan substitusi $y = \dfrac{4}{(x-3)^2}.$
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{(-2x+6)\left(\dfrac{4}{(x-3)^2}\right)}{(x-3)^2} \\ & = \color{blue}{\dfrac{-8x+24}{(x-3)^4}} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa fungsi $x^2y-6xy+9y = 4$ memiliki turunan yang sama terhadap $x$ jika dalam bentuk fungsi eksplisit maupun fungsi implisit.
Soal Nomor 6
Turunan pertama fungsi implisit $f(x, y) = (x+2y)^8$ terhadap $x$ adalah $\cdots \cdot$
Misalkan $f(x, y) = (x+2y)^8$ sehingga berdasarkan aturan rantai dan aturan turunan fungsi implisit, diperoleh
$$\begin{aligned} f'(x, y) & = 8(x+2y)^7\left(x~\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} + 2y~\dfrac{\text{d}}{\text{d}y}~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right) \\ & = 8(x+2y)^7\left(1+2~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right) \\ & = 8(x+2y)^7 + 16(x+2y)^7~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama fungsi implisit itu adalah $\boxed{8(x+2y)^7 + 16(x+2y)^7~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}}.$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan (Diferensial)
Soal Nomor 7
Turunan implisit $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ dari fungsi eksplisit $y = \dfrac{x}{x^2+1}$ adalah $\cdots \cdot$
Fungsi di atas dapat ditulis dalam bentuk implisit sebagai berikut.
$$\begin{aligned} y & = \dfrac{x}{x^2+1} \\ y(x^2+1) & = x \\ x^2y + y-x & = 0 \end{aligned}$$Masing-masing suku didiferensialkan terhadap variabel $x$ sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2y) +\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (y)-\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(x) & = 0 \\ \left(x^2~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 2xy\right) + \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}-1 & = 0 \\ (x^2+1)~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & =1-2xy \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{1-2xy}{x^2+1}. \end{aligned}$$Jadi, turunan pertamanya adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{1-2xy}{x^2+1}}.$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Garis Singgung Menggunakan Turunan
Soal Nomor 8
Tentukan $\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}$ dari $xy + (x+y+1)^3 = 0.$
Masing-masing suku didiferensialkan terhadap variabel $x$. Gunakan aturan hasil kali untuk menghitung turunan suku pertama dan aturan rantai untuk suku kedua.
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (xy) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (x+y+1)^3 & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (0) \\ \left(x~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + y\right) + 3(x+y+1)^2~\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(x+y+1) & = 0 \\ x~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + y + 3(x+y+1)^2\left(1+\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right) & = 0 \\ x~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + y + 3(x+y+1)^2 + 3(x+y+1)^2~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 0 \\ (x + 3(x+y+1)^2)~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = -\left(y + 3(x+y+1)^2\right) \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = -\dfrac{y + 3(x+y+1)^2}{x + 3(x+y+1)^2} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = -\dfrac{y + 3(x+y+1)^2}{x + 3(x+y+1)^2}}.$
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Soal Nomor 9
Turunan pertama dalam bentuk $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ dari fungsi implisit $$x^2+y^2-5x+8y+2xy^2 = 19$$ adalah $\cdots \cdot$
Diketahui $$x^2+y^2-5x+8y+\color{red}{2xy^2} = 19.$$Kita akan mencari turunan untuk suku $2xy^2$ terhadap $x$ terlebih dahulu agar penulisan nantinya tidak terlalu panjang.
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (2xy^2) & = 2 \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (xy^2) \\ & = 2\left(\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (x) \cdot y^2 + x \cdot \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (y^2)\right) && (\text{Aturan hasil kali}) \\ & = 2\left(1 \cdot y^2 + x \cdot 2y~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right) \\ & = 2\left(y^2 + 2xy~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right) \end{aligned}$$Dengan demikian, turunan pertama fungsi implisit tersebut secara keseluruhan adalah
$$\begin{aligned} x^2~\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} + y^2~\dfrac{\text{d}}{\text{d}y}~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}-5x~\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} + 8y~\dfrac{\text{d}}{\text{d}y}~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 2y^2 + 4xy~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 19~\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} \\ 2x + 2y~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}-5 + 8~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 2y^2 + 4xy~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 0 \\ (2y + 8 + 4xy)~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 2x-5+2y^2 & = 0 \\ (2y+8+4xy)~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 5-2x-2y^2 \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{5-2x-2y^2}{2y+8+4xy} \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama dalam bentuk $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ dari fungsi implisit $$x^2+y^2-5x+8y+2xy^2 = 19$$ adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{5-2x-2y^2}{2y+8+4xy}}.$
Soal Nomor 10
Turunan pertama dalam bentuk $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ dari fungsi implisit $\sin (xy) + xy^2 + x^2y = 1$ adalah $\cdots \cdot$
Diketahui $\sin (xy) + xy^2 + x^2y = 1.$
Dengan menggunakan aturan turunan fungsi implisit terhadap variabel $x$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \sin (xy) + xy^2 + x^2y & = 1 \\ \left(\sin (xy)~\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} + \sin xy~\dfrac{\text{d}}{\text{d}y}~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)+\left(xy^2~\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}+xy^2~\dfrac{\text{d}}{\text{d}y} ~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)+\left(x^2y~\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} + x^2y~\dfrac{\text{d}}{\text{d}y}~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right) & = 1~\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} \\ \left(y \cos (xy) + x \cos xy~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)+\left(y^2+2xy~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right) + \left(2xy + x^2~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right) & = 0 \\ y(\cos (xy) + y + 2x) + (x \cos (xy) + 2xy + x^2)~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 0 \\ (x \cos (xy) + 2xy + x^2)~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = -y(\cos (xy) + y + 2x) \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{-y(\cos (xy)+y+2x)}{x \cos (xy) + 2xy + x^2}. \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama dalam bentuk $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ dari fungsi implisit $\sin (xy) + xy^2 + x^2y = 1$ adalah $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{-y(\cos xy+y+2x)}{x \cos (xy) + 2xy + x^2}}.$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Trigonometri
Soal Nomor 11
Turunan pertama fungsi implisit $f(x, y) = \dfrac{y-x^2}{y^2-x}$ terhadap variabel $x$ adalah $\cdots \cdot$
Fungsi $f$ dinyatakan dalam bentuk pecahan sehingga kita dapat menggunakan aturan hasil bagi untuk menentukan turunannya.
Misalkan
$$\begin{aligned} u & = y-x^2 \Rightarrow u’ = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}-2x \\ v & = y^2-x \Rightarrow v’ = 2y~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}-1. \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} f'(x, y) & = \dfrac{u’v -uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}-2x\right)(y^2-x)-(y-x^2)\left(2y~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}-1\right)}{(y^2-x)^2} \\ & = \dfrac{(y^2-x-2y^2+2x^2y)~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}-2xy^2+2x^2+y-x^2}{(y^2-x)^2} \\ & = \dfrac{(-x-y^2+2x^2y)~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}-2xy^2+x^2+y}{(y^2-x)^2}. \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama fungsi implisit $f(x, y) = \dfrac{y-x^2}{y^2-x}$ terhadap variabel $x$ adalah $$\boxed{f'(x, y) = \dfrac{(-x-y^2+2x^2y)~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}-2xy^2+x^2+y}{(y^2-x)^2}}.$$
Soal Nomor 12
Tentukan $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ dari fungsi implisit $y$ berikut.
$$x^3-xy+y^3=1$$
Diferensialkan setiap suku terhadap $x.$
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (x^3)-\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (xy) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (y^3) & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (1) \\ 3x^2-\left(x~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + y\right) + 3y^2~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 0 \\ (-x+3y^2)~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 3x^2-y & = 0 \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{y-3x^2}{3y^2-x} \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{y-3x^2}{3y^2-x}}.$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Aljabar
Soal Nomor 13
Tentukan $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ dari fungsi implisit $y$ berikut.
$$(3x+7)^5 = 2y^3$$
Diferensialkan setiap suku terhadap $x.$
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (3x+7)^5 & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (2y^3) \\ 5(3x+7)^4 \cdot \underbrace{3}_{\text{Turunan}~(3x+7)} & = 6y^2~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{5(3x+7)^4}{2y^2} \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{5(3x+7)^4}{2y^2}}.$
Baca Juga: Pembuktian Turunan Fungsi Trigonometri Dasar
Soal Nomor 14
Tentukan $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ dari fungsi implisit $y$ berikut.
$$(x+y)^3 + (x-y)^3 = x^4+y^4$$
Sederhanakan terlebih dahulu dengan cara menguraikan bentuk kubiknya (ruas kiri).
$$\begin{aligned} (x+y)^3 + (x-y)^3 & = x^4+y^4 \\ (x^3+3x^2y + 3xy^2 + y^3) + (x^3-3x^2y + 3xy^2-y^3) & = x^4+y^4 \\ 2x^3 + 6xy^2 & = x^4+y^4 \end{aligned}$$Diferensialkan setiap suku terhadap $x.$
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (2x^3) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (6xy^2) & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (x^4) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (y^4) \\ 6x^2 + 6\left(2xy~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + y^2\right) & = 4x^3 + 4y^3~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \\ 3x^2 + 3\left(2xy~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + y^2\right) & = 2x^3 + 2y^3~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} && (\text{dibagi}~2) \\ (6xy-2y^3)~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 2x^3-3x^2-3y^2 \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{2x^3-3x^2-3y^2}{6xy-2y^3} \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $$\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{2x^3-3x^2-3y^2}{6xy-2y^3}}.$$
Soal Nomor 15
Tentukan $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ dari fungsi implisit $y$ berikut.
$$y^3 = \dfrac{x-y}{x+y}$$
Pertama, kita dapat tuliskan persamaan di atas dalam bentuk
$$\begin{aligned} y^3(x+y) & = x-y \\ xy^3 + y^4 & = x-y. \end{aligned}$$Selanjutnya, diferensialkan terhadap variabel $x.$
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (xy^3) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (y^4) & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (x)-\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (y) \\ \left(3xy^2~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + y^3\right) + 4y^3~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 1-\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \\ (3xy^2 + 4y^3 + 1)~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 1-y^3 \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{1-y^3}{1+3xy^2+4y^3} \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{1-y^3}{1+3xy^2+4y^3}}.$
Soal Nomor 16
Nyatakan turunan fungsi implisit dari $x^3 + 5 \ln (xy)-3xy^{-1} = -4$ dalam bentuk $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}.$
Diketahui
$$\begin{aligned} x^3 + 5 \ln (xy)-3xy^{-1} & = -4 \\ x^3 + 5 \ln x + 5 \ln y-3xy^{-1} & = -4. \end{aligned}$$Masing-masing suku didiferensialkan terhadap variabel $x$ sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x}~(x^3)+ \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} \left(5 \ln x\right)+\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} \left(5 \ln y\right)-\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}(3xy^{-1}) & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (-4) \\ 3x^2 + \dfrac{5}{x} + \dfrac{5}{y}~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}-3\left(y^{-1} + (-1)xy^{-2}~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right) & = 0 \\ 3x^2 + 5x^{-1} + 5y^{-1}~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}-3y^{-1}+3xy^{-2}~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 0 \\ \left(5y^{-1} + 3xy^{-2}\right)~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = -3x^2-5x^{-1}+3y^{-1} \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{-3x^2-5x^{-1}+3y^{-1}}{5y^{-1}+3xy^{-2}}. \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $\boxed{\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{-3x^2-5x^{-1}+3y^{-1}}{5y^{-1}+3xy^{-2}}}.$
Soal Nomor 17
Tentukan persamaan garis singgung kurva $x^2y^2 + 4xy = 12y$ di titik $(2, 1).$
Persamaan semula dapat disederhanakan dengan cara dibagi $y$ pada kedua ruasnya menjadi $$x^2y + 4x = 12$$dengan syarat $y \neq 0.$
Diferensialkan setiap suku terhadap variabel $x.$
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (x^2y) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (4x) & = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} (12) \\ \left(2xy + x^2~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right) + 4 & = 0 \\ x^2~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = -2xy-4 \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{-2xy-4}{x^2} \end{aligned}$$Gradien garis singgung diperoleh saat substitusi $x = 2$ dan $y = 1$ pada bentuk $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ di atas, yaitu
$$\begin{aligned} m & = \left.\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right|_{(x,y) = (2,1)} \\ & = \dfrac{-2(2)(1)-4}{2^2} \\ & = \dfrac{-8}{4} = -2. \end{aligned}$$Persamaan garis singgung yang melalui titik $(x_1, y_1) = (2, 1)$ dan bergradien $m = -2$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} y & = m(x-x_1)+y_1 \\ y & = -2(x-2) + 1 \\ y & = -2x + 5. \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung kurva $x^2y^2 + 4xy = 12y$ di titik $(2, 1)$ adalah $$\boxed{y = -2x + 5}.$$Berikut gambar grafik kurva dan garis singgungnya (menggunakan aplikasi GeoGebra).
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Menggunakan Limit
Soal Nomor 18
Tentukan persamaan garis singgung kurva $x^3y + xy^3 = 10$ di titik $(1,2).$
Diferensialkan setiap suku persamaan tersebut terhadap variabel $x.$
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (x^3y) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (xy^3) & = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} (10) \\ \left(3x^2y + x^3~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)+\left(y^3 + 3x^2y~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right) & = 0 \\ (x^3+3xy^2)~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = -3x^2y-y^3 \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{-3x^2y-y^3}{x^3+3xy^2} \end{aligned}$$Gradien garis singgung diperoleh saat substitusi $x = 1$ dan $y = 2$ pada bentuk $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ di atas, yaitu
$$\begin{aligned} m & = \left.\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right|_{(x,y) = (2,1)} \\ & = \dfrac{-3(1)^2(2)-2^3}{1^3+3(1)(2)^2} \\ & = \dfrac{-6-8}{1+12} = -\dfrac{14}{13}. \end{aligned}$$Persamaan garis singgung yang melalui titik $(x_1, y_1) = (1, 2)$ dan bergradien $m = -\dfrac{14}{13}$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} y & = m(x-x_1)+y_1 \\ y & = -\dfrac{14}{13}(x-1) + 2 \\ 13y & = -14(x-1) + 26 \\ 13y+14x & = 40. \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung kurva $x^3y+xy^3 = 10$ di titik $(1, 2)$ adalah $$\boxed{13y + 14x = 40}.$$Berikut gambar grafik kurva dan garis singgungnya (menggunakan aplikasi GeoGebra).
Soal Nomor 19
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ di titik $(7,1).$
Diketahui $x^2+y^2-6x+4y-12=0.$
Diferensialkan setiap suku terhadap variabel $x.$
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (x^2+y^2-6x+4y-12) & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (0) \\ 2x + 2y~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}-6+4~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}-0 & = 0 \\ (2y+4)~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 6-2x \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{6-2x}{2y+4} \end{aligned}$$Karena titik singgungnya di $(7, 1),$ substitusikan $x = 7$ dan $y = 1$ pada $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ di atas untuk memperoleh gradien garis.
$$\begin{aligned} m & = \left.\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\right|_{(x, y) = (7, 1)} \\ & = \dfrac{6-2(7)}{2(1)+4} \\ & = \dfrac{-8}{6} = -\dfrac43 \end{aligned}$$Persamaan garis yang melalui titik $(7, 1)$ dan bergradien $m = -\dfrac43$ adalah
$$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-1 & = -\dfrac43(x-7) \\ 3y-3 & = -4x+28 \\ 4x+3y-31 & = 0. \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{4x+3y-31=0}.$
Soal Nomor 20
Tentukan persamaan garis singgung elips $\dfrac{x^2}{30} + \dfrac{y^2}{24} = 1$ di titik $(5, -2).$
Diketahui $\dfrac{x^2}{30} + \dfrac{y^2}{24} = 1.$
Diferensialkan setiap suku terhadap variabel $x.$
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} \left(\dfrac{x^2}{30} + \dfrac{y^2}{24}\right) & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (1) \\ \dfrac{1}{30}(2x) + \dfrac{1}{24}(2y)~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = 0 \\ \dfrac{y}{12}~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = -\dfrac{x}{15} \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = -\dfrac{4x}{5y} \end{aligned}$$Karena titik singgungnya di $(5, -2)$, substitusikan $x = 5$ dan $y = -2$ pada $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ di atas untuk memperoleh gradien garis.
$$\begin{aligned} m & = \left.\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\right|_{(x, y) = (5, -2)} \\ & = -\dfrac{4\cancel{(5)}}{\cancel{5}(-2)} = 2 \end{aligned}$$Persamaan garis yang melalui titik $(5, -2)$ dan bergradien $m = 2$ adalah
$$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-(-2) & = 2(x-5) \\ y+2 & = 2x-10 \\ y & = 2x-12. \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{y=2x-12}.$
Soal Nomor 21
Tentukan persamaan garis singgung kurva $y + \cos (xy^2) + 3x^2 = 4$ di titik $(1,0).$
Diferensialkan setiap suku persamaan tersebut terhadap variabel $x.$
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (y) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (\cos (xy^2)) + \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} (3x^2) & = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} (4) \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + \left[-y^2 \sin (xy^2)-2xy \sin (xy^2)~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right] + 6x & = 0 \\ \left(1-2xy \sin (xy^2)\right)~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = y^2 \sin (xy^2)-6x \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{y^2 \sin (xy^2)-6x}{1-2xy \sin (xy^2)} \end{aligned}$$Gradien garis singgung diperoleh saat substitusi $x = 1$ dan $y = 0$ pada bentuk $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ di atas, yaitu
$$\begin{aligned} m & = \left.\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right|_{(x,y) = (1,0)} \\ & = \dfrac{0-6(1)}{1-0} \\ & = \dfrac{-6}{1} = -6 \end{aligned}$$Persamaan garis singgung yang melalui titik $(x_1, y_1) = (1, 0)$ dan bergradien $m = -6$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} y & = m(x-x_1)+y_1 \\ y & = -6(x-1) + 0 \\ y & = -6x + 6. \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung kurva $y + \cos (xy^2) + 3x^2 = 4$ di titik $(1,0)$ adalah $$\boxed{y = -6x + 6}.$$Berikut gambar grafik kurva dan garis singgungnya (menggunakan aplikasi GeoGebra).
