Soal dan Pembahasan – Predikat dan Kuantor dalam Logika Matematika

Berikut ini merupakan sejumlah soal dan pembahasan mengenai predikat (predicate) dan kuantor (quantifier) dalam logika matematika yang kebanyakan bersumber dari buku “Discrete Mathematics and Its Applications” karya Kenneth H. Rosen.

Padanan kata berikut mungkin berguna untuk menghindari kesalahan penafsiran atas hasil penerjemahan istilah bahasa Inggris menjadi bahasa Indonesia yang muncul dalam materi tersebut.
$$\begin{array}{c|c|c} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Inggris} & \text{Bahasa Indonesia} \\ \hline 1. & \text{Predicate} & \text{Predikat} \\ 2. & \text{Quantifier} & \text{Kuantor} \\ 3. & \text{Proposition} & \text{Proposisi} \\ 4. & \text{Truth Value} & \text{Nilai Kebenaran} \\ 5. & \text{Quantification} & \text{Kuantifikasi} \\ 6. & \text{Logical Connective} & \text{Perangkai Logika} \\ 7. & \text{Conjunction} & \text{Konjungsi} \\ 8. & \text{Disjunction} & \text{Disjungsi} \\ 9. & \text{Conditional Statement} & \text{Kalimat Bersyarat} \\ 10. & \text{Universal Quantifier} & \text{Kuantor Universal} \\ 11. & \text{Existential Quantifier} & \text{Kuantor Eksistensial} \\ 12. & \text{Domain of Discourse} & \text{Domain Pembicaraan} \\ 13. & \text{Universe of Discourse} & \text{Semesta Pembicaraan} \\ \hline \end{array}$$ 

Quote by Pema Chödrön

All you need to know is that the future is wide open and you are about to create it by what you do.

Bagian Pilihan Ganda 

Soal Nomor 1

Misalkan $P(x)$ menyatakan kalimat “$x \leq 4.$” Pernyataan berikut yang bernilai benar adalah $\cdots \cdot$
A. $P(-3)$                   D. $P(40)$
B. $P(5)$                       E. $P(100)$
C. $P(8)$

Pembahasan

$P(x)$ menyatakan kalimat “$x \leq 4.$”
Pernyataan $P(-3)$ bernilai benar karena $-3 \leq 4$ benar. Sebaliknya, pernyataan $P(5), P(8),$ $P(40),$ dan $P(100)$ keempatnya bernilai salah karena $5, 8, 40, 100$ lebih dari $4.$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2

Dari lima pernyataan kuantifikasi berikut, manakah yang bernilai benar jika domain pembicaraan dari semua variabel meliputi bilangan bulat?
A. $\exists x~(x^2 = 2).$
B. $\forall x~(x^2 + 2 \geq 1).$
C. $\exists x~(x^2 = -1).$
D. $\forall x~(x^2 \neq x).$
E. $\forall x~(2x < x).$

Pembahasan

Cek opsi A:
$\exists x~(x^2 = 2)$ bernilai salah karena kita tidak menemukan kuadrat dari bilangan bulat apa pun yang menghasilkan $2.$
Cek opsi B:

$\forall x~(x^2 + 2 \geq 1),$ dapat ditulis ulang menjadi $\forall x~(x^2 \geq -1),$ bernilai benar karena bilangan bulat kuadrat memiliki nilai minimum $0.$
Cek opsi C:

$\exists x~(x^2 = -1)$ bernilai salah karena kita tidak menemukan kuadrat dari bilangan bulat apa pun yang menghasilkan $-1.$
Cek opsi D:
$\forall x~(x^2 \neq x)$ bernilai salah karena ada bilangan bulat yang memenuhi $x^2 = x,$ yaitu $x = 0$ atau $x = 1.$
Cek opsi E:

$\forall x~(2x < x)$ bernilai salah karena bilangan bulat positif tidak memenuhi pertidaksamaan $2x < x.$ 
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Logika Matematika

Bagian Uraian

Soal Nomor 1

Misalkan $P(x)$ menyatakan kalimat “kata $x$ mengandung huruf $\text{a}.$” Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut.
a. $P(\text{kelapa})$
b. $P(\text{betul})$
c. $P(\text{kura-kura})$
d. $P(\text{aktuaria})$

Pembahasan

$P(x)$ menyatakan kalimat “kata $x$ mengandung huruf $\text{a}.$”
Jawaban a)
$P(\text{kelapa})$ bernilai benar karena kata $\text{kel}{\color{red}{\text{a}}}\text{p}{\color{red}{\text{a}}}$ mengandung huruf $\text{a}.$
Jawaban b)
$P(\text{betul})$ bernilai salah karena kata $\text{betul}$ tidak mengandung huruf $\text{a}.$
Jawaban c)
$P(\text{kura-kura})$ bernilai benar karena kata $\text{kur}{\color{red}{\text{a}}}\text{-kur}{\color{red}{\text{a}}}$ mengandung huruf $\text{a}.$
Jawaban d)
$P(\text{aktuaria})$ bernilai benar karena kata ${\color{red}{\text{a}}}\text{ktu}{\color{red}{\text{a}}}\text{ri}{\color{red}{\text{a}}}$ mengandung huruf $\text{a}.$

[collapse]

Soal Nomor 2

Misalkan $Q(x, y)$ menyatakan kalimat “$x$ adalah ibu kota dari $y.$” Manakah dari pernyataan berikut yang bernilai benar?

  1. $Q(\text{Pontianak}, \text{Kalimantan Barat})$
  2. $Q(\text{Banjarmasin}, \text{Kalimantan Selatan})$
  3. $Q(\text{Kupang}, \text{Nusa Tenggara Barat})$
  4. $Q(\text{Wamena}, \text{Papua Pegunungan})$

Pembahasan

$Q(x, y)$ menyatakan kalimat “$x$ adalah ibu kota dari $y.$”
Jawaban a)
$Q(\text{Pontianak}, \text{Kalimantan Barat})$ bernilai benar karena Pontianak memang ibu kota dari Kalimantan Barat.
Jawaban b)
$Q(\text{Banjarmasin}, \text{Kalimantan Selatan})$ bernilai benar karena Banjarmasin memang ibu kota dari Kalimantan Selatan.
Jawaban c)
$Q(\text{Kupang}, \text{Nusa Tenggara Barat})$ bernilai salah karena Kupang seharusnya merupakan ibu kota dari Nusa Tenggara Timur.
Jawaban d)
$Q(\text{Wamena}, \text{Papua Pegunungan})$ bernilai benar karena Wamena memang ibu kota dari Papua Pegunungan.

[collapse]

Soal Nomor 3

Misalkan $P(x)$ menyatakan kalimat “$x$ menghabiskan waktu di rumah selama lebih dari 12 jam setiap hari” dengan domain dari $x$ meliputi semua orang. Nyatakan kuantifikasi berikut dalam bahasa Indonesia.
a. $\exists x P(x)$                c. $\exists x~\neg P(x)$
b. $\forall x P(x)$                d. $\forall x~\neg P(x)$

Pembahasan

$P(x)$ menyatakan kalimat “$x$ menghabiskan waktu di rumah selama lebih dari 12 jam setiap hari” dengan domain dari $x$ meliputi semua orang.
Jawaban a)
$\exists x P(x)$ menyatakan “Ada orang yang menghabiskan waktu di rumah selama lebih dari 12 jam setiap hari.”
Jawaban b)
$\forall x P(x)$ menyatakan “Semua orang menghabiskan waktu di rumah selama lebih dari 12 jam setiap hari.”
Jawaban c)
$\exists x~\neg P(x)$ menyatakan “Ada orang yang tidak menghabiskan waktu di rumah selama lebih dari 12 jam selama beberapa hari dalam seminggu.”
Jawaban d)
$\forall x~\neg P(x)$ menyatakan “Semua orang tidak menghabiskan waktu di rumah selama lebih dari 12 jam selama beberapa hari dalam seminggu.”

[collapse]

Soal Nomor 4

Misalkan $N(x)$ menyatakan kalimat “$x$ pernah mengunjungi Kota Pontianak” dengan domain dari $x$ adalah semua siswa yang ada di sekolah Anda. Nyatakan kuantifikasi berikut dalam bahasa Indonesia.
a. $\exists x~N(x)$                    d. $\exists x~\neg N(x)$
b. $\forall x~N(x)$                    e. $\neg \forall x~N(x)$
c. $\neg \exists x~N(x)$                 f. $\forall x~\neg N(x)$

Pembahasan

$N(x)$ menyatakan kalimat “$x$ pernah mengunjungi Kota Pontianak” dengan domain dari $x$ adalah semua siswa yang ada di sekolah saya.
Jawaban a)
$\exists x~N(x)$ menyatakan “Ada siswa di sekolah saya yang pernah mengunjungi Kota Pontianak.”
Jawaban b)
$\forall x~N(x)$ menyatakan “Semua siswa di sekolah saya pernah mengunjungi Kota Pontianak.”
Jawaban c)
$\neg \exists x~N(x)$ menyatakan “Tidak benar bahwa ada siswa di sekolah saya yang pernah mengunjungi Kota Pontianak.”
Jawaban d)
$\exists x~\neg N(x)$ menyatakan “Ada siswa di sekolah saya yang tidak pernah mengunjungi Kota Pontianak.”
Jawaban e)
$\neg \forall x~N(x)$ menyatakan “Tidak benar bahwa semua siswa di sekolah saya pernah mengunjungi Kota Pontianak.”
Jawaban f)
$\forall x~\neg N(x)$ menyatakan “Semua siswa di sekolah saya tidak pernah mengunjungi Kota Pontianak.”

[collapse]

Baca Juga: Syarat Cukup dan Syarat Perlu dalam Matematika

Soal Nomor 5

Terjemahkan kalimat berikut dalam bahasa Indonesia jika $C(x)$ menyatakan “$x$ adalah seorang pelawak” dan $F(x)$ adalah “$x$ lucu” dengan domain dari $x$ adalah semua orang.
a. $\forall x \,(C(x) \Rightarrow F(x))$
b. $\exists x \, (C(x) \Rightarrow F(x))$
c. $\forall x \, (C(x) \wedge F(x))$
d. $\exists x \, (C(x) \wedge F(x))$

Pembahasan

Diketahui $C(x)$ menyatakan “$x$ adalah seorang pelawak” dan $F(x)$ adalah “$x$ lucu” dengan domain dari $x$ adalah semua orang.
Jawaban a)
$\forall x \,(C(x) \Rightarrow F(x))$ menyatakan “Semua pelawak lucu.”
Jawaban b)
$\exists x \, (C(x) \Rightarrow F(x))$ menyatakan “Sebagian orang yang merupakan (berprofesi sebagai) pelawak pasti lucu.”
Jawaban c)
$\forall x \, (C(x) \wedge F(x))$ menyatakan “Semua orang adalah pelawak yang lucu.”
Jawaban d)
$\exists x \, (C(x) \wedge F(x))$ menyatakan “Ada pelawak yang lucu” atau “Beberapa pelawak lucu”, atau “Orang yang lucu adalah pelawak.”

[collapse]

Soal Nomor 6

Terjemahkan kalimat berikut dalam bahasa Indonesia jika $A(x)$ menyatakan “$x$ adalah kodok” dan $B(x)$ adalah “$x$ melompat” dengan domain dari $x$ adalah semua binatang.
a. $\forall x \,(A(x) \Rightarrow B(x))$
b. $\exists x \, (A(x) \Rightarrow B(x))$
c. $\forall x \, (A(x) \wedge B(x))$
d. $\exists x \, (A(x) \wedge B(x))$

Pembahasan

Diketahui $A(x)$ menyatakan “$x$ adalah kodok” dan $B(x)$ adalah “$x$ melompat” dengan domain dari $x$ adalah semua binatang.
Jawaban a)
$\forall x \,(A(x) \Rightarrow B(x))$ menyatakan “Semua binatang yang merupakan kodok pasti melompat.”
Jawaban b)
$\exists x \, (A(x) \Rightarrow B(x))$ menyatakan “Sebagian binatang yang merupakan kodok pasti melompat.”
Jawaban c)
$\forall x \, (A(x) \wedge B(x))$ menyatakan “Semua binatang adalah kodok dan mereka melompat.”
Jawaban d)
$\exists x \, (A(x) \wedge B(x))$ menyatakan “Sebagian binatang adalah kodok dan mereka melompat.”

[collapse]

Baca Juga: Pembuktian dengan Menggunakan Kontradiksi 

Soal Nomor 7

Misalkan $P(x)$ menyatakan kalimat “$x$ bisa berbahasa Indonesia” dan $Q(x)$ menyatakan kalimat “$x$ bisa berbahasa Inggris.” Nyatakan kalimat berikut dalam $P(x), Q(x),$ kuantor, dan perangkai logika. Domain dari $x$ adalah semua siswa di sekolah Anda.

  1. Ada siswa di sekolah Anda yang bisa berbahasa Indonesia dan Inggris.
  2. Ada siswa di sekolah Anda yang bisa berbahasa Indonesia, tetapi tidak untuk bahasa Inggris.
  3. Semua siswa di sekolah Anda bisa berbahasa Indonesia atau Inggris.
  4. Tidak ada satu pun siswa di sekolah Anda yang bisa berbahasa Indonesia maupun Inggris.

Pembahasan

Jawaban a)
“Ada siswa di sekolah Anda yang bisa berbahasa Indonesia dan Inggris” dapat dinotasikan sebagai $\exists x \, (P(x) \wedge Q(x)).$
Jawaban b)
“Ada siswa di sekolah Anda yang bisa berbahasa Indonesia, tetapi tidak untuk bahasa Inggris” dapat dinotasikan sebagai $\exists x \, (P(x) \wedge \neg Q(x)).$
Jawaban c)
“Semua siswa di sekolah Anda bisa berbahasa Indonesia atau Inggris” dapat dinotasikan sebagai $\forall x \, (P(x) \lor Q(x)).$
Jawaban d)
“Tidak ada satu pun siswa di sekolah Anda yang bisa berbahasa Indonesia atau Inggris” dapat dinotasikan sebagai $\neg \exists x \, (P(x) \lor Q(x))$ atau ekuivalen secara logika dengan $\forall x \, \neg(P(x) \wedge Q(x)).$

[collapse]

Soal Nomor 8

Misalkan $Q(x)$ menyatakan kalimat “$x + 1 > 2x$”. Jika domainnya meliputi semua bilangan bulat, tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut.
a. $Q(0)$                   e. $\forall x~Q(x)$
b. $Q(1)$                   f. $\exists x~\neg Q(x)$
c, $Q(-1)$                g. $\forall x~\neg Q(x)$
d. $\exists x~Q(x)$

Pembahasan

Diketahui $Q(x)$ menyatakan kalimat “$x + 1 > 2x$”.
Jawaban a)

$Q(0)$ menyatakan “$0 + 1 > 2(0)$” atau dapat ditulis menjadi “$1 > 0$.” Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Jawaban b)
$Q(1)$ menyatakan “$1 + 1 > 2(1)$” atau dapat ditulis menjadi “$2 > 2$.” Pernyataan ini jelas bernilai salah.
Jawaban c)
$Q(-1)$ menyatakan kalimat “$-1 + 1 > 2(-1)$” atau dapat ditulis menjadi “$0 > -2$.” Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Jawaban d)
$\exists x~Q(x)$ menyatakan kalimat” Ada bilangan bulat $x$ sedemikian sehingga $x + 1 > 2x$”. Pernyataan ini bernilai benar karena kita dapat menemukan setidaknya satu bilangan bulat $x$ yang memenuhi pertidaksamaan itu,misalnya $x = -1.$
Jawaban e)
$\forall x~Q(x)$ menyatakan kalimat” Semua bilangan bulat $x$ memenuhi $x + 1 > 2x$”. Pernyataan ini bernilai salah karena kita dapat menemukan setidaknya satu bilangan bulat $x$ yang tidak memenuhi pertidaksamaan itu, misalnya $x = 0.$
Jawaban f)
$\exists x~\neg Q(x)$ menyatakan kalimat” Ada bilangan bulat $x$ sedemikian sehingga $x + 1 \leq 2x$”. Pernyataan ini bernilai benar karena kita dapat menemukan setidaknya satu bilangan bulat $x$ yang memenuhi pertidaksamaan itu, misalnya $x = 1.$
Jawaban g)
$\forall x~\neg Q(x)$ menyatakan kalimat” Semua bilangan bulat $x$ memenuhi $x + 1 \leq 2x$”. Pernyataan ini bernilai salah karena kita dapat menemukan setidaknya satu bilangan bulat $x$ yang tidak memenuhi pertidaksamaan itu, misalnya $x = 0.$

[collapse]

Soal Nomor 9

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut jika domain pembicaraannya meliputi semua bilangan real.
a. $\exists x \, (x^3 = -1)$
b. $\exists x \, (x^4 < x^2)$
c. $\forall x \, ((-x)^2 = x^2)$
d. $\forall x \, (2x > x)$

Pembahasan

Jawaban a)
$\exists x \, (x^3 = -1)$ menyatakan bahwa ada bilangan real $x$ yang memenuhi $x^3 = -1.$ Pernyataan ini bernilai benar karena $x = -1$ memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Jawaban b)
$\exists x \, (x^4 < x^2)$ menyatakan bahwa ada bilangan real $x$ yang memenuhi $x^4 < x^2.$ Pernyataan ini bernilai benar karena $x = 0,5$ memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Jawaban c)
$\forall x \, ((-x)^2 = x^2)$ menyatakan bahwa semua bilangan real $x$ memenuhi $(-x)^2 = x^2.$ Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Jawaban d)
$\forall x \, (2x > x)$ menyatakan bahwa semua bilangan real $x$ memenuhi $2x > x.$ Pernyataan ini jelas bernilai salah karena kita dapat menemukan setidaknya satu bilangan real yang tidak memenuhi pertidaksamaan tersebut, misalnya $x = 0.$

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Operasi Logika dan Tabel Kebenaran

Soal Nomor 10

Misalkan domain dari fungsi proposisional $P(x)$ meliputi $-5, -3, -1, 1, 3,$ dan $5.$ Nyatakan kalimat berikut tanpa menggunakan kuantor, melainkan menggunakan negasi, disjungsi, dan konjungsi saja.
a. $\exists x \, P(x)$
b. $\forall x \, P(x)$
c. $\forall x \, ((x \neq 1) \Rightarrow P(x))$
d. $\exists x \, ((x \geq 0) \wedge P(x))$
e. $\exists x \, ((\neg P(x)) \wedge \forall x \, ((x < 0) \Rightarrow P(x))$

Pembahasan

Perlu diingat kembali bahwa aturan praktis (rule of thumb) dari penggunaan kuantor universal $\forall$ berkaitan dengan notasi konjungsi $\wedge,$ sedangkan kuantor eksistensial $\exists$ berkaitan dengan notasi disjungsi $\lor.$
Jawaban a)
$\exists x \, P(x)$ dapat dinyatakan sebagai
$$P(-5) \lor P(-3) \lor P(-1) \lor P(1) \lor P(3) \lor P(5).$$Jawaban b)
$\forall x \, P(x)$ dapat dinyatakan sebagai
$$P(-5) \wedge P(-3) \wedge P(-1) \wedge P(1) \wedge P(3) \wedge P(5).$$Jawaban c)
$\forall x \, ((x \neq 1) \Rightarrow P(x))$ menandakan bahwa semua anggota domain selain $1$ adalah input bagi $P(x).$ Jadi, kalimat tersebut dapat kita nyatakan sebagai
$$P(-5) \wedge P(-3) \wedge P(-1) \wedge P(3) \wedge P(5).$$Jawaban d)
$\exists x \, ((x \geq 0) \wedge P(x))$ menandakan bahwa semua anggota domain yang memenuhi $\geq 0$ adalah input bagi $P(x).$ Jadi, kalimat tersebut dapat kita nyatakan sebagai
$$P(1) \lor P(3) \lor P(5).$$Jawaban e)
$\exists x \, ((\neg P(x)) \wedge \forall x \, ((x < 0) \Rightarrow P(x))$ melibatkan penggunaan dua kuantor pada bagian yang berbeda. Dengan menggunakan cara yang sama, kita dapat nyatakan sebagai
$$(\neg P(-5) \lor \neg P(-3) \lor \neg P(-1) \lor \neg P(1) \lor \neg P(3) \lor \neg P(5)) \wedge (P(-5)$$ $$\wedge P(-3) \wedge P(-1)).$$

[collapse]

Soal Nomor 11

Untuk setiap kalimat berikut, tentukan masing-masing domain yang membuat kalimat tersebut bernilai benar dan salah.

  1. Semua orang mempelajari matematika diskrit.
  2. Semua orang berusia lebih dari $5$ tahun.
  3. Ada orang yang berteman dengan lebih dari $2$ orang.
  4. Ada orang yang telah memiliki KTP Indonesia.

Pembahasan

Domain #1 menandakan domain yang membuat kalimat bernilai benar, sedangkan domain #2 salah.
Jawaban a)
Kalimat:
Semua orang mempelajari matematika diskrit.
Domain #1:
Mahasiswa yang mengambil mata kuliah matematika diskrit.
Domain #2:
Mahasiswa di Institut Teknologi Bandung (ITB).
Jawaban b)
Kalimat:
Semua orang berusia lebih dari $5$ tahun.
Domain #1:
Anggota dewan legislatif di negara Indonesia.
Domain #2:
Siswa tingkat Taman Kanak-kanak (TK)
Jawaban c)
Kalimat:
Ada orang yang berteman dengan lebih dari $2$ orang.
Domain #1:
Presiden di setiap negara.
Domain #2:
Bapak Joko Widodo dan Ibu Sri Mulyani.
Jika domainnya hanya meliputi $2$ orang, maka masing-masing orang paling banyak mengenal $1$ orang saja.
Jawaban d)
Kalimat:
Ada orang yang telah memiliki KTP Indonesia.
Domain #1:
Penduduk yang berdomisili di Pulau Kalimantan.
Domain #2:
Anak Indonesia yang berumur kurang dari $17$ tahun.

[collapse]

Soal Nomor 12

Terjemahkan setiap kalimat berikut dalam ekspresi logika yang menggunakan predikat, kuantor, dan perangkai logika.

  1. Tidak ada orang yang sempurna.
  2. Tidak semua orang itu sempurna.
  3. Semua temanmu sempurna.
  4. Paling sedikit satu temanmu sempurna.
  5. Semua orang adalah temanmu dan mereka sempurna.
  6. Tidak semua orang adalah temanmu atau seseorang tidak sempurna.

Pembahasan

Misalkan $P(x)$ menyatakan “$x$ sempurna” dengan domain pembicaraannya meliputi semua orang di dunia.
Jawaban a)
Kalimat:
Tidak ada orang yang sempurna.
Ekspresi Logika: $\forall x \, \neg P(x)$
Jawaban b)
Kalimat:
Tidak semua orang itu sempurna.
Ekspresi Logika: $\neg \forall x \, P(x)$
Jawaban c)
Misalkan $T(x)$ menyatakan “$x$ adalah temanmu.”
Kalimat:
Semua temanmu sempurna.
Ekspresi Logika: $\forall x \, (T(x) \Rightarrow P(x))$
Jawaban d)
Misalkan $T(x)$ menyatakan “$x$ adalah temanmu.”
Kalimat:
Paling sedikit satu temanmu sempurna.
Ekspresi Logika: $\exists x \, (T(x) \wedge P(x))$
Jawaban e)
Misalkan $T(x)$ menyatakan “$x$ adalah temanmu.”
Kalimat:
Semua orang adalah temanmu dan mereka sempurna.
Ekspresi Logika: $\forall x \, (T(x) \wedge P(x))$
Jawaban f)
Misalkan $T(x)$ menyatakan “$x$ adalah temanmu.”
Kalimat:
Tidak semua orang adalah temanmu atau seseorang tidak sempurna.
Ekspresi Logika: $\neg \forall x \, T(x) \lor \exists x \, \neg P(x)$

[collapse]