Tes Kemampuan Akademik (TKA), atau academic ability test adalah salah satu bentuk asesmen yang dikembangkan oleh Pusat Asesmen dan Pembelajaran (Pusmendik), Kementerian Pendidikan Dasar dan Menengah, untuk memotret capaian akademik siswa secara objektif, terukur, dan adil. TKA pertama kali mulai diselenggarakan pada tahun 2025. TKA diselenggarakan sebagai asesmen sukarela yang dapat diikuti oleh siswa dari berbagai jenjang pendidikan. Kehadiran TKA didasarkan pada kebutuhan akan instrumen evaluasi yang terstandar secara nasional sehingga hasilnya tidak hanya menjadi gambaran pencapaian individu, tetapi juga dapat dipakai sebagai tolok ukur dalam mengidentifikasi posisi capaian belajar siswa dibandingkan dengan standar kompetensi yang berlaku. Dengan demikian, TKA tidak dimaksudkan sebagai ujian yang menimbulkan beban, melainkan sebagai sarana diagnosis akademik yang bermanfaat bagi siswa, guru, maupun sekolah.
Baca: Soal dan Pembahasan – Tes Kemampuan Akademik (TKA) Matematika SMA Paket 1
Lebih jauh, TKA dirancang untuk mengukur kompetensi mendasar yang mencakup pengetahuan dan keterampilan akademik inti, seperti literasi membaca, literasi matematika (numerasi), serta kemampuan berpikir kritis dan pemecahan masalah yang berkaitan dengan berbagai mata pelajaran. Melalui soal-soal yang disusun secara sistematis dan terstandar, asesmen ini tidak hanya menilai kemampuan menghafal, tetapi juga menekankan pada keterampilan berpikir tingkat tinggi (higher order thinking skills). Hasil TKA kemudian dapat digunakan untuk memberikan umpan balik yang konstruktif, baik bagi siswa dalam mengidentifikasi kekuatan dan kelemahannya, maupun bagi guru dalam merancang strategi pembelajaran yang lebih tepat sasaran.
Selain itu, TKA juga memiliki peran strategis dalam mendukung kebijakan pendidikan nasional. Data hasil tes ini dapat menjadi sumber informasi yang kredibel bagi sekolah, pemerintah daerah, maupun pemangku kebijakan di tingkat pusat dalam merumuskan program peningkatan mutu pendidikan. Dengan adanya pelaporan capaian akademik yang bersifat individual, sekolah dapat mengetahui kebutuhan belajar siswanya secara lebih rinci, sementara orang tua dapat memahami perkembangan anaknya secara lebih objektif. Dengan kata lain, TKA hadir bukan hanya untuk menilai, tetapi juga untuk mendorong peningkatan kualitas pembelajaran, penguatan kompetensi dasar siswa, serta penciptaan ekosistem pendidikan yang lebih berkeadilan.
Baca: Soal dan Pembahasan – Tes Kemampuan Akademik (TKA) Matematika SMA Paket 2
Secara teknis, TKA untuk level SMA dilaksanakan secara daring dengan menggunakan aplikasi CBT, sama seperti penyelenggaraan OSN dan ANBK. Untuk mengikuti TKA, siswa SMA akan menghadapi 3 mata pelajaran wajib, yaitu Bahasa Indonesia, Bahasa Inggris, dan Matematika, serta 2 dari 4 mata pelajaran pilihan yang mereka jalani sebelumnya. Sebagai contoh, jika seorang siswa memilih mata pelajaran Sosiologi, Ekonomi, Matematika Tingkat Lanjut, dan Fisika saat pertama kali menginjak kelas XI, maka ia hanya boleh memilih 2 dari 4 mata pelajaran tersebut, misalnya Sosiologi dan Ekonomi, untuk diuji dalam TKA. Kebijakan ini mungkin bakal berubah sewaktu-waktu sehingga perlu ditelaah kembali.
Baca: Soal dan Pembahasan – Tes Kemampuan Akademik (TKA) Matematika Tingkat Lanjut SMA Paket 1
Dari segi format soal, soal TKA tidak hanya berbentuk pilihan ganda biasa, tetapi juga memuat soal berbentuk pilihan ganda kompleks (PGK). Ada dua jenis PGK, yaitu PGK Kategori (soal benar-salah atau setuju-tidak setuju) dan PGK Multiple Choice Multiple Answer (MCMA) (centang beberapa pernyataan yang benar). Ini berarti, format soal TKA mengadopsi soal Asesmen Kompetensi Minimum (AKM) yang juga tidak hanya memuat soal pilihan ganda. Hal ini berbeda dengan soal Ujian Nasional (UN) yang dulunya diselenggarakan dalam bentuk soal pilihan ganda biasa saja.
Berdasarkan informasi yang beredar, TKA level SMA/MA/Sederajat dan SMK/MAK dilaksanakan selama dua hari. Pada hari pertama, siswa akan menghadapi tes mata pelajaran wajib, yaitu Bahasa Indonesia (45 menit), Matematika (50 menit), dan Bahasa Inggris (45 menit). Sementara itu, pada hari kedua, siswa akan menghadapi tes dua mata pelajaran pilihan, masing-masing diberi durasi pengerjaan selama 60 menit.
Untuk mempersiapkan TKA dengan lebih matang, berikut telah disediakan beberapa contoh soal dan pembahasan TKA mata pelajaran Matematika SMA (Paket 3) yang selaras dengan kerangka kisi-kisi yang dikeluarkan pemerintah. Semoga dapat dijadikan sumber belajar untuk meningkatkan pemahaman.
Baca: Soal dan Pembahasan – Tes Kemampuan Akademik (TKA) Matematika Tingkat Lanjut SMA Paket 2
Jika Anda ingin mencari soal latihan yang lebih banyak, Anda dapat mengakses ke folder soal mathcyber1997.com dengan mendaftar di bit.ly/Akses_Soal. Folder soal tersebut berisi soal UTBK-SNBT, soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi (termasuk STAN), soal kompetensi matematika (termasuk OSN dan ON MIPA), dan masih banyak lagi.
Fun Fact
Soal Nomor 1
Perhatikan ekspresi berikut.
1. $(2mn)^4$
2. $8m^4n^4$
3. $16m^4n^4$
4. $(4mn)^2$
Ekspresi yang nilainya setara dengan $\left(\dfrac{2m^5n^{-5}}{32m^9n^{-1}}\right)^{-1}$ adalah nomor $\cdots \cdot$
A. (1), (2), dan (3) SAJA
B. (1) dan (3) SAJA
C. (2) dan (4) SAJA
D. (4) SAJA
E. (1), (2), (3), dan (4)
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \left(\dfrac{2m^5n^{-5}}{32m^9n^{-1}}\right)^{-1} & = \left(\dfrac{1}{16m^4n^4}\right)^{-1} \\ & = 16m^4n^4 \\ & = (2mn)^4. \end{aligned}$$Ini berarti, ekspresi yang nilainya setara dengan $\left(\dfrac{2m^5n^{-5}}{32m^9n^{-1}}\right)^{-1}$ adalah $(2mn)^4$ dan $(16m^4n^4),$ berturut-turut ditunjukkan oleh nomor 1 dan 3.
(Jawaban B)
Soal Nomor 2
Diketahui tiga bilangan, yaitu $x = \sqrt[3]{5^2},$ $y = \sqrt{3^2},$ dan $z = \sqrt[4]{2^5}.$
Berilah tanda centang $(\checkmark)$ pada pernyataan yang bernilai benar terkait urutan nilai ketiga bilangan tersebut. Jawaban benar mungkin lebih dari satu.
- $x < y.$
- $x < z.$
- $y < z.$
- $x^3 > y^2.$
- $y^4 > z^8.$
Diketahui tiga bilangan, yaitu $x = \sqrt[3]{5^2},$ $y = \sqrt{3^2} = 3,$ dan $z = \sqrt[4]{2^5}.$
Cek Pernyataan 1:
Perhatikan bahwa $x^3 = (\sqrt[3]{5^2})^3 = 5^2 = 25$ dan $y^3 = 3^3 = 27.$ Karena $25 < 27,$ diperoleh $x^3 < y^3$ sehingga mengimplikasikan $x < y.$ Dengan demikian, Pernyataan 1 benar.
Cek Pernyataan 2:
Perhatikan bahwa $x^{12} = (\sqrt[3]{5^2})^{12} = 5^8$ dan $z^{12} = (\sqrt[4]{2^5})^{12} = 2^{15}.$ Jelas bahwa $5^7 \cdot 5 < (2^2)^7 \cdot 2$ sehingga $5^8 > 2^{15}.$ Ini berarti, $x^3 > z^3,$ mengimplikasikan $x > z.$ Dengan demikian, Pernyataan 2 salah.
Cek Pernyataan 3:
Perhatikan bahwa $y^4 = 3^4 = 81$ dan $z^4 = (\sqrt[4]{2^5})^4 = 2^5 = 32.$ Ini berarti, $y^4 > z^4,$ mengimplikasikan $y > z.$ Dengan demikian, Pernyataan 3 salah.
Cek Pernyataan 4:
Perhatikan bahwa $x^3 = (\sqrt[3]{5^2})^3 = 5^2 = 25$ dan $y^2 = 3^2 = 9.$ Karena $25 > 9,$ haruslah $x^3 > y^2.$ Dengan demikian, Pernyataan 4 benar.
Cek Pernyataan 5:
Perhatikan bahwa $y^4 = 3^4 = 81$ dan $z^8 = \left(\sqrt[4]{2^5}\right)^8 = 2^{10} = 1.024.$ Karena $81 < 1.024,$ haruslah $y^4 < z^{10}.$ Dengan demikian, Pernyataan 5 salah.
Jadi, centang kedua pernyataan berikut karena bernilai benar.
- $x < y.$
- $x^3 > y^2.$
[collapse]
Soal Nomor 3
Diketahui persamaan $\dfrac{2^x}{8^q} = 64\sqrt{2^p} \times \sqrt{8^{3x}}.$ Jika penyelesaian yang diperoleh berupa bilangan real, tentukan nilai dari $-6x.$
Tentukan apakah Persamaan (1) dan (2) cukup untuk menjawab soal tersebut.
(1). $p=3x.$
(2). $p+q=4x+2.$
- Persamaan (1) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi Persamaan (2) SAJA tidak cukup.
- Persamaan (2) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi Persamaan (1) SAJA tidak cukup.
- Persamaan (1) dan (2) cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi salah satu dari keduanya tidak cukup.
- Persamaan (1) atau Persamaan (2) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan.
- Persamaan (1) dan Persamaan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
Diketahui persamaan $\dfrac{2^x}{8^q} = 64\sqrt{2^p} \times \sqrt{8^{3x}}.$ Dari sini, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{2^x}{2^{3q}} & = 2^6 \cdot 2^{p/2} \times 2^{9x/2} \\ 2^{x-3q} & = 2^{6 + p/2 + 9x/2} \\ x-3q & = 6 + \dfrac{p}{2} + \dfrac{9x}{2} \\ x-\dfrac{9x}{2} & = 3q + \dfrac{p}{2} + 6 \\ -\dfrac{7x}{2} & = 3q + \dfrac{p}{2} + 6 \\ x & = -\dfrac27\left(3q + \dfrac{p}{2} + 6\right) \\ -6x & = \dfrac{12}{7}\left(3q + \dfrac{p}{2} + 6\right). \end{aligned}$$Menggunakan Persamaan (1) saja:
Substitusi $p = 3x$ pada persamaan$$-6x = \dfrac{12}{7}\left(3q + \dfrac{p}{2} + 6\right)$$tidak akan membuat nilai $-6x$ dapat dicari. Hal ini terjadi karena nilai $q$ sendiri tidak diketahui. Dengan demikian, Persamaan (1) saja tidak cukup.
Menggunakan Persamaan (2) saja:
Jika $p+q = 4x+2,$ tidak ada cara untuk memanipulasi bentuk $3q + \dfrac{p}{2}$ agar muncul bentuk $p+q$ sehingga yang tersisa hanya variabel $x.$ Dengan demikian, Persamaan (2) saja tidak cukup.
Menggunakan Persamaan (1) dan (2):
Jika $p = 3x$ dan $p+q=4x+2,$ diperoleh $3x + q = 4x + 2$ sehingga $q = x + 2.$ Substitusi pada persamaan $$-6x = \dfrac{12}{7}\left(3q + \dfrac{p}{2} + 6\right)$$akan membuat persamaan ini hanya memiliki satu variabel, yaitu $x.$ Akibatnya, nilai $x$ pasti dapat dicari dengan sedikit manipulasi aljabar. Dengan demikian, Persamaan (1) dan (2) cukup untuk menjawab pertanyaan.
Jadi, Persamaan (1) dan (2) cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi salah satu dari keduanya tidak cukup.
(Jawaban C)
Soal Nomor 4
Lili saat ini berusia $19+x$ tahun. Jika Lili lahir $x+7$ tahun lebih awal, maka usianya tiga tahun mendatang adalah $\cdots$ tahun.
A. $12$ D. $29 + 2x$
B. $15$ E. $29 -2x$
C. $26 + 2x$
Bentuk aljabar yang tepat untuk menentukan usia Lili saat ini ketika diandaikan ia lahir $x+7$ tahun lebih awal adalah
$$(19+x)+(x+7) = 2x+26$$tahun. Dengan demikian, usianya tiga tahun mendatang adalah $(2x+26)+3=29+2x$ tahun.
(Jawaban D)
Soal Nomor 5
Luas persegi panjang $ABCD$ pada gambar adalah $60~\text{cm}^2$ dengan panjang $BC = 6~\text{cm}$.
Jika diketahui bahwa $CQ = RD = 2~\text{cm}$, berapakah luas daerah berwarna kuning?
A. $18~\text{cm}^2$ D. $52~\text{cm}^2$
B. $36~\text{cm}^2$ E. $60~\text{cm}^2$
C. $42~\text{cm}^2$
Karena luas persegi panjang $ABCD$ adalah $60~\text{cm}^2$ dan $BC = 6~\text{cm}$, maka $AB = CD = \dfrac{60}{6} = 10~\text{cm}$. Dengan demikian, panjang $RQ = 10-2-2 = 6~\text{cm}.$
Perhatikan gambar berikut.
Luas daerah berwarna kuning sama dengan luas persegi panjang $ABCD$ dikurangi luas segitiga $PQR$.
$$\begin{aligned} L & = L_{ABCD}-L_{\triangle PQR} \\ & = 60-\dfrac{6 \times 6}{2} \\ & = 60-18 = 42~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah warna kuning adalah $\boxed{42~\text{cm}^2}.$
(Jawaban C)
Soal Nomor 6
Penyelesaian dari sistem persamaan $\dfrac{p}{2}+\dfrac{q}{4} = 1\dfrac34$ dan $\dfrac{p}{4}+\dfrac{q}{3} = \dfrac14$ adalah $\cdots \cdot$
A. $p=5$ dan $q=3$
B. $p=5$ dan $q=-3$
C. $p=-3$ dan $q=3$
D. $p=-5$ dan $q=3$
E. $p=-5$ dan $q=-3$
Diketahui SPLDV: $\begin{cases} \dfrac{p}{2}+\dfrac{q}{4} & = \dfrac74 && (\cdots 1) \\ \dfrac{p}{4}+\dfrac{q}{3} & = \dfrac14 && (\cdots 2) \end{cases}$
Kedua ruas dikalikan $4$ pada persamaan pertama, sedangkan kedua ruas dikalikan $12$ pada persamaan kedua sehingga kita peroleh
$\begin{cases} 2p + q & = 7 && (\cdots 1) \\ 3p+4q & = 3 && (\cdots 2) \end{cases}$
Dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2p+q & = 7 \\ 3p+4q & = 3 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 4 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~8p+4q & = 28 \\ 3p+4q & = 3 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 5p & = 25 \\ p & = 5 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $p=5$ pada salah satu persamaan, misalnya pada Persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 2\color{red}{p}+q & = 7 \\ 2(5)+q & = 7 \\ 10+q & = 7 \\ q & = -3 \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $p=5$ dan $q=-3.$
(Jawaban B)
Soal Nomor 7
Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung $5$ unit vitamin A dan $3$ unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung $10$ unit vitamin A dan $1$ unit vitamin B. Dalam $1$ hari, anak tersebut memerlukan $25$ vitamin A dan $5$ unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000 per butir dan tablet II Rp8.000 per butir, maka pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah $\cdots \cdot$
A. Rp6.000
B. Rp6.700
C. Rp7.000
D. Rp20.000
E. Rp22.000
Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, dapat disusun tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{Tablet Jenis I} & \text{Tablet Jenis II} & \text{Kebutuhan} \\ \hline \text{Vit. A} & 5 & 10 & \geq 25 \\ \text{Vit. B} & 3 & 1 & \geq 5 \\ \hline \end{array}$$Dari tabel di atas, dapat disusun sistem pertidaksamaan linear
$\begin{cases} & 5x + 10y \geq 25 \Rightarrow x + 2y \geq 5 \\ & 3x + y \geq 5 \\ & x \geq 0 \\ & y \geq 0 \end{cases}$
yang merupakan kendala dari fungsi objektif $P = 4.000x + 8.000y$.
Gambarkan grafik dari setiap pertidaksamaan linear di atas pada koordinat Kartesius seperti berikut.
Daerah penyelesaiannya tampak pada gambar di atas (diwarna), dengan titik pojok $A(0,5), B(1, 2)$, dan $C(5, 0)$. Perhatikan bahwa koordinat titik $B$ dapat ditentukan dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
Selanjutnya, ujilah nilai optimum dari masing-masing titik pojok itu terhadap fungsi objektif $P = 4.000x+8.000y$ dengan menggunakan tabel seperti di bawah ini.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 4.000x+8.000y \\ \hline A(0, 5) & 40.000 \\ \color{green}{B(1, 2)} & \color{green}{20.000} \\ \color{green} {C(5, 0)} & \color{green}{20.000} \\ \hline \end{array}$
Berdasarkan tabel di atas, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari sesuai dengan persoalan tersebut adalah Rp20.000.
(Jawaban D)
Soal Nomor 8
Lili ingin membuat dua jenis kue kering, yaitu kue bolu dan kue bronis. Lili memiliki persediaan bahan sebanyak $4$ kg gula dan $9$ kg tepung terigu. Satu loyang kue bolu membutuhkan $20$ g gula dan $60$ g tepung terigu. Sementara itu, satu loyang kue bronis membutuhkan $20$ g gula dan $40$ g tepung terigu. Misalkan banyaknya loyang kue bolu dan kue bronis yang dibuat berturut-turut dinyatakan oleh $x$ dan $y.$
Beri tanda centang $(\checkmark)$ pada kolom Benar atau Salah untuk setiap pernyataan berikut.
$$\begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Benar} & \textbf{Salah} \\ \hline \text{Mungkin Lili membuat 150 loyang kue bolu}. & & \\ \hline \text{Lili dapat membuat sebanyak 120 loyang kue bolu dan 100 loyang kue bronis}. & & \\ \hline 3x+2y=450~\text{adalah salah satu persamaan garis pembatas masalah program linear tersebut.} & & \\ \hline \end{array}$$
Misalkan banyaknya loyang kue bolu dan kue bronis yang dibuat berturut-turut dinyatakan oleh $x$ dan $y.$
Diketahui persediaan bahan sebanyak $4$ kg = $4.000$ g gula dan $9$ kg = $9.000$ g tepung terigu.
Berkaitan dengan persediaan gula, diperoleh pertidaksamaan $20x + 20y \le 4.000,$ atau disederhanakan menjadi $x + y \le 200.$ Sementara itu, berkaitan dengan persediaan tepung terigu, diperoleh pertidaksamaan $60x + 40y \le 9.000,$ atau disederhanakan menjadi $3x + 2y \le 450.$ Kendala taknegatif berlaku: $x \ge 0$ dan $y \ge 0.$
Cek Pernyataan 1:
Jika Lili membuat $150$ loyang kue bolu, substitusi $x = 150$ dan $y = 0$ pada sistem pertidaksamaan $\begin{cases} x + y \le 200 \\ 3x + 2y \le 450 \end{cases}$ masih terpenuhi karena $150 + 0 = 150 \le 200$ (benar) dan $3(150) + 2(0) = 450 \le 450$ (benar). Ini berarti, mungkin saja Lili membuat $150$ loyang kue bolu. Dengan demikian, Pernyataan 1 benar.
Cek Pernyataan 2:
Jika Lili membuat $120$ loyang kue bolu dan $100$ loyang kue bronis, substitusi $x = 120$ dan $y = 100$ pada sistem pertidaksamaan $$\begin{cases} x + y \le 200 \\ 3x + 2y \le 450 \end{cases}$$ternyata tidak terpenuhi karena $120 + 100 = 220 \ge 200.$ Karena terdapat pertidaksamaan yang gagal terpenuhi, Lili seharusnya tidak mungkin dapat membuat kue bolu dan kue bronis sebanyak itu karena bahannya tidak mencukupi. Dengan demikian, Pernyataan 2 salah.
Cek Pernyataan 3:
Pernyataan 3 benar berdasarkan perhitungan sebelumnya. Persamaan $3x + 2y = 450$ (didapat dari pertidaksamaan $3x + 2y \le 450$) akan menjadi garis pembatas untuk menentukan titik pojok dari daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan yang ada. Dengan demikian, Pernyataan 3 benar.
Jadi, centang benar dan salah ketiga pernyataan tersebut seperti yang tampak pada tabel berikut.
$$\begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Benar} & \textbf{Salah} \\ \hline \text{Mungkin Lili membuat 150 loyang kue bolu}. & \checkmark & \\ \hline \text{Lili dapat membuat sebanyak 120 loyang kue bolu dan 100 loyang kue bronis}. & & \checkmark \\ \hline 3x+2y=450~\text{adalah salah satu persamaan garis pembatas masalah program linear tersebut.} & \checkmark & \\ \hline \end{array}$$
Soal Nomor 9
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $x^2-px+q=0$ adalah $3$ dan $5.$
Beri tanda centang $(\checkmark)$ pada kolom Benar atau Salah untuk setiap pernyataan berikut.
$$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Benar} & \textbf{Salah} \\ \hline \text{Selisih}~p~\text{dan}~q~\text{adalah 7}. & & \\ \hline \text{Hasil kali}~p~\text{dan}~q~\text{lebih besar dari 0}. & & \\ \hline \text{Nilai}~p~\text{lebih kecil dari}~q. & & \\ \hline \end{array}$$
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $x^2-px+q=0$ adalah $3$ dan $5.$ Sebagai informasi, jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar $a$ dan $b,$ maka persamaan kuadrat tersebut berbentuk $(x-a)(x-b) = 0.$ Dalam kasus ini, persamaan kuadrat yang dimaksud berbentuk
$$\begin{aligned} (x-3)(x-5) & = 0 \\ x^2-8x + 15 & = 0. \end{aligned}$$Ini berarti, nilai $p = 8$ dan $q = 15.$
Cek Pernyataan 1:
Selisih $p$ dan $q$ adalah $q-p = 15-8 = 7.$ Dengan demikian, Pernyataan 1 benar.
Cek Pernyataan 2:
Hasil kali $p$ dan $q$ adalah $pq = 8 \cdot 15 = 120 > 0.$ Dengan demikian, Pernyataan 2 benar.
Cek Pernyataan 3:
Karena $p = 8$ dan $q = 15,$ diperoleh $p < q.$ Dengan demikian, Pernyataan 3 benar.
Jadi, centang benar dan salah ketiga pernyataan tersebut seperti yang tampak pada tabel berikut.
$$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Benar} & \textbf{Salah} \\ \hline \text{Selisih}~p~\text{dan}~q~\text{adalah 7}. & \checkmark & \\ \hline \text{Hasil kali}~p~\text{dan}~q~\text{lebih besar dari 0}. & \checkmark & \\ \hline \text{Nilai}~p~\text{lebih kecil dari}~q. & \checkmark & \\ \hline \end{array}$$
Soal Nomor 10
Diketahui $\sin A + \sin B = 1$ dan $\cos A + \cos B = \dfrac{\sqrt5}{\sqrt3}.$ Nilai $\cos (A-B)=\cdots \cdot$
A. $1$ C. $\dfrac12\sqrt2$ E. $\dfrac13$
B. $\dfrac12\sqrt3$ D. $\dfrac12$
Gunakan identitas trigonometri berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 \\ \cos (A-B) &= \cos A \cos B + \sin A \sin B \end{aligned}}$$Diketahui $\sin A + \sin B = 1.$
Kuadratkan kedua ruas,
$\begin{aligned} (\sin A + \sin B)^2 & = 1^2 \\ \color{blue}{\sin^2 A + 2 \sin A \sin B + \sin^2 B} & \color{blue}{= 1} \end{aligned}$
Diketahui $\cos A+ \cos B = \dfrac{\sqrt5}{\sqrt3}.$
Kuadratkan kedua ruas,
$$\begin{aligned} (\cos A + \cos B)^2 & = \left(\dfrac{\sqrt5}{\sqrt3}\right)^2 \\ \color{red}{\cos^2 A + 2 \cos A \cos B + \cos^2 B} & \color{red}{=\dfrac53}\end{aligned}$$Jumlahkan kedua persamaan yang diberi warna biru dan merah di atas.
$$\begin{aligned} (\sin^2 A + \cos^2 A) + 2 \sin A \sin B + 2 \cos A \cos B) + (\sin^2 B + \cos^2 B) & = 1+\dfrac53 \\ \cancel{1} + 2(\cos A \cos B + \sin A \sin B) + 1 & = \cancel{1}+\dfrac53 \\ 2(\cos A \cos B + \sin A \sin B) & = \dfrac23 \\ \cos A \cos B + \sin A \sin B & = \dfrac13 \\ \cos (A-B) & = \dfrac13 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\cos(A-B)=\dfrac13}.$
(Jawaban E)
Soal Nomor 11
Ketika sedang memeriksa seorang bayi yang menderita infeksi telinga, dokter spesialis THT (telinga, hidung, dan tenggorokan) mendiagnosis bahwa mungkin terdapat $1.000.000$ unit bakteri yang menginfeksi. Pemberian penisilin yang diresepkan dokter diperkirakan dapat membunuh $5\%$ dari jumlah bakteri yang ada setiap $4$ jam. Jumlah bakteri setelah $12$ jam akan tersisa $\cdots \cdot$
A. $1.157.625$ unit
B. $902.500$ unit
C. $857.375$ unit
D. $814.506$ unit
E. $800.000$ unit
Diketahui:
$$\begin{aligned} P_0 & = 1.000.000 \\ i & = 5\% = 0,05 \\ n & = 12 \div 4 = 3 \end{aligned}$$Jumlah bakteri setelah $12$ jam yang dinotasikan $P_3$ dapat dicari dengan cara berikut.
$$\begin{aligned} P_n & = P_0(1-i)^n \\ P_3 & = 1.000.000(1-0,05)^3 \\ & = 1.000.000(0,95)^3 \\ & = 857.375 \end{aligned}$$Jadi, jumlah bakteri setelah $12$ jam akan tersisa $\boxed{857.375~\text{unit}}.$
(Jawaban C)
Soal Nomor 12
Diketahui $f(x) = \dfrac{5-4x} {7x-3}.$ Bila $f^{-1}(x)$ adalah invers dari $f(x),$ maka $f^{-1}(x)= \cdots \cdot$
A. $\dfrac{5+3x}{7x+4}$ D. $\dfrac{3x-5}{7x+4}$
B. $\dfrac{5-3x}{7x+4}$ E. $\dfrac{3x-5}{7x-4}$
C. $\dfrac{5-3x}{7x-4}$
Misalkan $f(x) = y.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} y & = \dfrac{5-4x} {7x-3} \\ y(7x-3) & = 5-4x \\ 7xy-3y + 4x & = 5 \\ x(7y + 4) & = 5 + 3y \\ x = f^{-1}(y) & = \dfrac{5+3y} {7y+4} \\ f^{-1}(x) & = \dfrac{5+3x} {7x+4} \end{aligned}$$Jadi, invers dari fungsi $f(x)$ adalah $\boxed{f^{-1}(x) = \dfrac{5+3x}{7x+4}}.$
(Jawaban A)
Soal Nomor 13
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ memiliki panjang rusuk $4~\text{cm}$. Jika $Q$ adalah titik tengah rusuk $FG$, maka jarak titik $Q$ ke garis $BD$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2\sqrt6~\text{cm}$ D. $\sqrt{14}~\text{cm}$
B. $2\sqrt5~\text{cm}$ E. $2\sqrt2~\text{cm}$
C. $3\sqrt2~\text{cm}$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Jarak titik $Q$ ke $BD$ sama dengan jarak $Q$ ke $O$ pada $BD$ sedemikian sehingga $QO \perp BD$.
Panjang $QB$ dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $BFQ$.
$\begin{aligned} BQ & = \sqrt{BF^2 + FQ^2} \\ & = \sqrt{4^2+2^2} \\ & = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt5~\text{cm} \end{aligned}$
Sekarang, misalkan $R$ titik tengah $BC,$ sedemikian dapat dibuat segitiga siku-siku $DRQ$. Diketahui bahwa $DR = BQ = 2\sqrt5~\text{cm}$ dan $RQ = 4~\text{cm}$ sehingga
$\begin{aligned} DQ & = \sqrt{DR^2 + RQ^2} \\ & = \sqrt{(2\sqrt5)^2+4^2} \\ & = \sqrt{20+16} = \sqrt{36} = 6~\text{cm} \end{aligned}$
Selanjutnya, perhatikan segitiga $BDQ$ berikut.
Karena $BD = 4\sqrt2~\text{cm}$ (diagonal bidang), maka dapat dimisalkan $DO = (4\sqrt{2} – x)~\text{cm}$ dan $OB = x~\text{cm}$, serta $QO = y~\text{cm}$.
Pada segitiga $DOQ$, berlaku
$\begin{aligned} DQ^2 & = DO^2 + QO^2 \\ 6^2 & = (4\sqrt2-x)^2 + y^2 \\ 36 & = 32 – 8\sqrt2 x + x^2+y^2 \\ 4 & = – 8\sqrt2 x + x^2+y^2~~~(\cdots \cdot 1) \end{aligned}$
Pada segitiga $BOQ$, berlaku
$\begin{aligned} BQ^2 & = BO^2 + QO^2 \\ (2\sqrt5)^2 & = x^2 + y^2 \\ 20 & = x^2+y^2~~~(\cdots \cdot 2) \end{aligned}$
Substitusikan Persamaan 2 ke Persamaan 1.
$\begin{aligned} 4 & = -8\sqrt2 x + 20 \\ -16 & = -8\sqrt2 x \\ x & = \dfrac{16}{8\sqrt2} = \dfrac{2}{\sqrt2} = \sqrt2 \end{aligned}$
Untuk itu, kita dapatkan
$\begin{aligned} y & = \sqrt{(2\sqrt5)^2 -(\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{20-2} = \sqrt{18} = 3\sqrt2 \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $Q$ ke garis $BD$ adalah $\boxed{3\sqrt2~\text{cm}}.$
(Jawaban C)
Soal Nomor 14
Titik $(4, 2)$ didilatasi dengan faktor skala $2$ berpusat di $(1, -1)$ dan kemudian ditranslasi oleh $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ ke titik $(8, -1).$
Beri tanda centang $(\checkmark)$ pada kolom Benar atau Salah untuk setiap pernyataan berikut.
$$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Benar} & \textbf{Salah} \\ \hline \text{Nilai}~a+b=-5. & & \\ \hline \text{Bayangan}~(2,3)~\text{oleh refleksi}~y=a~\text{adalah}~(2,-15).& & \\ \hline \text{Bayangan}~(-1, 2)~\text{oleh refleksi}~x=b~\text{adalah}~(-11, 2). & & \\ \hline \end{array}$$
Titik $(4, 2)$ didilatasi dengan faktor skala $2$ berpusat di $(1, -1)$ dan kemudian ditranslasi oleh $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ ke titik $(8, -1).$
Bayangan titik $(x, y)$ setelah didilatasikan dengan faktor skala $k$ berpusat di $(a, b)$ dinyatakan oleh
$$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}.$$Untuk $x = 4, y = 2,$ $a = 1,$ dan $b = -1,$ serta $k = 2,$ diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4-1 \\ 2+1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Titik $(7, 5)$ kemudian ditranslasi oleh $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ ke titik $(8, -1).$ Oleh karena itu,
$$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -6 \end{pmatrix}.$$Ini berarti, nilai $a = 1$ dan $b = -6.$
Cek Pernyataan 1:
Nilai $a+b = 1+(-6) = -5.$ Dengan demikian, Pernyataan 1 benar.
Cek Pernyataan 2:
Perhatikan bahwa bayangan titik $(x, y)$ yang direfleksikan oleh $y = a$ adalah $(x, 2a-y).$ Ini berarti, bayangan titik $(2, 3)$ yang direfleksikan oleh $y = 1$ adalah $(2, 2(1)-3) = (2, -1).$ Dengan demikian, Pernyataan 2 salah.
Cek Pernyataan 3:
Perhatikan bahwa bayangan titik $(x, y)$ yang direfleksikan oleh $x = b$ adalah $(2b-x, y).$ Ini berarti, bayangan titik $(-1, 2)$ yang direfleksikan oleh $x = -6$ adalah $(2(-6)-(-1), 2) = (-11, 2).$ Dengan demikian, Pernyataan 3 benar.
Jadi, centang benar dan salah ketiga pernyataan tersebut seperti yang tampak pada tabel berikut.
$$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Benar} & \textbf{Salah} \\ \hline \text{Nilai}~a+b=-5. & \checkmark & \\ \hline \text{Bayangan}~(2,3)~\text{oleh refleksi}~y=a~\text{adalah}~(2,-15).& & \checkmark \\ \hline \text{Bayangan}~(-1, 2)~\text{oleh refleksi}~x=b~\text{adalah}~(-11, 2). & \checkmark & \\ \hline \end{array}$$
Soal Nomor 15
Suatu fungsi eksponen dinyatakan oleh $f(x)=pa^{bx+c}.$ Kurva dari fungsi tersebut melalui titik $\left(0,\dfrac32\right),$ $(1, 3),$ dan $(3, 12).$ Diketahui $4f(-1) = 3.$
Beri tanda centang $(\checkmark)$ pada kolom Benar atau Salah untuk setiap pernyataan berikut.
$$\begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Benar} & \textbf{Salah} \\ \hline \text{Nilai}~a+b-c=4. & & \\ \hline \text{Nilai}~f(2)=8. & & \\ \hline\text{Absis titik potong}~f(x)~\text{dengan}~y = 24~\text{adalah}~4. & & \\ \hline \end{array}$$
Diketahui suatu fungsi eksponen dinyatakan oleh $f(x)=pa^{bx+c}.$ Kurva dari fungsi tersebut melalui titik $\left(0,\dfrac32\right),$ $(1, 3),$ dan $(3, 12).$ Diketahui $4f(-1) = 3.$
Substitusi $x = 0$ pada $f(x)$ menghasilkan
$$f(0) = pa^{b(0)+c} = \dfrac32 \Rightarrow pa^c = \dfrac32.$$Sementara itu, substitusi $x = 1$ pada $f(x)$ menghasilkan
$$\begin{aligned} f(1) & = pa^{b(1)+c} \\ 3 & = pa^c \cdot a^b \\ 3 & = \dfrac32a^b \\ a^b & = 2. \end{aligned}$$Karena $f(x)=pa^{bx+c},$ didapat
$$\begin{aligned} f(x) & = pa^c \cdot (a^b)^x \\ & = \dfrac32 \cdot 2^x. \end{aligned}$$Cek Pernyataan 1:
Kaitkan $f(x)=pa^{bx+c}$ dengan $f(x) = \dfrac32 \cdot 2^x.$ Ini berarti, nilai $p = \dfrac32,$ $a = 2,$ $b = 1,$ dan $c = 0.$ Akibatnya, $a+b-c = 2+1-0=3,$ bukan $4.$ Dengan demikian, Pernyataan 1 salah.
Cek Pernyataan 2:
Substitusi $x = 2$ pada $f(x) = \dfrac32 \cdot 2^x$ menghasilkan $f(2) = \dfrac32 \cdot 2^2 = 6,$ bukan $8.$ Dengan demikian, Pernyataan 2 salah.
Cek Pernyataan 3:
Substitusi $y = f(x) = 24$ pada $f(x) = \dfrac32 \cdot 2^x$ menghasilkan
$$\begin{aligned} 24 & = \dfrac32 \cdot 2^x \\ 2^x & = 16 \\ x & = 4. \end{aligned}$$Dengan demikian, Pernyataan 3 benar.
Jadi, centang benar dan salah ketiga pernyataan tersebut seperti yang tampak pada tabel berikut.
$$\begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Benar} & \textbf{Salah} \\ \hline \text{Nilai}~a+b-c=4. & & \checkmark \\ \hline \text{Nilai}~f(2)=8. & & \checkmark \\ \hline\text{Absis titik potong}~f(x)~\text{dengan}~y = 24~\text{adalah}~4. & \checkmark & \\ \hline \end{array}$$
Soal Nomor 16
Diketahui data peluang turun hujan di dua kota, yaitu Kota P dan Q, pada hari tertentu adalah $20\%$ untuk Kota P dan $70\%$ untuk Kota Q.
Beri tanda centang $(\checkmark)$ pada kolom Benar atau Salah untuk setiap pernyataan berikut.
$$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Benar} & \textbf{Salah} \\ \hline \text{Peluang kedua kota tersebut turun hujan adalah}~0,\!14. & & \\ \hline \text{Peluang paling sedikit 1 dari 2 kota tersebut tidak turun hujan adalah}~\dfrac{21}{25}. & & \\ \hline \text{Peluang kedua kota tersebut tidak turun hujan adalah}~10\%~\text{lebihnya dari peluang kedua kota tersebut turun hujan}. & & \\ \hline \end{array}$$
Diketahui data peluang turun hujan di dua kota, yaitu Kota P dan Q, pada hari tertentu adalah $20\%$ untuk Kota P dan $70\%$ untuk Kota Q. Misalkan $A$ dan $B$ berturut-turut menyatakan kejadian turunnya hujan di Kota P dan Q.
Cek Pernyataan 1:
Kejadian kedua kota tersebut turun hujan adalah kejadian majemuk yang sifatnya saling bebas (tidak memengaruhi satu sama lain). Peluangnya dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} P(A \cap B) & = P(A) \times P(B) \\ & = 20\% \times 70\% \\ & = 14\% = 0,\!14. \end{aligned}$$Dengan demikian, Pernyataan 1 benar.
Cek Pernyataan 2:
Peluang paling sedikit $1$ dari $2$ kota tersebut tidak turun hujan sama dengan $1$ (total peluang) dikurangi peluang kedua kota tersebut turun hujan. Secara matematis, ditulis
$$\begin{aligned} P(A^c \cup B^c) & = P(A \cap B)^c \\ & = 1-P(A \cap B) \\ & = 1-0,\!14 = 0,\!86 = \dfrac{43}{50}. \end{aligned}$$Ini berarti, peluang kejadian yang dimaksud sebesar $\dfrac{43}{50},$ bukan $\dfrac{21}{25}.$ Dengan demikian, Pernyataan 2 salah.
Cek Pernyataan 3:
Diketahui $P(A) = 20\%$ dan $P(B) = 70\%.$ Peluang Kota P dan Q tidak turun hujan berturut-turut sebesar $P(A^c) = 80\%$ dan $P(B^c) = 30\%.$ Ini berarti, peluang kedua kota tersebut tidak turun hujan adalah
$$\begin{aligned} P(A^c \cap B^c) & = P(A^c) \times P(B^c) \\ & = 80\% \times 30\% \\ & = 24\%. \end{aligned}$$Sementara itu, dari perhitungan sebelumnya telah diperoleh bahwa peluang kedua tersebut turun hujan adalah $14\%.$ Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa peluang kedua kota tersebut tidak turun hujan adalah $10\%$ lebihnya dari peluang kedua kota tersebut turun hujan. Dengan demikian, Pernyataan 3 benar.
Jadi, centang benar dan salah ketiga pernyataan tersebut seperti yang tampak pada tabel berikut.
$$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Benar} & \textbf{Salah} \\ \hline \text{Peluang kedua kota tersebut turun hujan adalah}~0,\!14. & \checkmark & \\ \hline \text{Peluang paling sedikit 1 dari 2 kota tersebut tidak turun hujan adalah}~\dfrac{21}{25}. & & \checkmark \\ \hline \text{Peluang kedua kota tersebut tidak turun hujan adalah}~10\%~\text{lebihnya dari peluang kedua kota tersebut turun hujan}. & \checkmark & \\ \hline \end{array}$$
Soal Nomor 17
$$\begin{array} {|c|c|c|c|} \hline & \text{Kel. 1} & \text{Kel. 2} & \text{Kel. 3} \\ \hline \text{Nilai} & 1, 4, 7, 8, 10 & 5, 6, 7, 7, 8 & 1, 6, z, 10 \\ \hline \end{array}$$Tiga kali rata-rata nilai kelompok $3$ ditambah dua kali median nilai kelompok $2$ sama dengan empat kali median gabungan nilai kelompok $1$ dan kelompok $2$ ditambah satu. Manakah dari pernyataan berikut yang benar berdasarkan informasi tersebut?
1. $z=4.$
2. Rata-rata nilai kelompok $3$ kurang dari $z.$
3. Median gabungan nilai kelompok $1$ dan kelompok $3$ adalah $z.$
- Tidak ada pernyataan yang benar.
- Pernyataan (1) saja yang benar.
- Pernyataan (2) saja yang benar.
- Pernyataan (1) dan (2) saja yang benar.
- Pernyataan (1) dan (3) saja yang benar.
Dari tabel yang diberikan, nilai rata-rata nilai kelompok $3$ adalah $\dfrac{1+6+z+10}{4} = \dfrac{17+z}{4}.$ Sementara itu, median nilai kelompok $1$ dan $2$ adalah $7.$ Ini berarti, median gabungan kedua kelompok tersebut adalah $\dfrac{7+7}{2} = 7.$ Karena tiga kali rata-rata nilai kelompok $3$ ditambah dua kali median nilai kelompok $2$ sama dengan empat kali median gabungan nilai kelompok $1$ dan kelompok $2$ ditambah satu, diperoleh
$$\begin{aligned} 3 \cdot \dfrac{17+z}{4} + 2(7) & = 4(7) + 1 \\ \dfrac{3}{4}(17+z) & = 15 \\ 17+z & = 15 \cdot \dfrac43 \\ 17+z & = 20 \\ z & = 3. \end{aligned}$$Berikutnya, mari periksa kebenaran pernyataan yang diberikan.
Pernyataan (1): $z = 4.$
Pernyataan (1) salah karena perhitungan sebelumnya menunjukkan bahwa $z = 3.$
Pernyataan (2): Rata-rata nilai kelompok $3$ kurang dari $z.$
Karena $z = 3,$ rata-rata nilai kelompok $3$ adalah $\dfrac{17+3}{4} = 5.$ Ini berarti, rata-rata nilai kelompok $3$ tidak kurang dari $z.$ Dengan demikian, Pernyataan (2) salah.
Pernyataan (3): Median gabungan nilai kelompok $1$ dan $3$ adalah $z.$
Median nilai kelompok $1$ adalah $7.$ Sementara itu, median nilai kelompok $3$ adalah $\dfrac{3+6}{2} = 4,\!5.$ Ini berarti, median gabungannya menjadi $\dfrac{7+4}{2} = 5,\!5 \neq 4 = 3.$ Dengan demikian, Pernyataan (3) salah.
Jadi, tidak ada pernyataan yang benar.
(Jawaban A)
Bacalah stimulus berikut untuk menjawab soal nomor 18 sampai 20.
Hamster
Hamster adalah hewan peliharaan kecil dan lucu yang termasuk dalam keluarga Cricetidae. Hamster termasuk mamalia pengerat dan sangat populer sebagai hewan peliharaan di seluruh dunia. Tubuhnya yang kecil diselimuti oleh bulu yang lembut. Hamster memiliki telinga kecil dan ekor pendek. Sebagai hewan nokturnal, hamster lebih aktif pada malam hari dan tidur pada sebagian besar waktu siang.
Pak Ardi terkenal sebagai pemelihara hamster yang ulung. Pak Ardi memiliki kebun yang didesain sebagai habitat hamster peliharaannya. Hamster jantan yang dipelihara Pak Ardi rata-rata berusia 14 bulan, sedangkan hamster betina rata-rata berusia 10 bulan. Sebagai informasi, hamster memiliki masa hidup dari 2 hingga 2,5 tahun.
Pak Ardi telah menggeluti hobinya sejak tahun 2019. Seiring dengan berjalannya waktu, hamster yang dipeliharanya semakin banyak karena bereproduksi. Diagram batang berikut menginformasikan banyak hamster Pak Ardi setiap tahunnya sejak tahun 2019 hingga 2023 yang tercatat pada setiap akhir tahun.
Soal Nomor 18
Misalkan $P$ menyatakan persentase peningkatan populasi hamster Pak Ardi dari tahun 2019 hingga 2021. Sementara itu, $Q$ menyatakan persentase peningkatan populasi hamster Pak Ardi dari tahun 2020 hingga 2022.
Hubungan kuantitas yang benar antara $P$ dan $Q$ adalah $\cdots \cdot$
- $P > Q$
- $P = Q$
- $Q > P$
- $2P < Q$
- Informasi yang diberikan tidak cukup untuk memutuskan hubungan kuantitas $P$ dan $Q$
Diagram garis tersebut merepresentasikan populasi hamster Pak Ardi dari tahun 2019 hingga 2023 yang tercatat pada setiap akhir tahun. Informasi yang dapat diambil dari diagram garis tersebut adalah sebagai berikut.
- Populasi hamster pada tahun 2019 adalah $10$ ekor.
- Populasi hamster pada tahun 2020 adalah $13$ ekor.
- Populasi hamster pada tahun 2021 adalah $27$ ekor.
- Populasi hamster pada tahun 2022 adalah $31$ ekor.
Persentase peningkatan populasi hamster jika diketahui ada sebanyak $x$ ekor pada kondisi mula-mula dan $y$ ekor pada kondisi akhir dirumuskan oleh
$$\text{Persentase Peningkatan}=\dfrac{y-x}{x} \times 100\%.$$Ini berarti, persentase peningkatan populasi hamster Pak Ardi dari tahun 2019 hingga 2021, yaitu dari $10$ ekor menjadi $27$ ekor, dapat ditentukan sebagai berikut.
$$P = \dfrac{27-10}{10} \times 100\% = 170\%$$Dengan demikian, nilai $P=170\%.$
Selanjutnya, akan ditentukan persentase peningkatan populasi hamster Pak Ardi dari tahun 2020 hingga 2022, yaitu dari $13$ ekor menjadi $31$ ekor sebagai berikut.
$$Q = \dfrac{31-13}{13} \times 100\% \approx 138,\!46\%$$Dengan demikian, nilai $Q \approx 138,46\%.$
Jadi, hubungan kuantitas yang benar antara $P$ dan $Q$ adalah $P>Q.$
(Jawaban A)
Soal Nomor 19
Misalkan Pak Ardi saat ini memiliki $50$ ekor hamster dengan rata-rata usia $12$ bulan. Banyak hamster jantan yang dimiliki Pak Ardi adalah … ekor.
A. $15$ C. $25$ E. $35$
B. $20$ D. $30$
Diketahui:
- Hamster jantan rata-rata berusia $14$ bulan.
- Hamster betina rata-rata berusia $10$ bulan.
- Pak Ardi saat ini memiliki $50$ ekor hamster dengan rata-rata usia $12$ bulan.
Ingat kembali cara menentukan rata-rata gabungan adalah sebagai berikut.
$$\overline{x} = \dfrac{n_1 \overline{x}_1 + n_2\overline{x}_2}{n_1+n_2}$$Keterangan:
- $n_1$ menyatakan banyak objek pada kelompok pertama.
- $n_2$ menyatakan banyak objek pada kelompok kedua.
- $\overline{x}_1$ menyatakan rata-rata nilai pada kelompok pertama.
- $\overline{x}_2$ menyatakan rata-rata nilai pada kelompok kedua.
- $\overline{x}$ menyatakan rata-rata kedua kelompok secara keseluruhan.
Misalkan $x$ menyatakan banyak hamster jantan. Karena banyak hamster secara keseluruhan adalah $50$ ekor, banyak hamster betina ada $(50-x)$ ekor. Karena rata-rata usia hamster secara keseluruhan adalah 12 bulan, dapat diperoleh
$$\begin{aligned} 12 & = \dfrac{x(14) + (50-x) \cdot 10}{50} \\ 600 & = 14x + 500-10x \\ 600 & = 4x + 500 \\ 100 & = 4x \\ x & = 25. \end{aligned}$$Jadi, banyak hamster jantan yang dimiliki Pak Ardi adalah $25$ ekor.
(Jawaban C)
Soal Nomor 20
Pada akhir tahun 2023, sebanyak $\dfrac23$dari banyak hamster Pak Ardi merupakan hamster jantan, sedangkan sisanya merupakan hamster betina. Pada awal tahun 2024, Pak Ardi berencana untuk menjual beberapa ekor hamstan jantan dan hamster betina kepada kerabatnya.
Putuskan apakah informasi berikut cukup untuk mengetahui banyak hamster secara keseluruhan yang dijual oleh Pak Ardi.
1. Banyak cara memilih hamster betina untuk dijual adalah 364 cara.
2. Banyak cara memilih hamster jantan untuk dijual adalah 378 cara.
- Informasi (1) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi Informasi (2) SAJA tidak cukup.
- Informasi (2) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi Informasi (1) SAJA tidak cukup.
- DUA informasi BERSAMA-SAMA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi SATU informasi SAJA tidak cukup.
- Informasi (1) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan dan Informasi (2) SAJA cukup.
- Informasi (1) dan Informasi (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
Diketahui:
Dari diagram garis, banyak hamster Pak Ardi pada akhir tahun 2023 adalah 42 ekor.
Pada akhir tahun 2023, sebanyak $\dfrac23$ dari banyak hamster Pak Ardi merupakan hamster jantan, sedangkan sisanya merupakan hamster betina.
Dari dua informasi di atas, banyak hamster jantan pada tahun 2023 adalah $\dfrac23 \times 42=28$ ekor. Sisanya adalah hamster betina, yaitu sebanyak $42 –28 = 14$ ekor.
Mari kita periksa setiap informasi yang diberikan.
Menggunakan informasi (1): Banyak cara memilih hamster betina untuk dijual adalah $364$ cara.
Misalkan banyak hamster betina yang dijual Pak Ardi adalah $x$ ekor. Banyak cara memilih $x$ ekor dari $14$ ekor hamster betina dapat dihitung dengan menggunakan aturan kombinasi. Karena banyak cara memilih hamster betina untuk dijual adalah 364 cara, dapat diperoleh
$$\begin{aligned} C(14, x) & = 364 \\ \dfrac{14!}{(14-x)! x!} & = 14 \cdot 13 \cdot 2 \\ \dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdots (14-x)!}{(14-x)! x!} & = \dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12}{6}. \end{aligned}$$Dari persamaan terakhir, nilai $x$ haruslah sama dengan $3.$ Jadi, banyak hamster betina yang dijual Pak Ardi adalah 3 ekor. Namun, karena banyak hamster jantan yang dijual tidak diketahui, banyak hamster secara keseluruhan yang dijual oleh Pak Ardi juga tidak dapat diketahui. Dengan demikian, informasi (1) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
Menggunakan informasi (2): Banyak cara memilih hamster jantan untuk dijual adalah $378$ cara.
Misalkan banyak hamster jantan yang dijual Pak Ardi adalah $y$ ekor. Banyak cara memilih $y$ ekor dari $28$ ekor hamster jantan dapat dihitung dengan menggunakan aturan kombinasi. Karena banyak cara memilih hamster jantan untuk dijual adalah $378$ cara, dapat diperoleh
$$\begin{aligned} C(28, y) & = 378 \\ \dfrac{28!}{(28-y)! y!} & = \dfrac{28 \cdot 27}{2} \\ \dfrac{28 \cdot 27 \cdot 26 \cdots (28-y+1)!}{(28-y)! y!} & = \dfrac{28 \cdot 27}{2}. \end{aligned}$$Dari persamaan terakhir, nilai $y$ haruslah sama dengan $2.$ Jadi, banyak hamster jantan yang dijual Pak Ardi adalah $2$ ekor. Namun, karena banyak hamster betina yang dijual tidak diketahui, banyak hamster secara keseluruhan yang dijual oleh Pak Ardi juga tidak dapat diketahui. Dengan demikian, informasi (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
Menggunakan informasi (1) dan (2) bersama-sama: Banyak cara memilih hamster betina dan jantan untuk dijual berturut-turut adalah 364 dan 378 cara.
Dari perhitungan sebelumnya, telah diketahui bahwa informasi (1) menghasilkan fakta bahwa 3 ekor hamster betina dijual Pak Ardi. Sementara itu, informasi (2)
ghasilkan fakta bahwa 2 ekor hamster jantan dijual Pak Ardi. Ini berarti, banyak hamster yang dijual Pak Ardi secara keseluruhan adalah $3 + 2 = 5$ ekor. Dengan demikian, informasi (1) dan (2) bersama-sama cukup untuk menjawab pertanyaan.
Jadi, dapat diputuskan bahwa DUA informasi BERSAMA-SAMA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi SATU informasi SAJA tidak cukup.
(Jawaban C)