Tag: Matematika

Grafik dari pertidaksamaan $3x + 2y \leq 36$ memotong sumbu $X$ di $x = 12$ dan memotong sumbu $Y$ di $y = 18$. Karena bertanda $\leq$, maka arsiran daerah penyelesaiannya ke bawah, yaitu daerah II, III, dan V. 
Grafik dari pertidaksamaan $x + 2y \geq 20$ memotong sumbu $X$ di $x = 20$ dan memotong sumbu $Y$ di $y = 10$. Karena bertanda $\geq$, maka arsiran daerah penyelesaiannya ke atas, yaitu daerah I, II, dan V. 
$x, y$ juga bertanda nonnegatif. Ini berarti, daerah penyelesainnya hanya termuat di kuadran pertama. Dengan demikian, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut adalah daerah II.
(Jawaban D)

Diketahui
$\begin{cases} (a+3)x + y & = 0 && (\cdots 1) \\ x + (a+3)y & = 0 && (\cdots 2) \end{cases}$
Dua ruas pada Persamaan $(2)$ dikali dengan $(a+3)$ menghasilkan
$(a+3)x + (a+3)^2y = 0~~~~~(\cdots 3)$.
Kurangi $(1)$ dan $(3)$, lalu selesaikan untuk mencari nilai $a$.
$\begin{aligned} y-(a+3)^2y & = 0 \\ y(1-(a+3)^2) & = 0 \\ 1-(a+3)^2 & = 0 && (\text{Bagi}~y) \\ 1-(a^2+6a+9) & = 0 \\ a^2+6a+8 & = 0 \\ (a+4)(a+2) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh nilai $a=-4$ atau $a=-2$.
Substitusi $a=-4$ dan $a=-2$ pada bentuk $a^2+6a+17$.
$$\begin{aligned} a = -4 & \Rightarrow (-4)^2 + 6(-4) + 17 = 9 \\ a = -2 & \Rightarrow (-2)^2 + 6(-2) + 17 = 9 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a^2+6a+17 = 9}.$
(Jawaban D)

Diketahui fungsi biaya $C(x) = x^2-6x+14.$ Fungsi $C(x)$ merupakan fungsi kuadrat sehingga grafiknya berupa parabola.
Cek Pernyataan 1:
Karena koefisien $x^2$ pada $C(x)$ sama dengan $1$ (positif), grafik fungsi $C(x)$ berupa parabola yang terbuka ke atas (seperti huruf U). Dengan demikian, Pernyataan 1 salah.
Cek Pernyataan 2:
Karena grafik fungsi $C(x)$ berupa parabola yang terbuka ke bawah, fungsi tersebut bakal memiliki nilai minimum, tetapi tidak memiliki nilai maksimum. Diketahui $C(x) = x^2-6x+14$ dengan koefisien $x^2$ dan koefisien $x$ berturut-turut adalah $a = 1$ dan $b = -6.$ Absis puncaknya ditentukan oleh $x_p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2(1)} = 3.$ Ini berarti, biaya minimum dicapai pada saat memproduksi $3$ unit barang. Dengan demikian, Pernyataan 2 benar.
Cek Pernyataan 3:
Karena grafik fungsi $C(x)$ berupa parabola yang terbuka ke bawah, fungsi tersebut bakal memiliki nilai minimum, tetapi tidak memiliki nilai maksimum. Dengan demikian, Pernyataan 3 salah.
Cek Pernyataan 4:
Substitusi $x = 3$ menghasilkan
$$C(3) = (3)^2-6(3) + 14 = 5.$$Ini berarti, biaya produksi minimumnya sebesar Rp5.000. Dengan demikian Pernyataan 4 benar.
Jadi, pernyataan yang benar adalah nomor (2) dan (4) SAJA. 
(Jawaban C)

Karena $f(x)=ax^2+(2a+6)x+2a-2$ menyinggung sumbu $X$, diskriminannya harus bernilai $0.$
$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ (2a+6)^2-4a(2a-2) & = 0 \\ (4a^2+24a+36)-8a^2+8a & = 0 \\-4a^2+32a+36 & = 0 \\ a^2-8a-9 & = 0 \\ (a-9)(a+1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $a=9$ atau $a=-1.$
Karena titik baliknya maksimum, maka haruslah $a<0$ (parabola terbuka ke bawah) sehingga nilai $a$ yang diambil adalah $a=-1.$ Substitusikan pada $f(x)=ax^2+(2a+6)x+2a-2$ sehingga diperoleh $f(x)=-x^2+4x-4.$
Absis titik baliknya adalah
$x_p =-\dfrac{\text{Koef.}~x}{2 \cdot \text{Koef.}~x^2} =-\dfrac{4}{2(-1)} = 2.$
Karena grafik menyinggung sumbu $X,$ maka $y_p = 0.$
Jadi, koordinat titik balik maksimumnya adalah $\boxed{(x_p, y_p) = (2, 0)}$
(Jawaban C)

Diketahui $y = f(x) = x^2-4x+3$ (tahap pertama) dan $g(y) = 2y + 5$ (tahap kedua) dengan $x$ dan $y$ berturut-turut menyatakan banyaknya bahan batu kapur dan bahan semen setengah jadi (dalam ton).
Cek Pernyataan 1:
Untuk $x = 4,$ diperoleh $y = f(4) = (4)^2-4(4) + 3 = 3.$ Artinya, bahan semen setengah jadi yang diproduksi sebanyak $3$ ton. Kemudian, substitusi $y = 3$ pada $g(y)$ menghasilkan $g(3) = 2(3)+5=11.$ Artinya, banyaknya semen yang dihasilkan adalah $11$ ton. Dengan demikian, Pernyataan 1 benar.
Cek Pernyataan 2:
Untuk $x = 6,$ diperoleh $y = f(6) = (6)^2-4(6) + 3 = 15.$ Artinya, bahan semen setengah jadi yang diproduksi sebanyak $15$ ton. Kemudian, substitusi $y = 15$ pada $g(y)$ menghasilkan $g(15) = 2(15)+5=35.$ Artinya, banyaknya semen yang dihasilkan adalah $35$ ton, bukan $45$ ton. Dengan demikian, Pernyataan 2 salah.
Cek Pernyataan 3:
Diketahui $g(y) = 2y + 5 = 203.$ Selesaikan persamaan linear ini sehingga diperoleh $y = \dfrac{203-5}{2} = 99.$ Substitusi $y = 99$ pada $y = f(x) = x^2-4x+3$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} x^2-4x+3 & = 99 \\ x^2-4x-96 & = 0 \\ (x-12)(x+8) & = 0 \\ x=12~\text{atau}~&x = -8. \end{aligned}$$Karena $x$ menyatakan jumlah barang, nilainya tak mungkin negatif, sehingga haruslah $x = 12.$ Artinya, bahan dasar batu kapur yang harus disediakan adalah $12$ ton. Dengan demikian, Pernyataan 3 benar.
Jadi, centang benar dan salah ketiga pernyataan tersebut seperti yang tampak pada tabel berikut.
$$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Benar} & \textbf{Salah} \\ \hline \text{Jika bahan baku batu kapur yang tersedia untuk suatu produksi adalah 4 ton, maka banyaknya semen yang dihasilkan adalah 11 ton.} & \checkmark & \\ \hline \text{Jika bahan baku batu kapur yang tersedia untuk suatu produksi adalah 6 ton, maka banyaknya semen yang dihasilkan adalah 45 ton.} & & \checkmark \\ \hline \text{Jika banyaknya semen yang dihasilkan adalah 203 ton, maka bahan dasar batu kapur yang harus disediakan adalah 12 ton.} & \checkmark & \\ \hline \end{array}$$

Masalah di atas melibatkan dua fungsi yang saling terkait. Fungsi komposisi yang terbentuk oleh masalah di atas adalah $(n \circ A)(P) = n(A(P)),$ yang merepresentasikan nilai yang didapat peserta diklat. 
Perhatikan bahwa $80\%$ dari $25$ kegiatan yang diikuti berarti sebanyak
$80\% \times 25 = \dfrac{80}{\cancelto{4}{100}} \cdot \cancel{25} = 20$ kegiatan. 
Artinya, $P = 20$. 
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} n(A(P)) & = n(4P + 6) \\ & = \dfrac{3(4P+6)+22}{4} \\ & = \dfrac{12P + 40} {4} \\ & = 3P + 10 \\  n(A(20)) & = 3(20) + 10 = 70 \end{aligned}$
Jadi, nilai yang didapat Denih adalah $\boxed{70}.$
(Jawaban C)

Diketahui $$(f^{-1} \circ g^{-1})(x-4) = \dfrac{4x+1}{2x-3}, x \neq \dfrac32$$dan $f(x) = 4x+2.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (f^{-1} \circ g^{-1})(x-4) & = \dfrac{4x+1}{2x-3} \\ (g \circ f)^{-1}(x-4) & = \dfrac{4x+1}{2x-3} \\ (g \circ f)\left(\dfrac{4x+1}{2x-3}\right) & = x-4 \\ g\left(4\left(\dfrac{4x+1}{2x-3}\right) + 2\right) & = x-4 \\ g\left(\dfrac{16x+4}{2x-3} + \dfrac{4x-6}{2x-3}\right) & = x-4 \\ g\left(\dfrac{20x-2}{2x-3}\right) & = x-4. \end{aligned}$$Misalkan $y = \dfrac{20x-2}{2x-3}.$ Dari sini, diperoleh
$$\begin{aligned} y(2x-3) & = 20x-2 \\ 2xy-3y & = 20x-2 \\ x(2y-20) & = 3y-2 \\ x & = \dfrac{3y-2}{2y-20}. \end{aligned}$$Substitusi pada $g$ sehingga diperoleh
$$g(y) = \dfrac{3y-2}{2y-20}-4 = \dfrac{3y-2}{2y-20}-\dfrac{8y-80}{2y-20} = \dfrac{-5y + 78}{2y-20}.$$Cek Pernyataan 1:
Substitusi $y = -6$ pada $g(y)$ menghasilkan
$$g(-6) = \dfrac{-5(-6) + 78}{2(-6)-20} = \dfrac{108}{-32} = -\dfrac{27}{8}.$$Dengan demikian, Pernyataan 1 benar.
Cek Pernyataan 2:
Substitusi $y = -2$ pada $g(y)$ menghasilkan
$$g(-2) = \dfrac{-5(-2) + 78}{2(-2)-20} = \dfrac{88}{-24} = -\dfrac{11}{3}.$$Dengan demikian, Pernyataan 2 benar.
Cek Pernyataan 3:
Substitusi $y = 2$ pada $g(y)$ menghasilkan
$$g(2) = \dfrac{-5(2) + 78}{2(2)-20} = \dfrac{68}{-16} = -\dfrac{17}{4}.$$Dengan demikian, Pernyataan 3 benar.
Cek Pernyataan 4:
Substitusi $y = 6$ pada $g(y)$ menghasilkan
$$g(6) = \dfrac{-5(6) + 78}{2(6)-20} = \dfrac{48}{-8} = -6.$$Dengan demikian, Pernyataan 4 salah.
Cek Pernyataan 5:
Substitusi $y = 14$ pada $g(y)$ menghasilkan
$$g(14) = \dfrac{-5(14) + 78}{2(14)-20} = \dfrac{8}{8} = 1 > 0.$$Dengan demikian, Pernyataan 5 benar.

Jadi, centang keempat pernyataan berikut karena bernilai benar.

• Nilai $g(-6) = -\dfrac{27}{8}.$
  
• Nilai $g(-2) = -\dfrac{11}{3}.$
• Nilai $g(2) = -\dfrac{17}{4}.$
• Nilai $g(14) > 0.$ [/spoiler]

Soal Nomor 9

Sebuah piza berbentuk lingkaran dengan diameter $20$ cm dipotong menjadi $10$ bagian berbentuk juring. Sudut pusat dari $10$ potongan piza tersebut membentuk barisan aritmetika. Jika besar sudut pusat potongan piza terkecil sama dengan $\dfrac{1}{5}$ dari besar sudut pusat potongan piza terbesar, maka berapakah luas potongan piza terbesar?
A. $51\dfrac13~\text{cm}^2.$                  D. $52\dfrac23~\text{cm}^2.$
B. $51\dfrac23~\text{cm}^2.$                  E. $53\dfrac13~\text{cm}^2.$
C. $52\dfrac13~\text{cm}^2.$

Dari masalah di atas, diketahui
$\text{U}_1 = \dfrac{1}{5}\text{U}_{10} \Leftrightarrow 5\text{U}_1 = \text{U}{10}$
atau dapat ditulis
$5a = a + 9b \Leftrightarrow 20a = 45b.~~~~(1)$
Jumlah kesepuluh sudut pusat itu akan menjadi jumlah derajat dalam satu putaran (lingkaran), yaitu $360^{\circ}$ sehingga ditulis
$$\begin{aligned} \text{U}_1 + \text{U}_2 + \text{U}_3 + \cdots + \text{U}_{10} & = 360^{\circ} \\ a + (a + b) + (a + 2b) + \cdots + (a+9b) & = 360^{\circ} \\ 10a + (1+2+3+\cdots 9)b & = 360^{\circ} \\ 10a + 45b & = 360^{\circ}. && (\cdots 2) \end{aligned}$$Substitusikan persamaan $(1)$ ke persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 10a + 45b & = 360^{\circ} \\ 10a + 20a & = 360^{\circ} \\ 30a & = 360^{\circ} \\ \text{U}_1 & = a = 12^{\circ} \end{aligned}$
Besar sudut pusat potongan piza terbesar adalah
$\text{U}_{10} = 5\text{U}_1 = 5(12^{\circ}) = 60^{\circ}.$
Luas juring lingkaran dengan sudut pusat $60^{\circ}$ dan berjari-jari $\dfrac{20}{2} = 10~\text{cm}$ adalah
$\begin{aligned} L & = \dfrac{60^{\circ}} {360^{\circ}} \pi r^2 \\ & = \dfrac{1}{6} \cdot 3,14 \cdot 100 \\ & = \dfrac{1}{6} \cdot 314 = 52\dfrac13. \end{aligned}$
Jadi, luas potongan piza terbesar adalah $\boxed{52\dfrac13~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

Diketahui $(2x-2),$ $(4x-10),$ dan $(x+17)$ adalah tiga suku pertama suatu barisan aritmetika. Sebagai informasi, jika $a, a+b,$ dan $a+2b$ membentuk barisan aritmetika, maka $\text{U}_1 + \text{U}_3 = 2\text{U}_2.$ Dalam kasus ini, diperoleh persamaan
$$\begin{aligned} (2x-2) + (x+17) & = 2(4x-10) \\ 3x + 15 & = 8x-20 \\ 5x & = 35 \\ x & = 7. \end{aligned}$$Cek Pernyataan 1:
Pernyataan 1 benar berdasarkan perhitungan sebelumnya.
Cek Pernyataan 2:
Suku pertama barisan aritmetika tersebut adalah $2(7)-2 = 12,$ sedangkan suku kedua dan ketiganya berturut-turut adalah $4(7)-10 = 18$ dan $7+17 = 24.$ Ini berarti, barisan aritmetika tersebut memiliki suku pertama $a=12$ dan beda $b = 6.$ Jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika dinyatakan oleh
$$S_n = \dfrac{n}{2}(2a+(n-1)b).$$Untuk $a = 12,$ $b=6,$ dan $n = 10,$ diperoleh
$$S_{10} = \dfrac{10}{2}(2(12) + 9\cdot 6) = 5(24 + 54) = 390.$$Ini berarti, jumlah $10$ suku pertama barisan tersebut adalah $390.$ Dengan demikian, Pernyataan 2 benar.
Cek Pernyataan 3:
Suku ke-6 barisan aritmetika tersebut dinyatakan oleh
$$\text{U}_6 = a+5b = 12+5(6) = 42.$$Perbandingan nilai suku ke-6 dan suku ke-3 adalah $42 : 24 = 7 : 4.$ Dengan demikian, Pernyataan 3 salah.
Jadi, centang benar dan salah ketiga pernyataan tersebut seperti yang tampak pada tabel berikut.
$$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Benar} & \textbf{Salah} \\ \hline \text{Nilai dari}~x~\text{adalah 7.} & \checkmark & \\ \hline \text{Jumlah 10 suku pertama barisan tersebut adalah 390.} & \checkmark & \\ \hline \text{Perbandingan nilai suku ke-6 dan suku ke-3 barisan tersebut adalah 7 : 3.} & & \checkmark \\ \hline \end{array}$$

Diketahui:
$$\begin{aligned} A_n & = \text{Rp}120.000,00 \\ B_n & = \text{Rp}300.000,00 \end{aligned}$$Anuitas $A$ adalah nilai konstan yang merupakan jumlah dari angsuran dan bunga. Kita peroleh
$$\begin{aligned} A & = A_n + B_n \\ & = 120.000 + 300.000 \\ & = 420.000. \end{aligned}$$Jadi, anuitas pinjaman tersebut sebesar $\boxed{\text{Rp}420.000,00}$
(Jawaban E)

Diketahui data pertama: $7, 1, 3, m, m, 9$ dengan rata-rata $n$ dan data kedua: $9, 11, n, 15, 10$ dengan rata-rata $2m.$ Untuk data pertama, diperoleh persamaan
$$\begin{aligned} \dfrac{7+1+3+m+m+9}{6} & = n \\ 20+2m & = 6n \\ 3n-m & = 10. \end{aligned}$$Untuk data kedua, diperoleh persamaan
$$\begin{aligned} \dfrac{9+11+n+15+10}{5} & = 2m \\ 45+n & = 10m \\ 10m-n & = 45. \end{aligned}$$Dari persamaan $3n-m = 10$ dan $10m-n = 45,$ diperoleh $m = n = 5$ dengan menggunakan metode eliminasi-substitusi karena membentuk SPLDV.
Cek Pernyataan 1:
Pernyataan 1 salah karena $m$ seharusnya bernilai $5,$ bukan $6.$
Cek Pernyataan 2:
Pernyataan 2 salah karena $n$ seharusnya juga bernilai $5,$ bukan $4.$
Cek Pernyataan 3:
Karena $m = n = 5,$ diperoleh $m + n = 5 + 5 = 10.$ Dengan demikian, Pernyataan 3 benar.
Cek Pernyataan 4:
Simpangan kuartil didefinisikan sebagai setengah dari selisih kuartil atas dan kuartil bawah pada suatu data. Karena $m = 5,$ data pertama setelah diurutkan akan menjadi: $1, 3, 5, 5, 7, 9.$ Kuartil bawahnya terletak pada datum ke-2, yaitu $3$, sedangkan kuartil atasnya terletak pada datum ke-5, yaitu $7.$ Ini berarti, simpangan kuartil data pertama adalah $\dfrac12(7-3) = 2.$ Dengan demikian, Pernyataan 4 benar.
Cek Pernyataan 5:
Karena $n=5,$ data kedua setelah diurutkan akan menjadi: $5, 9, 10, 11, 15.$ Kuartil bawahnya terletak di antara datum ke-1 dan ke-2, yaitu $\dfrac{5+9}{2} = 7,$ sedangkan kuartil atasnya terletak di antara datum ke-4 dan ke-5, yaitu $\dfrac{11+15}{2} = 13.$ Ini berarti, simpangan kuartil data kedua adalah $\dfrac12(13-7) = 3.$ Dengan demikian, Pernyataan 5 benar.

Jadi, centang ketiga pernyataan berikut karena bernilai benar.

• Nilai $m+n$ adalah $10.$
• Simpangan kuartil pada minggu pertama adalah $2.$
• Simpangan kuartil pada minggu kedua adalah $3.$
  
  [collapse]

Misalkan besar nilai yang dipindahkan dari Boni ke Cecilia adalah $x.$ Ini berarti, nilai Cecilia menjadi $x+15,$ sedangkan nilai Boni menjadi $63-x.$ Mari tinjau dua kasus berikut.
Kasus 1: $x = 24.$
Saat $x = 24,$ nilai Cecilia adalah $24+15=39,$ sedangkan nilai Boni $63-24=39.$ Dengan demikian, data nilai menjadi $22, 38, 39, 39, 63$ yang menunjukkan bahwa mediannya sekarang naik menjadi $39.$
Kasus 2: $x > 24.$
Saat $x > 24,$ nilai Cecilia $\ge 40,$ tetapi nilai Boni $\le 38.$ Akibatnya, median data nilai baru ditentukan oleh, nilai Boni atau nilai Erlang (saat nilai Boni $\le$ nilai Erlang). Bagaimana pun kondisinya, median data tersebut justru tidak naik.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa besar nilai yang dipindahkan tersebut agar mediannya naik adalah $\boxed{24}.$
(Jawaban D)

Misalkan rata-rata dari lima bilangan bulat positif tersebut adalah $x.$ Ini berarti, mediannya adalah $x+2,$ sedangkan modusnya adalah $x+4.$ Mula-mula, asumsikan lima bilangan bulat positif tersebut adalah
$$x, x, x, x, x.$$Agar mediannya $x+2$ dan modusnya $x+4,$ tetapi dengan tetap mempertahankan rata-rata, dapat dibuat data baru
$$x-k, x-j, (x+2), (x+4), (x+4)$$untuk suatu bilangan cacah $k, j$ yang memenuhi $k+j = 10.$ Untuk membuat modus sekecil mungkin, nilai $x$ harus dibuat sekecil mungkin. Ini berarti, $k$ juga dibuat demikian. Perhatikan bahwa $k \neq 5$ karena akan mengakibatkan bilangan kedua juga berbentuk $x-5$ (modusnya menjadi ganda). Oleh karena itu, pilih $k=6$ dan $j=4$ sehingga $x-6$ sebagai bilangan pertama dan $x-4$ sebagai bilangan kedua. Agar modus sekecil mungkin, pilih bilangan pertama $x-6=1$ sehingga $x = 7.$ Dengan demikian, lima bilangan bulat positif tersebut adalah
$$1, 3, 9, 11, 11.$$Jadi, nilai terkecil yang mungkin untuk modus tersebut adalah $\boxed{11}.$
(Jawaban D)

Diketahui terdapat $1$ kepala sekolah, $2$ wakil kepala sekolah, $2$ pengurus OSIS, dan $8$ siswa perwakilan kelas sehingga totalnya ada $13$ orang. Mereka diposisikan duduk melingkar sehingga ini merupakan kasus permutasi siklis. Sebagai pengingat, permutasi siklis dari $n$ objek berbeda adalah $(n-1)!.$
Cek Pernyataan 1:
Dari $13$ orang yang ada, diberi syarat bahwa kepala sekolah selalu duduk berdampingan dengan wakil kepala sekolah. Ini berarti, wakil kepala sekolah berada di sebelah kiri dan kanan kepala sekolah. Mereka bertiga dianggap sebagai satu objek. Banyak cara menyusun posisi mereka bertiga dengan syarat kepala sekolahnya di tengah adalah $2!.$ Sementara itu, banyaknya objek secara keseluruhan menjadi $13-2=11.$ Permutasi siklis dari $11$ objek adalah $10!.$ Oleh karena itu, banyaknya kemungkinan susunan posisi duduk dengan kondisi tersebut adalah $2! \cdot 10!,$ yang jelas kurang dari $12!.$ Dengan demikian, Pernyataan 1 benar.
Cek Pernyataan 2:
Dari $13$ orang yang ada, diberi syarat bahwa kepala sekolah selalu duduk berdampingan dengan wakil kepala sekolah, dengan wakil kepala sekolah bidang kurikulum di sebelah kanannya. Ini berarti, wakil kepala sekolah bidang kesiswaan berada di sebelah kiri, sedangkan kurikulum berada di sebelah kanan. Mereka bertiga dianggap sebagai satu objek. Banyak cara menyusun posisi mereka bertiga dengan syarat kepala sekolahnya berada di tengah adalah $1! = 1.$ Sementara itu, banyaknya objek secara keseluruhan menjadi $13-2=11.$ Permutasi siklis dari $11$ objek adalah $10!.$ Oleh karena itu, banyaknya kemungkinan susunan posisi duduk dengan kondisi tersebut adalah $10!,$ bukan $11!.$ Dengan demikian, Pernyataan 2 salah.
Cek Pernyataan 3:
Dari $13$ orang yang ada, diberi syarat bahwa kepala sekolah selalu duduk berdampingan dengan wakil kepala sekolah, ketua dan sekretaris OSIS duduk berdampingan, serta setiap perwakilan siswa dari setiap kelas juga duduk berdampingan. Kepala sekolah dan kedua wakilnya menjadi satu objek, dengan banyaknya susunan mereka bertiga adalah $2!$ (kepala sekolah tetap di tengah). Ketua dan sekretaris OSIS menjadi satu objek, dengan banyaknya susunan mereka berdua adalah $2!.$ Terakhir, $8$ orang siswa duduk berdampingan sehingga menjadi satu objek, dengan banyaknya susunan sebesar $8!.$ Total objek secara keseluruhan menjadi hanya $3.$ Permutasi siklisnya akan sebesar $2!.$
Total banyaknya susunan secara keseluruhan adalah $2! \cdot 2! \cdot 8! \cdot 2!,$ yang jelas lebih dari $7!.$ Dengan demikian, Pernyataan 3 benar.
Jadi, centang benar dan salah ketiga pernyataan tersebut seperti yang tampak pada tabel berikut.
$$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Benar} & \textbf{Salah} \\ \hline \text{Banyaknya kemungkinan susunan posisi duduk jika kepala sekolah selalu duduk berdampingan dengan wakil kepala sekolah adalah kurang dari 12!.} & & \\ \hline \text{Banyaknya kemungkinan susunan posisi duduk jika kepala sekolah selalu duduk berdampingan dengan wakilnya,} & \checkmark & \\ \text{dengan wakil kepala sekolah bidang kurikulum di sebelah kanannya adalah 11!} & & \\ \hline \text{Banyaknya kemungkinan susunan posisi duduk jika kepala sekolah selalu duduk berdampingan dengan wakil kepala sekolah,} & & \checkmark \\ \text{ketua dan sekretaris OSIS duduk berdampingan, serta setiap perwakilan siswa dari setiap kelas juga duduk berdampingan adalah lebih dari 7!.} & \checkmark & \\ \hline \end{array}$$

Banyaknya bilangan tiga angka yang dibentuk dari angka $0, 1, 2, 3, 4$, dan $5$ serta boleh berulang adalah $5×6×6=180$.
Perhatikan bahwa posisi angka ratusan tidak boleh diisi oleh angka $0$ (non-leading zero).
Banyak bilangan tiga angka yang memuat dua angka $2$ dalam format: $22A$, $A$ diisi oleh $5$ angka lain dan ada $3$ total posisi (ratusan, puluhan, satuan) yang dapat ditempati oleh $A$ adalah $3 \times 5=15$. Perhatikan bahwa angka $0$ tidak boleh diisi di posisi ratusan sehingga $022$ harus diabaikan. Jadi, hanya ada $14$ bilangan yang terbentuk.
Banyaknya bilangan tiga angka yang ketiganya adalah angka $2$ jelas hanya ada $1$, yaitu $222$.
Dengan menggunakan prinsip komplemen, banyak bilangan tiga angka di mana angka $2$ tidak boleh diulang adalah $\boxed{180-14-1 = 165}$
(Jawaban B)

Diketahui suatu kardus berisi $12$ lampu pijar, terdiri atas $10$ lampu pijar dalam keadaan baik dan $2$ lampu pijar rusak. Diketahui juga peluang diperoleh diperoleh $2$ lampu pijar rusak pada dua pengujian pertama adalah $\dfrac{a}{b},$ dengan $\text{FPB}(a,b) = 1.$ Karena pengambilan dilakukan secara satu per satu tanpa pengembalian, ini bakal menjadi kasus kejadian tidak saling bebas (dependent events).
Misalkan $A$ dan $B$ berturut-turut menyatakan kejadian terambilnya lampu pijar rusak pada pengambilan pertama dan kedua. Ini berarti,
$$\begin{aligned}P(A \cap B) & = P(A) \times P(B) \\ & = \dfrac{2}{12} \times \dfrac{1}{11} \\ & = \dfrac{1}{66}. \end{aligned}$$Catatan: Pada pengambilan kedua, lampu pijar rusak tersisa $1$ dari $11$ lampu yang ada. Ini terjadi karena $1$ lampu pijar rusak telah diambil pada pengambilan pertama.
Dari sini, dapat disimpulkan bahwa nilai $a=1$ dan $b = 66.$
Cek Pernyataan 1:
Pernyataan 1 salah karena $a+b=1+66=67,$ bukan $60.$
Cek Pernyataan 2:
Pernyataan 2 benar karena $2a+b=2(1)+66=68.$
Cek Pernyataan 3:
Pernyataan 3 benar karena $a+2b=1+2(66)=133.$
Jadi, centang benar dan salah ketiga pernyataan tersebut seperti yang tampak pada tabel berikut.
$$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \textbf{Pernyataan} & \textbf{Benar} & \textbf{Salah} \\ \hline a+b=60 & & \checkmark \\ \hline 2a+b=68 & \checkmark & \\ \hline a+2b=133 & \checkmark & \\ \hline \end{array}$$

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Dalam sketsa gambar di atas, dimisalkan $x$ sebagai lebar bagian atas dan bawah karton terhadap foto. Karena karton dan foto sebangun, maka berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{30}{40} & = \dfrac{24}{40-2x} \\ \dfrac34 & = \dfrac{24}{40-2x} \\ 3(40-2x) & = 4(24) \\ 120- 6x & = 96 \\ 6x & = 24 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Lebar foto = $40-2x=40-2(4)$ $=32~\text{cm}.$
Luas karton yang tidak tertutup foto adalah luas karton dikurangi luas foto, yaitu
$\begin{aligned} L & = L_{\text{karton}}- L_{\text{foto}} \\ & = (30 \times 40)- (24 \times 32) \\ & = 1.200- 768 = 432~\text{cm}^2 \end{aligned}$
(Jawaban C) 

Diketahui
$\sin A = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac35$ dan
$\cos B = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = – \dfrac35.$
Kuadran saat sinus sudut bernilai positif dan kosinus sudut bernilai negatif adalah kuadran II. Jadi, $A$ dan $B$ terletak di kuadran II.
Dengan menggunakan pendekatan segitiga siku-siku dan Teorema Pythagoras (Tripel Pythagoras: $3, 4, 5),$ kita peroleh
$\cos A = -\dfrac45$ dan $\sin B = \dfrac45.$
Selanjutnya, dengan menggunakan identitas jumlah sudut:
$\boxed{\begin{aligned} \sin (x + y) & = \sin x \cos y + \cos x \sin y \\ \sin 2x & = 2 \sin x \cos x \\ \cos 2x & = \cos^2 x-\sin^2 x \end{aligned}}$
diperoleh
$$\begin{aligned} \sin (2A+B) & = \sin 2A \cos B + \cos 2A \sin B \\ & = (2 \sin A \cos A) \cos B + (\cos^2 A-\sin^2 A) \sin B \\ & = 2 \cdot \dfrac35 \cdot \left(-\dfrac45\right) \cdot \left(-\dfrac35\right) + \left(\left(-\dfrac45\right)^2-\left(\dfrac35\right)\right)^2 \cdot \dfrac45 \\ & = \dfrac{72}{125} + \left(\dfrac{16}{25}-\dfrac{9}{25}\right) \cdot \dfrac45 \\ & = \dfrac{72}{125} + \dfrac{28}{125} \\ & = \dfrac{100}{125} = \dfrac45 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\sin (2A+B) = \dfrac45}$
(Jawaban B)

Pada segitiga siku-siku $ABC$, berlaku
$\cos \theta = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AB}{p} \Leftrightarrow AB = p \cos \theta.$
Pada segitiga siku-siku $ABD$, berlaku
$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{AD}{AB} \\ AD & = AB \cos \theta \\ & = (p \cos \theta) \cos \theta = p \cos^2 \theta. \end{aligned}$
Pada segitiga siku-siku $ADE$, berlaku
$\begin{aligned} \sin \theta & = \dfrac{DE}{AD} \\ DE & = AD \sin \theta \\ & = (p \cos^2 \theta) \sin \theta = p \sin \theta \cos^2 \theta. \end{aligned}$
Jadi, panjang $\boxed{DE = p \sin \theta \cos^2 \theta}.$
(Jawaban C)