Pertidaksamaan linear satu variabel (PtLSV) adalah pertidaksamaan matematika yang hanya memuat satu variabel dengan pangkat tertinggi satu. Karena berupa pertidaksamaan, akan ada $4$ tanda yang terlibat seperti yang terlihat pada tabel berikut.
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan disebut penyelesaian (solution). Karena nilai $x$ yang dimaksud umumnya tidak tunggal, kita biasanya merangkum semua nilai $x$ yang mungkin tersebut dalam bentuk himpunan. Namanya, himpunan penyelesaian (solution set).
Prinsip Dasar Penyelesaian PtLSV
Tujuan utama dalam menyelesaikan PtLSV adalah menentukan nilai variabel $x$ sehingga pertidaksamaan menjadi benar. Prinsip dasar yang digunakan adalah menjaga keseimbangan kedua ruas pertidaksamaan, yaitu:
- Jika suatu bilangan ditambahkan atau dikurangkan pada satu ruas, maka ruas lainnya juga harus ditambahkan atau dikurangkan dengan bilangan yang sama.
- Jika suatu bilangan dikalikan atau dibagi pada satu ruas, maka ruas lainnya juga harus dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama (selama bukan nol).
Dengan prinsip ini, pertidaksamaan dapat disederhanakan hingga diperoleh nilai $x$. Kemudian, ada satu tambahan prinsip lagi yang membedakan pengerjaan persamaan dan pertidaksamaan. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif, tanda ketaksamaannya harus dibalik. Artinya, $>$ harus diubah menjadi $<,$ begitu juga sebaliknya.
Prinsip ini dapat diobservasi melalui contoh sederhana bahwa $5 > 3.$ Namun, jika kedua ruas dikalikan $-1,$ diperoleh $-5 > -3.$ Jika tanda $>$ tetap dipertahankan, kita justru menemukan pernyataan yang keliru bahwa $-5 > -3,$ padahal seharusnya $-5$ lebih kecil daripada $-3.$ Jika ditinjau dari garis bilangan, bilangan yang tadinya lebih besar berada di kanan. Ketika dikali negatif, posisinya “dipantulkan” ke sisi sebaliknya sehingga hubungan besarnya ikut berubah.
Langkah Umum Menyelesaikan PtLSV
Langkah-langkah umum untuk menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel adalah sebagai berikut:
- Sederhanakan kedua ruas pertidaksamaan jika masih terdapat tanda kurung atau suku sejenis.
- Pindahkan semua suku yang memuat variabel ke satu ruas (biasanya ruas kiri).
- Pindahkan semua bilangan konstanta ke ruas lainnya.
- Sederhanakan pertidaksamaan hingga diperoleh bentuk $ax > b,$ $ax < b,$ $ax \ge b,$ atau $ax \le b.$
- Bagi kedua ruas dengan $a$ sehingga diperoleh $x > \dfrac{b}{a},$ atau bentuk varian ketaksamaan lain.
Misalkan diberikan pertidaksamaan $$x + 4 \ge 10.$$Langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
$$\begin{aligned} x + 4 & \ge 10 \\ x & \ge 10 -4 \\ x & \ge 6 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $x \ge 6,$ artinya semua bilangan yang nilainya lebih besar dari $6.$
Berikut telah disediakan sejumlah soal dan pembahasan mengenai PtLSV. Soal-soal yang disajikan disusun secara bertahap, mulai dari soal yang bersifat langsung hingga soal pemodelan masalah kontekstual. Melalui latihan ini, diharapkan pembaca dapat memahami konsep pertidaksamaan linear satu variabel secara lebih mendalam serta mampu menerapkannya dalam berbagai situasi kehidupan sehari-hari. Setiap soal dilengkapi dengan langkah penyelesaian yang rinci dan sistematis agar memudahkan pembaca dalam mengikuti proses berpikir matematis secara tepat.
Jika Anda ingin mencari paket soal ini dalam bentuk file PDF, Anda dapat mengakses ke folder soal mathcyber1997.com dengan mendaftar di bit.ly/Akses_Soal. Folder soal juga tersebut berisi soal UTBK-SNBT, soal TKA, soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi (termasuk STAN), soal kompetensi matematika (termasuk OSN dan ON MIPA), dan masih banyak lagi.
Today Quote
Bagian Pilihan Ganda
Penyelesaian dari pertidaksamaan adalah $x-3 > 10$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x > -7$
B. $x > 7$
C. $x > 13$
D. $x < 13$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} x-3 & > 10 \\ x & > 10+3 \\ x & > 13. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x > 13}.$
(Jawaban C)
Penyelesaian dari pertidaksamaan adalah $-x+7 > -5$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x > -12$
B. $x < -12$
C. $x > 12$
D. $x < 12$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} -x+7 & > -5 \\ -x & > -5-7 \\ -x & > -12 \\ x & < \dfrac{-12}{-1} = 12 && (\text{Tanda dibalik}). \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x < 12}.$
(Jawaban D)
Penyelesaian dari pertidaksamaan adalah $5 -3x \le -10$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x \le -5$
B. $x \ge -5$
C. $x \le 5$
D. $x \ge 5$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 5-3x & \le -10 \\ -3x & \le -10-5 \\ -3x & \le -15 \\ x & \ge \dfrac{-15}{-3} = 5 && (\text{Tanda dibalik}). \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \ge 5}.$
(Jawaban D)
Himpunan penyelesaian bulat dari pertidaksamaan linear $4x-5 \le 10x+12$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{-3, -2, -1, 0, 1, \cdots\}$
B. $\{-2, -1, 0, 1, 2, \cdots\}$
C. $\{0, 1, 2, 3, 4, \cdots\}$
D. $\{2, 3, 4, 5, 6, \cdots\}$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 4x-5 & \le 10x+12 \\ 4x-10x & \le 12+5 \\ -6x & \le 17 \\ x & \ge -\dfrac{17}{6} && (\text{Tanda dibalik}). \end{aligned}$$Bilangan bulat terkecil $x$ sehingga $x \ge -\dfrac{17}{6}$ adalah $x = -2.$
Jadi, himpunan penyelesaian bulat dari pertidaksamaan linear tersebut adalah $\{-2, -1, 0, 1, 2, \cdots\}.$
(Jawaban B)
Banyaknya nilai bilangan cacah $x$ sehingga $7x-1 \le 5x+5$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$ C. $3$
B. $2$ D. $4$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 7x-1 & \le 5x+5 \\ 7x-5x & \le 5+1 \\ 2x & \le 6 \\ x & \le 3. \end{aligned}$$Bilangan cacah mencakup bilangan bulat dimulai dari $0, 1, 2,$ dan seterusnya. Dengan demikian, himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah $\{0, 1, 2, 3\}.$ Artinya, ada $4$ bilangan cacah yang memenuhi kondisi tersebut.
Jadi, banyaknya nilai bilangan cacah $x$ sehingga $7x-1 \le 5x+5$ adalah $\boxed{4}.$
(Jawaban D)
Penyelesaian dari pertidaksamaan $$\dfrac12(2x-6) \ge \dfrac23(x-4)$$adalah $\cdots \cdot$
A. $x \ge -17$
B. $x \ge -1$
C. $x \ge 1$
D. $x \ge 17$
Dengan mengalikan $6$ pada kedua ruas, kita dapat membuat pertidaksamaan yang diberikan tidak melibatkan pecahan lagi. Setelah itu, sederhanakan untuk mencari penyelesaiannya.
$$\begin{aligned} \dfrac12(2x-6) & \ge \dfrac23(x-4) \\ \cancelto{3}{6} \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}}(2x-6) & \ge \cancelto{2}{6} \cdot \dfrac{2}{\cancel{3}}(x-4) \\ 3(2x-6) & \ge 4(x-4) \\ 6x-18 & \ge 4x-16 \\ 6x-4x & \ge -16+18 \\ 2x & \ge 2 \\ x & \ge 1 \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{x \ge 1}.$
(Jawaban C)
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $-6 < 3(x-1) < 9$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{x \mid -2<x<3, x \in \mathbb{R}\}$
B. $\{x \mid 2<x<3, x \in \mathbb{R}\}$
C. $\{x \mid 1<x<4, x \in \mathbb{R}\}$
D. $\{x \mid -1<x<4, x \in \mathbb{R}\}$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} -6 & < & 3(x-1) & < & 9 \\ \dfrac{-6}{3} & < & x-1 & < & \dfrac{9}{3} \\ -2 & < & x-1 & < & 3 \\ -2+1 & < & x & < & 3+1 \\ -1 & < & x & < & 4 \end{array}$$Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{\{x \mid -1<x<4, x \in \mathbb{R}\}}.$
(Jawaban D)
Daerah yang diarsir pada garis bilangan berikut menunjukkan penyelesaian dari dua pertidaksamaan linear, yaitu $\cdots \cdot$
A. $x \le 2$ dan $x < 3$
B. $x \le -2$ dan $x < 3$
C. $x \ge -2$ dan $x > 3$
D. $x < -2$ dan $x > 3$
Daerah yang diarsir terletak di sebelah kiri $-2$ sehingga pertidaksamaan linear pertamanya adalah $x \le -2.$ Tanda $\le$ (bukan $<$) dipakai karena titik $-2$ dihitamkan. Kemudian, daerah yang diarsir juga terletak di sebelah kiri $3$ sehingga pertidaksamaan linear berikutnya adalah $x < 3$ (bukan $\le$) karena titik $3$ bolong.
Jadi, daerah yang diarsir pada garis bilangan tersebut menunjukkan penyelesaian dari dua pertidaksamaan linear, yaitu $x \le -2$ dan $x < 3.$
(Jawaban B)
Perhatikan gambar di bawah.
Manakah dari pertidaksamaan berikut yang penyelesaiannya direpresentasikan oleh daerah yang diarsir pada garis bilangan di atas?
A. $4 < 2x + 4 \le 12$
B. $2 < x + 2 \le 8$
C. $0 < 4x-8 \le 12$
D. $-2 \le 4x + 4 \le 6$
Cek opsi A:
Sederhanakan pertidaksamaannya.
$$\begin{array}{rcccl} 4 & < & 2x + 4 & \le & 12 \\ 4-4 & < & (2x+4)-4 & \le & 12-4 \\ 0 & < & 2x & \le & 8 \\ \dfrac{0}{2} & < & x & \le & \dfrac82 \\ 0 & < & x & \le & 4 \end{array}$$Penyelesaian pertidaksamaan ini sesuai dengan yang ditunjukkan pada garis bilangan.
Cek opsi B:
Sederhanakan pertidaksamaannya.
$$\begin{array}{rcccl} 2 & < & x + 2 & \le & 8 \\ 2-2 & < & (x+2)-2 & \le & 8-2 \\ 0 & < & x & \le & 6 \end{array}$$Penyelesaian pertidaksamaan ini tidak sesuai dengan yang ditunjukkan pada garis bilangan.
Cek opsi C:
Sederhanakan pertidaksamaannya.
$$\begin{array}{rcccl} 0 & < & 4x-8 & \le & 12 \\ 0+8 & < & (4x-8)+8 & \le & 12+8 \\ 0 & < & 4x & \le & 20 \\ \dfrac04 & < & x & \le & \dfrac{20}{4} \\ 0 & < & x & \le & 5. \end{array}$$Penyelesaian pertidaksamaan ini tidak sesuai dengan yang ditunjukkan pada garis bilangan.
Cek opsi D:
Sederhanakan pertidaksamaannya.
$$\begin{array}{rcccl} -2 & \le & 4x+4 & \le & 6 \\ -2-4 & \le & (4x+4)-4 & \le & 6-4 \\ -6 & \le & 4x & \le & 2 \\ \dfrac{-6}{4} & \le & x & \le & \dfrac{2}{4} \\ -\dfrac32 & \le & x & \le & \dfrac12. \end{array}$$Penyelesaian pertidaksamaan ini tidak sesuai dengan yang ditunjukkan pada garis bilangan.
(Jawaban A)
Diketahui kotak berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang $(2x-6)$ cm dan lebar $x$ cm. Jika kelilingnya tidak lebih dari $48$ cm, lebar kotak $(\ell)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0 < \ell \le 10$
B. $0 < \ell \le 12$
C. $3 < \ell \le 10$
D. $3 < \ell \le 12$
Karena panjang tidak boleh negatif, diperoleh pertidaksamaan
$$\begin{aligned} p & > 0 \\ 2x-6 & > 0 \\ 2x & > 6 \\ x & > 3. \end{aligned}$$Hal serupa juga berlaku untuk lebarnya, yaitu $\ell > 0,$ atau $x > 0.$
Karena keliling persegi panjang tidak lebih dari $48,$ diperoleh
$$\begin{aligned} 2p + 2\ell & \le 48 \\ p + \ell & \le 24 \\ (2x-6) + x & \le 24 \\ 3x & \le 30 \\ x & \le 10. \end{aligned}$$Untuk $x > 3,$ $x > 0,$ dan $x \le 10,$ disimpulkan bahwa $3 < x \le 10,$ atau $3 < \ell \le 10.$
Jadi, lebar kotak adalah $\boxed{3 < \ell \le 10}.$
(Jawaban C)
Diketahui segitiga dengan alas $10$ cm dan tinggi $(x-4)$ cm. Jika luas segitiga tersebut tidak kurang dari $(2x-2)$ cm2, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $x \ge 6$
B. $x > 6$
C. $x \ge 4$
D. $x > 4$
Luas segitiga dapat dihitung dengan formula $L = \dfrac12 \cdot a \cdot t.$ Diketahui panjang alas $a = 10$ cm dan tinggi $t = (x-4)$ cm. Karena segitiga tersebut memiliki luas tidak kurang dari $(2x-2)$ cm2, diperoleh
$$\begin{aligned} L & \ge 2x-2 \\ \dfrac12 \cdot 10 \cdot (x-4) & \ge 2x-2 \\ 5(x-4) & \ge 2x-2 \\ 5x-20 & \ge 2x-2 \\ 5x-2x & \ge -2+20 \\ 3x & \ge 18 \\ x & \ge 6. \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{x \ge 6}.$
(Jawaban A)
Bagian Uraian
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$x + 4 < 1$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} x + 4 & < 1 \\ x & < 1-4 \\ x & < -3. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x < -3}.$
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$x -5 > 4$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} x-5 & > 4 \\ x & > 4+5 \\ x & > 9. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x > 9}.$
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$x-3 \le -4$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} x-3 & \le -4 \\ x & \le -4+3 \\ x & \le -1. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \le -1}.$
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$2x + 1 \ge 5$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 2x + 1 & \ge 5 \\ 2x & \ge 5-1 \\ 2x & \ge 4 \\ x & \ge \dfrac{4}{2} = 2. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \ge 2}.$
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$3x-5 < 7$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 3x-5 & < 7 \\ 3x & < 7+5 \\ 3x & < 12 \\ x & < \dfrac{12}{3} = 4. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x < 4}.$
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$4x + 10 \le 30$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 4x + 10 & \le 30 \\ 4x & \le 30-10 \\ 4x & \le 20 \\ x & \le \dfrac{20}{4} = 5. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \le 5}.$
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$5x-10 \ge 10$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 5x-10 & \ge 10 \\ 5x & \ge 10+10 \\ 5x & \ge 20 \\ x & \ge \dfrac{20}{5} = 4. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \ge 4}.$
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$6x-5 \le -2$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 6x-5 & \le -2 \\ 6x & \le -2+5 \\ 6x & \le 3 \\ x & \le \dfrac{3}{6} = \dfrac12. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \le \dfrac12}.$
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$7x-4 > -5$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 7x-4 & > -5 \\ 7x & > -5+4 \\ 7x & > -1 \\ x & > -\dfrac{1}{7}. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x > -\dfrac17}.$
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$4-3x<-5$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 4-3x & < -5 \\ -3x & < -5-4 \\ -3x & < -9 \\ x & < \dfrac{-9}{-3} = 3. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x < 3}.$
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$5-4x \le 1 $$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 5-4x & \le 1 \\ -4x & \le 1-5 \\ -4x & \le -4 \\ x & \ge \dfrac{-4}{-4} = 1 && (\text{Tanda dibalik}). \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \ge 1}.$
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$-4 + 4x \ge 9$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} -4 + 4x & \ge 9 \\ 4x & \ge 9+4 \\ 4x & \ge 13 \\ x & \ge \dfrac{13}{4}. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \ge \dfrac{13}{4}}.$
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$2 + 3x < 5 + x$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 2 + 3x & < 5 + x \\ 3x-x & < 5-2 \\ 2x & < 3 \\ x & < \dfrac{3}{2}. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x < \dfrac32}.$
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$2-3x > 5-2x$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 2-3x & > 5-2x \\ -3x + 2x & > 5-2 \\ -x & > 3 \\ x & < -3 && (\text{Tanda dibalik}). \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x < -3}.$
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$-4x + 5 \le 7x + 10$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} -4x + 5 & \le 7x + 10 \\ -4x-7x & \le 10-5 \\ -11x & \le 5 \\ x & \ge -\dfrac{5}{11} && (\text{Tanda dibalik}). \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \ge -\dfrac{5}{11}}.$
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$6x-1>x-10$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 6x-1 & > x-10 \\ 6x-x & > -10+1 \\ 5x & > -9 \\ x & > -\dfrac95. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x > -\dfrac95}.$
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$5-3x \ge 10-7x$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 5-3x & \ge 10-7x \\ -3x + 7x & \ge 10-5 \\ 4x & \ge 5 \\ x & \ge \dfrac54. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \ge \dfrac54}.$
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$4-10x \le 5(x-3)$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 4-10x & \le 5(x-3) \\ 4-10x & \le 5x-15 \\ -10x-5x & \le -15-4 \\ -15x & \le -19 \ x & \ge \dfrac{-19}{-15} = \dfrac{19}{15}. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \ge \dfrac{19}{15}}.$
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$2(4-x) < 10x + 7$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 2(4-x) & < 10x+7 \\ 8-2x & < 10x+7 \\ -2x-10x & < 7-8 \\ -12x & < -1 \\ x & > \dfrac{-1}{-12} = \dfrac{1}{12} && (\text{Tanda dibalik}). \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x > \dfrac{1}{12}}.$
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$4(5-7x) \ge 5(3-2x) $$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 4(5-7x) & \ge 5(3-2x) \\ 20-28x & \ge 15-10x \\ -28x + 10x & \ge 15-20 \\ -18x & \ge -5 \\ x & \le \dfrac{-5}{-18} = \dfrac{5}{18} && (\text{Tanda dibalik}). \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \le \dfrac{5}{18}}.$
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$\dfrac25(4-x) \le \dfrac12(2x-2)$$
Dengan mengalikan $10$ pada kedua ruas, kita dapat membuat pertidaksamaan yang diberikan tidak melibatkan pecahan lagi. Setelah itu, sederhanakan untuk mencari penyelesaiannya.
$$\begin{aligned} \dfrac25(4-x) & \le \dfrac12(2x-2) \\ \cancelto{2}{10} \cdot \dfrac{2}{\cancel{5}}(4-x) & \le \cancelto{5}{10} \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}}(2x-2) \\ 4(4-x) & \le 5(2x-2) \\ 16-4x & \le 10x-10 \\ -4x-10x & \le -10-16 \\ -14x & \le -26 \\ x & \ge \dfrac{26}{14} = \dfrac{13}{7} && (\text{Tanda dibalik}). \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{x \ge \dfrac{13}{7}}.$
Jika $x$ merupakan bilangan bulat, tentukan banyaknya nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan berikut.
$$-4 \le 2(x+4) < 8$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} -4 & \le & 2(x+4) & < & 8 \\ \dfrac{-4}{2} & \le & x+4 & < & \dfrac{8}{2} \\ -2 & \le & x+4 & < & 4 \\ -2-4 & \le & x & < & 4-4 \\ -6 & \le & x & < & 0 \end{array}$$Karena $x$ bulat, himpunan penyelesaian pertidaksamaan ini adalah $$\{-6, -5, -4, -3, -2, -1\}.$$Jadi, ada $6$ bilangan bulat $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Modelkan kalimat berikut menjadi pertidaksamaan linear, kemudian selesaikan pertidaksamaan tersebut dengan mencari nilai variabel yang sesuai.
Umur Skibidi 7 tahun mendatang tidak lebih dari dua kali umurnya sekarang.
Misalkan $x$ menyatakan umur Skibidi sekarang sehingga pertidaksamaan linear yang sesuai adalah $x + 7 \le 2x.$ Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} x+7 & \le 2x \\ 2x-x & \ge 7 \\ x & \ge 7. \end{aligned}$$Dengan demikian, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $x \ge 7.$
Artinya, umur Skibidi sekarang minimal $7$ tahun.
Modelkan kalimat berikut menjadi pertidaksamaan linear, kemudian selesaikan pertidaksamaan tersebut dengan mencari nilai variabel yang sesuai.
Berat tas Ardi ditambah $7$ kg paling sedikit $3$ kg lebih ringan dari dua kali tasnya.
Misalkan $t$ menyatakan berat tas Ardi sehingga pertidaksamaan linear yang sesuai adalah $t + 7 \ge 2t-3.$ Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} t+7 & \ge 2t-3 \\ 2t-t & \le 7+3 \ t & \le 10. \end{aligned}$$Dengan demikian, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $t \le 10.$
Artinya, berat tas Ardi tidak lebih dari $10$ kg.
Modelkan kalimat berikut menjadi pertidaksamaan linear, kemudian selesaikan pertidaksamaan tersebut dengan mencari nilai variabel yang sesuai.
Panjang seutas pita tidak lebih dari 4 cm dikurangi setengah dari panjang awalnya.
Misalkan $p$ menyatakan panjang pita mula-mula (cm) sehingga pertidaksamaan linear yang sesuai adalah $a \le 4-\dfrac12a.$ Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$begin{aligned} a & \le 4-\dfrac12a \\ a+\dfrac12a & \le 4 \ \dfrac32a & \le 4 \\ a & \le 4 \cdot \dfrac23 = \dfrac83. end{aligned}$$Dengan demikian, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $a \le \dfrac83.$
Artinya, panjang pita tersebut mula-mula tidak lebih dari $\dfrac83$ cm.
Modelkan kalimat berikut menjadi pertidaksamaan linear, kemudian selesaikan pertidaksamaan tersebut dengan mencari nilai variabel yang sesuai.
Sebanyak lima bus sekolah dapat mengangkut maksimal $200$ siswa.
Misalkan $b$ menyatakan banyaknya siswa yang dapat diangkut tiap bus sehingga pertidaksamaan linear yang sesuai adalah $5b \le 200.$ Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh $b \le \dfrac{200}{5} = 40.$
Dengan demikian, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $b \le 40.$
Artinya, masing-masing bus hanya dapat mengangkut paling banyak $40$ siswa.
Suatu tempat parkir mengenakan biaya tetap Rp5.000 ditambah Rp3.000 per jam. Seseorang membawa Rp29.000. Paling lama berapa jam orang tersebut dapat parkir di tempat itu agar uangnya mencukupi?
Karena setiap jam parkir dikenakan tambahan Rp3.000 dan uang yang dibawa orang tersebut adalah Rp29.000, pertidaksamaan linear yang sesuai untuk kasus ini adalah $5.000 + 3.000x \le 29.000.$ Dalam hal ini, $x$ menyatakan durasi parkir (jam). Tanda $\le$ dipakai karena biaya parkir tidak boleh melebihi uang yang dibawa. Selesaikan pertidaksamaan tersebut sebagai berikut.
$$\begin{aligned} 5.000 + 3.000x & \le 29.000 \\ 3.000x & \le 29.000-5.000 \\ 3.000x & \le 24.000 \\ x & \le \dfrac{24.000}{3.000} = 8. \end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, diperoleh simpulan bahwa orang tersebut hanya boleh parkir di sana paling lama $\boxed{8}$ jam. Lebih dari itu, uangnya tidak akan mencukupi untuk membayar biaya parkir.
Suatu persegi panjang memiliki panjang $(x+3)$ cm dan lebar $5$ cm. Kelilingnya tidak lebih dari $40$ cm. Tentukan nilai terbesar dari $x$ jika $x$ merupakan bilangan bulat?
Diketahui $p = x+3$ cm dan $\ell = 5$ cm. Keliling persegi panjang dihitung dengan cara menjumlahkan panjang dan lebarnya, kemudian dikali $2,$ yaitu $k = 2(p + \ell).$ Karena kelilingnya tidak lebih dari $40$ cm, diperoleh pertidaksamaan linear $2(p + \ell) \le 40.$ Selesaikan pertidaksamaan tersebut sebagai berikut.
$$\begin{aligned} 2(p + \ell) & \le 40 \\ p + \ell & \le \dfrac{40}{2} = 20 \\ (x + 3) + 5 & \le 20 \\ x + 8 & \le 20 \\ x & \le 20-8 \\ x & \le 12. \end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, diperoleh simpulan bahwa nilai terbesar dari $x$ adalah $\boxed{12}.$
Suatu tangki berisi $x$ liter air. Setiap menit, tangki tersebut diisi dengan $3$ liter air. Agar tidak melebihi kapasitas $50$ liter setelah $5$ menit, tentukan nilai maksimum dari $x.$
Karena tangki tersebut diisi dengan $3$ liter air setiap menit, tangki akan diisi dengan $5 \times 3 = 15$ liter air setelah menit ke-5. Oleh karena itu, pertidaksamaan linear yang sesuai untuk kasus ini adalah $x + 15 \le 50.$ Perhatikan bahwa tanda $\le$ dipakai karena frasa “tidak melebihi” (artinya, maksimum $50$). Sederhanakan pertidaksamaan itu sehingga didapat $x \le 35.$
Jadi, nilai maksimum dari $x$ adalah $\boxed{35}.$
Nilai rata-rata dari $5$ kali ulangan harus minimum $80.$ Empat nilai yang sudah diperoleh adalah $75,$ $82,$ $78,$ dan $85.$ Berapakah nilai minimum dari ulangan kelima?
Misalkan $x$ merupakan nilai ulangan kelima. Rata-rata $(\overline{x})$ dihitung dengan cara menjumlahkan kelima nilai yang ada, kemudian dibagi $5,$ yaitu $$\overline{x} = \dfrac{75 + 82 + 78 + 85 + x}{5}.$$Karena nilai rata-ratanya harus minimal $80,$ diperoleh pertidaksamaan linear
$$\dfrac{75 + 82 + 78 + 85 + x}{5} \ge 80.$$Selesaikan pertidaksamaan linear tersebut sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{75 + 82 + 78 + 85 + x}{5} & \ge 80 \\ 75 + 82 + 78 + 85 + x & \ge 400 \\ 320 + x & \ge 400 \\ x & \ge 80. \end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, diperoleh simpulan bahwa nilai minimum dari ulangan kelima adalah $\boxed{80}$ agar rata-rata kelima ulangannya minimum $80.$
Suatu jasa pengantaran barang mengenakan biaya sebagai berikut.
- Biaya tetap pemesanan sebesar Rp12.000.
- Biaya pengantaran sebesar Rp4.000 per kilometer.
Seorang pelanggan memiliki anggaran tidak lebih dari Rp40.000 untuk satu kali pemesanan jasa antar.
Manakah pernyataan yang benar tentang permasalahan tersebut? Pilih semua pernyataan yang bernilai benar.
- Jika $x$ menyatakan jarak pengantaran (dalam km), maka permasalahan tersebut dapat dimodelkan oleh $4.000x + 12.000 \le 40.000.$
- Jarak pengantaran maksimum yang masih dapat dipilih pelanggan adalah $7$ km.
- Jika jarak pengantaran $8$ km, maka biaya total akan melebihi anggaran.
- Penambahan jarak antar sejauh $3$ km akan menambah biaya sebesar Rp16.000.
Cek Pernyataan 1:
Misalkan $x$ menyatakan jarak pengantaran (dalam km). Biaya total adalah jumlah dari biaya tetap ditambah biaya pengantaran/km. Oleh karena itu, biaya total direpresentasikan oleh $12.000 + 4.000x.$ Karena anggaran yang dimiliki pelanggan tersebut sebesar Rp40.000, diperoleh model berupa pertidaksamaan linear berikut.
$$12.000 + 4.000x \le 40.000$$Dengan demikian, Pernyataan 1 benar.
Cek Pernyataan 2:
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 12.000 + 4.000x & \le 40.000 \\ 4.000x & \le 40.000-12.000 \\ 4.000x & \le 28.000 \\ x & \le \dfrac{28.000}{4.000} = 7. \end{aligned}$$Artinya, maksimal jarak pengantaran adalah $7$ km. Dengan demikian, Pernyataan 2 benar.
Cek Pernyataan 3:
Jika jarak pengantaran sejauh $8$ km, maka biaya yang diperlukan sebesar
$$12.000 + 4.000(8) = \text{Rp}44.000,$$melebihi anggaran yang tersedia. Dengan demikian, Pernyataan 3 benar.
Cek Pernyataan 4:
Karena biaya pengantaran sebesar Rp4.000/km, jarak sejauh $3$ km akan memakan biaya tambahan sebesar $3 \times 4.000 = \text{Rp}12.000.$ Dengan demikian, Pernyataan 4 salah karena seharusnya penambahan jarak antar sejauh $3$ km akan menambah biaya sebesar Rp12.000, bukan Rp16.000.