Category: Teori Bilangan

Misalkan banyaknya tembakan $2$ poin dan tembakan $3$ poin yang terjadi berturut-turut adalah $M$ dan $N.$ Dengan demikian, diperoleh persamaan linear Diophantine
$$2M + 3N = 20.$$Periksa setiap skenario berdasarkan nilai $M$ dan $N$ yang memenuhi persamaan tersebut.
Skenario $A$: $2(3) + 3(5) = 21$
Skenario $B$: $2(4)+ 3(4) = 20~~\checkmark$
Skenario $C$: $2(8) + 3(1) = 19$
Skenario $D$: $2(10) + 3(0) = 20~~\checkmark$
Skenario $E$: $2(1) + 3(6) = 20~~\checkmark$
Jadi, ada $\boxed{3}$ skenario yang mungkin terjadi agar menghasilkan total $20$ poin.
(Jawaban C)

Persamaan di atas menunjukkan bahwa selama nilai $y$ bulat, nilai $x$ juga akan bulat.
Nilai $y$ terkecil yang mungkin dipilih adalah $y = 1$ (bilangan asli), sedangkan nilai $y$ terbesarnya adalah $y = 49$. Masing-masing nilai $y$ menghasilkan bilangan asli $x$. Ini artinya, akan ada $\boxed{49}$ pasangan $(x, y)$ yang terbentuk.
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} a^4+b & = 1.600.000.001 \\ a^4 + b & = 1.600.000.000 + 1 \\ a^4+b & = 16 \cdot 10^8 + 1 && (\text{Bentuk baku}) \\ a^4+b & = 2^4 \cdot 10^8 + 1 \\ a^4+b & = (2 \cdot 10^2)^4 + 1 \\ a^4+b & = 200^4 + 1. \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa nilai $a$ terbesar yang mungkin adalah $200$. Oleh karena itu, dapat dibuat tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Nilai}~a & \text{Nilai}~b \\ \hline 200 & 1 \\ \hline 199 & \text{Sekian} \\ \hline 198 & \text{Sekian} \\ \hline \vdots & \vdots \\ \hline 1 & \text{Sekian} \\ \hline \end{array}$$Catatan: Sekian pada tabel di atas memiliki arti bahwa nilai $b$ ada dan berupa bilangan asli, tetapi tidak perlu dicari berapa nilainya.
Jadi, akan ada $200$ pasangan bilangan bulat positif $(a, b)$ yang memenuhi persamaan tersebut.
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa dengan mengalikan kedua ruas persamaan di atas dengan $xy$, kita peroleh
$$\begin{aligned} xy\left(1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}\right) & = xy(0) \\ xy + 2y + 3x & = 0 \\ (x + 2)(y+3)-6 & = 0 \\ (x+2)(y+3) & = 6. \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $(x+2)$ dan $(y+3)$ merupakan faktor dari $6$. Karena faktor dari $6$ ada sebanyak delapan, yaitu $\pm 1, \pm 2, \pm 3$, dan $\pm 6$, akan ada $8$ pasangan bilangan bulat $(x, y)$ yang memenuhi persamaan itu.
(Jawaban D)

Diketahui $\sqrt{x}-\sqrt{17} = \sqrt{y}$.
Kuadratkan kedua ruas, kita peroleh
$$\begin{aligned} \left(\sqrt{x}-\sqrt{17}\right)^2 & = \left(\sqrt{y}\right)^2 \\ x-2\color{red}{\sqrt{17x}} + 17 & = y. \end{aligned}$$Agar diperoleh bilangan asli $y$, haruslah $x = 17n^2$ untuk suatu bilangan bulat $n \geq 2$ ($n = 1$ menyebabkan nilai $y$ negatif).
Substitusi $x = 17n^2$, kita peroleh
$$\begin{aligned} y & = 17n^2-2\sqrt{17(17n^2)} + 17 \\ & = 17n^2-34n+17 \\ & = 17(n^2-2n+1) \\ & = 17(n-1)^2. \end{aligned}$$Karena bilangan bulat $n \geq 2$ ada sebanyak takhingga, juga akan ada takhingga pasangan bilangan asli $(x, y)$ yang memenuhi persamaan tersebut.
(Jawaban E)

Diketahui $m-1 = \dfrac{15}{n}$. Agar $m$ bulat, $m-1$ juga harus bulat. Akibatnya, $\dfrac{15}{n}$ juga harus bulat sehingga $n$ harus merupakan faktor dari $15$, yaitu $\{\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15\}$. Jadi, ada $8$ nilai $n$ yang mungkin. Dengan kata lain, nilai $m$ yang mungkin juga ada $\boxed{8}$
(Jawaban D)

Diketahui $\color{red}{2x-2y-xy}-12 =0$. Perhatikan bahwa bentuk pada ruas kiri dapat kita faktorkan dengan memperhatikan nilai konstanta.
$$\begin{aligned} \color{red}{\left[(x + 2)(-y + 2)-4\right]}-12 & = 0 \\ (x+2)(-y+2) & = 16 \\ x+2 & = \dfrac{16}{-y+2} \\ x & = \dfrac{16}{-y+2}-2. \end{aligned}$$Nilai $x$ akan bulat ketika bentuk $(-y+2)$ merupakan faktor bulat dari $16$, yaitu $\{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16\}$. Ini artinya, akan ada $10$ nilai $y$ yang memenuhi, begitu juga dengan pasangannya, yaitu $x$. Jadi, ada $\boxed{10}$ pasang nilai $(x, y)$ anggota bilangan bulat yang memenuhi persamaan tersebut.
(Jawaban E)

Persamaan di atas termasuk persamaan Diophantine (nonlinear) karena memiliki solusi bilangan bulat (ingat bahwa bilangan asli juga termasuk bilangan bulat).
Cara untuk menyelesaikan persamaan seperti ini adalah dengan menggunakan pemfaktoran.
$$\begin{aligned} x^3+4x^3y^3 & = 827 + 8y^3 \\ 4x^3y^3+x^3-8y^3 & = 827 \\ (x^3-2)(4y^3+1)+2 & = 827 \\ (x^3-2)(4y^3+1) & = 825 \\ (x^3-2)(4y^3+1) & = 3 \cdot 5^2 \cdot 11. \end{aligned}$$Berdasarkan persamaan terakhir, kita peroleh bahwa $(x^3-2)$ dan $(4y^3+1)$ keduanya merupakan faktor dari $825$. Oleh karena itu, kita harus temukan dua bilangan yang dikalikan menghasilkan $825$, sekaligus memenuhi $x, y$ bilangan asli.
Dari bentuk $x^3-2$, nilai-nilai yang mungkin agar $x$ bilangan asli adalah $-1, 6, 25, 62$, dan seterusnya. Karena $25$ adalah salah satu faktor dari $825$, kita dapat mengatakan bahwa $x^3-2 = 25$, berakibat $x = 3$. Ini juga menunjukkan bahwa $4y^3+1 = 3 \cdot 11 = 33$, berakibat $y = 2$. Keduanya ternyata bilangan asli.
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{4xy = 4(3)(2) = 24}$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (m+n)^3 & = m^3+3m^2n+3mn^2+n^3 \\ & = m^3+n^3+3mn(m+n). \end{aligned}$$Persamaan pada soal dapat ditulis sebagai berikut.
$$\begin{aligned} m^3+n^3& = 33^3-99mn \\ (m+n)^3-3mn(m+n) & = 33(33^2-3mn) \\ \text{Faktorkan}~(m+n)&~\text{pada ruas kiri} \\(m+n)((m+n)^2-3mn) & = 33(33^2-3mn). \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $m+n = 33$.
Adapun pasangan bilangan bulat $(m, n)$ yang memenuhi persamaan $m+n=33$ dengan $mn \geq 0$ adalah $(0, 33)$, $(1, 32)$, $(2, 31)$, $\cdots$, $(33, 0)$.
Jadi, ada $\boxed{34}$ pasangan bilangan bulat $(m, n)$ yang memenuhi persamaan itu.
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa $64 = 2^6$ (bentuk faktorisasi prima) dan hanya $2$ sebagai faktor primanya, maka $a$ pasti merupakan bentuk pangkat dari $2$. Misalkan $a = 2^n$, maka $a^b = (2^n)b = 2^{nb}$ sehingga kita peroleh $nb = 6.$
Ini menunjukkan bahwa $n$ adalah faktor dari $6$, yaitu $\{1, 2, 3, 6\}.$ Kita dapat tuliskan $64 = 2^6 = 4^3 = 8^2 = 64^1.$
Jadi, akan ada $\boxed{4}$ pasangan bilangan bulat positif $(a, b)$ yang memenuhi.
(Jawaban D)

Kita bagi menjadi dua kasus.
Kasus 1: $b$ ganjil
Jika $b$ ganjil, maka akibatnya $b^2$ juga ganjil. Ruas kanan $a^3+1$ akan bernilai ganjil bila $a$ genap. Satu-satunya bilangan prima yang genap adalah $2$. Jadi, kita peroleh $a = 2$ dan $b = 3$.
Kasus 2: $b$ genap
Perhatikan bahwa $b^2=a^3+1$ dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned}b^2-1 & =a^3 \\ (b+1)(b-1) & = a^3. \end{aligned}$$Karena $\text{FPB}(b+1, b-1) = \text{FPB}(b+1, \color{red}{2})$, itu berarti $(b+1)$ dan $(b-1)$ saling relatif prima.
Catatan: Bilangan $\color{red}{2}$ di atas didapat dari selisih $b+1$ dan $b-1$.
Karena $a$ bilangan prima, satu-satunya bentuk perkalian bilangan yang relatif prima dengan $a^3$ adalah $1 \times a^3$, atau ditulis $(b-1)(b+1) = 1 \times a^3.$
Ini menunjukkan $b-1 = 1$, atau didapat $b = 2$, dan akibatnya $a^3 = 3.$ Tidak ada solusi untuk nilai $a$ jika $b$ genap.
Jadi, satu-satunya nilai $b$ adalah $3$ sehingga jumlah semua nilai $b$ tetap $\boxed{3}$
(Jawaban A)

Diketahui $$\begin{cases} x+y+2z & = 10 && (\cdots 1) \\ 3x-y+z & = 5 && (\cdots 2) \end{cases}$$Penjumlahan kedua persamaan itu menghasilkan
$$\begin{aligned} 4x+3z & = 15 \\ 3z & = 15-4x \\ z & = 5-\dfrac43x \end{aligned}$$Substitusi $z$ pada Persamaan $(2)$.
$$\begin{aligned} 3x-y+z & = 5 \\ y & = 3x+z-5 \\ y & = 3x+\left(5-\dfrac43x\right)-5 \\ y & = 3x-\dfrac43x = \dfrac{5}{3}x \end{aligned}$$Kita peroleh $(x, y, z) = \left(x, \dfrac53x, 5-\dfrac43x\right)$. Agar diperoleh penyelesaian bilangan bulat taknegatif, pilih $\color{blue}{x = 0}$ dan $\color{blue}{x = 3}$, masing-masing menghasilkan $(0, 0, 5)$ dan $(3, 5, 1)$. Jadi, jumlah semua nilai bilangan bulat negatif $x$ yang memenuhi sistem adalah $\boxed{0+3=3}$
(Jawaban A)

Misalkan $x, y, z$ berturut-turut menyatakan banyaknya prangko seharga $25$ sen, $10$ sen, dan $5$ sen, dengan $x, y, z$ berupa bilangan cacah.
Masalah di atas dapat dinyatakan sebagai sistem persamaan linear Diophantine berikut.
$$\begin{cases} x + y + z & = 20 && (\cdots 1) \\ 25x + 10y + 5z & = 200 && (\cdots 2) \end{cases}$$Keterangan: $1$ dolar = $100$ sen.
Persamaan $(2)$ dibagi $5$, lalu dikurangkan dengan Persamaan $(1)$, kita peroleh
$$4x + y = 20 \Rightarrow y = 20-4x$$Substitusikan pada Persamaan $(1)$, didapat
$$\begin{aligned} x + \color{red}{y} + z & = 20 \\ x + (20-4x) + z & = 20 \\ -3x + 20 + z & = 20 \\ z & = 3x. \end{aligned}$$Karena $z = 3x$ dan $y = 20-4x$, nilai $x$ terbatas pada interval $0 \leq x \leq 5.$
Untuk masing-masing keenam nilai $x$ tersebut, kita akan peroleh nilai $y$ dan $z$. Ini artinya, ada $\boxed{6}$ kombinasi berbeda untuk membeli prangko tersebut.
(Jawaban C)

Misalkan $x, y,$ dan $z$ berturut-turut menyatakan banyaknya pekerja pria, pekerja wanita, dan pemagang, dengan $x, y, z$ berupa bilangan cacah dan $x, y \geq 1$.
Masalah di atas dapat dinyatakan sebagai sistem persamaan linear Diophantine berikut.
$$\begin{cases} x + y + z & = 20 && (\cdots 1) \\ 3x + 2y + \dfrac12z & = 20 && (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ dikali $2$, lalu dikurangkan dengan Persamaan $(2)$, kita peroleh
$$\begin{aligned} 5x + 3y & = 20 \\ 3y & = 20-5x \\ y & = \dfrac13(20-5x) \end{aligned}$$Substitusikan pada Persamaan $(2)$, didapat
$$\begin{aligned} x + \color{red}{y} + z & = 20 \\ x + \dfrac13(20-5x) + z & = 20 \\ \dfrac{3x}{3}+\dfrac13(20-5x)+z & = \dfrac{60}{3} \\ \dfrac13(20-2x) + z & = \dfrac{60}{3} \\ z & = \dfrac{60-20+2x}{3} \\ z & = \dfrac{40+2x}{3} \end{aligned}$$Karena $y = \dfrac13(20-5x) = \dfrac53(4-x),$ haruslah $(4-x)$ haruslah berkelipatan $3$, yaitu $x = 1$ atau $x = 4.$ Namun bila dipilih $x = 4,$ berakibat $y = 0,$ padahal $y \geq 1.$
Dengan demikian, nilai $x = 1$, mengimplikasikan $y = 5$ dan $z = 14$. Jadi, banyak pemagang di pabrik itu adalah $\boxed{14}$ orang.
(Jawaban E)

Jawaban a)
Diketahui $17x + 13y = 200$.
Dengan menggunakan algoritma Euclides, kita peroleh
$$\begin{aligned} 17 & = 1 \times 13 + 4 \\ 13 & = 3 \times 4 + \color{red}{1} \\ 4 & = 4 \times 1 + 0 \end{aligned}$$Diperoleh $\text{FPB}(17, 13) = 1$. Karena $1$ habis membagi $200$, persamaan itu memiliki solusi bulat.
Dengan menggunakan pembalikan algoritma Euclides, didapat
$$\begin{aligned} 1 & = 13-3 \times 4 \\ 1 & = 13-3 \times (17-1 \times 13) \\ 1 & = -3 \times 17 + 4 \times 13 \\ \text{Kedua}&~\text{ruas dikalikan}~200 \\ 200 & = -600 \times 17 + 800 \times 13 \end{aligned}$$Jadi, solusi khusus persamaan tersebut bila dicari menggunakan algoritma Euclides adalah $x_0 = -600$ dan $y_0 = 800$.
Jawaban b)
Diketahui $21x + 15y = 93$, dapat disederhanakan menjadi $7x + 5y = 31$.
Dengan menggunakan algoritma Euclides, kita peroleh
$$\begin{aligned} 7 & = 1 \times 5 + 2 \\5 & = 2 \times 2 + \color{red}{1} \\ 2 & = 2 \times 1 + 0 \end{aligned}$$Diperoleh $\text{FPB}(7, 5) = 1$. Karena $1$ habis membagi $31$, persamaan itu memiliki solusi bulat.
Dengan menggunakan pembalikan algoritma Euclides, didapat
$$\begin{aligned} 1 & = 5-2 \times 2 \\ 1 & = 5-2 \times (7-1 \times 5) \\ 1 & = -2 \times 7 + 3 \times 5 \\ \text{Kedua}&~\text{ruas dikalikan}~31 \\ 31 & = -62 \times 7 + 93 \times 5 \end{aligned}$$Jadi, solusi khusus persamaan tersebut bila dicari menggunakan algoritma Euclides adalah $x_0 = -62$ dan $y_0 = 93$.
Jawaban c)
Diketahui $60x + 42y = 104$, dapat disederhanakan menjadi $30x + 21y = 52$.
Dengan menggunakan algoritma Euclides, kita peroleh
$$\begin{aligned} 30 & = 1 \times 21 + 9 \\ 21 & = 2 \times 9 + \color{red}{3} \\ 9 & = 3 \times 3 + 0 \end{aligned}$$Diperoleh $\text{FPB}(30, 21) = 3$. Karena $3$ tidak habis membagi $52$, persamaan itu tidakcmemiliki solusi bulat.
Jawaban d)
Diketahui $588x + 234y = 63$, dapat disederhanakan menjadi $196x + 78y = 21$.
Dengan menggunakan algoritma Euclides, kita peroleh
$$\begin{aligned} 196 & = 2 \times 78 + 40 \\ 78 & = 1 \times 40 + 38 \\ 40 & = 1 \times 38 + \color{red}{2} \\ 38 & = 19 \times 2 + 0 \end{aligned}$$Diperoleh $\text{FPB}(196, 78) = 2$. Karena $2$ tidak habis membagi $21$, persamaan itu tidak memiliki solusi bulat.

Ada $2$ pendekatan yang dapat dipakai untuk menyelesaikan persoalan ini.
Menggunakan identitas Bézout:
Perhatikan bahwa $\text{FPB}(17, 34) = 17$ dan $17$ tidak habis membagi $2$ sehingga persamaan tersebut tidak memiliki solusi bulat.
Menggunakan keterbagian:
Persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi
$$\begin{aligned} 17x & = 34y + 2 \\ x & = 2y + \dfrac{2}{17} \end{aligned}$$Berapa pun nilai bilangan bulat $y$, $x$ tidak akan bernilai bulat sehingga disimpulkan bahwa persamaan itu tidak memiliki solusi bulat.

Jawaban a)
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} 12x+5y & = 125 \\ 5y & = 125-12x \\ y & = 25-\dfrac{12}{5}x \end{aligned}$
Agar menghasilkan bilangan bulat $y$, $x$ harus habis dibagi $5$. Karena $x$ juga diharuskan positif, kita pilih:

1. Nilai $x = 5$ sehingga $y = 25-12 = 13$.
2. Nilai $x = 10$ sehingga $y = 25-12(2) = 1$.
3. Nilai $x = 15$ sehingga $y = 25-12(3)=-11$ (tidak memenuhi).

Jadi, semua solusi bilangan bulat positif persamaan tersebut adalah $(5, 13)$ atau $(10, 1)$.
Jawaban b)
Diketahui $12x+5y = 125$.
Pertama, akan dicari $\text{FPB}(12, 5)$ menggunakan algoritma Euclides.
$$\begin{aligned} 12 & = 2 \cdot 5 + 2 && (\text{Iter}\text{asi}~1) \\ 5 & = 2 \cdot 2 + \color{blue}{1} && (\text{Iter}\text{asi}~2) \\ 2 & = 2 \cdot 1 + 0 && (\text{Iter}\text{asi}~3) \end{aligned}$$Jadi, $\text{FPB}(12, 5) = \color{blue}{1}$. Jelas bahwa $\color{blue}{1}$ membagi habis $125$ (konstanta persamaan di atas) sehingga persamaan memiliki solusi bulat.
Sekarang, kita kerjakan secara mundur dimulai dari iterasi 2 seperti berikut.
$$\begin{aligned} 1 & = 5-2\cdot 2 \\ 1 & = 5-2 \cdot (12-2 \cdot 5) \\ 1 & = 5 \cdot 5-2 \cdot 12 \\ \text{Kedua}~&\text{ruas dikalikan}~125 \\ 125 & = \color{red}{625} \cdot 5\color{blue}{-250} \cdot 12 \end{aligned}$$Dari persamaan $12x+5y=125$, kita peroleh satu solusi $x = -250$ dan $y = 625$, tetapi ini belum memenuhi kriteria solusi bilangan bulat positif.
Selanjutnya, kita mencari solusi umumnya dengan melakukan manipulasi aljabar memakai parameter $t$.
$$\begin{aligned} 125 & = 625 \cdot 5-250 \cdot 12 \\ & = 625 \cdot 5 + 5 \cdot 12 \cdot t-250 \cdot 12-5 \cdot 12 \cdot t \\ & = (625+12t) \cdot 5+(-250-5t) \cdot 12 \end{aligned}$$Jadi, solusi umum persamaan Diophantine tersebut adalah $x =-250-5t $ dan $y = 625+12t$ untuk setiap bilangan bulat $t.$
Agar diperoleh solusi bulat positif, haruslah $x = -250-5t > 0$ dan $y = 625+12t > 0,$ yang berturut-turut mengimplikasikan $t < -50$ dan $t > -52,cdots.$ Artinya, nilai $t$ yang memenuhi ada dua, yaitu $t = -51$ dan $t = -52.$
Untuk $t = -51,$ didapat $x = 5$ dan $y = 13.$ Sementara itu, untuk $t = -52,$ didapat $x = 10$ dan $y = 1.$

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 3x-4y & = 12 \\ 3x & = 12 + 4y \\ x & = 4 + \dfrac43y \end{aligned}$$Sekarang, misalkan $y = 3n$ dengan $n$ bilangan bulat, naka diperoleh $x = 4 + \dfrac43(3n) = 4 + 4n$.
Jadi, solusi umum persamaan linear Diophantine tersebut adalah $x = 4 + 4n$ dan $y = 3n$ dengan untuk setiap bilangan bulat $n.$
Ilustrasi: Jika kita pilih $n = 2$, maka diperoleh $x = 12$ dan $y = 6$. Substitusikan pada persamaan linear tersebut dan ternyata terpenuhi bahwa $3(12)-4(6) = 36-24 = 12$.

Pertama, akan dicari $\text{FPB}(35, 54)$ menggunakan algoritma Euclides.
$$\begin{aligned} 54 & = 1 \cdot 35 + 19 && (\text{Iter}\text{asi}~1) \\ 35 & = 1 \cdot 19 + 16 && (\text{Iter}\text{asi}~2) \\ 19 & = 1 \cdot 16 + 3 && (\text{Iter}\text{asi}~3) \\ 16 & = 5 \cdot 3 + \color{red}{1} && (\text{Iter}\text{asi}~4) \\ 3 & = 3 \cdot 1 + 0 && (\text{Iter}\text{asi}~5) \end{aligned}$$Jadi, $\text{FPB}(35, 54) = \color{blue}{1}$. Jelas bahwa $\color{blue}{1}$ membagi habis $1$ (konstanta persamaan di atas) sehingga ada solusi bulat.
Sekarang, kita kerjakan secara mundur dimulai dari iterasi 4 seperti berikut.
$$\begin{aligned} 1 & = 16-5 \cdot 3 \\ & = (35-19)-5 \cdot (19-16) \\ & = 35-6 \cdot 19 + 5 \cdot 16 \\ & = 35-6(54-35) + 5(35-19) \\ & = 12 \cdot 35-6 \cdot 54-5 \cdot 19 \\ & = 12 \cdot 35-6 \cdot 54-5 \cdot (54-35) \\ & = \color{red}{17} \cdot 35\color{blue}{-11} \cdot 54 \end{aligned}$$Dari persamaan $35x+54y = 1$, kita peroleh satu solusi $x = 17$ dan $y = -11$.
Untuk mencari solusi umumnya, lakukan manipulasi aljabar dengan melibatkan sebuah parameter $t$.
$$\begin{aligned} 1 & = 17 \cdot 35-11 \cdot 54 \\ & = 17 \cdot 35 \color{blue}{+ 35 \cdot 54 \cdot t}-11 \cdot 54\color{blue}{- 35 \cdot 54 \cdot t} \\ & = (17 +54t) \cdot 35+(-11-35t) \cdot 35 \end{aligned}$$Jadi, solusi umum persamaan Diophantine tersebut adalah $x = 17+54t$ dan $y = -11-35t$ untuk setiap bilangan bulat $t.$

Persamaan $25x+95y=970$ dapat disederhanakan terlebih dahulu dengan membagi kedua ruas dengan $5$ sehingga diperoleh $5x + 19y = 194.$
Berikutnya, akan dicari $\text{FPB}(5, 19)$ menggunakan algoritma Euclides.
$$\begin{aligned} 19 & = 3 \cdot 5 + 4 && (\text{Iter}\text{asi}~1) \\ 5 & = 1 \cdot 4 + \color{red}{1} && (\text{Iter}\text{asi}~2) \\ 4 & = 4 \cdot 1 + 0 && (\text{Iter}\text{asi}~3) \end{aligned}$$Jadi, $\text{FPB}(5, 19) = \color{red}{1}$. Jelas bahwa $\color{red}{1}$ membagi habis $194$ (konstanta persamaan di atas) sehingga persamaan memiliki solusi bulat.
Sekarang, kita kerjakan secara mundur dimulai dari iterasi 2 seperti berikut.
$$\begin{aligned} 1 & = 5-1 \cdot 4 \\ & = 5-1(19-3 \cdot 5) \\ & = 4 \cdot 5-1 \cdot 19 \\ 194 & = 776 \cdot 5-194 \cdot 19. \end{aligned}$$Dari sini, diperoleh solusi khusus dari persamaan tersebut, yaitu $x_0 = 776$ dan $y_0 = -194.$ Untuk mencari solusi umumnya, lakukan manipulasi aljabar dengan melibatkan sebuah parameter $t$.
$$\begin{aligned} 194 & = 776 \cdot 5-194 \cdot 19 \\ & = 776 \cdot 5 + 5 \cdot 19t -194 \cdot 19-5 \cdot 19t \\ & = (776+19t)5+(-194-5t)19. \end{aligned}$$Jadi, solusi umum persamaan Diophantine tersebut adalah $x = 776+19t$ dan $y = -194-5t$ untuk setiap bilangan bulat $t.$

Pertama, akan dicari $\text{FPB}(30, 47)$ menggunakan algoritma Euclides.
$$\begin{aligned} 47 & = 1 \cdot 30 + 17 && (\text{Iter}\text{asi}~1) \\ 30 & = 1 \cdot 17 + 13 && (\text{Iter}\text{asi}~2)\\ 17 & = 1 \cdot 13 + 4 && (\text{Iter}\text{asi}~3) \\ 13 & = 3 \cdot 4 + \color{red}{1} && (\text{Iter}\text{asi}~4) \\ 4 & = 4 \cdot 1 + 0 && (\text{Iter}\text{asi}~5) \end{aligned}$$Jadi, $\text{FPB}(30, 47) = \color{red}{1}$. Jelas bahwa $\color{red}{1}$ membagi habis $-11$ (konstanta persamaan di atas) sehingga persamaan memiliki solusi bulat.
Sekarang, kita kerjakan secara mundur dimulai dari iterasi 4 seperti berikut.
$$\begin{aligned} 1 & = 13-3 \cdot 4 \\ & = 13-3(17-1\cdot 13) \\ & = 4 \cdot 13-3 \cdot 17 \\ & = 4(30-1\cdot 17)-3 \cdot 17) \\ & = 4 \cdot 30-7 \cdot 17 \\ & = 4 \cdot 30-7 \cdot (47-1 \cdot 30) \\ & = 11 \cdot 30-7 \cdot 47 \\ -11 & = -121 \cdot 30 + 77 \cdot 47 \end{aligned}$$Dari sini, diperoleh solusi khusus dari persamaan tersebut, yaitu $x_0 = -121$ dan $y_0 = 77.$ Untuk mencari solusi umumnya, lakukan manipulasi aljabar dengan melibatkan sebuah parameter $t$.
$$\begin{aligned} -11 & = -121 \cdot 30 + 77 \cdot 47 \\ & = -121 \cdot 30 + 30 \cdot 47t + 77 \cdot 47-30 \cdot 47t \\ & = (-121 + 47t)30 + (77-30t)47 \end{aligned}$$Jadi, solusi umum persamaan Diophantine tersebut adalah $x = -121+47t$ dan $y = 77-30t$ untuk setiap bilangan bulat $t.$

Misalkan $x$ dan $y$ berturut-turut menyatakan banyaknya apel dan jeruk yang dibeli pria tersebut. Karena $1$ dolar sama dengan $100$ sen, kita peroleh persamaan linear Diophantine $25x + 18y = 839.$ Dalam kasus ini, akan dicari bilangan bulat taknegatif $x$ dan $y$ yang memenuhi persamaan tersebut.
Pertama, akan dicari $\text{FPB}(25, 18)$ menggunakan algoritma Euclides.
$$\begin{aligned} 25 & = 1 \cdot 18 + 7 && (\text{Iter}\text{asi}~1) \\ 18 & = 2 \cdot 7 + 4 && (\text{Iter}\text{asi}~2)\\ 7 & = 1 \cdot 4 + 3 && (\text{Iter}\text{asi}~3) \\ 4 & = 1 \cdot 3 + \color{red}{1} && (\text{Iter}\text{asi}~4) \\ 3 & = 3 \cdot 1 + 0 && (\text{Iter}\text{asi}~5) \end{aligned}$$Jadi, $\text{FPB}(25, 18) = \color{red}{1}$. Jelas bahwa $\color{red}{1}$ membagi habis $839$ (konstanta persamaan di atas) sehingga persamaan memiliki solusi bulat.
Sekarang, kita kerjakan secara mundur dimulai dari iterasi 4 seperti berikut.
$$\begin{aligned} 1 & = 4-1\cdot 3 \\ & = 4-1(7-1 \cdot 4) \\ & = 2 \cdot 4 -1\cdot 7 \\ & = 2(18-2\cdot 7)-1 \cdot 7 \\ & = 2 \cdot 18-5 \cdot 7 \\ & = 2 \cdot 18-5(25-1 \cdot 18) \\ & = 7 \cdot 18-5 \cdot 25 \\ 839 & = 5.873 \cdot 18-4.195 \cdot 25\end{aligned}$$Dari sini, diperoleh solusi khusus dari persamaan tersebut, yaitu $x_0 = -4.195$ dan $y_0 = 5.873.$ Untuk mencari solusi umumnya, lakukan manipulasi aljabar dengan melibatkan sebuah parameter $t$.
$$\begin{aligned} 839 & = 5.873 \cdot 18-4.195 \cdot 25 \\ & = 5.873 \cdot 18 + 18 \cdot 25t -4.195 \cdot 25 -18 \cdot 25t \\ & = (5.873+25t)18+(-4.195-18t)25 \end{aligned}$$Jadi, solusi umum persamaan Diophantine tersebut adalah $x = -4.195-18t$ dan $y = 5.873+25t$ untuk setiap bilangan bulat $t.$
Agar diperoleh solusi bulat taknegatif, haruslah $x = -4.195-18t \ge 0$ dan $y = 5.873 + 25t \ge 0,$ yang berturut-turut mengimplikasikan $t \le -233,\cdots$ dan $t \ge -234,\cdots.$ Dari sini, satu-satunya nilai $t$ yang memenuhi adalah $t = -234.$ Substitusi nilai $t$ tersebut pada $x$ dan $y$ akan menghasilkan $x = -4.195-18(-234) = 17$ dan $y = 5.873 + 25(-234) = 23.$ Artinya, pria tersebut membeli $17$ buah apel dan $23$ buah jeruk.

Diketahui
$$\begin{cases} x+y+z & = 100 && (\cdots 1) \\ x+8y+50z & = 156 && (\cdots 2) \end{cases}$$Kurangi Persamaan $(2)$ dengan Persamaan $(1)$.
$$\begin{aligned} (x+8y+50z)-(x+y+z) & = 156-100 \\ 7y+49z & = 56 \\ y + 7z & = 8 \end{aligned}$$Persamaan di atas menunjukkan bahwa berapapun nilai $z$ yang diambil, nilai $y$ selalu bulat. Misalkan $z = 1$, maka diperoleh $y = 1.$
Kita peroleh solusi khususnya untuk persamaan $y+7z=8$, yaitu $(y_0, z_0) = (1, 1)$.
Berdasarkan teorema Diophantine, persamaan tersebut akan memiliki solusi umum
$$\begin{aligned} y & = y_0 + \dfrac{b}{\text{FPB}(a, b)} \cdot k \\ & = 1+\dfrac{7}{\text{FPB}(1,7)} \cdot k \\ & = 1+\dfrac{7}{1}k = 1+7k \\ z & = z_0-\dfrac{b}{\text{FPB}(a, b)} \cdot k \\ & = 1-\dfrac{1}{\text{FPB}(1,7)} \cdot k \\ & = 1-\dfrac{1}{1}k = 1-k \end{aligned}$$untuk setiap bilangan bulat $k.$
Sekarang, dari persamaan semula $x+y+z=100$, diperoleh
$\begin{aligned} x+(1+7k)+(1-k) & = 100 \\ x + 2+6k & = 100 \\ x & = 98-6k \end{aligned}$
Dengan demikian, solusi umum sistem persamaan linear Diophantine tersebut adalah $\boxed{\left(98-6k, 1+7k, 1-k\right)}$

Perhatikan bahwa persamaan $x+y =xy-1$ dapat ditulis sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \color{blue}{xy-x-y}-1 & = 0 \\ \color{blue}{\left[(x-1)(y-1)-1\right]}-1 & = 0 \\ (x-1)(y-1) & = 2 \Rightarrow \begin{cases} 1 \cdot 2 \\ 2 \cdot 1 \\ (-1) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot (-1) \end{cases} \end{aligned}$$Kemungkinan 1:
$$\begin{aligned} (x-1) = 1 & \Leftrightarrow x = 2 \\ (y-1) = 2 & \Leftrightarrow y = 3 \end{aligned}$$Kemungkinan 2:
$$\begin{aligned} (x-1) = 2 & \Leftrightarrow x = 3 \\ (y-1) = 1 & \Leftrightarrow y = 2 \end{aligned}$$Tidak memenuhi syarat $x \le y$. Penyelesaian ditolak.
Kemungkinan 3:
$$\begin{aligned} (x-1) = -1 & \Leftrightarrow x = 0 \\ (y-1) = -2 & \Leftrightarrow y = -1 \end{aligned}$$Tidak memenuhi syarat $x \le y$. Penyelesaian ditolak.
Kemungkinan 4:
$$\begin{aligned} (x-1) = -2 & \Leftrightarrow x = -1 \\ (y-1) = -1 & \Leftrightarrow y = 0 \end{aligned}$$Jadi, HP = $\{(x, y) \mid (2, 3), (-1, 0)\}.$

Misalkan $x$ dan $y$ berturut-turut menyatakan banyaknya bungkus permen yang isinya $6$ butir dan $9$ butir. Dengan demikian, kita peroleh persamaan linear Diophantine
$$6x + 9y = 100.$$Perhatikan bahwa $6x+9y = 3(2x+3y)$ sehingga total permen akan selalu berkelipatan $3$. Karena $100$ bukan kelipatan $3$, tidak ada kombinasi jumlah bungkus permen agar tepat diperoleh $100$ butir permen.

Dari Persamaan $(3)$, kita peroleh $w = 10-2x.$
Substitusikan pada Persamaan $(2)$.
$$\begin{aligned} 3y-4z+2\color{red}{w} & = -5 \\ 3y-4z+2(10-2x) & = -5 \\ 3y-4z+20-4x & = -5 \\ -4x+3y-4z & = -25 \\ 4x-3y+4z & = 25 && (\cdots 4) \end{aligned}$$Persamaan $(1)$ dikali $4$, lalu ditambah dengan Persamaan $(4)$, diperoleh
$$\begin{aligned} 16x-19y & = 45 \\ -19y & = 45-16x \\ y & = \dfrac{1}{19}(16x-45) \end{aligned}$$Substitusikan pada Persamaan $(1)$, diperoleh
$$\begin{aligned} 3x-4y-z & = 5 \\ z & = 3x-4y-5 \\ z & = 3x-\dfrac{4}{19}(16x-45)-5 \\ z & = \dfrac{1}{19}(57x-64x+180-95) \\ z & = \dfrac{1}{19}(85-7x) \end{aligned}$$Agar $y$ bernilai bulat, haruslah
$$\begin{aligned} 16x-45 & \equiv 0~(\text{mod}~19) \\ 16x & \equiv 45~(\text{mod}~19) \\ 16x & \equiv (45+19) ~(\text{mod}~19) \\ 16x & \equiv 64~(\text{mod}~19) \\ 16x & \equiv 16(4)~(\text{mod}~19) \\ x & \equiv 4~(\text{mod}~19) \end{aligned}$$Karena $w = 10-2x \geq 0$, berarti $0 \leq x \leq 5$, $x = 4$ merupakan satu-satunya nilai $x$ yang memenuhi sistem tersebut. Oleh karena itu, kita peroleh $y = 1$, $z = 3$, dan $w = 2$.
Jadi, nilai $$\boxed{x+y+z+w = 4+1+3+2=10}$$

Misalkan $S, A, C$ berturut-turut menyatakan banyaknya buah semangka, apel, dan ceri sehingga banyaknya uang yang dikeluarkan Jane dan Luis dapat dinyatakan dalam sistem persamaan linear Diophantine berikut.
$$\begin{cases} 5S + 3A + 20C & = 46 && (\cdots 1) \\ 2S + 5A + 12C & = 27 && (\cdots 2) \end{cases}$$Samakan koefisien $S$ dengan cara Persamaan $(1)$ dikali $2$ dan Persamaan $(2)$ dikali $5$.
$$\begin{cases} 10S + 6A + 40C & = 92 && (\cdots 3) \\ 10S + 25A + 60C & = 135 && (\cdots 4) \end{cases}$$Kurangi Persamaan $(4)$ dengan Persamaan $(3)$.
$$\begin{aligned} 19A + 20C & = 43 \\ 20C & = 43-19A \\ C & = \dfrac{1}{20}(43-19A) \end{aligned}$$Substitusikan pada Persamaan $(1)$.
$$\begin{aligned} 5S+3A+20\color{red}{C} & = 46 \\ 5S+3A+(43-19A) & = 46 \\ 5S-16A+43 & = 46 \\ 5S & = 16A+3 \\ S & = \dfrac15(16A+3) \end{aligned}$$Karena $C = \dfrac{1}{20}(43-19A)$, nilai $A$ berada pada interval $0 < A < \dfrac{43}{19}$. Juga karena $S$ bilangan bulat positif, haruslah
$$\begin{aligned} 16A+3 & \equiv 0 (\text{mod}~5) \\ A & \equiv 2 (\text{mod}~5). \end{aligned}$$Dengan demikian, $A = 2$ merupakan satu-satunya solusi yang memenuhi kedua syarat di atas.
Jadi, harga sebuah apel adalah $\boxed{2}$ dolar.