Pertidaksamaan linear satu variabel (PtLSV) adalah pertidaksamaan matematika yang hanya memuat satu variabel dengan pangkat tertinggi satu. Karena berupa pertidaksamaan, akan ada $4$ tanda yang terlibat seperti yang terlihat pada tabel berikut.
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan disebut penyelesaian (solution). Karena nilai $x$ yang dimaksud umumnya tidak tunggal, kita biasanya merangkum semua nilai $x$ yang mungkin tersebut dalam bentuk himpunan. Namanya, himpunan penyelesaian (solution set).
Prinsip Dasar Penyelesaian PtLSV
Tujuan utama dalam menyelesaikan PtLSV adalah menentukan nilai variabel $x$ sehingga pertidaksamaan menjadi benar. Prinsip dasar yang digunakan adalah menjaga keseimbangan kedua ruas pertidaksamaan, yaitu:
- Jika suatu bilangan ditambahkan atau dikurangkan pada satu ruas, maka ruas lainnya juga harus ditambahkan atau dikurangkan dengan bilangan yang sama.
- Jika suatu bilangan dikalikan atau dibagi pada satu ruas, maka ruas lainnya juga harus dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama (selama bukan nol).
Dengan prinsip ini, pertidaksamaan dapat disederhanakan hingga diperoleh nilai $x$. Kemudian, ada satu tambahan prinsip lagi yang membedakan pengerjaan persamaan dan pertidaksamaan. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif, tanda ketaksamaannya harus dibalik. Artinya, $>$ harus diubah menjadi $<,$ begitu juga sebaliknya.
Prinsip ini dapat diobservasi melalui contoh sederhana bahwa $5 > 3.$ Namun, jika kedua ruas dikalikan $-1,$ diperoleh $-5 > -3.$ Jika tanda $>$ tetap dipertahankan, kita justru menemukan pernyataan yang keliru bahwa $-5 > -3,$ padahal seharusnya $-5$ lebih kecil daripada $-3.$ Jika ditinjau dari garis bilangan, bilangan yang tadinya lebih besar berada di kanan. Ketika dikali negatif, posisinya “dipantulkan” ke sisi sebaliknya sehingga hubungan besarnya ikut berubah.
Langkah Umum Menyelesaikan PtLSV
Langkah-langkah umum untuk menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel adalah sebagai berikut:
- Sederhanakan kedua ruas persamaan jika masih terdapat tanda kurung atau suku sejenis.
- Pindahkan semua suku yang memuat variabel ke satu ruas (biasanya ruas kiri).
- Pindahkan semua bilangan konstanta ke ruas lainnya.
- Sederhanakan pertidaksamaan hingga diperoleh bentuk $ax > b,$ $ax < b,$ $ax \ge b,$ atau $ax \le b.$
- Bagi kedua ruas dengan $a$ sehingga diperoleh $x > \dfrac{b}{a},$ atau bentuk varian ketaksamaan lain.
Misalkan diberikan persamaan $$x + 4 \ge 10.$$Langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
$$\begin{aligned} x + 4 & \ge 10 \\ x & \ge 10 -4 \\ x & \ge 6 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $x \ge 6,$ artinya semua bilangan yang nilainya lebih besar dari $6.$
Berikut telah disediakan sejumlah soal dan pembahasan mengenai PtLSV. Soal-soal yang disajikan disusun secara bertahap, mulai dari soal yang bersifat langsung hingga soal pemodelan masalah kontekstual. Melalui latihan ini, diharapkan pembaca dapat memahami konsep pertidaksamaan linear satu variabel secara lebih mendalam serta mampu menerapkannya dalam berbagai situasi kehidupan sehari-hari. Setiap soal dilengkapi dengan langkah penyelesaian yang rinci dan sistematis agar memudahkan pembaca dalam mengikuti proses berpikir matematis secara tepat.
Today Quote
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$x + 4 < 1$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} x + 4 & < 1 \\ x & < 1-4 \\ x & < -3. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x < -3}.$
Soal Nomor 2
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$x -5 > 4$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} x-5 & > 4 \\ x & > 4+5 \\ x & > 9. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x > 9}.$
Soal Nomor 3
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$x-3 \le -4$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} x-3 & \le -4 \\ x & \le -4+3 \\ x & \le -1. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \le -1}.$
Soal Nomor 4
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$2x + 1 \ge 5$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 2x + 1 & \ge 5 \\ 2x & \ge 5-1 \\ 2x & \ge 4 \\ x & \ge \dfrac{4}{2} = 2. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \ge 2}.$
Soal Nomor 5
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$3x-5 < 7$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 3x-5 & < 7 \\ 3x & < 7+5 \\ 3x & < 12 \\ x & < \dfrac{12}{3} = 4. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x < 4}.$
Soal Nomor 6
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$4x + 10 \le 30$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 4x + 10 & \le 30 \\ 4x & \le 30-10 \\ 4x & \le 20 \\ x & \le \dfrac{20}{4} = 5. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \le 5}.$
Soal Nomor 7
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$5x-10 \ge 10$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 5x-10 & \ge 10 \\ 5x & \ge 10+10 \\ 5x & \ge 20 \\ x & \ge \dfrac{20}{5} = 4. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \ge 4}.$
Soal Nomor 8
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$6x-5 \le -2$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 6x-5 & \le -2 \\ 6x & \le -2+5 \\ 6x & \le 3 \\ x & \le \dfrac{3}{6} = \dfrac12. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x = dfrac12}.$
Soal Nomor 9
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$7x-4 > -5$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 7x-4 & > -5 \\ 7x & > -5+4 \\ 7x & > -1 \\ x & > -\dfrac{1}{7}. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x = -\dfrac17}.$
Soal Nomor 10
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$4-3x<-5$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 4-3x & < -5 \\ -3x & < -5-4 \\ -3x & < -9 \\ x & < \dfrac{-9}{-3} = 3. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x < 3}.$
Soal Nomor 11
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$5-4x \le 1 $$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 5-4x & \le 1 \\ -4x & \le 1-5 \\ -4x & \le -4 \\ x & \ge dfrac{-4}{-4} = 1 && (\text{Tanda dibalik}). \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \ge 1}.$
Soal Nomor 12
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$-4 + 4x \ge 9$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} -4 + 4x & \ge 9 \\ 4x & \ge 9+4 \\ 4x & \ge 13 \\ x & \ge \dfrac{13}{4}. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \ge \dfrac{13}{4}}.$
Soal Nomor 13
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$2 + 3x < 5 + x$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 2 + 3x & < 5 + x \\ 3x-x & < 5-2 \\ 2x & < 3 \\ x & < \dfrac{3}{2}. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x < \dfrac32}.$
Soal Nomor 14
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$2-3x > 5-2x$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 2-3x & > 5-2x \\ -3x + 2x & > 5-2 \\ -x & > 3 \\ x & < -3 && (\text{Tanda dibalik}). \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x < -3}.$
Soal Nomor 15
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$-4x + 5 \le 7x + 10$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} -4x + 5 & \le 7x + 10 \\ -4x-7x & \le 10-5 \\ -11x & \le 5 \\ x & \ge -\dfrac{5}{11} && (\text{Tanda dibalik}). \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \ge -dfrac{5}{11}}.$
Soal Nomor 16
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$6x-1>x-10$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 6x-1 & > x-10 \\ 6x-x & > -10+1 \\ 5x & > -9 \\ x & > -\dfrac95. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x > -\dfrac95}.$
Soal Nomor 17
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$5-3x \ge 10-7x$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 5-3x & \ge 10-7x \\ -3x + 7x & \ge 10-5 \\ 4x & \ge 5 \\ x & \ge dfrac54. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \ge dfrac54}.$
Soal Nomor 18
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$4-10x \le 5(x-3)$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 4-10x & \le 5(x-3) \ 4-10x & \le 5x-15 \ -10x-5x & \le -15-4 \ -15x & \le -19 \ x & \ge dfrac{-19}{-15} = \dfrac{19}{15}. \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \ge \dfrac{19}{15}}.$
Soal Nomor 19
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$2(4-x) < 10x + 7$$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 2(4-x) & < 10x+7 \\ 8-2x & < 10x+7 \\ -2x-10x & < 7-8 \\ -12x & < -1 \\ x & > dfrac{-1}{-12} = dfrac{1}{12} && (\text{Tanda dibalik}). \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x > \dfrac{1}{12}}.$
Soal Nomor 20
Selesaikan pertidaksamaan linear berikut.
$$4(5-7x) \ge 5(3-2x) $$
Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$\begin{aligned} 4(5-7x) & \ge 5(3-2x) \\ 20-28x & \ge 15-10x \\ -28x + 10x & \ge 15-20 \\ -18x & \ge -5 \\ x & \le dfrac{-5}{-18} = dfrac{5}{18} && (\text{Tanda dibalik}). \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $\boxed{x \le \dfrac{5}{18}}.$
Soal Nomor 21
Modelkan kalimat berikut menjadi pertidaksamaan linear, kemudian selesaikan pertidaksamaan tersebut dengan mencari nilai variabel yang sesuai.
Umur Skibidi 7 tahun mendatang tidak lebih dari dua kali umurnya sekarang.
Misalkan $x$ menyatakan umur Skibidi sekarang sehingga pertidaksamaan linear yang sesuai adalah $2x = x + 8.$ Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$begin{aligned} 2x & = x+8 \ 2x -x & =8 \ x & = 8. end{aligned}$$Dengan demikian, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $x = 8.$
Artinya, umur Skibidi sekarang adalah $8$ tahun.
Soal Nomor 22
Modelkan kalimat berikut menjadi pertidaksamaan linear, kemudian selesaikan pertidaksamaan tersebut dengan mencari nilai variabel yang sesuai.
Berat tas Ardi paling sedikit $3$ kg lebih ringan dari dua kali berat buku yang dibawanya.
Misalkan $m$ menyatakan harga sebuah mangga sehingga pertidaksamaan linear yang sesuai adalah $3m = 100.000-16.000.$ Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$begin{aligned} 3m & = 100.000-16.000 \ 3m & = 84.000 \ m & = dfrac{84.000}{3} = 28.000. end{aligned}$$Dengan demikian, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $m = 28.000.$
Artinya, harga sebuah mangga adalah Rp28.000.
Soal Nomor 23
Modelkan kalimat berikut menjadi pertidaksamaan linear, kemudian selesaikan pertidaksamaan tersebut dengan mencari nilai variabel yang sesuai.
Panjang sebuah pita tidak lebih dari 4 cm dikurangi setengah dari panjang awalnya.
Misalkan $a$ menyatakan harga sebuah apel sehingga pertidaksamaan linear yang sesuai adalah $4a = 2a + 20.000.$ Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$begin{aligned} 4a & = 2a+20.000 \ 4a-2a & = 20.000 \ 2a & = 20.000 \ a & = dfrac{20.000}{2} = 10.000. end{aligned}$$Dengan demikian, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $a = 10.000.$
Artinya, harga sebuah apel adalah Rp10.000.
Soal Nomor 24
Modelkan kalimat berikut menjadi pertidaksamaan linear, kemudian selesaikan pertidaksamaan tersebut dengan mencari nilai variabel yang sesuai.
Banyak soal yang dapat diselesaikan Lili sekurang-kurangnya 2 lebih banyak dari setengah jumlah soal yang tersedia.
Misalkan $S$ menyatakan umur Sigma Boy sekarang sehingga pertidaksamaan linear yang sesuai adalah $S + 5 = 2S.$ Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$begin{aligned} S + 5 & = 2S \ 2S-S & = 5\ S & = 5. end{aligned}$$Dengan demikian, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $S = 5.$
Artinya, umur Sigma Boy sekarang adalah $5$ tahun.
Soal Nomor 25
Modelkan kalimat berikut menjadi pertidaksamaan linear, kemudian selesaikan pertidaksamaan tersebut dengan mencari nilai variabel yang sesuai.
Suhu suatu ruangan paling tinggi 5°C di bawah tiga kali kenaikan suhu yang terjadi.
Misalkan $b$ menyatakan harga $1$ buku tulis. Karena harga $1$ pulpen adalah Rp3.000, $3$ pulpen akan seharga Rp9.000. Oleh karena itu, pertidaksamaan linear yang sesuai adalah $3b + 9.000 = 24.000.$ Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$begin{aligned} 3b + 9.000 & = 24.000 \ 3b & = 24.000-9.000 \ 3b & = 15.000 \ b & = dfrac{15.000}{3} = 5.000. end{aligned}$$Dengan demikian, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $b = 5.000.$
Artinya, harga $1$ buku tulis adalah Rp5.000.
Soal Nomor 26
Modelkan kalimat berikut menjadi pertidaksamaan linear, kemudian selesaikan persamaan tersebut dengan mencari nilai variabel yang sesuai.
Empat kali suatu bilangan ditambah delapan sama dengan dua kali bilangan tersebut ditambah dua puluh.
Misalkan $x$ menyatakan bilangan yang dimaksud sehingga pertidaksamaan linear yang sesuai adalah $4x + 8 = 2x + 20.$ Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$begin{aligned} 4x+8 & = 2x+20 \ 4x-2x & = 20-8 \ 2x & = 12 \ x & = dfrac{12}{2} = 6. end{aligned}$$Dengan demikian, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $x = 6.$
Artinya, bilangan yang dimaksud tersebut adalah $6.$
Soal Nomor 27
Modelkan kalimat berikut menjadi pertidaksamaan linear, kemudian selesaikan persamaan tersebut dengan mencari nilai variabel yang sesuai.
Tiga kali suatu bilangan dikurangi empat sama dengan dua kali bilangan tersebut ditambah tujuh.
Misalkan $x$ menyatakan bilangan yang dimaksud sehingga pertidaksamaan linear yang sesuai adalah $3x-4 = 2x+7.$ Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$begin{aligned} 3x-4 & = 2x+7 \ 3x-2x & = 7+4 \ x & = 11. end{aligned}$$Dengan demikian, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $x = 11.$
Artinya, bilangan yang dimaksud tersebut adalah $11.$
Soal Nomor 28
Modelkan kalimat berikut menjadi pertidaksamaan linear, kemudian selesaikan persamaan tersebut dengan mencari nilai variabel yang sesuai.
Tiga kurangnya dari suatu bilangan sama dengan empat kali bilangan tersebut ditambah delapan.
Misalkan $x$ menyatakan bilangan yang dimaksud sehingga pertidaksamaan linear yang sesuai adalah $x-3 = 4x + 8.$ Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$begin{aligned} x-3 & = 4x+8 \ -3-8 & = 4x-x \ -11 & = 3x \ x & = -dfrac{11}{3}. end{aligned}$$Dengan demikian, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $x = -dfrac{11}{3}.$
Artinya, bilangan yang dimaksud tersebut adalah $-dfrac{11}{3}.$
Soal Nomor 29
Tuliskan pertidaksamaan linear yang sesuai dengan ilustrasi berikut, kemudian selesaikan.
Misalkan $d$ menyatakan harga sebuah durian. Ini berarti, pertidaksamaan linear yang sesuai dengan ilustrasi tersebut adalah $3d + 25.000 = 85.000.$ Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$begin{aligned} 3d+25.000 & = 85.000 \ 3d & = 85.000-25.000 \ 3d & = 60.000 \ d & = 20.000. end{aligned}$$Dengan demikian, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $d = 20.000.$
Artinya, harga sebuah durian adalah Rp20.000.
Soal Nomor 30
Tuliskan pertidaksamaan linear yang sesuai dengan ilustrasi berikut, kemudian selesaikan.
Misalkan $k$ menyatakan harga satu kursi. Ini berarti, pertidaksamaan linear yang sesuai dengan ilustrasi tersebut adalah $250.000-3k = k + 10.000.$ Dengan menggunakan perhitungan aljabar sederhana, diperoleh
$$begin{aligned} 250.000-3k & = k+10.000 \ 250.000-10.000 & = k+3k \ 240.000 & = 4k \ k & = dfrac{240.000}{4} = 60.000 end{aligned}$$Dengan demikian, penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut adalah $k = 60.000.$
Artinya, harga satu kursi adalah Rp60.000.