Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang barisan dan deret aritmetika. Soal-soal ini dikumpulkan dari berbagai sumber termasuk soal UN maupun SBMPTN. Semoga bermanfaat. 

Soal Nomor 1
Rumus umum suku ke-n untuk barisan -1, 1, 3, 5, 7, \cdots adalah \cdots
A. \text{U}_n = n + 2            D. \text{U}_n = 2n-3
B. \text{U}_n = 2n-1           E. \text{U}_n = 3n-2
C. \text{U}_n = 2n-2

Penyelesaian

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap.
Diketahui a = -1 dan b = 2, sehingga
\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = -1 + (n - 1) \times 2 \\ & = -1 + 2n - 2 \\ & = 2n - 3 \end{aligned}
Jadi, rumus umum suku ke-n adalah \boxed{\text{U}_n = 2n - 3} (Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 2
Suku ke-n suatu barisan bilangan dirumuskan \text{U}_n = 15 - 3n. Suku ke-15 dari barisan tersebut adalah \cdots
A. 30       B. 15        C. 0        D. -15        E. -30

Penyelesaian

Diketahui \text{U}_n = 15-3n. Untuk n = 15, diperoleh
\text{U}_{15} = 15 - 3(15) = 15-45 = -30
Jadi, suku ke-15 dari barisan tersebut adalah \boxed{-30} (Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui suku ke-5 dan suku ke-9 dari suatu barisan bilangan aritmetika adalah 18 dan 6. Suku ke-3 barisan tersebut adalah \cdots
A. 9        B. 12         C. 15         D. 21          E. 24

Penyelesaian

Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah \text{U}_n = a + (n-1)b. Akan dicari nilai dari b (beda) sebagai berikut.
b = \dfrac{\text{U}_9 - \text{U}_5}{9 - 5} = \dfrac{6-18}{4} = -3
Selanjutnya, akan dicari nilai a (suku pertama) dengan menggunakan persamaan \text{U}_5 = 18 sebagai berikut.
\begin{aligned} \text{U}_5 = a + 4b & = 18 \\ a + 4(-3) & = 18 \\ a & = 30 \end{aligned}
Suku ke-3 barisan tersebut adalah
\boxed{\text{U}_3 = a + 2b = 30 + 2(-3) = 24} (Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 4
Rumus umum dari barisan bilangan -8, 0,8,16, \cdots adalah \cdots
A. \text{U}_n = 2n                D. \text{U}_n = 8n+16
B. \text{U}_n = 2n+2          E. \text{U}_n = 8n-16
C. \text{U}_n = 4n-6   

Penyelesaian

Barisan bilangan itu merupakan barisan aritmetika karena memiliki suku yang berdekatan sama/tetap.
Diketahui a = -8 dan b = 8.
Dengan menggunakan formula suku ke-n barisan aritmetika, didapat
\begin{aligned} \text{U}_n & = a +(n-1)b \\ & = -8 + (n-1)\times 8 \\ & -8 + 8n - 8 \\ & = 8n -16 \end{aligned}
Jadi, rumus umum barisan tersebut adalah \boxed{\text{U}_n = 8n-16} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui barisan aritmetika dengan \text{U} _5 =17 dan \text{U}_{10} = 32. Suku ke-20 adalah \cdots
A. 57      B. 62     C. 67      D. 72      E. 77

Penyelesaian

Perhatikan bahwa \text{U}_5 = 17 dan \text{U}_{10} = 32.
Dari sini, kita mengetahui bahwa untuk setiap lima suku, bedanya adalah 32-17 = 15.
Dengan demikian,
\text{U}_{15} = 32+15 = 47 dan \text{U}_{20} = 47+15 = 62
Jadi, suku ke-20 barisan aritmetika tersebut adalah \boxed{62} (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Dari suatu deret aritmetika, diketahui suku pertama adalah 20 dan suku keenam adalah 40. Jumlah sepuluh suku pertama dari deret tersebut adalah \cdots
A. 340      B. 350     C. 360        D. 370        E. 380

Penyelesaian

Diketahui a = 20 dan \text{U}_6 = 40.
Langkah pertama adalah mencari nilai b (beda) terlebih dahulu.
\begin{aligned} \text{U}_6 & = 40 \\ a + 5b & = 40 \\ 20 + 5b & = 40 \\ 5b & = 20 \\ b & = 4 \end{aligned}
Dengan demikian, akan dicari hasil dari \text{S}_{10} sebagai berikut.
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b)  \\ \text{S}_{10} & = \dfrac{10}{2}\left(2 \cdot 20 + (10-1) \cdot 4\right) \\ & = 5(40 + 36) \\ & = 5(76) = 380 \end{aligned}
Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah \boxed{380}
(Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 7
Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika: -18, -15, -12, -9 adalah \cdots
A. \text{U}_n = -3n + 15              D. \text{U}_n = 3n + 21
B. \text{U}_n = -3n - 15               E. \text{U}_n = 3n - 21
C. \text{U}_n = 3n + 15

Penyelesaian

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap. Diketahui a = -18 dan b = 3, sehingga
\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = -18 + (n - 1) \times 3 \\ & = -18 + 3n - 3 = 3n - 21 \end{aligned}
Jadi, rumus umum suku ke-n adalah \boxed{\text{U}_n = 3n-21} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui barisan aritmetika: 4, 1, -2, -5, \cdots. Suku ke-10 barisan tersebut adalah \cdots
A. 31        B. 23         C. -23        D. -26         E. -31

Penyelesaian

Diketahui: a = 4 dan b = -3. Dengan demikian,
\begin{aligned} \text{U}_{n} & = a + (n - 1)b \\ \text{U}_{10} & = 4 + (10 - 1) \times (-3) \\ & = 4 + 9 \times (-3) \\ & = 4 - 27 = -23 \end{aligned}
Jadi, suku ke-10 barisan aritmetika tersebut adalah \boxed{-23} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 dari barisan aritmetika secara berturut-turut adalah -5 dan -9. Suku ke-10 dari barisan tersebut adalah \cdots
A. 20      B. 19       C. 17        D. -19        E. -20

Penyelesaian

Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah \text{U}_n = a + (n-1)b. Akan dicari nilai dari b (beda) sebagai berikut.
b = \dfrac{\text{U}_5 - \text{U}_3}{5 - 3} = \dfrac{-9 - (-5)}{2} = -2
Selanjutnya, akan dicari nilai a (suku pertama) dengan menggunakan persamaan \text{U}_3 = -5 sebagai berikut.
\begin{aligned} \text{U}_3 = a + 2b & = -5 \\ a + 2(-2) & = -5 \\ a - 4 & = -5 \\ a & = -1 \end{aligned}
Suku ke-10 barisan tersebut adalah \boxed{\text{U}_{10} = a + 9b = -1 + 9(-2) = -19} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 10
Hasil produksi pakaian seragam sekolah putih abu-abu yang dibuat oleh siswa-siswa SMK Jurusan Tata Busana pada bulan pertama menghasilkan 80 setel. Setiap bulan berikutnya, hasil produksi meningkat sebanyak 10 setel sehingga membentuk deret aritmetika. Banyak hasil produksi selama 6 bulan pertama adalah \cdots setel.
A. 530       B. 620        C. 625          D. 630         E. 840

Penyelesaian

Ini merupakan kasus barisan aritmetika (karena terdapat penambahan hasil produksi yang tetap/konstan setiap bulan).
Diketahui a = 80 dan b = 10.
Jumlah pakaian seragam sekolah putih abu-abu yang diproduksi selama 6 bulan pertama adalah
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b)  \\ \text{S}_{6} & = \dfrac{6}{2}(2 \cdot 80 + (6-1) \cdot 10) \\ & = 3(160 + 50) \\ & = 3(210) = 630 \end{aligned}
Jadi, jumlah/banyaknya seragam yang diproduksi selama 6 bulan adalah \boxed{630~\text{setel}} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 11 
Sebuah perusahaan pada bulan pertama memproduksi 8.000 unit barang dan menaikkan produksinya tiap bulan sebanyak 300 unit. Jumlah barang yang diproduksi selama satu semester adalah \cdots
A. 57.000 unit        D. 29.400 unit
B. 53.400 unit        E. 28.500 unit
C. 52.500 unit  

Penyelesaian

Ini merupakan kasus barisan aritmetika (karena terdapat penambahan produksi yang tetap/konstan setiap bulan).
Diketahui a = 8.000 dan b = 300.
Jumlah barang yang diproduksi selama satu semester (6 bulan) adalah
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b)  \\ \text{S}_{6} & = \dfrac{6}{2}(2 \cdot 8.000 + (6-1) \cdot 300) \\ & =3(16.000 + 1.500) \\ & = 3(17.500) =52.500\end{aligned}
Jadi, jumlah barang yang diproduksi selama satu semester adalah \boxed{52.500~\text{unit}} (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui barisan bilangan: 6, 10, 14, \cdots. Rumus umum suku ke-n untuk barisan bilangan tersebut adalah \cdots
A. \text{U}_n = -4n-2          D. \text{U}_n = n-4
B. \text{U}_n = 4n-2           E. \text{U}_n = n+4
C. \text{U}_n = 4n+2

Penyelesaian

Barisan itu adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih suku yang berdekatan tetap.
Diketahui a = 6 dan b = 4, sehingga
\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 6 + (n - 1) \times 4 \\ & = 6 + 4n - 4 \\ & = 4n + 2 \end{aligned}
Jadi, rumus umum suku ke-n adalah \boxed{\text{U}_n = 4n + 2} (Jawaban C) 

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui suatu barisan aritmetika dengan \text{U}_4 = 17 dan \text{U}_9 = 37. Suku ketujuh barisan tersebut adalah \cdots
A. 25         B. 29         C. 32          D. 40          E. 44

Penyelesaian

Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah \text{U}_n = a + (n-1)b. Akan dicari nilai dari b (beda) sebagai berikut.
b = \dfrac{\text{U}_9 - \text{U}_4}{9 - 4} = \dfrac{37-17}{5} = 4
Selanjutnya, akan dicari nilai a (suku pertama) dengan menggunakan persamaan \text{U}_4 = 17 sebagai berikut.
\begin{aligned} \text{U}_4 = a + 3b & = 17 \\ a + 3(4) & = 17 \\ a + 12 & = 17 \\ a & = 5 \end{aligned}
Suku ke-7 barisan tersebut adalah
\boxed{\text{U}_7 = a + 6b = 5 + 6(4) = 29} (Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui barisan aritmetika dengan suku pertama 3 dan suku ke-5 adalah 11. Suku ke-25 dari barisan tersebut adalah \cdots
A. 73       B. 70        C. 68         D. 61        E. 51

Penyelesaian

Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah \text{U}_n = a + (n-1)b. Akan dicari nilai dari b (beda) sebagai berikut.
b = \dfrac{\text{U}_5 - \text{U}_1}{5 - 1} = \dfrac{11 - 3}{4} = 2
Suku ke-25 barisan tersebut adalah
\boxed{\text{U}_{25} = a + 24b = 3 + 24(2) = 51} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 15
Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antarbulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp50.000,00, bulan kedua Rp55.000,00, bulan ketiga Rp60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah \cdots
A. Rp2.640.000,00             D. Rp1.320.000,00
B. Rp2.580.000,00             E. Rp1.315.000,00
C. Rp2.040.000,00

Penyelesaian

Karena selisih antarsuku tetap (konstan), maka kasus di atas tergolong masalah kontekstual yang melibatkan barisan aritmetika.
Diketahui \text{U}_1 = a = 50.000 dan b = 5.000.
Akan dicari nilai dari \text{S}_{24} (2 tahun = 24 bulan).
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ \text{S}_{24} & = \dfrac{24}{2}(2 \times 50.000 + (24 - 1) \times 5.000) \\ & = 12(100.000 + 115.000) \\ & = 12 \times 215.000 = 2.580.000 \end{aligned}
Jadi, besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah Rp2.580.000,00 (Jawaban B).

[collapse]

Soal Nomor 16
Jumlah produksi suatu pabrik pada setiap bulannya membentuk deret aritmetika. Jika banyak produksi pada bulan keempat 17 ton dan jumlah produksi selama empat bulan pertama 44 ton, maka banyak produksi pada bulan kelima adalah \cdots ton.
A. 24         B. 23           C. 22         D. 21           E. 20

Penyelesaian

 Diketahui \text{U}_4 = 17 dan \text{S}_4 = 44. Dengan menggunakan formula jumlah deret aritmetika, yaitu
\boxed{\text{S}_n = \dfrac{n}{2}(a + \text{U}_n)}
diperoleh
\begin{aligned} \text{S}_4 & = \dfrac{4}{2}(a + \text{U}_4)} \\ 44 & = 2(a + 17) \\ \dfrac{44}{2} & = a + 17 \\ 22 & = a + 17 \\ a & = 5 \end{aligned}
Selanjutnya, akan dicari selisih tiap suku yang berdekatan, yaitu b.
\begin{aligned} \text{U}_4 = a + 3b & = 17 \\ 5 + 3b & = 17 \\ 3b & = 12 \\ b & = 4 \end{aligned}
Jadi, banyak produksi pada bulan kelima adalah
\boxed{\text{U}_5 = a + 4b = 5 + 4(4) = 21~\text{ton}} (Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 17
Rumus suku ke-n dari barisan bilangan: 5, 2, -1, -4, \cdots adalah \cdots
A. \text{U}_n = 5n-3
B. \text{U}_n = 3n+2
C. \text{U}_n = 3n-8
D. \text{U}_n = -3n-8
E. \text{U}_n = -3n+8

Penyelesaian

Barisan di atas termasuk barisan aritmetika dengan suku pertama a = 5 dan b = -3. Dengan demikian, diperoleh
\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ & = 5 + (n-1)(-3) \\ & = 5 - 3n + 3 \\ & = -3n + 8 \end{aligned}
Jadi, rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah \boxed{\text{U}_n = -3n + 8} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 18
Suatu barisan aritmetika diketahui memiliki \text{U}_3 = -1 dan \text{U}_5 = 3. Besar suku ke-10 dari barisan tersebut adalah \cdots
A. -8           B. -4          C. 4            D. 8            E. 13

Penyelesaian

Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah \text{U}_n = a + (n-1)b. Akan dicari nilai dari b (beda) sebagai berikut.
b = \dfrac{\text{U}_5 - \text{U}_3}{5 - 3} = \dfrac{3 - (-1)}{2} = 2
Selanjutnya, akan dicari nilai a (suku pertama) dengan menggunakan persamaan \text{U}_3 = -1 sebagai berikut.
\begin{aligned} \text{U}_3 = a + 2b & = -1 \\ a + 2(2) & = -1 \\ a + 4 & = -1 \\ a & = -5 \end{aligned}
Suku ke-10 barisan tersebut adalah \boxed{\text{U}_{10} = a + 9b = -5 + 9(2) = 13} (Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 19
Pada bulan Januari, Asep mulai menyisihkan uang sakunya untuk disimpan dalam sebuah tabungan. Mula-mula ia menyimpan Rp2.000,00, kemudian Februari Rp2.500,00, Maret Rp3.000,00, dan seterusnya. Jumlah uang yang disimpan Asep selama satu tahun pertama adalah \cdots
A. Rp29.500,00            D. Rp57.000,00
B. Rp30.000,00            E. Rp57.500,00
C. Rp48.500,00

Penyelesaian

Jumlah uang yang ditabung tiap bulannya oleh Asep membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama a = 2.000 dan beda b = 500. Dalam kasus ini, akan dicari nilai dari \text{S}_{12} (1 tahun = 12 bulan). 
\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(2a+(n-1)b) \\ \text{S}_{12} & = \dfrac{12}{2}(2(2.000) + (12-1) \times 500) \\ & = 6(4.000 + 5.500) \\ & = 6(9.500) = 57.000 \end{aligned}
Jadi, jumlah uang yang disimpan Asep selama satu tahun pertama adalah Rp57.000,00 (Jawaban D)

[collapse]
Ayo Beri Rating Postingan Ini