Analogi Logika Matematika pada Rangkaian Listrik

Putus alirnya arus listrik pada rangkaian listrik ditentukan oleh alat yang disebut sebagai sakelar listrik.

Saklar atau Sakelar? 

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), kata baku yang benar adalah sakelar (dengan e). Di luar sana masih banyak ditemukan penulisan “saklar”, sehingga perlu ditekankan di awal mengenai hal ini.

Dalam bentuk diagram, rangkaian listrik dapat digambarkan seperti berikut.

Rangkaian listrik dengan satu sakelar
Rangkaian listrik dengan satu sakelar
  1. Jika sakelar $p$ dalam keadaan tertutup, maka arus listrik mengalir pada jaringan.
  2. Jika sakelar $p$ dalam keadaan terbuka (seperti gambar di atas), maka arus listrik terputus pada jaringan.

Untuk suatu rangkaian listrik yang terdiri dari lebih dari satu sakelar, maka sakelar yang ada dapat disusun secara seri (berturut) atau paralel (bercabang).

Rangkaian listrik dengan dua sakelar yang disusun secara seri
Rangkaian listrik dengan dua sakelar yang disusun secara seri
Rangkaian listrik dengan dua sakelar yang disusun secara paralel
Rangkaian listrik dengan dua sakelar yang disusun secara paralel

Rangkaian listrik seperti gambar di atas mungkin tidak asing lagi, karena sudah dipelajari dalam fisika.

Rangkaian listrik dan sakelarnya dapat dianalogikan dengan pernyataan yang bernilai benar (B) atau salah (S). Nilai B identik dengan sakelar tertutup (arus listrik mengalir), sedangkan nilai S identik dengan sakelar terbuka (arus listrik terputus). Rangkaian listrik dengan dua sakelar yang disusun secara seri identik dengan konjungsi dari dua pernyataan. Perhatikan gambar rangkaian listrik berikut.

Kemungkinan susunan sakelar pada rangkaian seri

Dari gambar, tampak bahwa apabila ada satu saja sakelar yang terbuka, maka arus listrik akan terputus dalam jaringan. Ini sesuai dengan nilai kebenaran pada pernyataan konjungsi yang menyatakan bahwa akan bernilai BENAR jika kedua pernyataan tunggal juga BENAR, seperti yang ditunjukkan dalam tabel kebenaran konjungsi di bawah.
Apabila sakelar pada rangkaian listrik disusun secara paralel seperti gambar di bawah, maka hal itu identik dengan disjungsi dua pernyataan.

Kemungkinan susunan sakelar pada rangkaian paralel
Kemungkinan susunan sakelar pada rangkaian paralel

Dari gambar, tampak bahwa satu sakelar tertutup sudah cukup untuk membuat arus listrik mengalir dalam jaringan. Ini sesuai dengan nilai kebenaran pada pernyataan disjungsi yang menyatakan bahwa akan bernilai BENAR jika setidaknya ada satu pernyataan tunggal bernilai BENAR, seperti yang ditunjukkan dalam tabel kebenaran disjungsi di bawah.
Perlu diketahui juga bahwa operasi konjungsi dan disjungsi dalam logika matematika bersifat komutatif (dibolak-balik tidak mengubah hasil akhirnya). Secara matematis, ditulis
$$\boxed{\begin{aligned} p \,\land q & \equiv q \, \land p \\ p \lor q & \equiv q \lor p \end{aligned}}$$Ini penting untuk diketahui karena notasi logika yang identik dengan rangkaian listrik tertentu hanya melibatkan kedua operasi ini, sehingga tidak perlu mempermasalahkan ketika penulisannya terbalik atau tertukar.
Sekarang, akan dijelaskan cara menentukan notasi konjungsi dan disjungsi dari susunan rangkaian listrik yang diberikan.

Contoh a:

Tampak bahwa sakelar $q$ dan $r$ disusun secara paralel, sehingga ditulis $q \lor r$. Sakelar $p$ disusun seri dengan $qr$. Secara keseluruhan, notasi logika yang sesuai adalah $\boxed{p \, \land (q \lor r)}$
Contoh b:

  1. Sakelar $q$ dan $r$ seri, ditulis $q \, \land r.$
  2. Sakelar $qr$ dan $s$ paralel, ditulis $(q \, \land r) \lor s.$
  3. Sakelar $p$, $qrs$, dan $t$ disusun seri, ditulis $p \, \land ((q \, \land r) \lor s) \, \land t.$

Jadi, notasi logika yang sesuai adalah $\boxed{p \, \land ((q \, \land r) \lor s) \, \land t}$
Contoh c:

 

  1. Sakelar $p$ dan $r$ paralel, ditulis $p \lor r.$
  2. Sakelar $q$ dan $r$ juga paralel, ditulis $q \lor r.$
  3. Sakelar $pr$ dan $qr$ seri, ditulis $(p \lor r) \, \land (q \lor r).$

Jadi, notasi logika yang sesuai adalah $\boxed{(p \lor r) \, \land (q \lor r)}$
Contoh d:

Pada rangkaian bagian atas:

  1. Sakelar $p$ dan $q$ paralel, ditulis $p \lor q.$
  2. Sakelar $pq$ dan $r$ seri, ditulis $(p \lor q) \, \land r.$

Pada rangkaian bagian bawah:

  1. Sakelar $r$ dan $q$ paralel, ditulis $r \lor q.$
  2. Sakelar $p$ dan $qr$ seri, ditulis $p \, \land (r \lor q).$

Susunan rangkaian atas dan bawah paralel, sehingga diperoleh notasi logika yang tepat, yakni $\boxed{((p \lor q) \, \land r) \lor (p \, \land (r \lor q))}$

Berikut disajikan beberapa soal sebagai bahan latihan yang juga telah disertai dengan pembahasannya. 

Today Quote

Overthinking is just a painful reminder that you care way too much, even when you shouldn’t.

Soal Nomor 1
Tuliskan notasi logika dari rangkaian listrik di bawah.

Pembahasan

Berdasarkan gambar rangkaian di atas, diketahui bahwa:

  1. $p$ dan $q$ paralel, ditulis $p \lor q.$
  2. $p$ dan $r$ seri, ditulis $p \, \land r.$
  3. $pq$ dan $pr$ paralel, ditulis $(p \lor q) \lor (p \, \land r).$

Jadi, notasi logika yang sesuai adalah $\boxed{(p \lor q) \lor (p \, \land r)}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Tuliskan notasi logika dari rangkaian listrik di bawah.

Pembahasan

Berdasarkan gambar rangkaian di atas, diketahui bahwa:

  1. $q$ dan $r$ paralel, ditulis $q \lor r.$
  2. $qr$ dan $p$ paralel, ditulis $(q \lor r) \lor p.$
  3. $p$ (kiri), $pqr$ (tengah), dan $r$ (kanan) seri, ditulis $p \, \land ((q \lor r) \lor p) \, \land r.$

Jadi, notasi logika yang sesuai adalah $\boxed{p \, \land ((q \lor r) \lor p) \, \land r}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Tuliskan notasi logika dari rangkaian listrik di bawah.

Pembahasan

Perhatikan penomoran bagian berikut untuk mempermudah penjelasan.

Pada rangkaian 1:
$p$ dan $q$ paralel, ditulis $p \lor q.$
Pada rangkaian 3:
$p$, $q$, dan $r$ paralel, ditulis $p \lor q \lor r.$
Pada rangkaian 2:
$q$, $r$, dan $s$ paralel, ditulis $q \lor r \lor s.$
Susunan rangkaian 1 dan 3 seri, kemudian paralel terhadap rangkaian 2. Jadi, notasi logika yang sesuai adalah $$\boxed{((p \lor q) \, \land (p \lor q \lor r)) \lor (q \lor r \lor s)}$$

[collapse]

Soal Nomor 4
Gambarkan rangkaian listrik dari notasi logika berikut.
a. $(p \lor q) \, \land (p \lor q \lor r)$
b. $p \, \land ((q \lor r) \lor (s \, \land p))$

Pembahasan

Jawaban a)
Buat sebuah rangkaian paralel dengan dua sakelar, yakni $p$ dan $q$. Setelah itu, rangkaian disatukan, kemudian membentuk paralel kembali dengan tiga sakelar, yakni $p$, $q.$ dan $r.$ Rangkaian listrik akan tampak seperti gambar berikut. Notasi logika yang sesuai adalah $(p \lor q) \, \land (p \lor q \lor r).$

Jawaban b)
Pertama, posisikan satu sakelar $p$, kemudian rangkailah secara paralel, atas dan bawah. Di bagian atas, ada rangkaian paralel lagi dengan dua sakelar, yakni $q$ dan $r$. Di bagian bawah, rangkaiannya seri dengan dua sakelar, yakni $s$ dan $p$. Sambungkan rangkaiannya. Rangkaian listrik akan tampak seperti gambar berikut. Notasi logika yang sesuai adalah $p \, \land ((q \lor r) \lor (s \, \land p)).$

[collapse]