Teorema Pick mungkin terdengar cukup asing bagi sejumlah orang. Teorema ini tidak pernah dikenalkan di kelas secara umum, tetapi dimunculkan dalam soal kompetisi dan soal seleksi. Menariknya, teorema ini sebenarnya cukup mudah dipahami dibandingkan teorema lainnya.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Sistem Koordinat Kartesius
Teorema Pick (Pick’s Theorem) adalah teorema yang menyatakan bahwa pada poligon dengan titik sudut latis yang digambarkan di bidang grid, luasnya dinyatakan oleh
$\boxed{\large{L = I + \dfrac{B}{2}-1}}$
dengan:
$I$ = Banyaknya titik interior poligon (interior lattice point)
$B$ = Banyaknya titik tepi poligon (boundary lattice point)
Ada beberapa istilah yang perlu diperhatikan untuk memahami teorema ini, di antaranya sebagai berikut.
- Titik latis (lattice point), yaitu titik pada bidang-$XY$ yang koordinatnya berupa bilangan bulat. Misalnya, $(2, -3)$ dan $(-100, 0)$ termasuk titik latis, sedangkan $\left(-\dfrac12, -2\right)$ tidak termasuk titik latis.
- Segi-$n$ sederhana, yaitu bangun datar yang memiliki $n$ sisi dan $n$ sudut tanpa ada sisi-sisi yang saling berpotongan.
- Grid (kisi), yaitu susunan kerangka desain yang terdiri dari garis-garis horizontal dan vertikal untuk mempermudah penggambaran.
Sistem Koordinat tanpa Grid 
Sistem Koordinat dengan Grid - Segitiga dasar, yaitu segitiga yang titik sudutnya berkoordinat bulat dan tidak memuat titik interior.
George Alexander Pick (1859–1942), matematikawan berkebangsaan Austria, merupakan perumus teorema ini. Beliau mengunggahnya pada sebuah artikel saat tahun 1899. Namun, saat itu teoremanya tidak terlalu terkenal. Saat tahun 1969, Hugo Steinhaus (1887–1972), pakar matematika Polandia, memperkenalkannya secara luas melalui bukunya yang berjudul mathematical snapshot.
Perhatikan gambar segitiga sembarang berikut.
Segitiga ini memiliki titik tepi sebanyak $6$ buah, ditandai dengan warna biru. Di dalam segitiga itu terdapat $13$ titik interior, ditandai dengan warna merah. Berdasarkan teorema Pick, luas segitiga tersebut adalah
$L = \color{red}{I}+\dfrac{\color{blue}{B}}{2}-1 = 13+\dfrac62-1=15.$
Harus latis! Perhatikan bahwa titik sudut poligon harus latis agar kita dapat menerapkan teorema Pick. Pada gambar berikut, misalnya. Hanya satu titik sudut segitiga yang latis, sedangkan dua lainnya tidak. Dalam hal ini, jika kita menerapkan teorema Pick (dengan $1$ titik tepi tanpa titik interior), diperoleh luas segitiga $L = I+\dfrac{B}{2}-1 = 0+\dfrac12-1=-\dfrac12$ dan ini tentu saja salah.
Pembuktian Teorema Pick
Untuk membuktikan teorema Pick, kita akan menggunakan dua lema dasar berikut.
- Lema 1: Sembarang segi-$n$ latis disusun dari segitiga-segitiga dasar.
- Lema 2: Luas dari segitiga dasar adalah $\dfrac12$.
Perhatikan sketsa gambar berikut.
- Sembarang segi-$n$ latis tersusun dari $N$ segitiga dasar. Karena jumlah sudut pada segitiga adalah $\pi$ (catatan: $\pi~\text{rad} = 180^{\circ}),$ jumlah sudut totalnya menjadi $S = N\pi.$
- Jumlah sudut yang bertemu di titik interior $I$ adalah $2\pi$ (satu putaran) dengan total sudutnya sebesar $2I\pi$, sedangkan pada titik tepi $b$ yang bukan tergolong titik sudut, jumlah sudut segitiga-segitiga dasar yang bertemu di $b$ adalah $\pi$ sehingga totalnya menjadi $\color{red}{b\pi}.$
- Jumlah sudut yang bertemu di titik interior $I$ adalah $2\pi$ (satu putaran) dengan total sudutnya sebesar $2I\pi$, sedangkan pada titik tepi $b$ yang bukan tergolong titik sudut, jumlah sudut segitiga-segitiga dasar yang bertemu di $b$ adalah $\pi$ sehingga totalnya menjadi $\color{red}{b\pi}$.
- Pad titik sudut segi-$n$ tersebut, jumlah sudutnya seperti yang telah kita ketahui bersama adalah $\color{red}{(n-2)\pi = n\pi-2\pi}$. Misalkan, segi-3 memiliki jumlah sudut $(3-1)\pi = \pi$. Jika segi-4, maka jumlah sudutnya $(4-2)\pi = 2\pi$, dan seterusnya.
- Jumlahkan semua sudut pada titik tepi (ditandai dengan warna merah di atas) sehingga diperoleh
$\begin{aligned} b\pi + n\pi-2\pi & = (b+n)\pi-2\pi \\ & = B\pi-2\pi \end{aligned}$
dengan $B$ menyatakan banyaknya titik batas. - Ini berarti, jumlah semua sudut segitiga dasar itu dapat juga dinyatakan oleh $S = I(2\pi) +B\pi-2\pi.$
Karena di awal diberikan bahwa $S = N\pi$, diperoleh
$\begin{aligned} N\pi & = I(2\pi)+B\pi-2\pi \\ N & = 2I+B-2. \end{aligned}$
Berdasarkan Lema 2 di atas bahwa luas segitiga dasar adalah $\dfrac12,$ artinya $P = \dfrac12N$ sehingga diperoleh $\boxed{P = I+\dfrac{B}{2}-1}$ $\blacksquare$
Empat soal berikut akan diselesaikan dengan menggunakan teorema Pick, dan sebagai perbandingannya, kita juga akan memeriksa jawabannya menggunakan rumus perhitungan luas bangun datar yang telah dipelajari saat sekolah dasar.
Hitunglah luas dari bangun datar berikut.
Cara 1: Teorema Pick
Gambar di atas merupakan bangun datar persegi dengan $4$ titik tepi tanpa ada titik interior sehingga luasnya
$L = I+\dfrac{B}{2}-1=0+\dfrac42-1=1.$
Cara 2: Rumus Luas
Karena bangun datarnya berupa persegi dengan panjang sisi $1$, luasnya adalah
$L = s^2 = 1^2 = 1.$
Cara 1: Teorema Pick
Gambar di atas merupakan bangun datar segitiga dengan $3$ titik tepi dan $1$ titik interior sehingga luasnya
$L = I+\dfrac{B}{2}-1 = 1+\dfrac{3}{2}-1= 1,5$.
Cara 2: Rumus Luas
Untuk menghitung luas segitiga ini, buatlah bingkai persegi seperti berikut.
Luas segitiga itu sama dengan luas persegi dikurangi luas ketiga segitiga siku-siku di sampingnya.
$\begin{aligned} L & = L_{\text{per}\text{segi}}-(L_{A}+L_{B}+L_C) \\ & = (2 \times 2)-\dfrac12(2 \times 1 + 1 \times 1 + 1 \times 2) \\ & = 4-\dfrac12(2+1+2) \\ & = 4-2,5 = 1,5 \end{aligned}$
Cara 1: Teorema Pick
Gambar di atas merupakan bangun datar segi enam dengan $6$ titik tepi dan $4$ titik interior sehingga luasnya
$L = I+\dfrac{B}{2}-1 = 4+\dfrac{6}{2}-1= 6$.
Cara 2: Rumus Luas
Untuk menghitung luas segi enam ini, buatlah bingkai persegi seperti berikut.
Luas segi enam itu sama dengan luas persegi dikurangi luas keempat segitiga siku-siku di sampingnya.
$$\begin{aligned} L & = L_{\text{per}\text{segi}}-(L_{A}+L_{B}+L_C+L_D)\\ & = (3 \times 3)-\dfrac12(1 \times 2 + 1 \times 1 + 1 \times 2 + 1 \times 1) \\ & = 9-\dfrac12(2+1+2+1) \\ & = 9-3 = 6 \end{aligned}$$
Cara 1: Teorema Pick
Gambar di atas merupakan bangun datar segitiga dengan $5$ titik tepi tanpa ada titik interior sehingga luasnya
$L = I+\dfrac{B}{2}-1 = 0+\dfrac{5}{2}-1= 1,5.$
Cara 2: Rumus Luas
Untuk menghitung luas segitiga ini, buatlah bingkai persegi panjang seperti berikut.
Luas segitiga itu sama dengan luas persegi panjang dikurangi luas kedua segitiga siku-siku di sampingnya.
$\begin{aligned} L & = L_{\text{pers}\text{egi panjang}}-(L_{A}+L_{B}) \\ & = (3 \times 1)-\dfrac12(2 \times 1 + 1 \times 1) \\ & = 3-\dfrac12(3) \\ & = 3-1,5 = 1,5 \end{aligned}$
Setelah mempelajari teori dan contoh soalnya, berikut disajikan sejumlah soal eksklusif mengenai penggunaan teorema Pick beserta pembahasannya. Semoga dapat dengan mudah dipahami.
Today Quote
Soal Nomor 1
Tentukan luas dari bangun datar berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.
Segitiga di atas memiliki titik tepi sebanyak $B = 8$ buah dan titik interior $I = 3$ buah sehingga berdasarkan teorema Pick, luas segitiga itu adalah
$\begin{aligned} L & = I+\dfrac{B}{2}-1 \\ & =3+\dfrac82-1 \\ & =6~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Soal Nomor 2
Tentukan luas dari bangun datar berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.
Segitiga di atas memiliki titik tepi sebanyak $B = 8$ buah dan titik interior $I = 2$ buah sehingga berdasarkan teorema Pick, luas segitiga itu adalah
$\begin{aligned} L & = I+\dfrac{B}{2}-1 \\ & =2+\dfrac82-1 \\ & =5~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Soal Nomor 3
Tentukan luas dari bangun datar berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.
Trapesium siku-siku di atas memiliki titik tepi sebanyak $B = 13$ buah dan titik interior $I = 8$ buah sehingga berdasarkan teorema Pick, luas segi empat itu adalah
$\begin{aligned} L & = I+\dfrac{B}{2}-1 \\ & =8+\dfrac{13}{2}-1 \\ & =13,5~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Segiempat atau Segi empat? Perlu spasi atau tidak?
Soal Nomor 4
Tentukan luas dari bangun datar berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.
Trapesium sama kaki di atas memiliki titik tepi sebanyak $B = 10$ buah dan titik interior $I = 8$ buah sehingga berdasarkan teorema Pick, luas segi empat itu adalah
$\begin{aligned}L & = I+\dfrac{B}{2}-1 \\ & =8+\dfrac{10}{2}-1 \\ & =12~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Soal Nomor 5
Tentukan luas dari bangun datar berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.
Layang-layang di atas memiliki titik tepi sebanyak $B = 6$ buah dan titik interior $I = 8$ buah sehingga berdasarkan teorema Pick, luas segi empat itu adalah
$\begin{aligned} L & = I+\dfrac{B}{2}-1 \\ & =8+\dfrac{6}{2}-1 \\ & =10~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Soal Nomor 6
Tentukan luas dari bangun datar berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.
Jajar genjang di atas memiliki titik tepi sebanyak $B = 8$ buah dan titik interior $I = 12$ buah sehingga berdasarkan teorema Pick, luas segi empat itu adalah
$\begin{aligned} L & = I+\dfrac{B}{2}-1 \\ & =12+\dfrac{8}{2}-1 \\ & =15~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Soal Nomor 7
Tentukan luas dari bangun datar berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.
Segi empat di atas memiliki titik tepi sebanyak $B = 12$ buah dan titik interior $I = 2$ buah sehingga berdasarkan teorema Pick, luas segi empat itu adalah
$\begin{aligned} L & = I+\dfrac{B}{2}-1 \\ & =2+\dfrac{12}{2}-1 \\ & =7~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Soal Nomor 8
Tentukan luas dari bangun datar berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.
Segi lima di atas memiliki titik tepi sebanyak $B = 15$ buah dan titik interior $I = 6$ buah sehingga berdasarkan teorema Pick, luas segi lima itu adalah
$\begin{aligned} L & = I+\dfrac{B}{2}-1 \\ & =6+\dfrac{15}{2}-1 \\ & =12,5~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Soal Nomor 9
Tentukan luas dari bangun datar berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.
Segi lima di atas memiliki titik tepi sebanyak $B = 7$ buah dan titik interior $I = 7$ buah sehingga berdasarkan teorema Pick, luas segi lima itu adalah
$\begin{aligned} L & = I+\dfrac{B}{2}-1 \\ & =7+\dfrac{7}{2}-1 \\ & =9,5~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Soal Nomor 10
Tentukan luas dari bangun datar berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.
Segi delapan di atas memiliki titik tepi sebanyak $B = 12$ buah dan titik interior $I = 12$ buah sehingga berdasarkan teorema Pick, luas segi delapan itu adalah
$\begin{aligned} L & = I+\dfrac{B}{2}-1 \\ & =12+\dfrac{12}{2}-1 \\ & =17~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Soal Nomor 11
Tentukan luas daerah yang diarsir kebiruan berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.
Gambar di atas menunjukkan sebuah segitiga di dalam segi lima. Untuk mencari luas yang diarsir kebiruan, kita harus mengurangi luas segi lima dengan luas segitiga di dalamnya.
Segitiga itu memiliki titik tepi sebanyak $B = 3$ buah dan titik interior $I = 2$ buah sehingga berdasarkan teorema Pick, luas segitiga itu adalah
$\begin{aligned} L_{\text{segi}-3} & = I+\dfrac{B}{2}-1 \\ & =2+\dfrac{3}{2}-1=2,5~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Sementara itu, segi lima memiliki titik tepi sebanyak $B = 7$ buah dan titik interior $I = 26$ buah sehingga berdasarkan Teorema Pick, luas segi lima itu adalah
$\begin{aligned} L_{\text{segi}-5} & = I+\dfrac{B}{2}-1 \\ & =26+\dfrac{7}{2}-1 =28,5~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Dengan demikian, luas yang diarsir kebiruan sama dengan
$\boxed{L_{\text{arsir}} = 28,5-2,5=26~\text{cm}^2}$
Soal Nomor 12
Tentukan luas daerah yang diarsir kemerahan berikut jika jarak terdekat antara titik yang satu dengan titik yang lain adalah $1$ cm.
Gambar di atas menunjukkan sebuah segi enam di dalam segi-13. Untuk mencari luas yang diarsir kemerahan, kita harus mengurangi luas segi-13 dengan luas segi enam di dalamnya.
Segi enam itu memiliki titik tepi sebanyak $B = 11$ buah dan titik interior $I = 2$ buah sehingga berdasarkan teorema Pick, luas segi enam itu adalah
$\begin{aligned} L_{\text{segi}-6} & = I+\dfrac{B}{2}-1 \\ & =2+\dfrac{11}{2}-1=6,5~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Sementara itu, segi-13 memiliki titik tepi sebanyak $B = 15$ buah dan titik interior $I = 27$ buah sehingga berdasarkan Teorema Pick, luas segi-13 itu adalah
$\begin{aligned} L_{\text{segi}-13} & = I+\dfrac{B}{2}-1\\ & =27+\dfrac{15}{2}-1=33,5~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Dengan demikian, luas yang diarsir kebiruan sama dengan
$\boxed{L_{\text{arsir}} = 33,5-6,5=27~\text{cm}^2}$
Soal Nomor 13
Perhatikan gambar segitiga di bawah ini.
Pernyataan yang benar mengenai hubungan luas segitiga $A, B$, dan $C$ adalah $\cdots \cdot$
A. $B<A<C$
B. $B<C<A$
C. $A<B<C$
D. $B<A$ dan $A=C$
E. $A=B=C$
Ketiga segitiga itu sama-sama memiliki $3$ titik tepi dan tidak memuat titik interior. Berdasarkan teorema Pick, luas ketiga segitiga tersebut adalah sama.
Jadi, hubungan luasnya dinyatakan oleh $\boxed{A=B=C}$
(Jawaban E)