Category: Kalkulus Diferensial

Diketahui $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$ sehingga turunan pertamanya adalah $f'(x) = 3x^2-12x+9$.
Kurva $f(x)$ selalu turun jika diberi syarat $f'(x) < 0$.
$\begin{aligned} 3x^2-12x+9 & < 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&\text{dengan}~3 \\ x^2-4x+3 & < 0 \\ (x-3)(x-1) & < 0 \\ \therefore 1 < x & < 3 \end{aligned}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $f(x)$ selalu turun adalah $\boxed{1<x<3}$
(Jawaban C)

Diketahui $g(x)=2x^3-9x^2+12x$ sehingga turunan pertamanya adalah $g'(x) = 6x^2-18x+12.$
Kurva $g(x)$ selalu naik jika diberi syarat $g'(x) > 0.$
$\begin{aligned} 6x^2-18x+12 & > 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&\text{dengan}~6 \\ x^2-3x+2 & > 0 \\ (x-2)(x-1) & > 0 \\ \therefore x < 1~\text{atau}~x & > 2 \end{aligned}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $g(x)$ selalu naik adalah $\boxed{x<1~\text{atau}~x>2}$
(Jawaban C)

Diketahui $p(x) = x(6-x)^2.$ Turunan pertama $p(x)$ dapat dicari secara manual dengan menjabarkan seperti berikut (pangkatnya masih kecil, sehingga masih sangat memungkinkan untuk dijabarkan).
$\begin{aligned} p(x) & = x(6-x)^2 \\ & = x(36-12x+x^2) \\ & = 36x-12x^2+x^3 \\ p'(x) & = 36-24x+3x^2 \end{aligned}$
Grafik fungsi $p(x)$ tidak pernah turun jika diberi syarat $p'(x) \ge 0.$
$\begin{aligned} 36-24x+3x^2 & \ge 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&\text{dengan}~3 \\ x^2-8x+12 & \ge 0 \\ (x-2)(x-6) & \ge 0 \\ \therefore x \le 2~\text{atau}~x & \ge 6 \end{aligned}$
Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $p(x)$ tidak pernah turun adalah $\boxed{x \le 2~\text{atau}~x \ge 6}$
(Jawaban B)

Diketahui $\pi(x) = x^3+3x^2+5$ sehingga turunan pertamanya adalah $\pi'(x) = 3x^2+6x.$
Grafik fungsi $\pi(x)$ tidak pernah naik jika diberi syarat $\pi'(x) \le 0.$
$\begin{aligned} 3x^2+6x & \le 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&\text{dengan}~3 \\ x^2+2x & \le 0 \\ x(x+2) & \le 0 \\ \therefore -2 \le x & \le 0 \end{aligned}$
Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $\pi(x)$ tidak pernah turun adalah $\boxed{-2 \le x \le 0}$
(Jawaban A)

Diketahui $R(x)=x^3-3x^2+3x-2.$
Turunan pertamanya adalah $R'(x) = 3x^2-6x+3$. Selanjutnya, kita akan mencari titik stasioner fungsi tersebut, yakni saat $R'(x) = 0.$
$\begin{aligned} 3x^2-6x+3 & = 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}&~\text{dengan}~3 \\ x^2-2x+1 & = 0 \\ (x-1)^2 & = 0 \\ x & = 1 \end{aligned}$
Perhatikan bahwa pada ekspresi $(x-1)^2$, kita mendapati bahwa nilai darinya tidak mungkin bertanda negatif (ingat bahwa semua bilangan real yang dikuadratkan tidak akan bertanda negatif), sehingga grafik fungsi $R(x)$ tidak pernah turun, melainkan stasioner (tetap) atau naik, seperti yang tampak pada sketsa gambar berikut.
(Jawaban B)

Diketahui $y = \dfrac{x^2+3}{x-1}$. Turunan pertamanya dapat ditentukan dengan menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan $u = x^2+3 \Rightarrow u’ = 2x$ dan $v = x-1 \Rightarrow v’ = 1$ sehingga
$\begin{aligned} y’ & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{2x(x-1)-(x^2+3)(1)}{(x-1)^2} \\ & = \dfrac{2x^2-2x-x^2-3)}{(x-1)^2} \\ & = \dfrac{x^2-2x-3}{(x-1)^2} \\ & = \dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2} \end{aligned}$
Grafik fungsi tersebut selalu turun jika diberi syarat $y’ < 0$, yaitu
$\dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2} < 0.$
Dari pertidaksamaan di atas, diketahui bahwa penyebut dipastikan bernilai positif untuk $x \neq 1$, sehingga yang memengaruhi tanda hanya pembilangnya saja.
Agar keseluruhan bernilai negatif, pembilangnya harus dibuat negatif.
$\begin{aligned} (x-3)(x+1) & < 0 \\ \therefore -1 < x & < 3 \end{aligned}$
Karena $x \neq 1$ (berakibat penyebut bernilai $0$), maka kita peroleh bahwa interval $x$ yang memenuhi adalah seluruh bilangan di antara $-1$ dan $3$, kecuali $1$, kita tulis
$\boxed{-1 < x < 1~\text{atau}~1 < x < 3}$
(Jawaban D)

Diketahui $f(x)=ax^3+x^2+5$ dan $f(x)$ selalu naik di $0 < x < 2$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{aligned} (x-0)(x-2) & < 0 \\ x(x-2) & < 0 \\ x^2-2x & < 0 && (\cdots 1) \end{aligned}$
Turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x) = 3ax^2 + 2x.$
Grafik fungsi $f(x)$ selalu naik jika diberi syarat $f'(x) > 0$.
$$\begin{aligned} 3ax^2+2x & > 0 \\ \text{Kedua ruas dikali}~&\text{dengan}~-1 \\ -3ax^2-2x & < 0 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Kaitkan pertidaksamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{cases} x^2-2x & < 0 \\ -3ax^2-2x & < 0 \end{cases}$
Diperoleh $-3a = 1 \Rightarrow a = -\dfrac13.$
Jadi, Nilai $a$ yang membuat $f(x)$ selalu naik pada interval tersebut adalah $\boxed{-\dfrac13}$ 
(Jawaban B)

Diketahui $T(x)=2x^3+3ax^2-4bx+5$ dan $T(x)$ selalu turun di $-4 < x < 1$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{aligned} (x+4)(x-1) & < 0 \\ x^2-x+4x-4 & < 0 \\ x^2+3x-4 & < 0 && (\cdots 1) \end{aligned}$
Turunan pertama $T(x)$ adalah $T'(x) = 6x^2+6ax-4b.$
Grafik fungsi $T(x)$ selalu turun jika diberi syarat $T'(x) < 0.$
$$\begin{aligned} 6x^2+6ax-4b & < 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&\text{dengan}~6 \\ x^2+ax-\dfrac23b & < 0 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Kaitkan pertidaksamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{cases} x^2+3x-4 & < 0 \\ x^2+ax-\dfrac23b & < 0 \end{cases}$
Diperoleh:
$\begin{aligned} a & = 3 (\checkmark) \\ -\dfrac23b & = -4 \Rightarrow b = 6 (\checkmark) \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{\dfrac{b}{a} = \dfrac{6}{3} = 2}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ dan $f(x)$ selalu turun di $-1 < x < 5$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{aligned} (x+1)(x-5) & < 0 \\ x^2-5x+x-5 & < 0 \\ x^2-4x-5 & < 0 && (\cdots 1) \end{aligned}$
Turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x) = 3x^2+2ax+b$.
Grafik fungsi $f(x)$ selalu turun jika diberi syarat $f'(x) < 0.$
$$\begin{aligned} 3x^2+2ax+b & < 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&\text{dengan}~3 \\ x^2+\dfrac23ax+\dfrac13b & < 0 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Kaitkan pertidaksamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{cases} x^2-4x-5 & < 0 \\ x^2+\dfrac23ax+\dfrac13b & < 0 \end{cases}$
Diperoleh:
$\begin{aligned} \bullet \dfrac23a & = -4 \Rightarrow a = -6 \\ \bullet \dfrac13b & = -5 \Rightarrow b = -15 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{a+b =-6+(-15) = -21}$
(Jawaban A)

Diketahui $L(x)=ax^3+9bx^2-24x+5$ dan $L(x)$ selalu naik di $x<-4$ atau $x>1$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{aligned} (x+4)(x-1) & > 0 \\ x^2-x+4x-4 & > 0 \\ x^2+3x-4 & > 0 && (\cdots 1) \end{aligned}$
Turunan pertama $L(x)$ adalah $L'(x) = 3ax^2+18bx-24.$
Grafik fungsi $L(x)$ selalu naik jika diberi syarat $L'(x) > 0.$
$\begin{aligned} 3ax^2+18bx-24 & > 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&\text{dengan}~6 \\ \dfrac{a}{2}x^2+3bx-4 & > 0 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Catatan: Mengapa harus dibagi 6? Karena kita harus membuat konstantanya menjadi $-4$ sesuai dengan pertidaksamaan $(1).$
Berikutnya, kaitkan pertidaksamaan $(1)$ dan $(2).$
$\begin{cases} x^2+3x-4 & > 0 \\ \dfrac{a}{2}x^2+3bx-4 & > 0 \end{cases}$
Diperoleh:
$\begin{aligned} \bullet~\dfrac{a}{2} & = 1 \Rightarrow a = 2 \\ \bullet~3b & = 3 \Rightarrow b = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{a+b =2+1=3}$
(Jawaban C)

Diketahui $f(x) = \sin^2 x.$
Turunan pertamanya adalah $f'(x) = 2 \sin x \cos x = \sin 2x$. Grafik fungsi $f$ akan naik ketika diberi syarat $f'(x) > 0$, yaitu $\sin 2x > 0.$
Pembuat nol adalah $\left\{0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2}, 2\pi\right\}.$
Buat garis bilangan dan tentukan tanda kepositivan dengan uji titik.

Ini berarti, $\sin 2x > 0$ terpenuhi ketika $0 < x <\dfrac{\pi}{2}$ atau $\pi < x < \dfrac{3\pi}{2}$. Jadi, $f(x) = \sin^2 x$ akan naik pada interval $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ atau $\pi < x < \dfrac{3\pi}{2}$ seperti yang dipertegas pada sketsa grafik berikut.
(Jawaban C)

Jawaban a)
Diketahui $f(x)=x^4-2x^2+1$ sehingga turunan pertamanya adalah $f'(x) = 4x^3-4x.$
Kurva $f(x)$ selalu naik jika diberi syarat $f'(x) > 0.$
$\begin{aligned} 4x^3-4x & > 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&\text{dengan}~4 \\ x^3-x & > 0 \\ x(x+1)(x-1) & > 0 \end{aligned}$
Diperoleh pembuat nol $x = -1$, $x = 0$, atau $x = 1$. Buat garis bilangan dan tentukan tanda kepositivannya dengan melakukan uji titik.
Kita peroleh bahwa penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{-1 < x < 0~\text{atau}~x > 1},$ yang merupakan interval nilai $x$ yang membuat grafik $f(x)$ selalu naik.
Jawaban b)
Diketahui $g(x)=\dfrac{x}{x+1}$. Turunan pertamanya dapat dicari dengan menggunakan aturan hasil bagi.
Misal $u = x \Rightarrow u’ = 1$ dan $v = x+1 \Rightarrow v’ = 1.$
$\begin{aligned} g'(x) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{1(x+1)-x(1)}{(x+1)^2} \\ & = \dfrac{1}{(x+1)^2} \end{aligned}$
Kurva $g(x)$ selalu naik jika diberi syarat $g'(x) > 0$, yaitu $\dfrac{1}{(x+1)^2} > 0$.
Perhatikan bahwa penyebut dipastikan tidak akan bernilai negatif karena berbentuk kuadrat, sedangkan pembilangnya sudah jelas positif. Ini artinya, semua nilai $x \in \mathbb{R}$ akan memenuhi kecuali $x = -1$ karena akan membuat penyebut menjadi $0$. Kita simpulkan bahwa $g(x)$ selalu naik pada interval $\boxed{x \neq -1}$, dan ini dipertegas dari gambar grafik fungsi $g(x)$ berikut.
Jawaban c)
Diketahui $f(x)=8x^{1/3}-x^{4/3}$. Turunan pertamanya adalah
$\begin{aligned} f'(x) & = 8(1/3)x^{1/3-1}-(4/3)x^{4/3-1} \\ & = \dfrac83x^{-2/3}-\dfrac43x^{1/3} \end{aligned}$
Kurva $f(x)$ selalu naik jika diberi syarat $f'(x) > 0$.
$\begin{aligned} \dfrac83x^{-2/3}-\dfrac43x^{1/3} & > 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas}&~\text{dengan}~x^{2/3} \\ \dfrac83-\dfrac43x & > 0 \\ -\dfrac43x & > \dfrac83 \\ x & < 2 \end{aligned}$
Jadi, interval nilai $x$ yang membuat grafik $f(x)$ selalu naik adalah $\boxed{x<2}$ dan kesimpulan ini dipertegas oleh gambar grafik $f(x)$ berikut dengan menggunakan bantuan aplikasi GeoGebra.

Jawaban a)
Diketahui $f(x) = 4x^4+4x^3-12x^2.$
Turunan pertama $f(x)$ adalah
$f'(x) = 16x^3+12x^2-24x.$
Agar kurva $f(x)$ selalu turun, maka harus diberi syarat $f'(x) < 0.$
$\begin{aligned} 16x^3+12x^2-24x & > 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}&~\text{dengan}~4 \\ 4x^3+3x^2-6x & > 0 \\ x(4x^2+3x-6) & > 0 \end{aligned}$
Bentuk $4x^2+3x-6$ tidak dapat difaktorkan secara rasional karena bila diperiksa nilai diskriminannya ($D = b^2-4ac$) bukan bilangan kuadrat. Jadi, kita akan menggunakan rumus ABC.
$\begin{aligned} x_{1,2} & = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-3 \pm \sqrt{(3)^2-4(4)(-6)}}{2(4)} \\ & = \dfrac{-3 \pm \sqrt{105}}{8} \end{aligned}$
Dengan demikian, dari pertidaksamaan sebelumnya, kita peroleh $3$ pembuat nol, yaitu
$\begin{cases} x & = 0 \\ x & = \dfrac{-3 + \sqrt{105}}{8} \\ x & = \dfrac{-3- \sqrt{105}}{8} \end{cases}$
Lakukan uji titik dan bantuan garis bilangan untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan tersebut.

Kita peroleh bahwa penyelesaiannya adalah $x < \dfrac{-3-\sqrt{105}}{8}$ atau $0 < x < \dfrac{-3+\sqrt{105}}{8}$. Interval inilah yang akan membuat grafik $f(x)$ selalu turun.
Jawaban b)
Diketahui $g(x)=x\sqrt{x^2+1}.$
Dengan menggunakan aturan hasil kali, kita misalkan $u = x \Rightarrow u’ = 1$ dan $v = \sqrt{x^2+1}$, berakibat
$\begin{aligned} v’ & = \dfrac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x \\ & = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} f'(x) & = u’v+uv’ \\ & = 1\sqrt{x^2+1} + x \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} \\ & = \sqrt{x^2+1}+\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} \end{aligned}$
Kurva $f(x)$ selalu turun pada saat $f'(x) < 0.$
$\begin{aligned} \sqrt{x^2+1}+\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} & > 0 \\ \text{Kedua ruas dikali dengan}&~\sqrt{x^2+1} \\ (x^2+1)+x^2 & > 0 \\ 2x^2+1 & > 0 \end{aligned}$
Bentuk $2x^2+1$ memiliki nilai diskriminan $D = 0^2-4(2)(1) = -8$. Karena diskriminan bertanda negatif dan koefisien $x^2$ positif, maka disimpulkan bahwa bentuk kuadrat itu definit positif (selalu positif untuk semua nilai $x$). Dengan kata lain, tidak ada satu pun nilai $x$ yang membuat $f(x)$ selalu turun.