Olimpiade Sains Nasional (OSN) merupakan ajang kompetisi akademik bergengsi yang diselenggarakan setiap tahun oleh Balai Pengembangan Talenta Indonesia (BPTI), yaitu unit pelaksana teknis dari Pusat Prestasi Nasional (Puspresnas). OSN dirancang untuk menggali potensi, mengasah kemampuan nalar, serta mendorong budaya ilmiah di kalangan peserta didik di seluruh Indonesia. Melalui ajang ini, siswa tidak hanya diuji dari sisi pengetahuan, tetapi juga ketekunan, kreativitas, serta kemampuan memecahkan masalah pada level yang lebih tinggi. Dengan sistem seleksi berjenjang, mulai dari tingkat sekolah, kabupaten/kota, provinsi, hingga nasional, OSN menjadi ruang bagi siswa berprestasi untuk menunjukkan kemampuan terbaik mereka.
Bidang Matematika merupakan salah satu cabang yang paling diminati sekaligus menantang dalam OSN. Matematika menjadi fondasi penting bagi berbagai disiplin ilmu lain sehingga penguasaannya mencerminkan kemampuan berpikir logis, terstruktur, dan mendalam. Pada tahapan OSN tingkat Kabupaten/Kota (OSN-K), peserta diharapkan mampu menunjukkan pemahaman konsep dasar yang kuat, kecermatan dalam berhitung, serta ketangguhan dalam menghadapi soal berbasis penalaran yang tidak sekadar mengandalkan hafalan rumus.
Dalam artikel ini, telah disediakan soal dan pembahasan OSN-K Bidang Matematika Tahun 2021 khusus bagian Kemampuan Dasar. Sebagai informasi, waktu itu Olimpiade Sains Nasional (OSN) diganti terminologinya menjadi Kompetisi Sains Nasional (KSN) karena adanya penataan ulang sistem talenta nasional oleh pemerintah. Namun, penggantian nama ini tidak mengubah mekanisme dan teknis penyelenggaraannya secara umum.
Pembahasan pada postingan ini disajikan secara jelas dan sistematis agar dapat digunakan sebagai bahan belajar mandiri maupun pendampingan guru. Harapannya, ini bakal dapat membantu siswa mempersiapkan diri secara optimal, memperkuat konsep, serta meningkatkan kepercayaan diri menghadapi kompetisi OSN yang semakin kompetitif di tahun-tahun mendatang.
Untuk bagian Kemampuan Dasar, ada $10$ soal isian singkat. Setiap soal dijawab dengan menuliskan jawaban akhirnya saja dan dipastikan merupakan bilangan bulat. Soal yang dijawab benar bernilai $4$ poin, soal yang dijawab salah bernilai $-1$ poin, dan soal yang tidak dijawab bernilai $0$ poin.
Soal Nomor 1
Misalkan $u_1, u_2, u_3, \cdots$ merupakan barisan aritmetika dengan suku-suku real positif. Jika $\dfrac{u_1+u_2}{u_3} = \dfrac{11}{21},$ maka nilai $\dfrac{u_2+u_3}{u_1}$ adalah $\cdots \cdot$
Karena $u_1, u_2, u_3$ merupakan barisan aritmetika, berlaku $u_1 =a,$ $u_2 = a+b,$ dan $u_3 = a+2b$ dengan $a$ dan$b$ berturut-turut menyatakan suku pertama dan beda barisan. Dari sdini, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{u_1+u_2}{u_3} &= \dfrac{11}{21} \\ \dfrac{a+(a+b)}{a+2b} & = \dfrac{11}{21} \\ \dfrac{2a+b}{a+2b}&=\dfrac{11}{21} \\ 21(2a+b) & = 11(a+2b) \\ 42a + 21b & = 11a + 22b \\ 31a&=b. \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \dfrac{u_2+u_3}{u_1} & = \dfrac{(a+b)+(a+2b)}{a} \\ & = \dfrac{2a + 3b}{a} \\ & = \dfrac{2a + 3(31b)}{a} \\ & = \dfrac{95a}{a}. \end{aligned}$$Karena $a$ berupa bilangan real positif, diperoleh $\dfrac{u_2+u_3}{u_1} = 95.$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{u_2+u_3}{u_1} = 95}.$
Soal Nomor 2
Koefisien $x^7$ dari penjabaran
$$(1+x)(2+x^2)(3+x^3)(4+x^4)(5+x^5)$$adalah $\cdots \cdot$
Koefisien $x^7$ dapat diperoleh dari perkalian
$$x^2 \cdot x^5 = x^3 \cdot x^4 = x \cdot x^2 \cdot x^4.$$Untuk membentuk ekspresi $x^2 \cdot x^5,$ lakukan perkalian pada bentuk yang ditandai dengan warna merah.
$$(\color{red}{1}+x)(2+\color{red}{x^2})(\color{red}{3}+x^3)(\color{red}{4}+x^4)(5+\color{red}{x^5})$$Perkalian tersebut akan menghasilkan koefisien $x^7$ dengan nilai $1 \cdot 3 \cdot 4 = 12.$ Dengan cara yang serupa untuk $x^3 \cdot x^4,$ diperoleh koefisien $x^7$ sama dengan $1 \cdot 2 \cdot 5 = 10.$ Terakhir, $x^4 \cdot x^2 \cdot x$ menghasilkan koefisien $x^7$ senilai $3 \cdot 5 = 15.$ Jumlah koefisien $x^7$ tersebut adalah $12 + 10 + 15 = 37.$
Jadi, koefisien $x^7$ dari penjabaran
$$(1+x)(2+x^2)(3+x^3)(4+x^4)(5+x^5)$$adalah $\boxed{37}.$
Soal Nomor 3
Jika dibagi $5,$ bilangan bulat positif $A$ dan $B$ berturut-turut bersisa $2$ dan $3.$ Sisa pembagian $A(A+1) + 5B$ jika dibagi $25$ adalah $\cdots \cdot$
Misalkan $A = 5k + 2$ dan $B = 5m + 3$ untuk suatu bilangan cacah $k$ dan $m.$ Dengan demikian,
$$\begin{aligned} A(A+1)+5B & = (5k+2)((5k+2)+1) + 5(5m+3) \\ & = (5k+2)(5k+3)+25m+15 \\ & = (25k^2+25k + 6) + 25m + 15 \\ & = 25(k^2+k+m)+\color{red}{21}. \end{aligned}$$Jika dibagi $25,$ jelas bahwa sisa dari $A(A+1)+5B$ adalah $21.$
Cara lain yang lebih sederhana: Pakai permisalan berupa bilangan saja. Misalkan $A = 2$ dan $B = 3$ sehingga $A(A+1)+5B = 2(3)+15=21.$ Jika $21$ dibagi $25,$ tentu sisanya adalah $21.$
Soal Nomor 4
Diberikan fungsi $f$ yang terdefinisi di semua bilangan real $x$ selain $0$ dan $1,$ serta memenuhi
$$(x+1)f(-x) + \dfrac{1-x}{4x} f\left(\dfrac{1}{x}\right) =\dfrac{100(x^2+4)}{x}.$$Nilai dari $f(2) + f(3) + f(4) + \cdots + f(400)$ adalah $\cdots \cdot$
Jika persamaan tersebut dikalikan $4$ pada kedua ruasnya, diperoleh
$$4(x+1)f(-x) + \left(\dfrac{1}{x}-1\right)f\left(\dfrac{1}{x}\right) = 400x + \dfrac{1600}{x}~~~~(1).$$Substitusi $x := -\dfrac{1}{x}$ pada Persamaan $(1)$ sehingga didapat
$$4\left(-\dfrac{1}{x} + 1\right)f\left(\dfrac{1}{x}\right) + (-x-1)f(-x) = -\dfrac{400}{x}-1600x$$yang ekuivalen dengan Persamaan $(2)$ berikut jika dikalikan dengan $-1.$
$$4\left(\dfrac{1}{x}- 1\right)f\left(\dfrac{1}{x}\right) + (x+1)f(-x) = \dfrac{400}{x}+1600x.$$Berikutnya, kita akan mengeliminasi ekspresi $f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ pada Persamaan $(1)$ dan $(2).$ Dengan mengalikan $4$ pada Persamaan $(1),$ kemudian dikurangi dengan Persamaan $(2),$ didapat
$$\begin{aligned} 15(x+1)f(-x) & = \dfrac{6000}{x} \\ f(-x) & = \dfrac{400}{x(x+1)} = 400\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}\right) \\ f(x)& = 400\left(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}\right). \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} f(2) + f(3) + f(4) + \cdots + f(400) & = \displaystyle \sum_{x=2}^{400} f(x) \\ & = \sum_{x=2}^{400} 400\left(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}\right) \\ & = 400 \sum_{x=2}^{400} \left(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}\right) \\ & = 400\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{400}\right) \\ & = \cancel{400} \cdot \dfrac{399}{\cancel{400}} \\ & = 399. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $f(2) + f(3) + f(4) + \cdots + f(400)$ adalah $\boxed{399}.$
Soal Nomor 5
Diketahui ada $6$ pasang suami-istri. Dari keenam pasangan tersebut akan dipilih 6 orang secara acak. Banyaknya cara untuk memilih $6$ orang tersebut sehingga paling banyak terdapat sepasang suami-istri adalah $\cdots \cdot$
Misalkan $A_iB_i$ menyatakan pasangan suami-istri ke-$i$ dengan $i = 1,2,3,4,5,6.$ Tinjau dua kasus berikut.
Kasus 1: Tidak ada pasangan suami-istri
Dari enam pasangan suami-istri yang ada, pilih $1$ orang dari masing-masing pasangan tersebut. Pemilihan tersebut akan menyebabkan tidak adanya pasangan suami-istri dari $6$ orang terpilih. Untuk setiap pasangan, ada $2$ cara memilih (suami, atau istrinya). Dengan demikian, banyaknya cara memilih untuk $6$ orang tersebut adalah $2^6 = 64.$
Kasus 2: Ada tepat sepasang suami-istri
Pertama, pilih $1$ dari $6$ pasangan sehingga diperoleh tepat sepasang suami-istri. Banyaknya cara untuk memilih mereka adalah $6C1 = 6.$ Kemudian, $4$ orang sisanya akan ditentukan sebagai berikut. Pilih $4$ dari $5$ pasangan tersisa terlebih dahulu. Ada $5C4 = 5$ cara untuk melakukan ini. Kemudian, pilih $1$ orang dari masing-masing $4$ pasangan tersebut sehingga akan ada $2^4 = 16$ cara. Dengan demikian, banyaknya cara memilih untuk $6$ orang tersebut adalah $6 \cdot 5 \cdot 16 = 480.$
Jadi, banyaknya cara untuk memilih $6$ orang tersebut sehingga paling banyak terdapat sepasang suami-istri adalah $\boxed{64+480=544}.$
Soal Nomor 6
Gambar berikut menunjukkan sebuah persegi panjang yang dibagi menjadi dua buah persegi yang panjang sisinya $6$ cm. Luas total daerah yang diarsir adalah $\cdots~\text{cm}^2.$
Namai beberapa titik sudut pada gambar di atas seperti berikut.
Pertama, akan ditentukan luas $\Delta DCM.$ Perhatikan bahwa $\Delta DCM$ dan $\Delta DAE$ sebangun karena $\angle DCM = \angle DAE,$ $\angle DMC = \angle ADE,$ dan $\angle MDC = \angle AED.$ Dengan demikian, berlaku
$$\begin{aligned} \dfrac{DC}{CM} & = \dfrac{AE}{AD} \\ \dfrac{6}{CM} & = \dfrac{6+6}{6} \\ CM & = 3~\text{cm}. \end{aligned}$$Ini berarti,
$$\left[DCM\right] = \dfrac12 \cdot DC \cdot CM = \dfrac12 \cdot 6 \cdot 3 = 9~\text{cm}^2.$$Berikutnya, akan ditentukan luas $\Delta MNB$ dan $\Delta FNE.$
Misalkan $t_1$ dan $t_2$ merupakan tinggi kedua segitiga tersebut, berturut-turut dengan alas $BM$ dan $EF.$ Perhatikan bahwa kedua segitiga ini ternyata sebangun karena $\angle MNB = \angle FNE$ (bertolak belakang), $\angle BMN = \angle FEN,$ dan $\angle NBM = \angle NFE.$ Karena $MB = CM = 3$ dan $FE = 6,$ dapat dikatakan bahwa $\Delta FNE$ merupakan $\Delta MNB$ yang diperbesar dua kali lipat. Oleh karena itu, $t_2 = 2t_1.$ Dari gambar, terlihat bahwa $t_1 + t_2 = 6~\text{cm}$ karena membentuk panjang sisi persegi $BEFC.$ Dari dua persamaan ini, diperoleh $t_1 = 2~\text{cm}$ dan $t_2 = 4~\text{cm}.$ Dari sini, didapat
$$\begin{aligned} \left[MNB\right] & = \dfrac12 \cdot BM \cdot t_1 = \dfrac12 \cdot 3 \cdot 2 = 3~\text{cm}^2 \\ \left[FNE\right] & = \dfrac12 \cdot FE \cdot t_2 = \dfrac12 \cdot 6 \cdot 4 = 12~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Total luas daerah yang diarsir akan menjadi
$$\begin{aligned} L_{\text{total}} & = \left[DCM\right] + \left[MNB\right] + \left[FNE\right] \\ & = 9 + 3 + 12 = 24~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Jadi, luas total daerah yang diarsir adalah $\boxed{24~\text{cm}^2}.$
Soal Nomor 7
Digit-digit dari bilangan $1, 2, 3, \cdots, 999$ disusun membentuk angka baru $m$ dengan menuliskan semua digit bilangan-bilangan asli tersebut dari kiri ke kanan, yaitu
$$m = 12345\cdots998999.$$Jumlah digit ke-2021, ke-2022, dan ke-2023 dari $m$ adalah $\cdots \cdot$
Tinjau beberapa kasus berikut.
-
- Bilangan dengan $1$ digit ada $9$ sehingga total digitnya sebanyak $1 \cdot 9 = 9.$
- Bilangan dengan $2$ digit ada $90$ sehingga total digitnya sebanyak $2 \cdot 90 = 180.$
- Bilangan dengan $3$ digit berbentuk $\overline{x**}$ dengan $x=1,2,3,4,5,6$ ada sebanyak $6 \cdot 10 \cdot 10 = 600.$ Total digitnya adalah $3 \cdot 600 = 1800.$
- Bilangan dengan $3$ digit berbentuk $\overline{70*}$ ada sebanyak $3 \cdot 10 = 30.$
Sampai sejauh ini, total digitnya sudah sebanyak $9 + 180 + 1800 + 30 = 2019.$ Perhatikan bahwa bilangan $3$ digit berikutnya adalah $710$ dan $711$ sehingga dapat ditulis
$$m = 12345\cdots7\color{red}{107}11\cdots998999.$$Digit $7$ menempati posisi ke-2020, sedangkan digit $1, 0,$ dan $7$ (ditandai dengan warna merah) berturut-turut menempati posisi ke-2021, 2022, dan 2023.
Jadi, jumlah digit ke-2021, ke-2022, dan ke-2023 dari $m$ adalah $\boxed{1+0+7=8}.$
Soal Nomor 8
Pada suatu lingkaran dengan jari-jari $r,$ terdapat segi empat tali busur $ABCD$ dengan $AB = 8$ dan $CD = 5.$ Sisi $AB$ dan $DC$ diperpanjang dan berpotongan di luar lingkaran di titik $P.$ Jika $\angle APD = 60^\circ$ dan $BP = 6,$ maka nilai $r^2$ adalah $\cdots \cdot$
Soal Nomor 9
Bilangan asli $n$ dikatakan menarik jika terdapat suku banyak (polinomial) dengan koefisien bulat $P(x)$ sehingga $P(7) = 2021$ dan $P(n) = 2045.$ Banyaknya bilangan prima menarik adalah $\cdots \cdot$
Misalkan $P$ merupakan polinomial berkoefisien bulat yang didefinisikan oleh
$$P(x) = a_kx^k + a_{k-1}x^{k-1} + \cdots + a_1x + a_0.$$Diketahui $P(7) = 2021$ dan $P(n) = 2045$ sehingga diperoleh dua persamaan berikut.
$$\begin{aligned} 2021 & = a_k \cdot 7^k + a_{k-1} \cdot 7^{k-1} + \cdots + a_1 \cdot 7 + a_0 \\ 2045 & = a_k \cdot n^k + a_{k-1} \cdot n^{k-1} + \cdots + a_1 \cdot n + a_0 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa untuk bilangan bulat positif $n,$ bentuk $a^n-b^n$ selalu dapat difaktorkan, yaitu
$$a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a_{n-3}b^2 + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1}).$$Dengan menggunakan fakta ini, pengurangan kedua persamaan di atas akan menghasilkan
$$24 = a^k(n^k-7^k) + a_{k-1}(n^{k-1}-7^{k-1}) + \cdots + a_1(n-7)$$sehingga masing-masing suku pada ruas kanannya dapat difaktorkan sehingga memuat $n-7.$ Dari sini, disimpulkan bahwa $n-7 \mid 24.$ Karena $n > 0,$ haruslah
$$n-7 \in \{-6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24\}$$yang berarti
$$n \in \{1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 19, 31\}.$$Dari sekian banyak nilai $n$ tersebut, hanya ada $6$ bilangan prima, yaitu $3, 5,$ $11, 13,$ $19,$ dan $31.$
Jadi, banyaknya bilangan prima menarik adalah $\boxed{6}.$
Soal Nomor 10
Diketahui segitiga $ABC$ dengan $AB > AC.$ Garis bagi $\angle BAC$ memotong $BC$ di titik $D.$ Titik $E$ dan $F$ berturut-turut terletak pada sisi $AC$ dan $AB$ sehingga $DE$ sejajar $AB$ dan $DF$ sejajar $AC.$ Lingkaran luar segitiga $BCE$ memotong sisi $AB$ di titik $K.$ Jika luas segitiga $CDE$ adalah $75$ dan luas segitiga $DEF$ adalah $85,$ maka luas segi empat $DEKF$ adalah $\cdots \cdot$