Olimpiade Sains Nasional (OSN) merupakan ajang kompetisi akademik bergengsi yang diselenggarakan setiap tahun oleh Balai Pengembangan Talenta Indonesia (BPTI), yaitu unit pelaksana teknis dari Pusat Prestasi Nasional (Puspresnas). OSN dirancang untuk menggali potensi, mengasah kemampuan nalar, serta mendorong budaya ilmiah di kalangan peserta didik di seluruh Indonesia. Melalui ajang ini, siswa tidak hanya diuji dari sisi pengetahuan, tetapi juga ketekunan, kreativitas, serta kemampuan memecahkan masalah pada level yang lebih tinggi. Dengan sistem seleksi berjenjang, mulai dari tingkat sekolah, kabupaten/kota, provinsi, hingga nasional, OSN menjadi ruang bagi siswa berprestasi untuk menunjukkan kemampuan terbaik mereka.
Bidang Matematika merupakan salah satu cabang yang paling diminati sekaligus menantang dalam OSN. Matematika menjadi fondasi penting bagi berbagai disiplin ilmu lain sehingga penguasaannya mencerminkan kemampuan berpikir logis, terstruktur, dan mendalam. Pada tahapan OSN tingkat Kabupaten/Kota (OSN-K), peserta diharapkan mampu menunjukkan pemahaman konsep dasar yang kuat, kecermatan dalam berhitung, serta ketangguhan dalam menghadapi soal berbasis penalaran yang tidak sekadar mengandalkan hafalan rumus.
Dalam artikel ini, telah disediakan soal dan pembahasan OSN-K Bidang Matematika Tahun 2022 khusus bagian Kemampuan Dasar. Pembahasan disajikan secara jelas dan sistematis agar dapat digunakan sebagai bahan belajar mandiri maupun pendampingan guru. Harapannya, ini bakal dapat membantu siswa mempersiapkan diri secara optimal, memperkuat konsep, serta meningkatkan kepercayaan diri menghadapi kompetisi OSN yang semakin kompetitif di tahun-tahun mendatang.
Untuk bagian Kemampuan Dasar, ada $10$ soal isian singkat. Setiap soal dijawab dengan menuliskan jawaban akhirnya saja dan dipastikan merupakan bilangan bulat. Soal yang dijawab benar bernilai $4$ poin, soal yang dijawab salah bernilai $-1$ poin, dan soal yang tidak dijawab bernilai $0$ poin.
Soal Nomor 1
Misalkan $f(x) = a^2x + 300.$ Jika $$f(20) + f^{-1}(22)=f^{-1}(20)+f(22),$$maka$f(1)=\cdots \cdot$
Diketahui $f(x) = a^2x + 300.$ Perhatikan bahwa $f^{-1}(x) = \dfrac{x-300}{a^2}.$ Karena $$f(20) + f^{-1}(22)=f^{-1}(20)+f(22),$$kita peroleh
$$\begin{aligned} (20a^2+300) + \left(\dfrac{22-300}{a^2}\right) & = \left(\dfrac{20-300}{a^2}\right) + (22a^2+300) \\ \left(\dfrac{22-300}{a^2}\right)-\left(\dfrac{20-300}{a^2}\right) & = (22a^2+300)-(20a^2+300) \ \dfrac{2}{a^2} & = 2a^2 \\ a^4 & = 1 \\ a^2 & = 1. \end{aligned}$$Dengan demikian, $f(x) = x+300$ sehingga $f(1) = 301.$
Jadi, nilai dari $f(1)$ adalah $\boxed{301}.$
Soal Nomor 2
Banyaknya bilangan bulat dari $1001$ sampai $2022$ yang habis dibagi $9$ atau $15$ adalah $\cdots \cdot$
Dengan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi, definisikan $A$ dan $B$ berturut-turut sebagai himpunan bilangan bulat dari $1001$ sampai $2022$ yang berkelipatan $9$ dan $15.$ Akan dicari nilai dari $|A \cup B| = |A| + |B|-|A \cap B|.$
Pertama, hitung nilai $|A|,$ yaitu banyaknya bilangan bulat dari $1001$ sampai $2022$ yang berkelipatan $9.$ Ingat bahwa bilangan yang habis dibagi dengan $9$ memiliki ciri jumlah semua angka penyusun bilangan tersebut juga habis dibagi $9$. Bilangan bulat terkecil yang memenuhi adalah $1008,$ sedangkan terbesarnya adalah $2016.$ Perhitungan berikutnya mirip seperti menentukan banyaknya suku dari barisan aritmetika
$$1008, 1017, 1026, \cdots, 2016,$$yaitu $|A| = \dfrac{2016-1008}{9}+1 = 113.$
Kedua, hitung nilai $|B|,$ yaitu banyaknya bilangan bulat dari $1001$ sampai $2022$ yang berkelipatan $15.$ Ingat bahwa bilangan yang habis dibagi dengan $15$ memiliki syarat bilangan tersebut harus habis dibagi $3$ dan $5$. Bilangan bulat terkecil yang memenuhi syarat tersebut adalah $1005,$ sedangkan terbesarnya $2010.$Perhitungan berikutnya mirip seperti menentukan banyaknya suku dari barisan aritmetika
$$1005, 1020, 1035, \cdots, 2010,$$yaitu $|B| = \dfrac{2010-1005}{15}+1 = 68.$
Ketiga, hitung nilai $|A \cap B|,$ yaitu banyaknya bilangan bulat dari $1001$ sampai $2022$ yang berkelipatan $9$ dan $15$ sekaligus. Karena $\text{KPK}(9, 15) = 45,$ kita akan mencari bilangan bulat yang berkelipatan $45,$ yaitu
$$$1035,1080,1125,\cdots,1980.$$Banyaknya suku pada barisan aritmetika tersebut adalah $|A \cap B| =\dfrac{1980-1035}{45}+1=22.$ Dengan demikian, diperoleh
$$|A \cup B| = |A| + |B|-|A \cap B| = 113+68-22 = 159.$$Jadi, banyaknya bilangan bulat dari $1001$ sampai $2022$ yang habis dibagi $9$ atau $15$ adalah $\boxed{159}.$
Soal Nomor 3
Diberikan segitiga $ABC$ dengan sudut siku-siku di $B.$ Titik $D$ berada pada sisi $AB$ dan titik $E$ berada pada sisi $AC.$ DIketahui bahwa $DE$ sejajar dengan $BC.$ Jika $AD=21,$ $DB=3,$ dan $BC=32,$ maka panjang $AE$ adalah $\cdots \cdot$
Soal Nomor 4
Banyaknya pasangan bilangan bulat $(x,y)$ yang memenuhi persamaan $$|x|+|y|+|x+y|=24$$adalah $\cdots \cdot$
Diketahui persamaan $|x|+|y|+|x+y|=24.$ Akan ditinjau beberapa kasus berdasarkan nilai $x$ dan $y.$
– Jika $x, y \ge 0,$ haruslah $x+y \ge 0$ sehingga persamaan tersebut akan menjadi $x+y+(x+y) =24,$ ekuivalen dengan $x + y = 12.$ Ini berarti, $$4(x, y) \in \{(0, 12), (1, 11), \cdots, (12,0)\}$$sehingga secara keseluruhan ada $13$ solusi untuk kasus ini.
– Jika $x, y< 0,$ haruslah $x+y < 0$ sehingga persamaan tersebut akan menjadi $-x+(-y)+(-(x+y)) =24,$ ekuivalen dengan $x + y = -12.$ Ini berarti, $$(x, y) \in \{(-1, -11), (-2, -10), \cdots, (-11,-1)\}$$sehingga secara keseluruhan ada $11$ solusi untuk kasus ini.
– Jika $x \ge 0,$ tetapi $y < 0,$ akan ada dua subkasus yang perlu ditinjau. Pertama, jika $x+y \ge 0,$ persamaan tersebut akan menjadi $x + (-y) + (x+y) = 24,$ ekuivalen dengan $x = 12.$ Ini berarti, $$(x, y) \in \{(12, -12), (12, -11), \cdots, (12, -1)}$$sehingga ada $12$ solusi untuk kasus ini. Kedua, jika $x+y < 0,$ persamaan tersebut akan menjadi $x + (-y) + (-(x+y)) = 24,$ ekuivalen dengan $y = -12.$ Ini berarti, $$(x, y) \in \{(0, -12), (1, -12), \cdots, (11, -12)}$$sehingga juga ada $12$ solusi untuk kasus ini. Totalnya menjadi $12+12=24$ solusi.
– Jika $x < 0,$ tetapi $y \ge 0,$ perhitungannya akan mirip seperti kasus ketiga. Lebih lanjut, akan ada $24$ solusi juga untuk kasus ini.
Dengan demikian, total solusi dari semua kasus tersebut adalah $13+11+24+24 = 72.$ Jadi, banyaknya pasangan bilangan bulat $(x,y)$ yang memenuhi persamaan $$|x|+|y|+|x+y|=24$$adalah $\boxed{72}.$
Soal Nomor 5
Jika sisa pembagian $$x^{2021} + x^{1011} + x^{506} + x^{258} + x^{127}$$oleh $x^2-1$ adalah $Ax+B,$ maka nilai $4A+5B=\cdots \cdot$
Perhatikan bahwa $x^2-1=(x+1)(x-1).$ Dengan menggunakan teorema sisa pada polinomial, substitusi $x = -1$ atau $x = 1$ pada polinomial $$x^{2021} + x^{1011} + x^{506} + x^{258} + x^{127}$$akan menghasilkan sisa pembagiannya.
Pertama, substitusi $x = -1$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} A(-1) + B & = (-1)^{2021} + (-1)^{1011} + (-1)^{506} + (-1)^{258} + (-1)^{127} \\ -A +B & = -1 + (-1) + 1 + 1 + (-1) \\ -A + B & = -1. \end{aligned}$$Berikutnya, substitusi $x = 1$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} A(1) + B & = (-1)^{2021} + (1)^{1011} + (1)^{506} + (1)^{258} + (1)^{127} \\ A +B & = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \\ A + B & = 5. \end{aligned}$$Dari sini, kita peroleh sistem persamaan linear dua variabel
$$\begin{cases} -A+B = -1 \\ A+B = 5 \end{cases}$$Selesaikan sistem ini untuk memperoleh nilai $A = 3$ dan $B = 2.$ Akibatnya, $4A+5B=4(3)+5(2) = 22.$
Jadi, nilai dari $4A + 5B$ adalah $\boxed{22}.$
Soal Nomor 6
Sebuah papan catur persegi panjang $3 \times 22$ akan ditutupi $22$ buah L-tromino seperti pada gambar di bawah ini sehingga seluruh papan catur tertutup oleh semua L-tromino dan tidak ada tromino yang tumpang tindih.
Banyaknya cara untuk menyusun L-tromino tersebut adalah $\cdots \cdot$
Soal Nomor 7
Diberikan segitiga $ABC$ seperti gambar di bawah. Diketahui bahwa panjang $AB = 2BC$ dan $BD=CD.$ Jika luas segitiga $DEC$ adalah $10,$ maka luas segitiga $AFE$ adalah $\cdots \cdot$
Soal Nomor 8
Untuk setiap bilangan asli $n,$ misalkan $S(n)$ adalah jumlah dari semua digit dari $n.$ Diberikan barisan $\{a_n\}$ dengan $a_1 = 5$ dan $a_n = (S(a_{n-1}))^2-1$ untuk $n \ge 2.$ Sisa pembagian $a_1 + a_2 + \cdots + a_{2022}$ oleh $21$ adalah $\cdots \cdot$
Diketahui barisan $\{a_n\}$ dengan $a_1 = 5$ dan $a_n = (S(a_{n-1}))^2-1$ untuk $n \ge 2.$ Kita akan mencari pola yang mungkin terbentuk dengan cara mencari beberapa nilai $a_n.$
$$\begin{aligned} a_2 & = (S(a_1))^2-1 = (5)^2-1 = 24 \\ a_3 & = (S(a_2))^2-1 = (2+4)^2-1 = 35 \\ a_4 & = (S(a_3))^2-1 = (3+5)^2-1 = 63 \\ a_5 & = (S(a_4))^2-1 = (6+3)^2-1 = 80 \\ a_6 & = (S(a_5))^2-1 = (8+0)^2-1 = 63 \\ a_7 & = (S(a_6))^2-1 = (6+3)^2-1 = 80 \\ a_8 & = (S(a_7))^2-1 = (8+0)^2-1 = 63 \end{aligned}$$Dari perhitungan tersebut, dapat disimpulkan bahwa $a_n = \begin{cases} 80~\text{jika}~n~\text{ganjil}, \\ 63~\text{jika}~n~\text{genap}. \end{cases}$ Sampai $n = 2022,$ bilangan $63$ akan berulang sebanyak $\dfrac{2022}{2}-1 = 1010$ kali, sedangkan bilangan $80$ akan berulang sebanyak $\dfrac{2021-1}{2}-1 = 1009$ kali. Dengan demikian,
$$\begin{aligned} (a_1 + a_2 + \cdots + a_{2022})~\text{mod}~21 & = (5 + 24 + 35 + 63 + 80 + 63 + 80 + \cdots + 63)~\text{mod}~21 \\ & = (5 + 24 + 35 + \underbrace{63 + 63 + \cdots + 63}_{1010~\text{kali}} + \underbrace{80 + 80 + \cdots + 80}_{1009~\text{kali}})~\text{mod}~21 \\ & = (5 + 24 + 35 + 1010 \cdot 63 + 1009 \cdot 80)~\text{mod}~21 \\ & \equiv (5 + 3 + 14 + 0 + 1(-4))~\text{mod}~21 \\ & = 18~\text{mod}~21. \end{aligned}$$Jadi, sisa pembagian $a_1 + a_2 + \cdots + a_{2022}$ oleh $21$ adalah$\boxed{18}.$
Soal Nomor 9
Diberikan dua bilangan real $x$ dan $y$ dengan $x > y > 0.$ Jika
$$x + 300 \le \sqrt{x^2-y^2 + 600(x+y)},$$maka nilai dari $y$ adalah $\cdots \cdot$
Diberikan dua bilangan real $x$ dan $y$ dengan $x > y > 0,$ serta
$$x + 300 \le \sqrt{x^2-y^2 + 600(x+y)}.$$Kuadratkan kedua ruas sehingga menghasilkan
$$\begin{aligned} (x+300)^2 & \le \left(\sqrt{x^2-y^2 + 600(x+y)}\right) \\ x^2 + 600x + 300^2 & \le x^2-y^2+600x+600y \\ y^2-600y+300^2 & \le 0 \\ (y-300)^2 & \le 0. \end{aligned}$$Pertidaksamaan terakhir akan terpenuhi hanya ketika $y = 300.$ Nilai $y$ yang lain akan membuat $(y-300)^2$ bernilai positif. Jadi, nilai dari $y$ adalah $\boxed{300}.$
Soal Nomor 10
Misalkan $x$ merupakan bilangan asli sehingga $x^2+110x$ merupakan bilangan pangkat tiga dari suatu bilangan prima. Nilai $x$ adalah $\cdots \cdot$
Misalkan $x$ merupakan bilangan asli sehingga $x^2 + 110x = p^3$ dengan $p$ sebagai bilangan prima. Persamaan tersebut ekuivalen dengan $x(x+110) = p^3.$ Jelas bahwa $x + 100 > x$ sehingga hanya akan ada dua kasus yang perlu ditinjau, yaitu $(x, x+110) = (1, p^3)$ atau $(x, x+110) = (p, p^2).$
Jika $(x, x+110) = (1, p^3),$ diperoleh $p^3 = 1(1+110) = 111$ dan ternyata tidak ada $p$ yang memenuhi.
Jika $(x, x+110) = (p, p^2),$ diperoleh
$$x^2 = p^2 = x + 110.$$Akibatnya, $x^2-x-110 = (x-11)(x+10) = 0$ sehingga diperoleh $x = 11.$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi kondisi tersebut adalah $\boxed{11}.$