Olimpiade Sains Nasional (OSN) merupakan ajang kompetisi akademik bergengsi yang diselenggarakan setiap tahun oleh Balai Pengembangan Talenta Indonesia (BPTI), yaitu unit pelaksana teknis dari Pusat Prestasi Nasional (Puspresnas). OSN dirancang untuk menggali potensi, mengasah kemampuan nalar, serta mendorong budaya ilmiah di kalangan peserta didik di seluruh Indonesia. Melalui ajang ini, siswa tidak hanya diuji dari sisi pengetahuan, tetapi juga ketekunan, kreativitas, serta kemampuan memecahkan masalah pada level yang lebih tinggi. Dengan sistem seleksi berjenjang, mulai dari tingkat sekolah, kabupaten/kota, provinsi, hingga nasional, OSN menjadi ruang bagi siswa berprestasi untuk menunjukkan kemampuan terbaik mereka.
Bidang Matematika merupakan salah satu cabang yang paling diminati sekaligus menantang dalam OSN. Matematika menjadi fondasi penting bagi berbagai disiplin ilmu lain sehingga penguasaannya mencerminkan kemampuan berpikir logis, terstruktur, dan mendalam. Pada tahapan OSN tingkat Kabupaten/Kota (OSN-K), peserta diharapkan mampu menunjukkan pemahaman konsep dasar yang kuat, kecermatan dalam berhitung, serta ketangguhan dalam menghadapi soal berbasis penalaran yang tidak sekadar mengandalkan hafalan rumus.
Dalam artikel ini, telah disediakan soal dan pembahasan OSN-K Bidang Matematika Tahun 2023 khusus bagian Kemampuan Dasar. Pembahasan disajikan secara jelas dan sistematis agar dapat digunakan sebagai bahan belajar mandiri maupun pendampingan guru. Harapannya, ini bakal dapat membantu siswa mempersiapkan diri secara optimal, memperkuat konsep, serta meningkatkan kepercayaan diri menghadapi kompetisi OSN yang semakin kompetitif di tahun-tahun mendatang.
Untuk bagian Kemampuan Dasar, ada $10$ soal isian singkat. Setiap soal dijawab dengan menuliskan jawaban akhirnya saja dan dipastikan merupakan bilangan bulat. Soal yang dijawab benar bernilai $4$ poin, soal yang dijawab salah bernilai $-1$ poin, dan soal yang tidak dijawab bernilai $0$ poin.
Soal Nomor 1
Hasil penjumlahan semua solusi dari persamaan $|(x-|2x+6|)|=99$ adalah $\cdots \cdot$
Dari persamaan nilai mutlak $|(x-|2x+6|)|=99,$ ada dua kasus yang perlu ditinjau, yaitu $x-|2x+6| = 99$ dan $x-|2x+6| = -99.$
Kasus 1: $x-|2x+6| = 99$
Dari persamaan itu, diperoleh $|2x+6| = x-99.$ Karena nilai mutlak tidak mungkin negatif, haruslah $x \ge 99.$ Kuadratkan kedua ruas sehingga didapat
$$\begin{aligned} (2x+6)^2 & = (x-99)^2 \\ (2x+6)^2-(x-99)^2 & = 0 \\ (2x+6+x-99)(2x+6-x+99) & = 0 \\ (3x-93)(x+105) & = 0. \end{aligned}$$Bentuk terakhir menunjukkan bahwa $x =31$ atau $x = -105,$ tetapi keduanya tidak memenuhi syarat $x \ge 99$ sehingga tidak dapat menjadi solusi.
Kasus 2: $x-|2x+6| = -99.$
Dari persamaan itu, diperoleh $|2x+6| = x+99.$ Karena nilai mutlak tidak mungkin negatif, haruslah $x \ge -99.$ Kuadratkan kedua ruas sehingga didapat
$$\begin{aligned} (2x+6)^2 & = (x+99)^2 \\ (2x+6)^2-(x+99)^2 & = 0 \\ (2x+6+x+99)(2x+6-x-99) & = 0 \\ (3x+105)(x-93) & = 0. \end{aligned}$$Bentuk terakhir menunjukkan bahwa $x =-35$ atau $x = 93.$Keduanya memenuhi syarat $x \ge -99$ sehingga diterima sebagai solusi.
Dengan demikian, persamaan $|(x-|2x+6|)|=99$ hanya memiliki dua solusi, yaitu $x = -35$ atau $x = 93.$ Jadi, hasil penjumlahan semua solusi dari persamaan $|(x-|2x+6|)|=99$ adalah $\boxed{-35 + 93 = 58}.$
Soal Nomor 2
Di dalam suatu laci, terdapat tujuh pasang kaus kaki yang setiap pasangnya berbeda dengan pasangan lainnya. Enam kaus kaki diambil sekaligus secara acak. Banyaknya cara pengambilan sehingga terdapat tepat sepasang kaus kaki yang cocok (berpasangan) di antara kaus kaki yang terambil adalah $\cdots \cdot$
(Catatan: Asumsikan kaus kaki kiri dan kanan identik)
Pertama, ambil $5$ kaus kaki berbeda dari masing-masing pasangan yang ada. Dengan menggunakan aturan kombinasi, ada $\displaystyle \binom{7}{5} = 21$ kemungkinan berbeda untuk mengambilnya. Dari $5$ kaus kaki berbeda tersebut, cukup diambil $1$ dari $5$ kaus kaki pasangannya agar diperoleh tepat sepasang kaus kaki. Ada $5$ cara untuk melakukan ini. Total banyaknya cara pengambilan yang mungkin akan menjadi $21 \times 5 = 105.$
Jadi, banyaknya cara pengambilan sehingga terdapat tepat sepasang kaus kaki yang cocok (berpasangan) di antara kaus kaki yang terambil adalah $\boxed{105}.$
Soal Nomor 3
Diberikan trapesium $ABCD$ dengan $AB=14,$ $CD=19,$ $AB$ sejajar $CD,$ dan kedua $\angle ADC$ dan $\angle BCD$ lancip. Misalkan $P$ dan $Q$ adalah titik yang terletak pada sisi $CD$ sehingga $AD=AP$ dan $BC=BQ.$ Panjang $PQ=\cdots \cdot$
Dari deskripsi yang diberikan pada soal, posisikan titik $E$ dan $F$ sehingga $AE$ dan $BF$ menjadi tinggi segitiga sama kaki seperti yang terlihat pada gambar berikut.
Misalkan $DE = EP = x$ dan $QF = FC = y.$ Karena $DC = 19,$ diperoleh
$$\begin{aligned} DE + EF + FC & = 19 \\ DE + AB + FC & = 19 \\ x + 14 + y & = 19 \\ x + y & = 5. \end{aligned}$$Kemudian, karena $AB = 14,$ diperoleh
$$\begin{aligned} EP + PQ + QF & = 14 \\ x + PQ + y & = 14 \\ (x + y) + PQ & = 14 \\ 5 + PQ & = 14 \\ PQ & = 9. \end{aligned}$$Jadi, panjang $PQ$ adalah $\boxed{9.}.$
Soal Nomor 4
Diketahui bilangan empat digit $\overline{7ab9}$ merupakan bilangan kuadrat. Nilai $a+b = \cdots \cdot$
Diketahui $\overline{7ab9} = n^2$ untuk suatu bilangan asli $n.$ Perhatikan bahwa $80^2 = 6400$ dan $90^2 = 8100$ sehingga $80 < n < 90.$ Karena angka satuan dari $\overline{7ab9},$ satuan untuk $n$ yang mungkin adalah $3$ atau $7$ sebab $3^2$ dan $7^2$ keduanya menghasilkan bilangan yang satuannya juga $9.$ Ini berarti, ada dua kemungkinan nilai $n,$ yaitu $n = 83$ atau $n = 87.$ Berikutnya, lakukan uji nilai. Jika $n = 83,$ diperoleh $n^2 = 6889.$ Ini berarti, $n$ harusnya bernilai $87.$ Akibatnya, $n^2 = 7569.$ Dari sini, diperoleh $a = 5$ dan $b = 6$ sehingga $a+b=5+6=11.$
Jadi, nilai $a+b$ adalah $\boxed{11}.$
Soal Nomor 5
Diberikan fungsi kuadrat yang didefinisikan oleh $f(x)=ax^2+bx+c$ yang memenuhi $f(5)=25$ dan $f(6)=36.$ Jika $a \ne 1,$ maka nilai dari $\dfrac{c-b}{a-1}$ adalah $\cdots \cdot$
Diketahui $f(x) = ax^2 + bx +c$ dengan $f(5) = 25$ dan $f(6) = 36$ sehingga $25a+5b+c = 25$ dan $36a+6b+c=36.$ Ini berarti,
$$\begin{aligned} (36a+6b+c)-(25a+5b+c) & = 36-25 \\ 11a+b & = 11 \\ b & = -11(a-1). \end{aligned}$$Substitusi ini pada persamaan $25a+5b+c=25$ akan menghasilkan
$$\begin{aligned} 25(a-1) + 5b + c & = 0 \\ -\dfrac{25}{11}b + 5b + c & = 0 \\ \dfrac{30}{11}b + c & = 0 \\ c & = -\dfrac{30}{11}b. \end{aligned}$$Ini berarti,
$$\begin{aligned} \dfrac{c-b}{a-1} & = \dfrac{-\frac{30}{11}b-b}{-\frac{1}{11}b} = \dfrac{-\frac{41}{11}}{-\frac{1}{11}} = 41. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\dfrac{c-b}{a-1}$ adalah $\boxed{41}.$
Soal Nomor 6
Dua tim A dan B bertanding sepak bola sebanyak $15$ kali. Pada setiap pertandingan, tim yang berhasil mencetak $4$ gol pertama akan menjadi pemenang. Tidak ada pertandingan yang berakhir seri. Selama $15$ kali pertandingan tersebut, tim A memenangkan pertandingan lebih banyak dibandingkan tim B, tetapi banyak gol yang dicetak tim B lebih banyak dibandingkan tim A. Selisih total gol terbesar yang mungkin dicetak oleh kedua tim tersebut adalah $\cdots \cdot$
Permainan sepak bola tersebut harus diatur sedemikian rupa sehingga tercapai selisih total gol terbesar yang mungkin dicetak oleh kedua tim, tetapi tetap mengikuti syarat yang diberikan. Agar tim A memenangkan pertandingan lebih banyak dibandingkan tim B, buat tim A menang $8$ kali, sedangkan tim B menang 7 kali.
Saat tim A menang, skornya dibuat 4-3 (A-B). Saat tim B menang, skornya dibuat 0-4 (A-B). Kondisi ini akan membuat tim A memenangkan pertandingan lebih banyak dibandingkan tim B, tetapi banyak gol yang dicetak tim B lebih banyak dibandingkan tim A.
Total gol tim A adalah $8 \times 4 = 32,$ sedangkan total gol tim B adalah $8 \times 3 + 7 \times 4 = 52.$ Selisih total gol adalah $52-32=20.$
Jadi, selisih total gol terbesar yang mungkin dicetak oleh kedua tim tersebut adalah $\boxed{20}.$
Soal Nomor 7
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB=12,$ $AC=10,$ dan $D$ terletak pada sisi $BC.$ Misalkan $E$ dan $F$ merupakan titik berat segitiga $ABD$ dan $ACD.$ Jika luas segitiga $DEF$ adalah $4,$ maka panjang sisi $BC$ adalah $\sqrt{n}$ dengan $n=\cdots \cdot$
Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB=12,$ $AC=10,$ dan $D$ terletak pada sisi $BC.$ Misalkan $E$ dan $F$ merupakan titik berat segitiga $ABD$ dan $ACD.$ Diketahui juga bawah luas segitiga $DEF$ adalah $4.$ Sketsakan gambarnya seperti berikut dengan memunculkan titik $G, H,$ dan $I$ seperti pada gambar. Catat bahwa titik berat diartikan sebagai titik perpotongan antara ketiga garis berat pada suatu segitiga.
Dari gambar di atas, misalkan
$$\begin{aligned} \left[ABH\right] = \left[ADH\right] & = x \\ \left[ADI\right] = \left[AIC\right] & = y \\ \left[ABC\right] = 2(x + y). \end{aligned}$$Teorema garis berat menyatakan bahwa sebagai titik berat, $E$ membagi $AH$ menjadi dua ruas, yaitu $AE$ dan $EH$ dengan perbandingan $2 : 1.$ Ini berarti, $AE : AH = 2 : 3.$
Perhatikan bahwa $\Delta AEF$ dan $\Delta AHI$ merupakan dua segitiga yang sebangun (SSS) sehingga berlaku perbandingan
$$\dfrac{EF}{HI} = \dfrac{AE}{AH} = \dfrac{2}{3}.$$Misalkan tinggi $\Delta DEF$ adalah $t,$ sedangkan tinggi $\Delta AHI$ adalah $T.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\dfrac{t}{T} = \dfrac{DG}{AD} = \dfrac13.$$Dari sini, perbandingan luas $\Delta DEF$ dan $\Delta AHI$ adalah
$$\begin{aligned} \dfrac{[DEF]}{[AHI]} & = \dfrac{\frac12 \cdot EF \cdot t}{\frac12 \cdot HI \cdot T} \\ & = \dfrac{2 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \dfrac29. \end{aligned}$$Karena diketahui luas $\Delta DEF$ adalah $4,$ haruslah luas $\Delta AHI$ sama dengan $18.$
Kemudian,
$$\begin{aligned} \left[ADH\right] + [ADI] & = [AHI] \\ x + y & = 18. \end{aligned}$$Akibatnya, $[ABC] = 2(x+y) = 2(18) = 36.$ Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh
$$\begin{aligned} \left[ABC\right] & = \dfrac12 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A \\ 36 & = \dfrac12 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \sin A \\ \sin A & = \dfrac35. \end{aligned}$$Karena $A$ lancip, haruslah $\cos A = \dfrac45.$ Selanjutnya, dengan menggunakan aturan kosinus pada $\Delta ABC,$ diperoleh
$$\begin{aligned} BC^2 & = AB^2 + AC^2-2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A \\ BC^2 & = (12)^2 + (10)^2-2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \dfrac45 \\ BC^2 & = 144 + 100-192 \\ BC^2 & = 52 \\ BC & = \sqrt{52}. \end{aligned}$$Dari soal, panjang sisi $BC$ adalah $\sqrt{n}.$
Jadi, nilai $n$ yang tepat adalah $\boxed{52}.$
Soal Nomor 8
Sisa pembagian $5^{2.022}+11^{2.022}$ oleh $64$ adalah $\cdots \cdot$
Perhatikan bahwa $5$ dan $11$ keduanya relatif prima dengan $64,$ serta nilai $\phi(64) = 64\left(1-\dfrac12\right) = 32.$ Notasi $\phi(n)$ ($\phi$ dibaca phi) adalah fungsi phi Euler (Euler’s totient function)
, yaitu fungsi yang digunakan untuk menghitung banyaknya bilangan bulat positif kurang dari $n$ yang relatif prima dengan $n.$
Dengan menggunakan teorema Euler, diperoleh $5^{32} \equiv 1~(\text{mod}~64)$ dan $11^{32} \equiv 1~(\text{mod}~64).$
Pertama, tinjau bentuk $5^{2022}.$ Perhatikan bahwa $5^3 \equiv 125 \equiv -3~(\text{mod}~64).$ Dengan demikian,
$$5^{2022} \equiv (5^{32})^{63} \cdot 5^6 \equiv 1 \cdot (5^3)^2 \equiv 1 \cdot (-3)^2 \equiv 9~(\text{mod}~64).$$Berikutnya, tinjau bentuk $11^{2022}.$ Perhatikan bahwa $11^2 \equiv 121 \equiv -7~(\text{mod}~64).$ Dengan demikian,
$$11^{2022} \equiv (11^{32})^{63} \cdot (11^2)^3 \equiv 1^{63} \cdot (-7)^3 \equiv -343 \equiv 41~(\text{mod}~64).$$Dari sini, diperoleh
$$5^{2022} + 11^{2022} \equiv 9 + 41 \equiv 50~(\text{mod}~64).$$Jadi, sisa pembagian $5^{2022} + 11^{2022}$ oleh $64$ adalah $\boxed{50}.$
Soal Nomor 9
Diberikan suku banyak $P(x)$ dengan koefisien bulat. Jika $P_(r_1) = P(r_2) = 200$ dengan $r_1$ dan $r_2$ merupakan akar-akar persamaan $x^2+x-23=0,$ maka sisa pembagian $P(1)$ oleh $21$ adalah $\cdots \cdot$
Perhatikan bahwa $x^2+x-23 = (x-r_1)(x-r_2)$ dengan $r_1 \neq r_2.$ Misalkan $Q(x) = P(x)-200$ dengan $Q(x)$ merupakan polinomial dengan derajat yang sama dengan $P(x).$ Karena $P(r_1) = P(r_2) = 200,$ haruslah $Q(r_1) = Q(r_2) = 0.$ Ini berarti, dapat ditulis
$$Q(x) = (x-r_1)(x-r_2)R(x) = (x^2+x-23)R(x)$$untuk suatu polinomial $R(x)$ dengan $\text{deg}(R(x)) = \text{deg}(P(x))-2.$Karena $Q(x) = P(x)-200,$ diperoleh
$$P(x) = Q(x) + 200 = (x^2+x-23)R(x) + 200.$$Substitusi $x = 1$ menghasilkan
$$P(1) = (1^2+1-23)R(1) + 200 = -21R(1) + 200.$$Sisa hasil baginya oleh $21$ dapat ditulis
$$-21R(1) + 200 \equiv 0 + 11 \equiv 11~(\text{mod}~21).$$Jadi, sisa pembagian $P(1)$ oleh $21$ adalah $\boxed{11}.$
Soal Nomor 10
Banyaknya bilangan empat angka yang habis dibagi $3$ dan memuat angka $6$ adalah $\cdots \cdot$
Pertama, hitung banyaknya bilangan empat angka yang habis dibagi $3$ dari bilangan $1000$ sampai $9999.$ Perhitungan ini mirip seperti menentukan banyaknya suku dari barisan aritmetika $1002, 1005, 1008, \cdots, 9999,$ yaitu $n = \dfrac{9999-1002}{3}+1 = 3000.$
Langkah berikutnya adalah menentukan banyaknya bilangan empat angka yang habis dibagi $3,$ tetapi TIDAK memuat angka $6.$ Misalkan bilangan tersebut berbentuk $\overline{abcd}.$
-
- Nilai $a$ tidak boleh $0$ maupun $6$ sehingga nilai $a$ memiliki $8$ kemungkinan saja, yaitu $1, 2, 3, 4, 5, 7, 8,$ dan $9.$
- Nilai $b$ tidak boleh $6$ sehingga nilai $b$ memiliki $9$ kemungkinan saja.
- Nilai $c$ tidak boleh $6$ sehingga nilai $c$ juga memiliki $9$ kemungkinan saja.
- Nilai $d$ harus disesuaikan agar $a+b+c+d$ menghasilkan bilangan kelipatan $3.$ Hal ini terjadi karena ciri-ciri bilangan habis dibagi $3$ adalah jumlah angka-angka penyusun bilangan tersebut juga habis dibagi $3.$ Kasus pertama: Jika $a+b+c~\text{mod}~3 = 0,$ maka $d \in \{0, 3, 9\}.$ Kasus kedua: Jika $a+b+c~\text{mod}~3 = 1,$ maka $d \in \{2, 5, 8\}.$ Kasus ketiga: Jika $a+b+c~\text{mod}~3 = 2,$ maka $d \in \{1, 4, 7\}.$ Masing-masing kasus membuat $d$ hanya memiliki $3$ kemungkinan nilai.
Secara keseluruhan, dengan menggunakan aturan perkalian, banyaknya bilangan empat angka yang habis dibagi $3,$ tetapi TIDAK memuat angka $6$ adalah $8 \times 9 \times 9 \times 3 = 1944.$
Dengan menggunakan prinsip komplemen, banyaknya bilangan empat angka yang habis dibagi $3$ dan memuat angka $6$ adalah $\boxed{3000-1944 = 1056}.$